【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三综合题（七）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.686 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2020届高三综合题（七）数学试卷（理工类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集1,3,5,7,9,11U=，3,5,9M=，7,9N=，则集合1,11=（）A.MNB.MNC.()UMN

ðD.()UMNð【答案】C【解析】【分析】由集合运算的定义判断．【详解】由题意{3,5,7,9}MN=，∴(){1,11}UMN=ð．故选：C．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2.设,,abRi是虚数单位，则“复数zabi=+为纯虚数”是

“0ab=”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0ab=，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数zabi=+为纯虚数，则0,0ab=，所

以0ab=，若0ab=，不妨设1,0ab==，此时复数1zabi=+=，不是纯虚数，所以“复数zabi=+为纯虚数”是“0ab=”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3.一个棱锥的三视图

如图所示，则这个棱锥的体积为（）A.12B.36C.16D.48【答案】A【解析】【分析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3，∴其体积为1343123V==．故选：A．【

点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4.已知双曲线22221xyab−=的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点将线段12FF三等分，则该双曲线的渐近线方程为（）A.22yx=B.2yx=C.22yx=D.yx=【答案】A【解析】【分析】由已知得3

ca=，结合222cab=+可得ba，得渐近线方程．【详解】∵左、右顶点将线段12FF三等分，∴232ca=，即3ca=，∴22229acab==+，22ba=．∴渐近线方程为22yx=．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,ab的关系．5.如图，若输入n的值

为4，则输出m的值为（）A.-3B.13C.2D.12−【答案】C【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论．【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2im==，开始循环，3m=−，满足4i，2i=；12m=−，满足4i，3i=；13m=，满足4i，4i=；2m=，

不满足4i，输出2m=．故选：C．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、6.函数()ln25fxxx=+−的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【

解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()fx零点个数.【详解】由于函数()fx在()0,+上是增函数，且()()13,240ffee=−=−，()()10ffe，故函数在()1,e上有唯一零点，也即在()0,+上有唯一零点

.故选:B【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7.在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，ABAD⊥，4AB=，2BC=，4=AD，若P为CD的中点，则PAPB的值为A.5−B.4−C.4D.1【答案】D【解析】【详解】分别以AD，AB所在直线为x轴

，y轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PAPBPAPB=−−=−=−−+−=.8.若62axx−的展开式中常数项为10，则直线0x=，xa

=，x轴与曲线cosyx=围成的封闭图形的面积为（）A.322−B.32C.31−D.1【答案】A【解析】【分析】由二项式定理求出a，再由微积分基本定理求出面积．【详解】62axx−的展开式的通项为6631662()()rrrrrrraTCxa

Cxx−−+=−=−，由630r−=，得2r=．∴常数项为226()1510aCa−==，23a=，由于cosyx=与x轴有一个交点为(,0)2，∴232022233coscossinsin(sin0)sinsin222

32202Sxdxxdxxx=+=+=−+−=−．故选：A．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()fx的图象是在x轴上方还是在x轴下方．

9.函数()sin()fxAx＝＋（其中0A，2的图象如图所示，为了得到()singxx＝的图象，可以将()fx的图象A.向右平移6个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向左平移3个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，,所以

，令，则，即向右平移可以得到.考点：正弦型函数解析式函数图像平移变换点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10.已知椭圆()222210xyabab+=，1F，2F为左、右焦点，1A

，2A，1B，2B分别是其左、右、上、下顶点，直线12BF交直线22BA于P点，若12BPA为直角，则此椭圆的离心率为（）A.212−B.512−C.22D.32【答案】B【解析】【分析】由12BPA是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,abc关系，从而得离心率．【

详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)BbBbFcAa−，∵12BPA为直角，∴1221FBABkk=−，即1bbca−=−，即222bacac==−，∴2()10ccaa+−=，210ee+−=，∴152e−+=（152−−舍去）．故选：

B．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,abc的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且2AB=，4APCBPC==，若球O的体积为323，则棱锥APBC−的体积为（）A.43B.433C.22

D.322【答案】B【解析】【分析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC和BPC都是等腰直角三角形，从而,AOPCBOPC⊥⊥，PC⊥平面AOB，这样APBC−的体积易求．【详解】由343233R=，得2R=，如图，由PC为球O的直径，∴2OPOCOAOBAB=====，2PA

CPBC==，4APCBPCACPBCP====，,AOPCBOPC⊥⊥，∴PC⊥平面AOB，AOBS212sin323==，∴1()3APBCPAOBCAOBAOBVVVSPOOC−−−=+=+1433433==．故选：B．【点

睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC⊥平面AOB，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12.已知函数()323sinfxxxx=−−，则12402440252013201320132013ffff++++=

（）A.4025B.-4025C.8050D.-8050【答案】D【解析】【分析】应用倒序相加法求和．【详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin(2)3sinfxfxxxxxxx−+=−−−−−+−−232(8126)3(44)sinxxxxxx

=−+−−−++323sinxxx+−−4=−，记1240244025()()()()2013201320132013Sffff=+++，则4025402421()()()()2013201320132013Sffff

=++++，∴244025S=−，8050S=−．故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()fxfx−+，从而得解．二、填空题（本大题共

4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13.已知0,0,2abab+=，则14yab=+的最小值是__________．【答案】92【解析】分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成14()()2abab++，展

开后，利用基本不等式求得y的最小值.详解：因为2ab+=，所以12ab+=，所以14145259()()222222abbayababab+=+=+=+++=（当且仅当2ba=时等号成立），则14yab=+的最小值是92，

总上所述，答案为92.点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.14.已知(),xy满足：()00,0xymm

xy+，若2zxy=+的最大值为2，则m=______.【答案】1【解析】【分析】作出可行域（示意图），作直线:20lxy+=，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图OAB内部（含边界），

作直线:20lxy+=，l向上平移时，z增大，易知当直线l过点(,0)Am时，zxy=+取得最大值2m，所以22m=，1m=．故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15.某高校“统计初

步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．非统计专业统计专业男1510女520参考公式：22()()()(

)()nadbcKabcdacbd−=++++20()PKx0．0250．0100．0050．001060ABCDBADABBDADBQ底面为菱形，==⊥5．0246．6357．87910．828【答案】【解析】试题分析：由列

联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．考点：独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据

公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16.ABC中，60A=，点D在边AC上，3DB=，且()0sinsinBABCBDBAABCC=+，则ACAB+的最大值为______.【

答案】27【解析】【分析】由sinsinBAABCC=，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D点就是AC边中点，这样在ABD中应用正弦定用角理表示出,ABAD，利用三角函数性质可求得+ABAC的最大值．【详解】如图，作BEAC⊥于E，取AC中点

F连接BF，()()sinsinBABCBABCBDBEBEBAABCC=+=+2()BABCAFBEBE=+=，∴BD与BF共线，从而D与F重合，即D是AC中点．ABD中，603A==，记ABD=，则203，sinsin()3ADB=+，由正弦定理得s

insinABADADBABD=sinBDA=，即3sinsin()sin33ABAD==+，∴2sin()3AB=+，2sinAD=，22sin()4sin3ABACABAD+=+=++2(sincoscossin)4sin5sin3cos33

=++=+，27sin()=+，其中为锐角，5cos27=，3sin7=，∴2=−时，+ABAC取得最大值27．故答案为：27．【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键

．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}na满足：*22()nnSanN=−．（1）求数列{}na的通项公式；（2）令(1)nnbna=−，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）2nna=；（2）

1(2)24nnTn+=−+【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列{}na的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}nb的前n项和nT．【详解】（1）当1n=时，1122Sa=−，解得12a=，由22nnSa=−，可得1122nnSa++=−，上述两式相减可得1122n

nnaaa++=−，所以12nnaa+=，120a=，所以数列{}na是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nna=．（2）由（1）可知(1)22nnnnbnan=−=−，所以123123(1222322)(2222)nnnTn=

++++−++++，令1231222322nMn=++++①，则234121222322nMn+=++++②，①－②得123112(12)222222(22)2212nnnnnMnnn++−−=++++−=−=−−−，所以(22)22nMn=−+

，所以12(12)(22)22(2)2412nnnnTnn+−=−+−=−+−．【点睛】（1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若数列·nnbc，其中{}nb是等差数列，{}nc是等比数列，则采用错位相减法.18

.小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A大，B大，C大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算.（Ⅰ）求小建至少申请成功

一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X，试求X的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX=【解析】【分析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得；（Ⅱ）X的取值为0

,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A大，B大，C大都不成功的概率为123111123424−−−=，则小建至少申请成功一所大学的概率2324.（Ⅱ）()1024PX==，1111211131(1)23423423

44PX==++=，12111312311(2)23423423424PX==++=，()123132344PX===，X的分布列如下：X0123P124141124142312EX=.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列

和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且1==PAAB，E为PB中点.（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若2AD=，求二面角DECB−−的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）234

17−【解析】【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，得PABC⊥，再结合矩形可证得BC⊥面PAB，从而得BCAE⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，由空

间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角．【详解】（Ⅰ）∵1==PAAB，E为中点，∴AEPB⊥，∵ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，∴PABC⊥且BCAB⊥，PAABA=，∴BC⊥面PAB，AE平面PAB，∴BCAE⊥，BCPBB=，

∴AE⊥面PBC.（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B，()1,2,0C，()0,2,0D，()0,0,1P，11,0,22E，

设平面DEC的法向量(),,nxyz=，则1120220nDExyznDCx=−+===，令2z=，得10,,22n=，设平面BEC的法向量()',','mxyz=，则11''0222

'0mBExzmBCy=−+===，令1x=，得()1,0,1m=，则234cos,17nm=，∵二面角DECB−−的平面角为钝角，∴二面角DECB−−的平面角的余弦值为23417−.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线

垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20.已知抛物线2:2Cypx=(0)p，过焦点F作动直线交C于,AB

两点，过,AB分别作圆22:()12pDxy−+=的两条切线，切点分别为,PQ，若AB垂直于x轴时，114sinsinPAFQBF+=.（1）求抛物线方程；（2）若点H也在曲线C上，O为坐标原点，且OAOBtOH+=，8HAH

B−，求实数t的取值范围.【答案】（1）24yx=；（2）20,3.【解析】【分析】（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|＝|BF|＝p．如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF1p=，同理可得sin∠QBF1p=．即可解出p．（Ⅱ）设直线

AB的方程为x﹣1＝my，A2114yy，，B2224yy，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HAHB−|＜8，8BA＜，可得()(2212121[)4myyyy++−＜

8，m2＜1．由OAOB+=tOH，t≠0．利用向量坐标运算可得22121214yyOHyyt+=+，，把点H的坐标代入抛物线方程即可得出．【详解】解：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|＝|BF|＝p．如图所示，

由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF1p=，同理可得sin∠QBF1p=．∵11sinPAFsinQBF+=4，∴2p＝4，解得p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为x﹣1＝my，A2114yy，，B2224yy，．联立2

14xmyyx−==，化为y2﹣4my﹣4＝0，∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．∵|HAHB−|＜8，∴8BA＜，∴()(()()222212121[)411616myyyymm++−=++＜8，化为1+m2＜2，即m2＜1．∵222121212()2yy

yyyy+=+−=16m2+8．OAOB+=tOH，t≠0．∴222121214244yymmOHyyttt++=+=，，．∵点H也在曲线C上，∴()22244216mmtt+=．化为t22221mm=+

，t≠0．∵0≤m2＜1．∴t∈203，．∴t的取值范围是：203，．考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把

直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题.21.已知函数()()2xfxexaxb=+

+在点()()0,0f处的切线方程为640xy++=.（Ⅰ）求函数()fx的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()fxkxkR=有三个实根，求实数k的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()224xfxxex=−−，增区间：(),6−−，()6,+；减区间：()6,

6−；（Ⅱ）()2222,5,0eee−−−【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()fx，然后由(0)6f=−，(0)4f=−可求得,ab，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xexxkx−−=，由0x=不是方程的根，可变形为224xxxkex−−=，令()42xexgxx

=−−，利用导数研究()gx的单调性，求出极值后可得结论．【详解】（Ⅰ）()()22'xexxaxaxbf=++++，由切线方程可得：()()'062044fabafbb=+=−=−

==−=−，∴()()224xfxxex=−−，()fx增区间：(),6−−，()6,+；减区间：()6,6−.（Ⅱ）()224xexxkx−−=，∵0x=不是方程的根，∴224xxxkex−−=，令()42xexgxx=−−

，()()()()212'2xxxxxexg−+−=，∴()gx在(),2−−递减，()2,0−递增，()0,1递增，()2,+递增.且()0gx=的根为15x=.()222ge−=−，()15ge=−

，()222ge=−，()gx的大致图象如图，∴k的取值范围为()2222,5,0eee−−−.【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参

数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.极坐标

与参数方程已知曲线1C：36xcosysin==（为参数），2C：22xtcosytsin=+=（t为参数）．（1）将1C、2C的方程化为普通方程；（2）若2C与1C交于M、N，与x轴交于P，求PMPN的最小值及相应的值．【答案】（1）x2+12y

2=1,202xsinycos−−=（2）124，2kkZ=+，【解析】【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1，即可将曲线1C化为普通方程；消去参数t，即可得出2C的普通方程.（2）C2与x轴交于P202，

，把C2的参数方程代入曲线1C化为普通方程，整理等关于t的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t1t2，进而求出最小值.【详解】解：（1）由曲线C1：36xcosysin==（θ为参数），利用sin2θ+

cos2θ=226()3yx+=1，化为x2+12y2=1．由C2：22xtcosytsin=+=（t为参数），消去参数t可得：202xsinycos−−=．（2）C2与x轴交于P202

，，把C2：22xtcosytsin=+=（t为参数）．代入曲线C1可得：（2+22sin2α）t2+22tcos﹣1=0．∴|PM|•|PN|=﹣t1t2=21222sin+≥124，∴|PM|•|PN|的最小值124，此时2kkZ=+，．【点睛】本题

考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.23.设函数()212fxxx=−++．（1）求不等式()4fx的解集；（2）若不等式()2fxm−的解集是非空的集合，求实数m的取值范围．【答案】（1）4(,0]

[,)3−+；（2）(,1)(5,)−−+【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（Ⅰ）()3,(2){4,(21)3,(1)xxfxxxxx−−=−+−，令44x

−+=或34x=，得0x=，43x=，所以，不等式()4fx的解集是4{|0}3xxx或．（Ⅱ）()fx在(,1]−上递减，[1,)+递增，所以，，由于不等式()2fxm−的解集是非空的集合，所以23m−，解之，1m−或5m，即实数m的取值范围是(,1)(5,)−−

+．