【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练29 平面向量的基本定理及坐标表示.docx，共(9)页，111.658 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十九平面向量的基本定理及坐标表示(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知向量

a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m=()A.-32B.23C.-12D.32【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),若a∥b,则有2×m=1×(-3),解得m=-32.2.(5分)(多

选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=

(3,4)【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.B选项,因为21≠-12,所以e1,e2不平行,可以作为基底.C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.D选项,因为23≠14,则e1,e2不平行,可以作为基底.3.(5分)如图,在直

角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()A.65B.85C.2D.83【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设A

B=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2),𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,1),𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2),因为𝐶

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以{-2𝜆+𝜇=-2,𝜆+2𝜇=2,解得{𝜆=65,𝜇=25,则λ+μ=85.4.(5分)在△ABC中

,𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=0,则()A.𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B.𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+76𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选D.因为𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以M是位于B

C上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如图所示:所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-14𝐵𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-14(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.5.(5分)(多选题)如果e1,e2是平面α内两个不共线

的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1

+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ≠0且μ≠0【解析】选BCD.根据平面向量基本定理可知A正确,不符合题意;根据平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的,故B选项错误,符合

题意;当两向量的系数均为0时,这样的λ有无数个,故C选项错误,符合题意;若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ和μ可以有1个等于零,故D选项错误,符合题意.6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

,点M满足𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,N是BC的中点.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b,则下列等式正确的是()A.𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a-bB.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13a+bC.𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-89a+bD.𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23a+13b

【解析】选BC.对于A,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,A错误;对于B,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13a+b,B正确;对于C,𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+19𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-89a+b,C正确;对于D,由B知:𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12(a+13a+b)=23a+12b,D错误.7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,则向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的坐标是__________.【解析】由点C是线

段AB上一点,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即{2-𝑥=-2,3-𝑦=-4,解得{

𝑥=4,𝑦=7,所以向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的坐标是(4,7).答案:(4,7)8.(5分)已知O为坐标原点,𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,若P1(1,2),P2(2,-1),则与𝑂𝑃⃗

⃗⃗⃗⃗共线的单位向量为__________.【解析】由𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=0,𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(

2,-1)-(1,2)=(3,-4),|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√32+(-4)2=5,与𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗同向的单位向量为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=(35,-45),反向的单位向量为(-35,45).答案:(35,-45)和(-35,45)9.(10分)(

2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用a,b表示𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若P

为△ABC内部一点,且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.【解析】(1)依题意,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐵𝑀⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=12(b-a)+2𝑎3=12b+16a.(2)由𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗=13a+b-12(b-a)=56a+12b,又𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=512a+14b,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗,12+12=1,故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.【加练备选】(多选题)(2023·重庆模拟)如图,

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,线段BD与CE交于点F,记𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,则()A.𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12a-13bB.𝐷𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗=-12a+23bC.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=35a+215bD.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=25a+15b【解析】选AD.𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12a-13b,故A正确.设𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=xa+

yb,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(x-12)a+yb,𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-12a+b,因为𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑥-12-12=�

�1,同理𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=xa+(y-13)b,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a-13b,𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑥1=𝑦-13-13,联立解得x=25,y=15,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=25a+15b,D正确.【能力提升练】10.(5分)已知AD,

BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=b,则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13a+23bB.23a+13bC.23a+43bD.43a+23b【解析】选C.因为

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b+𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,可得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b+12𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b+12(a+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),整理得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23a+43b.11.(5分)已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为()A.23B.-23C.32D.-32【解析】选B.设P(x,y),则由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得(

x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-23.12.(5分)(2023·黄冈模拟)在△ABC中,点M在线段BC上,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=23𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ=()A.14B.13C.23D.1【解析】选C.因为点M在线段BC上,所以存在实数t,使得𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=t(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),即𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+t𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(1-𝑡)3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑡3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,又

𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以{𝜆=2(1-𝑡)3𝜇=2𝑡3,所以λ+μ=23.13.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,BE交AD于点F,设𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R),则λ+μ=__________;𝐴𝐹𝐴𝐷=__________.【解题指南】根据向量共线定理表示出𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,从而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,𝐴𝐹𝐴𝐷.【解析】设AF=mAD,BF=nBE,根据向量共线定理,得𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗

⃗+(1-n)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+(1-n)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,又因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗),所以𝑛3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+(1-n)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),得{𝑛3=𝑚21-𝑛=𝑚2,解得{𝑚=12𝑛=34,代入𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=n𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=n(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=34(13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得λ=-34,μ=14,则有λ+μ=-12,𝐴𝐹𝐴𝐷=12.答案:-121214.(10分)(2023·信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗=2e1+e2,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-e1+λe2,𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条

件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.【解析】(1)𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐸𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以{1+2𝑘=0𝑘-1-𝜆=0,解得k=-12,λ=-32.(2)�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,设A(x,y),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(3-x,5-y),因为𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-7,-2),所以{3-𝑥=-75-𝑦=-2,解得{𝑥=10𝑦=7,即点A的坐标为(10,7).15.(10分)如图所示,在△ABC中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.(1)试用向量a,b表示𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若AE交BD于点

O,求𝐴𝑂𝑂𝐸及𝐵𝑂𝑂𝐷的值.【解题指南】(1)根据平面向量的线性运算法则,求解即可;(2)由A,O,E三点共线,得到𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆3a+2𝜆3b,由B,O,D三点共线,得到𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=(1-μ)a+𝜇3b,列出方程

𝜆3a+2𝜆3b=(1-μ)a+𝜇3b,得出方程组,即可求解.【解析】(1)由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,可得𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13b-a;𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13a+23b.(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数λ,使得𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ(13a+23b)=𝜆3a+2𝜆3b,因为B,O,D三点共线,所以存在实数μ,使得𝐵𝑂⃗⃗

⃗⃗⃗=μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,可得𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a+μ(-a+13b)=(1-μ)a+𝜇3b,所以𝜆3a+2𝜆

3b=(1-μ)a+𝜇3b,因为a,b不共线,则{𝜆3=1-𝜇2𝜆3=𝜇3,解得{𝜆=37𝜇=67,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=67𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑂𝑂𝐸=34,𝐵𝑂𝑂𝐷=6.【素养创新练】16.(5分)若{

α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.

【解析】因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以{-𝑥+𝑦=2,𝑥+2𝑦=4,即{𝑥=0,𝑦=2,所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).答案:(0,2)17.(5分)已知A,B,C为圆O(O

为坐标原点)上不同的三点,且∠AOB=2π3,若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R),则当w=(√3+1)λ+μ取最大值时,𝜆𝜇=__________.【解

析】设圆O的半径为1,以O为原点,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则A(-12,√32),B(1,0),设C(cosθ,sinθ),0≤θ<2π,因为𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝑂𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗(λ,μ∈R),所以{cos𝜃=-12𝜆+𝜇sin𝜃=√32𝜆,所以λ=2√3sinθ,μ=cosθ+12λ=cosθ+sin𝜃√3,所以w=(√3+1)λ+μ=2(√3+1)√3sinθ+cosθ+sin𝜃

√3=(√3+2)sinθ+cosθ=√(√3+2)2+1sin(θ+φ),其中tanφ=1√3+2,当且仅当θ+φ=π2+2kπ,k∈Z时,w=(√3+1)λ+μ取得最大值,此时tanθ=tan(π2-φ)=1tan𝜑=√3+2,则𝜆𝜇=

2√3sin𝜃cos𝜃+sin𝜃√3=2sin𝜃sin𝜃+√3cos𝜃=2tan𝜃tan𝜃+√3=2√3+42√3+2=√3+2√3+1=(√3+2)(√3-1)(√3+1)(√3-1)=√3+12.答案:√3+12