【文档说明】河北省正定中学（实验中学）2020届高三下学期第三次阶段质量检测数学（理）试题【精准解析】.doc，共(26)页，3.547 MB，由小赞的店铺上传

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正定中学（实验中学）2020届高三下学期第三次阶段质量检测理数试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2230,ln()AxxxBxyx=+−==−，则AB=（）A.[3,0]−B.[3,1]−C.[3,0)−

D.[1,0)−【答案】C【解析】【分析】解出集合,AB中的范围,再求交集即可.【详解】由2230xx+−有(1)(3)0xx−+,即31x−,又ln()x−中0x−即0x.故AB=[3,0)−故选C【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础

题型.2.已知复数32(1)izi=−，则z在复平面内对应点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z进行化简，从而得到z，再得到z在复平面内对应点所在的

象限.【详解】()322(1)21iiziii==−−−()()111iii+=−+−1122i=−−，则1122zi=−+，z在复平面内对应点为11,22−，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3.短道速滑队组织6名队员（

包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若pq是真命题，()qr是真命题，则选拔赛的结果为（）A.甲得第一名、乙得第三名、丙

得第二名B.甲没得第一名、乙没得第二名、丙得第三名C.甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名D.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名【答案】C【解析】【分析】根据()qr是真命题知q假r真，结合pq是真命题可知p为真命题，由此可得出结论

.【详解】由()qr是真命题，则q假r真，又因为pq是真命题，所以p为真命题，所以命题p为真命题，r为真命题，q为假命题，即甲得第一名，丙得第三名，乙没有得第二名．故选：C．【点睛】本题考查利用复合命题的真假判断简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.4.已知tan3=，则2co

ssin2+=（）A.7210B.710C.7210−D.710−【答案】B【解析】【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin,cos的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】22222cos2sincos12tan7cossin2cossin1tan10

+++===++.故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.5.已知定义域为I的偶函数()fx在(0,)+上单调递增，且0xI，0()0fx，则下列函数中符合上述

条件的是（）A.2()||fxxx=+B.()22xxfx−=−C.2()log||fxx=D.43()fxx−=【答案】C【解析】由题意，函数2()||fxxx=+的图象关于y轴对称，但在1(0,)2单调递减，在1(,)2+单调递

增，不满足题意；函数()22xxfx−=−的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；函数43431()0fxxx−==，即函数的值域为[0,)+，不满足题意，故选C．6.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步

不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C.此人第三天走的路程占全程的18D.此人后三天共走了42里路【答案】C【解析】由题意可

知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．7.已知函数()()()2sin0,0,fxaxa

=+，直线ya=与()fx的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，下列正确的是（）A.该函数在2,4上的值域是,2aaB.在2,4上，当且仅当3x=时函数取最大值C.该函数的最小正周期可以是83D.()fx的图象可能过原点

【答案】C【解析】【分析】取1a=−可判断A选项的正误；利用函数()yfx=的图象关于直线3x=对称可判断B选项的正误；求出该函数周期的最小值，可判断C选项的正误；令()00f=求得的值，结合题意可判断D选项的正误.【详解】当1a=−时，

区间,2aa无意义，A选项错误；当函数()yfx=的图象关于直线3x=对称时，当2,4x时，该函数在3x=处取得可能取最大值，也可能取最小值，B选项错误；设该函数的最小正周期为T，则422T−=，所以，该函数的最小正周期可以是83，C选项正确；由()02sin0fa==

，得sin0=，解得()0=，令()()2sin2fxax==，由题意可得()()2sin222sin42==，所以()()()()2sin2sin42sin2cos22===，则()1cos22=，

此时()()22sin2cos21+，D选项错误.故选：C．【点睛】本题考查三角函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的值域、周期、最值以及奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.8.已知向量,,abc满足1a=,3b=,32ab=−,,30acbc−−=，则cv的最大值等于（）A

.27B.7C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由150AOB=，30ACB=,即点,,,AOBC四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】解：OA=a，OBb=，OCc=，设由1a=，3b=，32ab=−，所以3cos2AOB=−，所以150AOB=，又,30acbc−−

=，则30ACB=即点,,,AOBC四点共圆，要使cr最大，即OC为圆的直径，在AOB中，由余弦定理可得2AB=2OA+22cosOBOAOBAOB−=7,即AB=7,又由正弦定理可得：227sinABRAOB==，即cr最大值为27，故选

A.【点睛】本题考查了向量模的运算及正弦定理、余弦定理，属难度较大的题型.9.已知双曲线22214xyb−=()0b的左右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线交双曲线右支于A、B两点，若1ABF是等腰三角形，且120A=．则1ABF的周长为（）A.16383+B.()421−C.438

3+D.()232−【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在x轴上，则2,24aa==；设2||AFm=，由双曲线的定义可知：12||||

24AFAFam=+=+，由题意可得：1222||||||||||AFABAFBFmBF==+=+，据此可得：2||4BF=，又，∴12||2||8BFaBF=+=，1ABF由正弦定理有:11||||sin120

sin30BFAF=,即11||3||BFAF=所以83(4)m=+，解得：83123m−=，所以1ABF的周长为：11||||||AFBFAB++=83121632(4)8162833m−++=+=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应

用，考查转化思想以及计算能力．10.数列na满足1aZ，123nnaan++=+，且其前n项和为nS.若13mSa=，则正整数m=（）A.99B.103C.107D.198【答案】B【解析】【分析】根据递

推公式，构造新数列1nan−−为等比数列，求出数列{}na通项，再并项求和，将13S用1a表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由123nnaan++=+得()()1111nnanan+−+−=−−−，∴1nan−−为等比数列，∴

()()11112nnana−−−=−−，∴()()11121nnaan−=−−++，()()11121mmaam−=−−++，∴()()131231213Saaaaa=+++++()112241236102aa=+++++=+，①m为奇

数时，1121102ama−++=+，103m=.②m为偶数时，()1121102ama−−++=+，1299ma=+，∵1aZ，1299ma=+只能为奇数，∴m为偶数时，无解.综上所述，103m=.故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理

应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.11.已知()3,0A，若点P是抛物线28yx=上任意一点，点Q是圆22(2)1xy−+=上任意一点，则2||PAPQ的最小值为()A.3B.434−C.22D.4【答案】B【解析】【分析】设(),Pxy，利用

三角形知识得到22||||1PAPAPQPF+，转化成22||293PAxxPQx+++，令()33xtt+=，将2293xxx+++转化成124ytt=+−，问题得解．【详解】设(),Pxy，由抛物线28yx=方程可得：抛物线的焦点坐标为()2

,0F，由抛物线定义得：2PFx=+又1PQPFQFPF+=+所以2||PAPQ()22238||29133xxPAxxPFxx−+++==+++，当且仅当,,PQF三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令()33xtt+=，2293xxx+++可化为：(

)()232391212424434ttyttttt−+−+==+−−=−，当且仅当23t=，即：233x=−时，等号成立．故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题

．12.下列四个命题：①ln55ln2；②lne；③11211；④3ln242e，其中真命题的个数是（）（e为自然对数的底数）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据所要比较大小的式子可以构造

函数ln()xfxx=，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数ln()xfxx=，21ln()xfxx−=，当(0,)xe时，()0fx，当(,)xe+时，()0fx，所以函数在(0,)xe时单调递增，在(,)xe+时单调递减，而25e，所以ln2ln525，化简得5

ln2ln5故①错误，而ee，所以lnlnee，即2ln2lnee，化简可得lne故②正确，因为114e，所以ln2ln4ln112411=，化简可得11211，故③正确，因为当xe=时取最大值1e，若④成立，可得

3ln2142e，即ln223ln212242e=，显然不成立，故错误，综上可知选B.【点睛】本题主要考查了利用函数的增减性比较大小，涉及构造函数，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13.()()5212xx−

+展开式中，含2x项的系数为__________.【答案】70【解析】【分析】()512x+展开式的通项公式为：152kkkkTCx+=,结合题意，令2k=，此时项数为240x，令1k=，此时项数为10x，据此即可确定2x项的系数.【详解】()512x

+展开式的通项公式为：155(2)2kkkkkkTCxCx+==,令2k=，此时项数为：2222552240kkkCCxxx==，令1k=，此时项数为：115122510Cxxx==，综上可得：含2x的项为222224010801070xxxxx

x==−−，含2x项的系数为70.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第

二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．14.函数()lnfxx=和()2gxaxx=−的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这

条切线方程为______.【答案】1yx=−【解析】【分析】先根据导数几何意义列方程组，消a得2ln10tt+−=，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.【详解】()1,fxx=()21gxax=−，设切点的横坐标为t，则根据题意可得2ln121tattatt

=−=−，得1ln2tt−=，2ln10tt+−=，设()2ln1gttt=+−，则()gt单调递增，又()10g=，所以方程2ln10tt+−=有唯一解1t=，所以切点为()1,0，切线斜率1k=

，切线方程为1yx=−.故答案为：1yx=−【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求方程的解，考查综合分析求解能力，属中档题.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M是AD中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），使四面体1ABMP体积为23，则1CP的最小值是_

__________．【答案】2305【解析】【分析】由已知可得P到BM的距离，再利用勾股定理知要使1CP取得最小值，则需CP取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解.【详解】由已知得四面体1ABMP体积1122,33AMBPMBPVS−==所以1,M

BPS=设P到BM的距离为h，则151,2MBPSh==解得25,5h=所以P在底面ABCD内（不包括边界）与BM平行且距离为255的线段l上，要使1CP的最小，则此时P是过C作BM的垂线的垂足.点C到BM的距离为45,5所以25,5CP=此

时()221min252302.55CP=+=故答案为2305.【点睛】本题考查立体几何的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题.16.已知()()3144fxxx=−−+，数列na为等差数列，公差0d，nS为数列na前n项和，若满足()()(

)201820192020fafafa==，则d=_____；4038S=_____.【答案】(1).2(2).8076【解析】【分析】令20191t=−，由()()()201820192020fafafa=

=可得出()()()()()()333344440tttdtdtdtdtdtdd−=+−+−−−=+−+，求出d和t的值，可求得2019a、2020a的值，利用等差数列的求和公式可求得4038S的值.【详解】()()()3141fxxx=−−−，由()()()201820192

020fafafa==，得()()()201920192019fadfafad−==+，设20191ta=−，则()()()()()()333344440tttdtdtdtdtdtdd−=+−+−−−=+−+，化简得2222334340tdt

dtdd++=+=，解得20dt==.201910a−=，则20191a=，202020193aad=+=，因此，()()1403820192020403840384038807622aaaaS++===.故答案为：2；8076.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算

，同时也考查了等差数列求和，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个考生都必须回答．第22~23题为选考题

，考生根据要求作答．17.△ABC的内角A，B，C所对边分别为,,abc，已知△ABC面积为1(sinsinsin)2caAbBcC+−.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.【答案】（1）3C=（2）

3【解析】【分析】（1）根据()11sinsinsinsin22ABCSabCcaAbBcC==+−，由正弦定理化角为边，得222abcab+−=，再根据余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，222abcab+−=又2c=，结合基本不等式可求得4ab．

由中点公式的向量式得()12CDCACB=+，再利用数量积的运算，即可求出CD的最大值．【详解】（1）依题意得，()11sinsinsinsin22abCcaAbBcC=+−，由正弦定理得，()222abccabc=+−，即222abcab+−=，由余弦定理得，2221cos222ab

cabCabab+−===，又因为()0,C，所以3C=.（2）∵222abcab+−=，2c=，∴22424ababab=+−−，即4ab．∵D为AB中点，所以()12CDCACB=+，∴()222124CDCACB

CACB=++()()22114244baabab=++=+()14834+=当且仅当2ab==时，等号成立.所以CD的最大值为3．【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学

运算能力，属于中档题．18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，D是AB的中点，BCAC=，222ABDC==，14AA=.（Ⅰ）求证：1//BC平面1ACD；（Ⅱ）求平面11BCCB与平面1ACD所成锐二面

角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析,（Ⅱ）23【解析】【分析】（Ⅰ）连结1AC交1AC于点E，连结DE，可知1//DEBC，根据线面平行的判定定理，证明即可.（Ⅱ）法一:由BCAC=，222ABDC==，可知2ACBC

==，即ACBC⊥，根据1AA⊥平面ABC，可知1CC⊥平面ABC，即1CCAC⊥，1CCBC⊥，以C为原点，BC，1CC，CA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求各点坐标，计算平面11BCCB

的法向量为()0,0,1m=，平面1ACD的法向量为()2,1,2n=−，根据cosmnmn=，求解即可.法二：延长1AD、1BB交于Q，连接QC，过D作DHBC⊥于H，过H作HJQC⊥于J，连接DJ，则DH⊥平面11BCCB，DHCQ⊥，

又HJDHH=，所以CQ⊥平面DHJ，DJH=为平面11BCCB与平面1ACD所成锐二面角的平面角.由BCAC=，222ABDC==，14AA=，计算25HJ=，2223155DJ=+=，利用cosHJDJ=，求解，即可.【详解】（Ⅰ）证明：连结1AC交1AC于点E，

连结DE.则E为1AC中点，DE为1ABC中位线.所以1//DEBC.又DE平面1ACD，1BC平面1ACD.所以1//BC平面1ACD.（Ⅱ）法一：因为BCAC=，D是AB的中点，所以ABDC⊥.又

因为222ABDC==，所以2ACBC==，则222ACBCAB+=即ACBC⊥，所以90ACB=.又因为1AA⊥平面ABC，所以建立如图所示空间直角坐标系Cxyz−，则()0,0,0C，()1,0,1D−，()10,4,2A，()1,0,1CD

=−，()10,4,2CA=.平面11BCCB的法向量为()0,0,1m=.设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=，则由nCD⊥，1nCA⊥，得10420nCDxznCAyz=−+==+=令1

y=−，则2xz==，()2,1,2n=−.所以平面1ACD与平面11BCCB所成的锐二面角的余弦值为22cos31414mnmn===++.法二：延长1AD、1BB交于Q，连接QC，过D作DHBC⊥于H，过H作HJQC⊥于J，连接DJ，则DH⊥平面11BCCB，DHCQ⊥，又HJDH

H=，所以CQ⊥平面DHJ，DJH=为平面11BCCB与平面1ACD所成锐二面角的平面角.RtBDC中，BDDC=，所以高DH为中线，1DH=，1BHHC==，∵11BDAB，∴11112QBBDQBAB==，∴14QBBB==，RtCBQ中，224225QC=+=，4sin25HJBQ

BCQCHCQ===，∴25HJ=RtDHJ中，2223155DJ=+=，2cos3HJDJ==，所以平面11BCCB与平面1ACD所成锐二面角的平面角的余弦值为23.【点睛】本题考查线面平行，以及求二面角的余弦值，解决本题可以空间向量法也可以用几何法，属于较难的题.19.已知

椭圆()2222:10xyCabab+=的半焦距为c，圆222:Oxyc+=与椭圆C有且仅有两个公共点，直线2y=与椭圆C只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过椭圆C的左焦

点F，且与椭圆C分别交于,PQ两点，试问：x轴上是否存在定点R，使得RPRQ为定值?若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184xy+=（2）在x轴上存在点5,02R−，使得·RPRQ为定

值74−【解析】【分析】（1）根据已知求出,ab即得椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，设(),0Rm，利用韦达定理和向量的数量积求出52m=−，此时RPRQ为定值74−；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=−，求出此时点

R也满足前面的结论，即得解.【详解】(1)依题意，得2cb==，则222448abc=+=+=，故椭圆的标准方程为22184xy+=.()2①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，代人椭圆C的方程，可得()22222

18880kkxxk+++−=设()11,Pxy，()22,Qxy，则2122821kxxk−+=+，21228821kxxk−=+设(),0Rm，则()()1122,,RPRQxmyxmy=−−()()1212xmxmyy=−

−+=()()()122112224xmxkxxxmx+−−+++()()22222228288421211kkkmkmkkk−−++=+−++()2222284821mmkmk+++−=+若()2222284821mmkmk+++−+为定值，则22812842mmm−=++

，解得52m=−此时()222228487214mmkmk+++−=−+R点的坐标为5,02−②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=−，代人22184xy+=，得22xy=−=不妨设()()2,2,2,2

PQ−−−，若5,02R−，则11,2,,222RPRQ==−74RPRQ=−综上所述，在x轴上存在点5,02R−，使得RPRQ为定值74−【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.20.已知函数1()()ln(0)2fxxaxxa=−+.（1）若'()fx是()fx的导函数，讨论()'()lngxfxxax=−−的单调性；（2）若1(,2)2aee（e是自然对数的底数），求证：()0fx.【答案】（1）①当01a时，()gx在(0,

)+上是增函数；②当1a时，()gx在(0,)1aa−上是增函数；在(,)1aa+−上是减函数．（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出()'fx，得()gx，然后求出导函数'()gx，分两种情况讨论a的范围，在定义域内

，分别令()g'0x求得x的范围，可得函数g()x增区间，g()'0x求得x的范围，可得函数g()x的减区间；（2）因为()3'ln2afxxx=−+，令()3ln2ahxxx=−+，再次求导可证明()hx在区间,22aa上有唯一零点0x，在区间()00,x上，(

)'fx是减函数，在区间()0,x+上，()'fx是增函数，故当0xx=时，()fx取得最小值()()00001ln2fxxaxx=−+，只需证明()00fx即可.【详解】（1）因为()3'ln2afxxx=−+，所以()()31ln2agxaxxx=−−−

+，()21'1aagxxx−=+−()()1(0)xxaxx−+=−，①当01a时，()0gx，()gx在()0,+上是增函数；②当1a时，由()0gx得01axa−，所以()gx在0,1

aa−上是增函数；在,1aa+−上是减函数；（2）因为()3'ln2afxxx=−+，令()3ln2ahxxx=−+，则()21'ahxxx=+，因为1,22aee

，所以()21'0ahxxx=+，即()hx在()0,+是增函数，下面证明()hx在区间,22aa上有唯一零点0x，因为1ln222aah=−，()2ln21haa=+，又因为1,22aee，所以21l

n0222aeh−=，()12ln2102hae+=，由零点存在定理可知，()hx在区间,22aa上有唯一零点0x，在区间()00,x上，()()'0hxfx=，()'fx是减函数，在区间()0,x+

上，()()'0hxfx=，()'fx是增函数，故当0xx=时，()fx取得最小值()()00001ln2fxxaxx=−+，因为()0003ln02ahxxx=−+=，所以003ln2axx=−，所以()()00

003122afxxaxx=−−+()000122axaxx=−−，因为0,22axa，所以()0fx，所以1,22aee，()0fx.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命

题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先

行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.21.冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染

了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（nN）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.

方式二：混合检验，将其中k（kN且2k）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k

份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k+.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（01p）.现取其中k（kN且2k）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总

次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.（1）若()()12EE=，试求p关于k的函数关系式()pfk=；（2）若p与干扰素计量nx相关，其中12,,,nxxx（2n）是不同的正实数，满足11x

=且nN（2n）都有1222113221121nnniiixxxexxxx−−=+−=−成立.（i）求证：数列nx等比数列；（ii）当3411px=−时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值【答案】（1）()11

1kfkk=−，（kN，且2k）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.【解析】【分析】（1）由题设可知()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，求()2E，再根据()()12E

E=,求()pfk=；（2）（ⅰ）当2n=时，12222213221221xxxexxxx−−=−，∴1231xex=，令12310xqex==，则1q，利用数学归纳法证明13nnxe−=；（ⅱ）由（ⅰ）可知3341111pxe=−=−，由()()12EE可知1ln3kk，

再设函数()1ln3fxxx=−（0x），利用函数的单调性求k的最大值.【详解】（1）解：由已知，1k=，()11P=，得()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，∴()()211kPp==−，()()2111kPkp=+

=−−.∴()()()()()2111111kkkEpkpkkp=−++−−=+−−.若()()12EE=，则()11kkkkp=+−−，()11kpk−=，∴111kpk−=，∴111kpk=−.

∴p关于k的函数关系式为()111kfkk=−，（kN，且2k）.（2）（i）∵证明：当2n=时，12222213221221xxxexxxx−−=−，∴1231xex=，令12310xqex==，则1q，∵11x=，∴下面证明对任意的正整

数n，13nnxe−=.①当1n=，2时，显然成立；②假设对任意的nk=时，13kkxe−=，下面证明1nk=+时，31kkxe+=；由题意，得12221113221121kkkiiixxxexxxx−++=+−=−，∴1221312122311

3111111kkkkkkxexxxxxxxxxe−++−+−++++=−，∴11233122131212333111111kkkkkeexexeexe−−−−++−−+−−+=−−，()2123121312233

1111kkkkkxexexee−−+−++−−+=−−，∴()212233331110kkkkkexeex−−−−++++−−=，233311110kkkkexex−−+++−+=.∴31kkxe+=或2331kkxe−+=−（负值舍

去）.∴31kkxe+=成立.∴由①②可知，nx为等比数列，13nnxe−=.（ii）解：由（i）知，3341111pxe=−=−，()()12EE，∴()11kkkkp+−−，得()3111kkpke−=，∴1ln3kk.设()1ln3fxxx=−（0

x），()33xfxx−=，∴当3x时，()0fx¢<，即()fx在)3,+上单调减.又ln41.3863，41.33333，∴4ln43；ln51.6094，51.66673.∴5ln53.∴k的最大值为4.【点睛】本题考查概率，函数，数列，数学归纳法证明的综

合问题，本题对学生的能力要求较高，属于难题，重点考查学生分析问题和解决问题的能力.（二）选考题．请考生在第22、23题中任选一一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是24

4cos3sin=+，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为cossinxy==（θ为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（

2）将曲线C2经过伸缩变换222xxyy==后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.【答案】（1）C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0，C2的普通方程为x2＋y2＝1；（2）242415−【解析】【分析】（1）由极坐

标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C1的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3C3的参数方程为22cos(2sinxy==为参数），设N（22cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，求得d

有最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是244cos3sin=+，即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由cos,sinxy==，所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝

0.因为曲线C2的参数方程为cossinxy==（θ为参数），所以x2＋y2＝1，故C2的普通方程为x2＋y2＝1.（2）将曲线C2经过伸缩变换222xxyy==后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为

22cos(2sinxy==为参数）.设N（22cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离22422cos32sin24241sin()24543d+−+−==+24241sin()5−+=（其

中满足42tan3=）当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值242415−，所以|MN|的最小值为242415−.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记极

坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.[选修4--5：不等式选讲]23.已知函数()()20fxxxtt=−+−的最小值为2（1）求不等式()8fxxt

+−的解集;（2）若22252352abct++=,求23acbc+的最大值.【答案】（1）263xxx或（2）5【解析】【分析】（1）根据函数()()20fxxxtt=−+−的最小值为2，利用绝对值不等式的性质求解出

t的值，对函数()yfxxt=+−进行去绝对值，分段求解不等式；（2）将22223510abc++=进行整理成()()222223=10acbc+++，然后采用基本不等式，便可得到结果。【详解】解：（1）()()2222xxtxxtt−+−−−−=−=，且0t4(0)tt=

=舍去，()103,22246,24310,4xxfxxtxxxxxx−+−=−+−=−−1当2x时，令1038x−，得22,33xx；2当24x时，令68x−

，得2x−≤，无解；3当4x时，令3108x−，得6,6xx。综上，不等式的解集为263xxx或（2）22223510abc++=()()2222222102352346abcacbcacbc=++=++++235acbc+，当

且仅当1abc===时等号成立23acbc+的最大值为5。【点睛】本题考查了分段函数、绝对值不等式、基本不等式等知识，分段函数的图像应分段逐步作出，作图时应注意端点的取舍，熟练运用绝对值不等式是解决本题的关键，利用基本不等式时，要注意等号成立的条件。