【文档说明】八年级数学专题1.1 三角形的证明章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）.doc，共(43)页，593.500 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题1.1三角形的证明章末重难点题型【北师大版】【考点1等腰三角形的性质】【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三

线合一”）。【例1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【分析】由题意可知其为锐角

等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【答案】解：当为锐角时，如图：2∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，当为钝角时，如图：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性

质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．【变式1-1】（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2【分析】根据等腰三角形的性质

和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．【答案】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，3∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：A．【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．【变式1-2】（2018秋•邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成

两个小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形【答案】解：①中作∠B的角平分线即可；③过A点作BC的垂线即可；④中以A为顶点AB为一

边在三角形内部作一个72度的角即可；只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选：B．【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键．【变式1-3】（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上

取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）4A．175°B．170°C．10°D．5°【分析】先

根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．【答案】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA

1A＝＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；A同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴∠An＝，以点A4为顶点的底角为∠A5．∵∠A5＝＝5°，故选：D．【点

睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．【考点2等腰三角形的判定】【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：等腰三

角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。【

例2】（2019春•深圳期中）如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形．5【分析】根据已知条件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边BC的中点，为此连接A

G，由等腰三角形的轴对称性质，得出结果【答案】解：连接AG，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB．又∵G为BC中点，∴AG⊥BC．∴AG⊥DE且平分DE，∴DG＝GE．∴△DGE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰

三角形的判定与性质和平行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所学结论，灵活选用解法．【变式2-1】（2018秋•双阳区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形．6

【分析】依据角平分线即可得到∠EBD＝∠DBC，依据平行线的性质即可得到∠EDB＝∠DBC，进而得出∠EBD＝∠EDB，由此可得△BED是等腰三角形．【答案】证明∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC．∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC．∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，

∴△BED是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【变式2-2】（2018秋•鸠江区期中）已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△

ABC是等腰三角形．【分析】要证明三角形是等腰三角形，只需证明∠ABC＝∠ACB即可，只要∠5＝∠6，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得．【答案】证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE＝OF（角平分线上的点到角

两边的距离相等）．∵∠1＝∠2，∴OB＝OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．7∴∠5＝∠6．∴∠1+∠5＝∠2+∠6．即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的

判定及性质；作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键．【变式2-3】（2019秋•望谟县期中）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由OB＝OC，即可求得

∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形．【答案】证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵

∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，8∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与

判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．【考点3“三线合一”性质的应用】【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。【例3】（2019秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为

EF的中点，求证：AG⊥EF．【分析】只要证明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；【答案】证明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE又∵∠AFE＝∠DFB＝

90°﹣∠CBE∴∠AFE＝∠AEF，∴△AFE为等腰三角形又∵G为EF的中点∴AG⊥EF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2019秋•青山区期中）在△ABC中，BC边上的高A

G平分∠BAC．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．9【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C即可解决问题．（2）如图2中，作AG⊥BC于G．利用等腰三角形

的三线合一的性质证明BD＝CE即可解决问题．【答案】（1）证明：如图1中，∵AG为∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠CAG，∵AG为BC边上高∴∠AGB＝∠AGC＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）如图2中，作AG⊥BC于G．∵A

B＝AC，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵AD＝AE，AG⊥BC，∴DG＝EG，∴BG﹣DG＝CG﹣EG，∴BD＝CE，∵BC＝10cm，DE＝6cm，∴BD＝2cm．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10【变式3-2】（2019•衡阳校级期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．【分析】欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E，根据等边三角形

的性质及角的等量关系可证明∠DBE＝∠E＝30°．【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠A

CB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴BD＝DE．【点睛】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形

边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．【变式3-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；（2

）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．11【分析】（1）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN；（2）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN．【答案】解：（1）连接AD

，∵D为BC中点，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠

ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°在△AMD和△CND中，12，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对

应边相等的性质，本题中求证△AMD≌△CND是解题的关键．【考点4等边三角形的判定与性质】【方法点拨】等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于60°。等边三角形的判

定：（1）三边相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。【例4】（2018秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等

边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝9

0°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°

角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．13【答案】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN

＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝

BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．【变式4-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，在等

边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．14（2）证明BD

＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．【答案】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分

∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．【点睛】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、等

边三角形的性质来分析、判断、解答．【变式4-2】（2019秋•寿光市期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△D

BC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．【分析】（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；15（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形DBC

全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD＝∠EBC＝60°，利用平角的定义得到∠MBE＝∠NBC＝60°，再由EB＝CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB

＝NB，再由∠MBE＝60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．【答案】解：（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴

∠ABE＝∠DBC＝120°，在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB＝∠DCB，又∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠MBE＝∠

NBC＝60°，在△MBE和△NBC中，∵，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM＝BN，∠MBE＝60°，则△BMN为等边三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟

练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．【变式4-3】（2019秋•中江县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的

速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到16达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形A

MN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等

边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示

出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【答案】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵

三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合

，恰好在C处，17如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△

ABN，∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N

在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．【考点5直角三角形全等的判定】【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角

边”或“HL”）【例5】（2018秋•思明区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求证：△ABD≌△BAC；【分析】根据AD⊥BD，AC⊥CB，可得∠ADB＝∠BCA＝90°，而AB＝BA，BD＝AC，利用HL可证Rt△ADB≌Rt△BCA．【答案】证明

：∵AD⊥BD，AC⊥CB，18∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在Rt△ADB和Rt△BCA中，AB＝BA，BD＝AC，∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是证明Rt△ADB≌Rt△BCA．【变式5-1】（201

9秋•睢宁县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？并证明你的

结论．【分析】由条件可知∠C＝∠MAN＝90°，且AB＝MN，故要使△ABC和△AMN全等则有AM与CA对应或AM和BC对应，从而可确定出M的位置．【答案】解：当点C和点M重合或AM＝2时两个三角形全等，证明如下：∵P

A⊥AC，∴∠BCA＝∠MAN＝90°，当点C、点M重合时，则有AM＝AC，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），当AM＝BC＝2时，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），综上可知当点C和点M重合或AM＝2时两

个三角形全等．19【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．【变式5-2】（2019秋•合浦县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB

＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝

∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．【变式5-3】（2019春•醴陵市期末）如图，在四边形ABC

D中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：△ABE≌△ADF．【分析】首先由角平分线的性质定理得到：AE＝AF，再由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF即可．【答案】证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线

于点F，∴AE＝AF．在Rt△ABE与Rt△ADF中，，20∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与角平分线的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能

判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【考点6直角三角形性质的综合应用】【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的

一半。（2）30°角所对直角边为斜边一半。且两直角边成3倍关系。【例6】（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB

．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠

ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，21∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝

30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-1】（2019春•新密市期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AC边

上的一点，过点E作DE∥AB交BC于点D，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）点E满足E是AC的中点时，点D是线段BF的三等分点；并计算此时△CEF的面积．【分析

】（1）依据△ABC是等边三角形，即可得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠F＝30°，依据∠ACB是△CEF的外角，即可得到∠CEF＝60°﹣30°＝30°，进而得出∠CEF＝∠F，即可得到△CEF是等腰三角形；（2）过E作EP

⊥BC于P，求得△CDE是等边三角形，即可得到当点E是AC的中点时，AE＝EC＝CD＝DB＝CF＝2，再根据△CEP中，∠EPC＝90°，∠ECP＝60°，即可得到S△CEF＝CF×EP＝×2×＝．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠

B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，22∴∠F＝30°，∵∠ACB是△CEF的外角，∴∠CEF＝60°﹣30°＝30°，∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；（2）E是AC

的中点，如图，过E作EP⊥BC于P，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∴△CDE是等边三角形，当点E是AC的中点时，AE＝EC＝CD＝DB＝CF＝2，在△CEP中，∠EPC＝90°，∠ECP＝60°∴∠PEC＝30°，∴CP＝CE＝1，PE＝，∴S△CEF＝CF×EP＝×2×＝．【点评

】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．【变式6-2】（2019•沙坪坝区校级三模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠

A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．23【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝

∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE

＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝

2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解

题的关键．【变式6-3】（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方24法，他做了辅助线．聪明的你知道他

做的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．【分析】①连接BM、CM，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝AC，DM＝AC，根据等腰三角形的三线合一得到答案；②根据线段垂直平分线的性质证明

即可．【解答】解：①连接BM、CM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N为BD的中点，∴MN⊥BD；②∵BM＝DM，∴M在BD的垂直平分线上，∵PB＝PD，∴P在BD的垂直平分线上，∴PM垂直平分B

D，∴MN⊥BD．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．25【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，

理清线段之间的数量关系．【考点7角平分线性质的应用】【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平

分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。【例7】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又

∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，26∵AB＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．【点睛】本题考查

了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长＝AB是解题的关键．【变式7-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4

，则AB的长为（）A．6B．8C．4D．10【分析】作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【答案】解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE

＝4，×AB×DE+×AC×DF＝28，即×AB×4+×6×4＝28，解得，AB＝8，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式7-2】（2018秋•思明区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE

⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）27A．3B．4C．5D．6【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【答案】解：过D作DG⊥

AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性

质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式7-3】（2018秋•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得

到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×4×7+×4×AC＝24，然后解一次方程即可．【答案】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB

+S△ADC＝S△ABC，28∴×4×7+×4×AC＝24，∴AC＝5，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．【

考点8线段垂直平分线性质的应用】【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。【例8】（2019春

•普宁市期中）如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（）A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝E

C，根据三角形的周长公式计算即可．【答案】解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段

的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式8-1】（2019春•南华县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（）29A．7B．8C．9D．10【分析】直接利用线

段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．【答案】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周长为：4+3＝7．故选：A

．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键．【变式8-2】（2018秋•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为

12，则线段AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△

BCE的周长为12，∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，∵△ABC的周长为19，∴AB+AC+BC＝19，∴AB＝19﹣12＝7，30故选：C．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距

离相等．【变式8-3】（2018春•雨城区校级期中）如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据

三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．【答案】解：∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∴PA＝PB，QA＝QC，

∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠PAQ＝180°﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝20°，故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【考点9等腰三角形与全等三

角形的综合】【例9】（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的长．【分析】（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD＝BD，即可求证△BD

F≌△ACD，即可解题；31（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．【答案】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝

45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC；（2）连接CF，∵△BDF≌△AD

C，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰直角三角形．∵CD＝3，CF＝CD＝3，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．∴AF＝CF，∴AF＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等

三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．【变式9-1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．32（1）求证：CD

＝BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△C

BF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．【答案】（1）证明：∵AC

∥BF，且∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°，又AC＝BC，∴∠DBA＝45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，∴∠BDE＝∠BFE＝45°，∴BD＝BF，又D为BC中点，∴CD＝BD，∴CD＝BF；（

2）证明：由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，在△ACD和△CBF中33∴△ACD≌△CFB（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠CDA＝90°，∴∠BCF+∠CDA＝90°，∴

∠CGD＝90°，∴AD⊥CF；（3）解：由（2）可知△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（1）可知AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF为等腰三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的

判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．【变式9-2】（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F

．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：△AEF≌△CEB．【分析】（1）求出∠ACE＝45°，证明∠EAC＝∠ACE，即可解答；（2）利用同角的余角相等，证明∠BAD＝∠BCE，利用ASA证明即可解答．34【答案】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠

BAC＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE．（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠BCE＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，在△AEF和△CEB中

，∴△AEF≌△CEB．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记全等三角形的判定方法．【变式9-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点

F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．

【答案】解：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，35，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD；（2）连接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段B

C的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．【考点10与三角形有关的动点问题】【例10】（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC

＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．36【分析】

（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF；（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM＝DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时

，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．【答案】解：（1）∵EF∥AB．∴∠FEC＝∠A＝30°．∠EFC＝∠B＝30°∴EC＝CF．又∵AC＝BC∴AE＝BFD是AB中点．∴DB＝AD∴△ADE≌△BDF．∴DE＝DF（2

）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，又∵∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，∴∠ADM＝∠BDN＝60°，∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．∵AC＝BC、A

D＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN．37由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．二

、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，∴∠EDM＝∠FDN，又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE＝DF．三、当M落在A、E之间时，N就一定

落在C、F之间．此时：∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，∴∠EDM＝∠FDN，又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE＝DF．

综上一、二、三所述，得：DE＝DF．【点睛】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度．【变式10-1】（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个

动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是

三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°38①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．【分析】（1）根据题意推出△AED和△ABC为

等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推

出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．【答案】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA＝∠C＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∵在△EFB

中，∠EFB＝∠EBA＝60°，∴△EFB为等边三角形，（2）①△BEF为等腰三角形，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC

，∴∠EBA＝∠C，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC，39∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，

连接BE．∵△BEF为等腰三角形，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA＝∠ACD，∴∠EBF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠ABC，∵∠ABC＝∠

ACB，∴∠AFE＝∠ACB，∵在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，∴△EFB为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．【变式10-2】（20

18秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的40右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β

．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出

即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【答案】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△

CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝25°，∴∠DCE＝25°，故答案为：25°；41（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：∵∠DAE＝∠B

AC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；

（3）解：当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式10-3】（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△

ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝

5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．42【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝

CE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ＝2PN，CM⊥AD，根

据全等三角形对应边上的高线相等可得CN＝CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．【答案】解：（1）AD＝BE．理

由如下：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD

≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，∵CP＝CQ，∴PQ＝2PN，∵△ABC是等边三角形，AM是中线，43∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），∵CP＝CQ＝5，∴PN＝＝＝3，∴PQ＝2PN＝

2×3＝6；（3）PQ的长为定值6．∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，∴对应边AD、BE上的高线对应相等，∴CN＝CM＝4是定值，∴PQ的长是定值．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三

角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．