【文档说明】宁夏中卫市海原县第一中学2021届高考数学二模试卷（理科） 含解析.doc，共(20)页，1.090 MB，由小赞的店铺上传

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2021年宁夏中卫市海原一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合，，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}2

．复数z1＝2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣3+4iD．3﹣4i3．图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1

，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6B．10C．91D．924．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近

似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．4B．C．2D．5．已知，下列向量中，与反向的单位向量是（）A．B．C．D．6．已知锐角α满足3cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝2x﹣2，则函数y＝|f（x）|的

图象可能是（）A．B．C．D．8．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍薨的表面积为（）A．B．40C．D．9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两

个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3B．C．5D．10．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会

是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）A．36种B．54种C．58种D．72种11．已知数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是等差数列B．数列{an}是递增数列C．a1，a5，a9成等差数列D．S6﹣S3，S9﹣S6，

S12﹣S9成等差数列12．已知函数（a＞0，且a≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数y＝|f（x）|﹣x﹣2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分。13．函数f（x）＝1+lnx的图像在处的切线方程为．14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsi

nC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．16．下列说法正确的是．①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②过空间中任意三点有且仅有一个平面；③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α

，则m⊥l．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a

1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2+4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Sn．18．某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平

价收费，超出a的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方

图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布N（μ，σ2）（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于μ～240度之间的概率；（ⅱ）利用（

ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于μ～240度之间的户数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，并且∠ADC＝，A

D∥BC，PA⊥底面ABCD．已知AD＝CD＝2，四边形ABCD的面积为6．（1）证明：直线AC⊥平面PAB；（2）点E为棱PB的中点，当直线PB与平面ABCD所成的角为时，求直线PD与AE所成角的余弦值．20．顺次连接椭圆C：＝1（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形

．（1）求椭圆C的方程；（2）设M（﹣3，0），过椭圆C右焦点F的直线l交C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．21．设函数f（x）＝ex+ae﹣x，a∈

R．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并求极值；（Ⅱ）若a＝﹣1，且对所有x≥0都f（x）≥mx成立，求实数m的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选

修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4sinθ＝0．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），

直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝2x+1．（1）解关于x的不等式g（x）≥|x﹣1|；（2）如

果对∀x∈R，不等式|g（x）|﹣c≥|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣

2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}解：因为x∈Z且，所以0＜x+2≤6，解得﹣2＜x≤4，所以x的取值为﹣1，0，1，2，3，4，故集合A＝{﹣1，0，1，2，3，4}，因为＝{x|2﹣2≤2﹣x≤22}＝{x|﹣2≤x≤2}，由集合交集

的定义可知，A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．复数z1＝2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣3+4iD．3﹣4i解：由题意可知z2＝﹣2+i，所以z1z2＝（2+

i）（﹣2+i）＝﹣4﹣1＝﹣5．故选：A．3．图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6B．10C．91D．92解：程序框图的意思是：

输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，从茎叶图中不难发现一共有10，∴n＝10．故选：B．4．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非

常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．4B．C．2D．解：由题意，2sin18°＝m＝，∴m2＝4sin218°，则＝＝＝．故选：C．5．已知，下列向量中，与反向的单位向量是（）A．B．C．D．

解：根据题意，设要求向量为，且＝λ，（λ＜0），则＝λ＝（﹣λ，λ），（λ＜0），为单位向量，则（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得：λ＝±，又由λ＜0，则λ＝﹣，故＝（，﹣）；故选：B．6．已知锐角α满足3cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（）A．B．C．D．解：∵3cos2α＝1+sin2α

，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα+sinα）2，∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα+sinα）2，∵α为锐角，可得cosα+sinα＞0，∴3（cosα﹣sinα）＝cosα+sinα，可得cosα

＝2sinα，即tanα＝，∴cosα＝＝＝．故选：A．7．已知函数f（x）＝2x﹣2，则函数y＝|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．解：先做出y＝2x的图象，在向下平移两个单位，得到y＝f（x）的图象，再将

x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y＝|f（x）|的图象．故选：B．8．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该

刍薨的表面积为（）A．B．40C．D．解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：＝，几何体的表面积为，2×＝16+12．故选：D．9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点

到y轴的距离为（）A．3B．C．5D．解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．10．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊

5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）A．36种B．54种C．58种D．72种解：由题意可知＝54，故选：B．11

．已知数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是等差数列B．数列{an}是递增数列C．a1，a5，a9成等差数列D．S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列解：由，∴n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+3﹣[（n﹣1）2+

（n﹣1）+3]＝n+．n＝1时，a1＝S1＝．n＝1时，an＝n+，不成立．∴数列{an}不是等差数列．a2＜a1，因此数列{an}不是单调递增数列．2a5﹣a1﹣a9＝2×﹣﹣＝﹣≠0，因此a1，a5，a9不成等差数列．S6﹣S3＝×（4+5+6）+×3＝．S9﹣S

6＝×（7+8+9）+×3＝．S12﹣S9＝×（10+11+12）+×3＝．∵﹣﹣＝0，∴S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列．故选：D．12．已知函数（a＞0，且a≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数y＝|f（x）|﹣x﹣2有两个不同的零点，则实数a的取值

范围是（）A．B．C．D．解：由题意，当x≤1时，f（x）＝|1+loga|x﹣2||与函数y＝x+2恒有一个交点，f（x）的最大值的端点坐标为（1，1）．函数y＝|f（x）|﹣x﹣2有两个不同的零点，即函数y＝x+2与f（x）＝（x﹣1）2+5a且有一个交点；当x＝1时，函

数y＝x+2的函数值为3，即坐标为（1，3），若5a＞3，即直线与抛物线相切，则x+2＝（x﹣1）2+5a只有一个解，即△＝0，9﹣4（5a﹣1）＝0，可得a＝，若5a≤3，要使函数y＝x+2与f（x）＝（x﹣1）2+5a且有一个交点，则5a≥1，∴，综上可得实

数a的取值范围是．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数f（x）＝1+lnx的图像在处的切线方程为y＝ex﹣1．解：f（x）＝1+lnx的导数为f′（x）＝，可得在处的切线的斜率为k＝e，由f（）＝1+ln＝0，则切线的方程为y

﹣0＝e（x﹣），即为y＝ex﹣1．故答案为：y＝ex﹣1．14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为．解：取双曲线的右焦点F（c，0），取双曲线的渐近线y＝x，即bx﹣ay＝0，依题意得，

即b＝a，∴该双曲线的离心率e＝＝＝，故答案为：．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+c

sinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意

），舍去．故：．故答案为：．16．下列说法正确的是①④．①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②过空间中任意三点有且仅有一个平面；③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面

α，则m⊥l．解：对于①，如图，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故①正确；对于②，过空间中不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，故②错误；对于③，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故③错误；对于④，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥1，故④正确．∴正确

的是①④．故答案为：①④．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，

b2＝a2，b3＝a2+4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Sn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q＞0．由题意，得，解得：

，故an＝2+2（n﹣1）＝2n，．（2）∵，∴①，∴②，①﹣②得：＝，∴．18．某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电

量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值

；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布N（μ，σ2）（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于μ～240度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于μ～240度之间的户数为ξ，求ξ的

分布列及数学期望E（ξ）．解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，得x＝0.0075，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴μ＝170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+2

90×0.05＝225.6．…………………（2）（ⅰ）P（225.6＜X＜240）＝[1﹣2P（X＞240）]＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）∵ξ～B（3，），∴P（Y＝i）＝，i＝0，1，2，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴ξ的分布列为：ξ0123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴E（ξ）＝

3×＝．…………………………19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，并且∠ADC＝，AD∥BC，PA⊥底面ABCD．已知AD＝CD＝2，四边形ABCD的面积为6．（1）证明：直线AC⊥平面PAB；（2）点E为棱PB的中点，当直线PB与平面ABCD所成的角为时，

求直线PD与AE所成角的余弦值．【解答】（1）证明：根据题意，S梯形＝＝6，解得BC＝4过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝MC＝MB＝2，并且AC＝AB＝，因此BC2＝16＝AC2+AB2，所以AC⊥AB．又PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥PA

．又PA∩AB＝A所以，AC⊥平面PAB．（2）解：由PA⊥底面ABCD，则AD为PD在平面ABCD内的投影，从而∠PDA即为直线PD与平面ABCD所成的角，因此∠PDA＝，从而tan∠PDA＝＝，所以PA＝2．根据（1），以点A为坐标

原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D（﹣，，0），B（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），所以＝（，0，），＝（，﹣，2），因此cos

，＝＝＝，所以直线PD与AE所成角的余弦值为．20．顺次连接椭圆C：＝1（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）设M（﹣3，0），过椭圆C右焦点F的直线l交C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l

，不等式≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．解：（1）有题意可得解得：a＝，b＝1，∴椭圆的标准方程：+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则⋅＝（x1+3，y1）•（x2+3，y2）＝（x1+3）（x2+3）+y1y2，当直线l

垂直于x轴时，x1＝x2＝﹣1，y1＝﹣y2，且y12＝，此时，＝（4，y1），＝（4，y2），∴⋅⋅＝，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k（x﹣1），由消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴⋅＝x1x2+3（x1+x2）+9+

k2（x1﹣1）（x2﹣1），＝（1+k2）x1x2+（k2+3）（x1+x2）+9﹣k2，＝（1+k2）•+（k2+3）•+9﹣k2＝＝（31﹣）＜，要使≤λ（λ∈R）恒成立，只需λ≥（⋅）max＝，∴λ的最小值为21．设函数f（

x）＝ex+ae﹣x，a∈R．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并求极值；（Ⅱ）若a＝﹣1，且对所有x≥0都f（x）≥mx成立，求实数m的取值范围．解：（I）f′（x）＝ex﹣ae﹣x，当a≤0时，f′（x）＞0，函

数f（x）在R上单调递增．当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝ln，在x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．在x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴x＝ln时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln）＝2．（II）令F（x）＝f（x）﹣mx＝ex﹣

e﹣x﹣mx，F（0）＝0．x≥0．F′（x）＝ex+e﹣x﹣m，F′（0）＝2﹣m．令H（x）＝ex+e﹣x﹣m．H′（x）＝ex﹣e﹣x≥0．∴函数H（x）在（0，+∞）上单调递增．∴F′（x）在[0，+∞）上单调递增．若m≤2，F′（x）≥

2﹣m≥0，得F（x）在[0，+∞）上单调递增，有F（x）≥F（0）＝0，符合题意．若m＞2，令F′（x）＜0，解得0≤x≤ln．∴F（x）在（0，ln）上单调递减，有F（x）＜F（0）＝0，不符合题意，舍去．∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．选考题：共10分。请考生

在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4sinθ＝0．（1）求l的普通方程和

C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为φ，整理得y＝tanφ（x﹣4）．曲线C的极坐标方程为ρ+4sinθ＝0，整理得ρ2+4ρsinθ＝0，根据，转换为直角坐标方程为x

2+y2+4y＝0，整理得x2+（y+2）2＝4．（2）把直线的参数方程（t为参数），代入x2+y2+4y＝0，得到t2+（8cosθ+4sinθ）t+16＝0，（t1和t2为M、N对应的参数），所以t

1t2＝16，所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝2x+1．（1）解关于x的不等式g（x）≥|x﹣1|；（2）如果对∀x∈R，不等式|g（x）|﹣c≥|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．解：（1

）由函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝2x+1，则﹣y＝2（﹣x）+1，所以y＝2x﹣1；所以g（x）＝2x﹣1，所以不等式g（x）≥|x﹣1|化为2x﹣1≥|x﹣1|，①当x≥1时，不等式化

为2x﹣1≥x﹣1，解得x≥0，所以x≥1；②当x＜1时，不等式化为2x﹣1≥1﹣x，解得x≥，所以≤x＜1；综上所述，不等式的解集为[，+∞）；（2）对∀x∈R，不等式|g（x）|﹣c≥|x﹣1|恒成立，即|2x﹣1|﹣c≥|x﹣1|，所以c≤|2x﹣1|﹣|x﹣1|，

令h（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣1|，则h（x）＝，所以h（x）的最小值为h（）＝﹣，则实数c的取值范围是c≤﹣．