【文档说明】江苏省无锡市天一中学2020届高三第一次模拟考试数学试题【精准解析】.doc，共(26)页，2.210 MB，由小赞的店铺上传

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2020届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡

交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答题目必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.

参考公式：1.样本数据1x，2x，…，nx的方差()2211niisxxn==−，其中11niixxn==；2.圆锥的体积13VSh=，其中S是圆锥的底面圆面积，h是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填

写在答题卡相应位置上.1.已知集合02Axx=，11Bxx=−，则AB=_________.【答案】()0,1【解析】【分析】根据交集的定义即可写出答案．【详解】02Axx=，11Bxx=−，(

0,1)AB=故填()0,1【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题．2.复数2(1izii=+为虚数单位）的虚部为__________．【答案】1【解析】试题分析：，即虚部为1，故填：1.考点：复数的代数运算3.函数2()lo

g2fxx=−的定义域是．【答案】[4,)+【解析】解：因为2log204xx−，故定义域为[4,)+4.在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为______

__.【答案】35【解析】【分析】先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：

1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：63105=.故答案为：35.【点睛】本题

考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.5.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221xyab−=（0a，0b）的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】34yx=?【解析】【分析】利用222514cbaa=+=，

解出ba，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】222514cbaa=+=，且0a，0b，34ba=，该双曲线的渐近线方程为：34yx=?.故答案为：34yx=?.【点睛】本

题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.6.某种圆柱形的如罐的容积为128个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.【答案】12【解析】【分析】设圆柱的高为h，底面半径

为r，根据容积为128个立方单位可得2128rh=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值．【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r.∵该圆柱形的如罐的容积为128个立方单位∴2

128rh=，即2128hr=.∴该圆柱形的表面积为222212825622222Srrhrrrrr=+=+=+.令()22562grrr=+，则()22564grrr=−.令()0gr，得4r；令()0gr，得04r.∴()gr在()0,4上单调递

减，在()4,+上单调递增.∴当4r=时，()gr取得最小值，即材料最省，此时12rh=.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题．7.在平面直角坐

标系xOy中，双曲线2213xy−=的右准线与渐近线的交点在抛物线22ypx=上，则实数p的值为________.【答案】14【解析】【分析】求出双曲线2213xy−=的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数p的方程

.【详解】双曲线2213xy−=的半焦距为2，则双曲线2213xy−=的右准线方程为32x=，渐近线方程为33yx=，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为33,22.由题意得233222p=，解得14p=.故答案为：14.【点睛】本题

考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.8.已知是第二象限角，且5sin5=，()tan2+=−，则tan=____.【答案】34−【解析】【

分析】由是第二象限角，且5sin5=，可得tan，由()tan2+=−及两角和的正切公式可得tan的值.【详解】解：由是第二象限角，且5sin5=，可得25cos5=−，1tan2=−，由()tan2+=−，可得t

antan21tantan+=−−，代入1tan2=−，可得3tan4=−，故答案为：34−.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.9.已知等差数列na的前n项和为Sn，若366,8

SS==−，则9S=____.【答案】42−【解析】【分析】由3S，63SS−，96SS−成等差数列，代入366,8SS==−可得9S的值.【详解】解：由等差数列的性质可得：3S，63SS−，96SS−成等差数列，可得：633962()SSSSS−=+−，代入366,

8SS==−，可得：942S=−，故答案为：42−.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.10.在平面直角坐标系xOy中，己知直线1:2ly=与函数()()sin06fxx=+的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为1A，2A，…，若点1A的横坐

标为1，则点2A的横坐标为________.【答案】3【解析】【分析】当1x=时，1()sin()62fx=+=得266k+=+，或52()66kkZ+=+，依题意可得566+=，可求得，继而可得答案．【详解】因为点1A的横坐标为1，即当1x

=时，1()sin()62fx=+=，所以266k+=+或52()66kkZ+=+，又直线1:2ly=与函数()sin()(0)6fxx=+的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为1A，2A，所以566+=，故23

=，所以函数的关系式为2()sin()36fxx=+．当23x=时，f（3）21sin(3)362=+=，即点2A的横坐标为3，(13,2)为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及

思维能力，属于中档题．11.设P为有公共焦点12,FF的椭圆1C与双曲线2C的一个交点，且12PFPF⊥，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，若213ee=，则1e=______________.【答案】53【解析】设122

FAF=根据椭圆的几何性质可得221211tanSPFFbb==11cea=,22221112111,1cabaccee==−=−根据双曲线的几何性质可得，222122tanbSPFFb==22cea=,222cae=2222

222211bcace=−=−2222121111ccee−=−即12,12212115233eeeee+===，故答案为5312.如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，ADDC=，2DEEB=，AE的延

长线交BC边于点F，若45AFBC=−，则AEAC=____.【答案】229【解析】【分析】过点D做DGAF,可得16EFAF=，15BFBC=，4155AFABAC=+由45AFBC=−可得2cos3BAC=，可得541()655AEACABACAC=+uu

uruuuruuuruuuruuur，代入可得答案.【详解】解：如图，过点D做DGAF,易得：13EFBEDGBD==,13EFDG=,12DGCDAFAC==,故12DGAF=,可得：16EFAF=，同理：12BFBEFGED==,11FGAD

GCCD==,可得15BFBC=,1141()5555AFABBFABBCABACABABAC=+=+=+−=+,由45AFBC=−，可得22411424()()555555ABACACABACABABAC+−=−+=−,可得：14244422cos5555BA

C−+=−,可得：2cos3BAC=，255412122122()2246655353369AEACAFACABACACABACAC==+=+=+=,故答案为：229.【点睛】本

题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DGAF是解题的关键.13.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x=对称，当(0,1x时，()axfxe=−（其中e是自然对数的底数，若()2020ln28f−=，则实数a的值为_____.【答案】

3【解析】【分析】先推导出函数()yfx=的周期为4，可得出()()()2020ln2ln2ln28fff−=−=−=，代值计算，即可求出实数a的值.【详解】由于函数()yfx=是定义在R上的奇函数，则()()fxfx−=−，又

该函数的图象关于直线1x=对称，则()()11fxfx−=+，所以，()()()()211fxfxfxfx+=−+=−=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以，函数()yfx=是周期为4的周期函数，所以()()()()

ln2ln22020ln2ln2ln228aaafffee−=−=−====，解得3a=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期

，考查推理能力与计算能力，属于中等题.14.已知函数(),248,25xexxefxxxx=−，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程()()22320fxafxa−+=恰有5个相异的实根，则实数a的

取值范围为________.【答案】241,52e【解析】【分析】作出()fx图象，求出方程的根，分类讨论()fx的正负，数形结合即可.【详解】当2x„时，令()10xefxe=−=

，解得1x=，所以当1x„时，()0fx，则()fx单调递增，当12x剟时，()0fx，则()fx单调递减，当2x时，4848()555xfxxx−==−单调递减，且()[0fx，4)5作出函数()fx的图象如图：（1）当0a=

时，方程整理得2()0fx=，只有2个根，不满足条件；（2）若0a，则当()0fx时，方程整理得22()3()2[()2][()]0fxafxafxafxa++=++=，则()20fxa=−，()0fxa=−，此时各有1解，故当()0fx时，方程整理得22()3()2[(

)2][()]0fxafxafxafxa−+=−−=，()2fxa=有1解同时()fxa=有2解，即需21a=，12a=，因为f（2）22212eee==，故此时满足题意；或()2fxa=有2解同时()fxa=有1解，则需0a=，由（1）可知不成立；或()2fxa=有3

解同时()fxa=有0解，根据图象不存在此种情况，或()2fxa=有0解同时()fxa=有3解，则21245aae„，解得245ae„，故2[ae，4)5（3）若0a，显然当()0f

x时，()2fxa=和()fxa=均无解，当()0fx时，()2fxa=−和()fxa=−无解，不符合题意．综上：a的范围是2[e，4)51{}2故答案为：2[e，4)51{}2【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研

究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱

111ABCABC−中，已知ABC为正三角形，D，E分别是AC，1CC的中点，平面11AACC⊥平面ABC，11AEAC⊥.（1）求证：//DE平面11ABC；（2）求证：1AE⊥平面BDE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据D，

E分别是AC，1CC的中点，即可证明1//DEAC，从而可证//DE平面11ABC；（2）先根据ABC为正三角形，且D是AC的中点，证出BDAC⊥，再根据平面11AACC⊥平面ABC，得到BD⊥平面11AACC，从而得到1BDAE⊥，结合11AEAC⊥，即可得证．【详解】（1）∵D，E分别

是AC，1CC的中点∴1//DEAC∵DE平面11ABC，1AC平面11ABC∴//DE平面11ABC.（2）∵ABC为正三角形，且D是AC的中点∴BDAC⊥∵平面11AACC⊥平面ABC，且平面11AACC平面ABCAC=，BD平面ABC∴BD⊥平面11AACC∵1AE平面11

AACC∴1BDAE⊥∵11AEAC⊥且1//DEAC∴1AEDE⊥∵DE，BD平面BDE，且DEBDD=∴1AE⊥平面BDE.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．16

.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且5cos5A=.（1）若5a=，25c=，求b的值；（2）若4B=，求tan2C的值.【答案】（1）5b=；（2）3tan24C=−.【解析】【分析】（1）利用余弦定理得出关于b的二次方程，结合0b，可求出b的值；（2）利用两角和的余弦

公式以及诱导公式可求出()coscosCAB=−+的值，利用同角三角函数的基本关系求出tanC的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan2C的值.【详解】（1）在ABC中，由余弦定理2222cosbcbcAa+−=得，2520

225255bb+−=，即2450bb−−=，解得5b=或1b=−（舍），所以5b=；（2）由5cos5A=及0A得，22525sin1cos1()55AA=−=−=，所以210coscos(())cos()(cossin)4210CABAAA=−+=−+=

−−=，又因为0C，所以2210310sin1cos1()1010CC=−=−=，从而310sin10tan3cos1010CCC===，所以222tan233tan21tan134CCC==

=−−−.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.17.自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国

各地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任

务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元.求每天派出A型卡

车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？【答案】每天派出A型卡车8辆，派出B型卡车0辆，运输队所花成本最低【解析】【分析】设每天派出A型卡车x辆，则派出B型卡车y辆，由题意列出约束条件，作出可行域，

求出使目标函数取最小值的整数解，即可得解.【详解】设每天派出A型卡车x辆，则派出B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，由题意可知，86101661210720,xyxyxyxyN++，整理得8610453

0,xyxyxyxyN++，目标函数240378zxy=+，如图所示，为不等式组表示的可行域，由图可知，当直线240378zxy=+经过点A时，z最小，解方程组45300xyy+==，解得7.50xy=

=，()7.5,0A，然而,xyN，故点()7.5,0A不是最优解.因此在可行域的整点中，点()8,0使得z取最小值，即min240837801920z=+=，故每天派出A型卡车8辆，派出B型卡车0辆，运输队所花成本最低.【点睛】本题考查

了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意整点的选取，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221(0)xyabab+=的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的

一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：ykxm=+与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且6ONOM2=，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且OAOB=，当4556时，求△OAB的面积S的范围

．【答案】（1）2212xy+=；（2）①173OB=；②1022[,]65.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离

，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以2ac=，又由右准线方程为2x=，得到22ac=，解得2,1ac==，所以2221ba

c=−=所以，椭圆C的方程为2212xy+=（2）①设()11,Bxy，而()0,1A，则111,22xyM+，∵62ONOM=，∴()11616,44yxN+因为点,BN都在椭圆

上，所以()22112211123131168xyyx+=++=，将下式两边同时乘以83再减去上式，解得113y=，21169x=所以2221116117933OBxy=+=+=②由原点O到直线l的距离为1，得211mk=+，化简得：221km+=联立直线l的方程

与椭圆C的方程：2212ykxmxy=++=，得()222124220kxkmxm+++−=设()()1122,,,AxyBxy，则2121222422,1212kmmxxxxkk−+=−=++，且2

80k=()()()()221212121212121OAOBxxyyxxkxmkxmkxxkmxxm=+=+++=++++()222222222222222222242222421121212m

kmmkmkkmmkmkmkkk−−+−−++=+−+=+++2222232211212mkkkk−−+===++，所以2121k−=−OAB的面积()2221212121111114222SABkxxkxxxx==+−=++−()()()()22222222

118122121212kkkkkk+=+==−++，因为()21S=−在45,56为单调减函数，并且当45=时，225S=，当56=时，106S=，所以OAB的面积S的范围为1022,65

．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函

数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.设函数

()22lnfxxax=+，（Ra）.（1）若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为2yxm=+，求实数a、m的值；（2）若()()2122fxfx−+对任意)2,x+恒成立，求实

数a的取值范围；（3）关于x的方程()2cos5fxx+=能否有三个不同的实根？证明你的结论.【答案】（1）2a=−，0m=；（2）4,2ln2ln3−−；（3）不能，证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx，结合导数的几何意义即可求

解；（2）构造()()()2122hxfxfx=−+−，则原题等价于()0hx对任意)2,x+恒成立，即)2,x+时，()min0hx，利用导数求()hx最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由()20h求出a的范

围，再研究该范围下()hx单调性；（3）构造()()2cos5gxfxx=+−并进行求导，研究()gx单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】（1）()22lnfxxax=+，()4afxxx=+，

曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为2yxm=+，()()1421221fafm=+===+，解得20am=−=.（2）记()()()2122hxfxfx=−+−，整理得()()2241ln21xhxxax=−−−，()()

()()2221422281212xxxahxxaxxxx−−−=−−−=−−由题知，()()2122fxfx−+对任意)2,x+恒成立，()0hx对任意)2,x+恒

成立，即)2,x+时，()min0hx，()20h，解得42ln2ln3a−，当42ln2ln3a−时，对任意)2,x+，10x−，)2211226,48xxx−=−−+，()66244ln43424602ln2ln3

2ln2ln3exxa−−−=−−，()0hx，即()hx在)2,+单调递增，此时()()min20hxh=，实数a的取值范围为4,2ln2ln3−−.（3）关于x的方程()2cos5fxx+

=不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记()()22cos52ln2cos5gxfxxxaxx=+−=++−，()0,+x，则关于x的方程()2cos5fxx+=有三个不同的实根，等价于函数()gx有三个零点，()42sinagxxxx=+−，当0a时，0ax，记(

)42sinuxxx=−，则()42cos0uxx=−，()ux在()0,+单调递增，()()00uxu=，即42sin0xx−，()42sin0agxxxx=+−，()gx在()

0,+单调递增，至多有一个零点；当0a时，记()42sinaxxxx=+−，则()242cos42cos0axxxx=−−−，()x在()0,+单调递增，即()gx在()0,+单调递

增，()gx至多有一个零点，则()gx至多有两个单调区间，()gx至多有两个零点.因此，()gx不可能有三个零点.关于x的方程()2cos5fxx+=不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数

研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.20.已知32(),,fxxaxbxabR=++（1）若1b=，且函数()fx在区间11,2−上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数()fx有两个极值点1

2,,xx，12,xx且存在0x满足10223xxx+=，令函数0()()()gxfxfx=−，试判断()gx零点的个数并证明．【答案】（1）734a−（2）函数()gx有两个零点1x和0x【解析】试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断0x

为一个零点，然后再求导，根据10223xxx+=，化简求得另一个零点．解析：（1）当=1b时，()23+21fxxax=+，因为函数()fx在11,2−上单调递增，所以当11,2x−时，()23+210fxxax=+

恒成立．[Z&X&X&K]函数()23+21fxxax=+的对称轴为3ax=−．①13a−−，即3a时，()10f−，即3210a−+，解之得32a，解集为空集；②1132a−−，即332a−时，03af−即23+

21093aaa−+，解之得33a−，所以332a−③132a−，即32a−时，102f即13104a++，解之得74a−，所以7342a−−综上所述，当734a−函数()fx在区间11,2−上单调

递增．（2）∵()fx有两个极值点12,xx，∴12,xx是方程()23+2=0fxxaxb=+的两个根，且函数()fx在区间()1,x−和()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减．∵(

)()gxfx=∴函数()gx也是在区间()1,x−和()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减∵()()()000=0gxfxfx=−，∴0x是函数()gx的一个零点．由题意知：()()()220gxfxfx=−∵10

223xxx+=，∴0221220xxxx−=−，∴02xx∴()()20fxfx，∴()()()2200gxfxfx=−又()()()110gxfxfx=−2225AA．∵12,xx是方程()23+2=0fxxaxb=+的两个根，∴2113+2

=0xaxb+，2223+2=0xaxb+,∴()()()110=0gxfxfx=−∵函数()gx图像连续，且在区间()1,x−上单调递增，在()12,xx上单调递减，在()2,x+上单调递增∴当()1,xx−时，()0gx，当()10,xxx时

()0gx，当()0,xx+时()0gx，∴函数()gx有两个零点1x和0x．数学II（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请

将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号.21.已知矩阵231At=的一个特征值为4，求矩阵A的

逆矩阵1A−.【答案】113441122A−−=−.【解析】【分析】根据特征多项式可得(4)(42)(41)30ft=−−−=，可得2t=，进而可得矩阵A的逆矩阵1A−.【详解】因为矩阵A的特征多项式()(2)(1)3ft=−−−，所以

(4)(42)(41)30ft=−−−=，所以2t=.因为2321A=，且212340−=−，所以11313444422114422A−−−−−==−−−−

.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1,232,2xtyt==+（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长

度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是42sin4=+.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长.【答案】（1）l：320xy−+=，C：()()22228xy−+−=；

（2）25【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）由（1）可得曲线C是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB的长.【详解】（1）由题意可得直线l：320xy−+=，由42sin4=+，得24cos4

sin=+，即2244xyxy+=+，所以曲线C：()()22228xy−+−=.（2）由（1）知，圆()2,2C，半径22r=.∴圆心到直线l的距离为：232232d−+==.∴22228325ABrd=−=−=【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长

的求法、运算求解能力，是中档题．23.已知()123,,0,xxx+，且满足1231233xxxxxx++=，证明：1223313xxxxxx++.【答案】证明见解析【解析】【分析】将1231233xxxxxx++=化简可得23311

21113xxxxxx++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,xxx+，1231233xxxxxx++=，所以2331121113xxxxxx++=，又122331()xxxxxx++2233112111(111)9xxxxxx++++=，所以1

223313xxxxxx++，当且仅当1231xxx===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：22ypx=（0p）的

焦点F在直线10xy+−=上，平行于x轴的两条直线1l，2l分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：APEF.【答案】（1）24y

x=；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点在直线10xy+−=上，可求得p的值，从而求得抛物线的方程；（2）法一：设直线1l，2l的方程分别为ya=和yb=且0a，0b≠，ab¹，可得A，B，D，E的坐标，进而可得直线AB的方程，根据F在直线A

B上，可得4ab=−，再分别求得APk，EFk，即可得证；法二：设()11,Axy，()22,Bxy，则121,2yyP+−，根据直线AB的斜率不为0，设出直线AB的方程为1xmy−=，联立直线AB和抛物线C的方程，结合韦达定理，分别求出APk，EFk，化简APEFkk

−，即可得证.【详解】（1）抛物线C的焦点F坐标为,02p，且该点在直线10xy+−=上，所以102p−=，解得2p=，故所求抛物线C的方程为24yx=（2）法一：由点F在线段AB上，可设直线1l，2l的方程分别为ya=和yb=且0a，0b≠，ab¹，则

2,4aAa，2,4bBb，()1,Da−，()1,Eb−.∴直线AB的方程为222444baayaxba−−=−−，即()40xabyab−++=.又点()1,0F在线段AB上，∴4ab

=−.∵P是DE的中点，∴1,2abP+−∴224224142APabaaakaaa++−===++，4222EFAPbakka−====−−.由于AP，EF不重合，所以//APEF法二：设()11,Axy，()22,Bxy，则1

21,2yyP+−当直线AB的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB的方程为1xmy−=联立直线AB和抛物线C的方程214xmyyx−==，得2440ymy−−=又1y，2y为该方程两根，所以124yym+=，124yy=−，()(

)112121112121APyyyyykxx−+−==++，22EFyk=−.()()()()()211121122112111114144021111APEFyyyyyyyyxyyxkkxxxx−++−+++−=====+

+++，EFAPkk=由于AP，EF不重合，所以//APEF【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25.在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学

习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.【答案】（1）28种；（2）分布见解析，75.【解析】【分析】（1）分这名女

教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；（2）X的可能取值为0123，，，，再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11221141242228CCCCCC+=

种.（2）X的可能取值为0，1，2，3.224222541(0)10CCPXCC===，11221141242222547(1)15CCCCCCPXCC+===，111122412242225411(2)30CC

CCCCPXCC+===，124222541(3)15CCPXCC===.故X的概率分布为：X0123P1107151130115所以7()5Ex=.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.