【文档说明】湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期四模数学试题 Word版含答案.docx，共(10)页，952.853 KB，由小赞的店铺上传

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2024届高三第四次适应性测试数学试题命题人：严拥军孙海涛颜俊波审题人：闫小东万小刚时间：2024.5.24一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合28xAx=N

，2780Bxxx=−−，则AB的真子集有（）A.3个B.4个C.7个D.8个2.已知命题p：“tan2=”，命题q：“3cos25=−”，则命题p是命题q的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.将函数()()πsin03fxx=+

的图象向右平移π6个单位长度后与函数()()cosgxx=的图象重合，则的最小值为（）A.5B.7C.9D.114.已知函数()()log0,1afxxaa=与()gx的图象关于直线yx=对称，且()113g−

=，则函数()2log2ayxx=−的单调递减区间是（）A.(),1−B.()1,+C.(),0−D.()2,+5.已知O是ABC△所在平面内一点，且4AB=，4OAAC=−，4OCAC=，则ABC的最大值为（）A.π6B.π4C.π3D.

π26.若等差数列na的前n项和为nS，且满足450S，460S，对任意正整数n，都有nmaa，则m的值为（）A.21B.22C.23D.247.三棱锥PABC−中，PAPB=，4CP=，2BABC==，2π3AB

C=，则三棱锥PABC−体积的最大值为（）A.1B.2C.6D.128如图，在ABC△中，120BAC=，其内切圆与AC边相切于点D，且1AD=.延长BA至点E.使得BCBE=，连接CE.设以C，E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心

率为1e，以C，E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为2e，则12ee的取值范围是（）A.3,2+B.3,2+C.)1,+D.()1,+二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A=“3件产品都是次品”，事件B=“至少有1件是次品”，事件C=“至少有1件是正品”，则下列结论正

确的是（）A.A与C为对立事件B.B与C不是互斥事件C.ABA=D.()()1PBPC+=10.已知圆C：()2258xy−+=，抛物线：24yx=的焦点为F，P为抛物线上一点，则（）A.以点P，F为直径端点的圆与y轴相切B.当PC最小时，1PF=C.当4PF=时，直线PF与圆C相切D.

当2PF=时，以P为圆心，线段PF长为半径的圆与圆C相交公共弦长为45511.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，11BC的中点，以下说法正确的是（）A.三棱锥1CEFG−的体积为13B.AC⊥平面EFGC.1BC∥平面EFGD

.二面角GEFC−−的余弦值为36三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若2222024abc+=，则()2tantantantantanABCAB+的值为__

____13.3名男生和2名女生随机站成一排，恰有2名男生相邻，则不同的排法种数为______14.若1x，2x是函数()()21e12xfxaxa=−+R的两个极值点且212xx，则实数a的取值范围为______四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.15.（本小题13分）在三棱柱111ABCABC−中，1ABAC==，13AA=，ABAC⊥，1BC⊥平面ABC，E是1BC的中点.（1）证明：直线11AB⊥平面1ABC；（2）求平面AEB与平面11

AACC夹角的正弦值.16.（本小题15分）已知函数()exxfxax=+，()aR.（1）试讨论函数()fx的单调性；（2）若)0,x+，()eln1fxx+恒成立，求a的取值范围.17.（本小题15分）已知椭圆E：()22221

0xyabab+=的焦距为42，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形的周长为16.（1）求椭圆E的标准方程：（2）过点()0,1S的直线l交椭圆E于P，Q两点，线段PQ的中点为M.是否存在定点D，使得12DMPQ=？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小

题17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费ix（单位：百万元）和年销售量iy（单位：百万辆）关系如

图所示：令()ln1,2,,5iivxi==，数据经过初步处理得：51iiy=51iiv=()521iixx=−()521iiyy=−()521iivv=−()()51iiixxyy=−−()()51iiiyyvv=−−444.81040.31.61

219.58.06现有①ybxa=+和②lnynxm=+两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程.并预测年广

告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广

告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布()2600,N，且满足()8000.3P=.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润年销售量−年广告费−年研发经费−随机变量）.附：①相关系数()(

)()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线yabx=+中公式分别为()()()121niiiniixybxxyx==−−=−，aybx=−；②参考数据：40.31.6128.06=，40320.1，ln51.6，l

n61.8.19.（本小题17分）已知数列na的前n项和为nS.若对每一个nN，有且仅有一个mN，使得1mnmSaS+，则称na为“X数列”.记1nmnbSa+=−，nN，称数列nb为na的“余项数列”.（I）若na的前四

项依次为0，1，1−，1，试判断na是否为“X数列”，并说明理由；（2）若2nnS=，证明na为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；（3）已知正项数列na为“X数列”，且na的“余项数列”为等差数列，证明：()2112nnSa−+.

高三数学第四次适应性测试题答案1-8、CBDCBCBD9、ABC10、AD11、ABC12、202313、7214、2,ln2+8.【详解】如图，设内切圆与边BC，BE分别相切于点F，G，由切线长定理和BCE△的对称性，可设CFCDEGx

===，由1AD=，可得1ACx=+，1AEEGAGx=−=−，在ACE△中由余弦定理，()()()()222211211cos603CExxxxx+=++−−−=+.于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CECECExeexACAEACAEACAExx+====++

−−.接下来确定x的取值范围.设BFBGy==，在ABC△中，1ACx=−，1ABy=+，BCxy=+，于是由余弦定理，()()()()()22211211cos120xyxyxy+=+++−++，整理得()330xyxy−+−=，于是()3103x

yx+=−，故3x，又因为3yxx=+在()3,+内单调递增，可知33341yxx=++=，可得121314eexx=+，所以12ee的取值范围是()1,+.故选：D.10.AD【详解】如图，设()00,Pxy，PF中点为Q

，又()1,0F，所以001,22xyQ+，由抛物线定义知01PFx=+，又Q到y轴的距离为0122PFx+=，所以选项A正确，对于选项B，因为()5,0C，则()()2222000000510254316

PCxyxxxx=−+=−++=−+，当03x=时，PC取到最小值，此时314PF=+=，所以选项B错误，对于选项C，当4PF=时，03x=，023y=，不妨取()3,23P，则23331PFk==−，直线PF：(

)31yx=−，所以圆心()5,0C到直线的距离为43232d==，又圆的半径为22r=，所以dr，即直线PF与圆C相离，所以选项C错误，对于选项D，当2PF=时，01x=，02y=，不妨取()1,2P，故以P为圆心，线

段PF长为半径的圆为()()22124xy−+−=①，又圆C：()2258xy−+=②，由①−②得两圆的公共弦方程240xy−−=，()1,2P到240xy−−=的距离为12244555d−−==，故公共弦长为16452455

L=−=，所以选项D正确，故选：AD.14.【详解】因为()21e12xfxax=−+，所以()exfxax=−.因为函数()21e12xfxax=−+有两个极值点1x，2x，所以1x，2x是方程e0xax−=的两个根，则有11exax=，所以11lnlnaxx+=，

同理可得22lnlnaxx+=.设()212xttx=，则21xtx=，由22lnlnaxx+=，则11lnlnatxtx+=，即11lnlnlnatxtx++=，由11lnlnaxx+=，则11lnlnlnatxat

x++−=，即11lntxtx+=，所以()1ln21txtt=−，令()()ln21tgttt=−，则()()()()22111ln1ln11tttttgttt−−−−==−−，令()()11ln2htttt=−−，则()221110thtttt−=−=在)2,+上恒成立，

所以()ht在)2,+上单调递减，所以()()1121ln2ln2022hth=−−=−，所以()0gt在)2,+上恒成立，所以函数()gt在)2,+上单调递减，所以()()2ln2gtg=，又()0gt，所以()0ln2gt，又()1ln21tx

tt=−，所以10ln2x.由11lnlnaxx+=，则()111lnln0ln2axxx=−，令()()ln0ln2Fxxxx=−，则()1110xFxxx−=−=在(0,ln2上恒成立，所以函数()Fx在

(0,ln2上单调递减，所以()()()ln2ln2lnln2FxF=−，即()lnln2lnln2a−，所以()()ln2ln2lnln2lnln2e2eln2ea−==，即实数a的取值范围为2,ln2+，故答案为：2

,ln2+.15.【详解】（1）由1BC⊥平面ABC，AB平面ABC，得1ABBC⊥，因为ABAC⊥，1CBACC=，1CB，AC平面1ABC，所以AB⊥平面1ABC，又因为11ABAB∥，所以11AB⊥平面1ABC；

（2）以C为原点，直线CA为x轴，直线1CB为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()1,0,0A，()1,1,0B.又2BC=，113BBAA==，所以11CB=，()10,0,1B，10,0,2E

，()1,0,0CA=，则()111,1,1AABB==−−，11,0,2AE=−，()0,1,0AB=.设平面AEB的法向量为()111,,mxyz=，则0,0,mABmAE==即1110,10,2yxz=−+=令11x

=，得()1,0,2m=.设平面11AACC的法向量为()222,,nxyz=，则10,0,nCAnAA==即22220,0,xxyz=−−+=令11y=，得()0,1,1n=.设平面AEB与平面11AACC的夹角为，

则210cos552mnmn===，所以15sin5=，故平面AEB与平面11AACC夹角的正弦值为155.16.【详解】（1）()exfxa=+，①当0a时，()0fx恒成立，()fx在R上单调递增，②当0a时，令()0fx=，得()lnxa=−，()

fx在()(),lna−−单调递减，在()()ln,a−+单调递增：（2）()()()elneln1101xfxgxxaxx=+++−+对)0,x+恒成立，()00g=，()1e1xgxax=+++，()()eln110xgxxax=+++−

对)0,x+恒成立的必要条件是()0110ga=++，()()()eln11eln121xxgxxaxxx=+++−++−−，下证充分性当2a−时，)0,x+，令()()()eln1210xhxxxx=++−+，()1e

21xhxx=+−+在)0,+单调递增，()()00hxh=，即()hx在)0,+单调递增，故()()()00gxhxh=，当2a−时，()00g，)00,x+使得)00,xx，()0fx，)00,xx，()fx单调递减，得()()000fxf=，

不合题意，综上，2.a−17.【详解】（1）由题意得22222416,242,.abcabc+===+解得2212,4.ab==椭圆E的方程为221124xy+=.（2）若存在定点D，使得12DMPQ=，等价于以PQ为直径的圆恒过定点D.当直线l的斜率不存在时

，PQ为直径的圆的方程为224xy+=①，当直线l的斜率为0时，令1y=，得3x=，因此PQ为直径的圆的方程为()2219xy+−=②.联立①②，得0,2.xy==−猜测点D的坐标为()0,2−.设直线l的

方程为1ykx=+，由221,1,124ykxxy=++=得()2231690kxkx++−=.设()11,Pxy，()22,Qxy，则122631kxxk+=−+，122931xxk=−+.

()()()()()()112212121212,2,22233DPDQxyxyxxyyxxkxkx=++=+++=+++()()()221212229613913903131kkxxkxxkkkk=+

+++=+−+−+=++.综上，存在定点()0,2D−，使得12DMPQ=.18.【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为1r，2r.由题意可得：()()()()511155221119.519.50.9720.1403iiiiiixyryxxyxy==

=−−===−−，()()()()51112522511118.068.0618.0640.31.612iiiyvryvyyvv===−−====−−.所以12rr，由相关系数的相关性质可得，

模型②的拟合程度更好.（2）因为()()()511152118.0651.612iivynvvyv==−−===−，又由5110.965iivv===，5118.85iiyy===得58.80.9654myv=−=−=，所以54yv=+，即回归方程为5l

n4.yx=+当6x=时，5ln6413y=+，因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.（3）净利润为()2005ln4200xx+−−，()0x令()()2005ln4200gxxx=+−−，所以()1000200g

xx=−.可得()ygx=在()0,5上为增函数，在()5,+上为减函数.所以()()()max52005ln5451400gxg==+−−−，由题意得：14001000−，即400，()()4008000.3P

P==，即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.19.【详解】解：（I）由题意得10S=，21S=，30S=，41S=.因为112SaS，314SaS，所以满足11mmSaS+的m至少有2个，

不合题意，所以na不为“X数列”.（2）因为2nnS=，所以112aS==，112nnnnaSS−−=−=，2n.令1mnmSaS+.当1n=时，1222mm+，解得1m=，所以1212

bSa=−=.当2n时，11222mnm−+，解得21nmn−−，因此1mn=−，12nnnnbSa−=−=.所以，对每一个nN，有且仅有一个mN，使得1mnmSaS+，故na为“X数列”.其“余项数列”的通项为12,1,2,2.nnnb

n−==（3）因为na为正项数列，所以nS单调递增.易得112SaS，所以1212bSaa=−=.因为22aS，且na为“X数列”，所以必有1122aSaS=，因此2221bSaa=−=.因为“余项数列”nb为等差数列，所以其

公差21120dbbaa=−=−.易知0nb，若0d，则当21and−时，()210nband=+−，与0nb矛盾，所以0d=，因此12aa=，1nba=.所以11nmnbSaa+=−=，即11

0mnSaa+−−=.对于3n，若1mn+，则2110mnaSaa+−−=，与正项数列na矛盾，所以11mn+−.由正项数列na可知nS递增，所以11111nnnmnSSaaaSS−+−−

+=+=，所以()1112nnSaSa−−−，所以1112121122444nnnnSaSaSaaa−−−−−==，所以()()21123nnSan−+.又()111121Saa−=+，()0211221Saa=+，所以()2112nn

Sa−+，nN.