【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第一章第一节　集合的概念及其运算 含解析【高考】.doc，共(7)页，566.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-第一节集合的概念及其运算授课提示：对应学生用书第1页[基础梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．(3)集合的三种表示方法：列举法

、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或N*ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B

中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|

x∈U且x∉A}1．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝

∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；-2-∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范(1)空

集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆AB．a⊆

AC．{a}∈AD．a∉A答案：D2．(基础点：补集运算)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁RA＝()A．{x|x≥±4}B．{x|－4＜x＜4}C．{x|－4≤x≤4}D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}答案：D3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0，1，2}，

集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．答案：84．(易错点：交集运算)已知集合M＝{x∈N|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝________．答案：{0，1}

授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念挖掘1求集合元素的个数/自主练透[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4[解析]将满足

x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．故选A.[答案]A(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋

b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6[解析]a∈{1，2，3}，b∈{4，5}，则M＝{5，6，7，8}，即M中元素的个数为4，故选B.[答案]B[破题技法]与集合中的元素有关的问题的求解策略-3-(1)确

定集合中的元素是什么．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)注意元素的三个特性，特别是互异性．挖掘2利用元素特性求参数/互动探究[例2]设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为______

__．[解析]由题意得（2－a）2<1，（3－a）2≥1，解得1＜a＜3，a≤2或a≥4.结合数轴得1<a≤2.[答案](1，2][破题技法]1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常

容易忽略，求解问题时要特别注意．1．将例1(1)改为已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上

的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.答案：B2．将例2改为集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素0和1.则a的值为________．解析：0和1为方程x2＋ax＝0的两根．∴0＋1＝

－a，∴a＝－1.答案：－1考点二集合间的基本关系挖掘1判断集合间的关系/自主练透[例1]已知集合M＝x|x＝kπ4＋π4，k∈Z，集合N＝x|x＝kπ8－π4，k∈Z，则()A．M∩N＝∅B．M⊆NC．N⊆MD．M∪N＝N[解析]由题

意可知，M＝x|x＝（2k＋4）8π－π4，k∈Z＝x|x＝2nπ8－π4，n∈Z，N＝x|x＝2kπ8－π4或x＝（2k－1）8π－π4，k∈Z，所以M⊆N，故选B.[答案]B[

破题技法]求集合间关系的常用方法技巧方法解读适合题型列举法利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后集合为有-4-比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系限集转化法从元素的结构特点入手，结合通

分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系集合为无限集挖掘2利用集合关系求参数/互动探究[例2](1)已知集合A＝{x|x2－2x－

3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为()A．7B．8C．15D．16[解析]A＝{x|(x－3)(x＋1)≤0，x∈N＋}＝{1，2，3}，真子集个数为23－1＝7，故选A.[答案]A(2)已知集合

A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[解析]因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－

1≤5.解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.[答案](－∞，3][破题技法]1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2．已知两个集合

间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．若将例2(2)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，如何求解？解析：因为

B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1＜m＋1时，m＜2，符合题意．②当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋1＞5，或m＋1≤2m－1，2m－1＜－2，解得m≥2，m＞4，或m≥2，m＜－12，即m＞4.综上可知，实数m的

取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．考点三集合的运算挖掘1集合的基本运算/自主练透[例1](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3}B．{x|－4<x<－2}-5-C．{x|－2<x<2}D．{x|2<x

<3}[解析]由x2－x－6＜0，得(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}．故选C.[答案]C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝()A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}[解析]∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴∁UA＝{1，6，7}．又B＝{2，3，6，7}，∴B∩∁UA＝{6，7}．故选C.[答案]

C[破题技法]解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)

注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．挖掘2利用集合运算求参数/互动探究[例2](1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝()A．3B．2C．2

或3D．3或1[解析]∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.[答案]A(2)(2020·广州模拟)已知x∈R，集合A＝

{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝()A．－2B．0C．1D．2[解析]因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，所以x－2＝0x＝2，或x＝0，x

＋2＝2，当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．综上，x＝0.故选B.[答案]B[破题技法]根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由

描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．1．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为()-6-A.13或－12B．－1

3或12C.13或－12或0D．－13或12或0答案：D2．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1，2)B．[－1，3]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)解析：由x2－x－12≤0

，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2.综上，m的取值范围为[－1，

＋∞)．答案：D考点四集合的创新问题挖掘1集合思想与方法的应用/互动探究[例1](1)(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，

随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5B．0.6C．0

.7D．0.8[解析]法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的

人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.[答案]C-7-(2)某店统计了

两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种．①第一天售出，但第二天未售出的商品有________种；②这两天共售出________种商品．[解析]如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，

则B中有13个元素，则A∩B中共有3个元素．①第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种．②这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种．[答案]①16②29[破题技法]将文字语言转换为符号语言，即集合语言，借助于图形语言，即Venn图解决实际问

题．挖掘2集合的新定义/互动探究[例2](2020·中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－1，12，1}，B＝{x|ax

2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．[解析]当a＝0时，B为空集，满足B⊆A，此时A与B构成“全食”；当a＞0时，B＝{1a，－1a}，由题意知1a＝1或1a＝12，解得a＝1或a＝4.故a的取值集合为

{0，1，4}．[答案]{0，1，4}[破题技法]解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合

理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反

例来说明，以达到快速判断结果的目的．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3＜x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3＜x＜4}D．{x|2≤x≤4}解析：A＝{x|1＜x

＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．答案：B