【文档说明】天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.904 MB，由小赞的店铺上传

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天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂

写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.·如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB=+·如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB=.·

柱体的体积公式VSh=·球体的体积公式34π3VR=一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集33,IxxxZ=−，1,2A=，2,0,2B=−，则()IACB=()A.1B.1,1,2−C.2

D.0,1,2【答案】B【解析】【分析】先利用补集运算求出ICB，即可根据并集运算求出()IACB．【详解】因为33,2,1,0,1,2IxxxZ=−=−−，所以1,1ICB=−，故()IACB=1,1,2

−．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．2.“3k=+（kZ）”是“3tan63−=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析，最后作出判断即可.【详解】充分性：当3k=+（kZ）时，66k−=+（kZ），所以3t

an63−=，充分性成立；必要性：由3tan63−=可得66k−=+（kZ），即3k=+（kZ），必要性成立；所以“3k=+（kZ）”是“3tan63−=”

的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于常考题.3.已知[]x表示不超过实数x的最大整数，()[]gxx=为取整函数，0x是函数()ln4fxxx=+−的零点，则()0gx=（）A.4B.5C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据零点存

在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0gx的值.【详解】函数()ln4fxxx=+−在(0,)+递增，且(2)ln220f=−，(3)ln310f=−，所以函数()fx存在唯一的零点0(2,3)x，故()02gx=，

故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.4.已知双曲线()22122:10,0xyCabab−=的两条渐近线与抛物线()22:20Cypxp=的准线分别交于A，B两点，若双曲线C的离心率为2，AOB的

面积为3，O为坐标原点，则抛物线2C的焦点坐标为（）.A.()2,0B.()1,0C.2,02D.1,02【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)ypxp=

的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为3，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．【详解】双曲线()22122:10,0xyCabab−=的两条渐近线方程是byxa=，又抛物线22(0)ypxp

=的准线方程是2px=−，故A，B两点的纵坐标分别是2pbya=，又由双曲线的离心率为2，所以2ca=，即2212ba+=，则3ba=，A，B两点的纵坐标分别是32py=，又AOB的面积为3，可得1··3322pp=，得2p=，所以抛物线2C的焦点坐标为(1,0)

，故选：B5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这

2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为()A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成

绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212CC＝611，P(ξ＝1)＝1139212CCC＝922，P(ξ＝2)＝23212CC＝1

22，∴ξ的分布列为ξ012P611922122∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.已知函数2()sin22sin1fxxx=−+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.函数()fx的最小正

周期是2B.函数()fx在区间5[,]88上是减函数C.函数()fx的图象关于16x=对称D.函数()fx的图象可由函数2sin2yx=的图象向左平移4个单位得到【答案】B【解析】【分析】先将()2221fxsinxsinx=−+化简为()2s

in24fxx=+，再逐个选项判断即可．【详解】2()sin22sin1sin2cos22sin24fxxxxxx=−+=+=+A选项，因为2=，则()fx的最小正周期T=，结论错误；B选项，当5,88x

时，32,422x+，则()fx在区间5,88上是减函数，结论正确；C选项，因为216f，则()fx的图象不关于直线16x=对称，结论错误；D选项，设()2sin2gxx=，则()2sin22sin22c

os2442gxxxxfx+=+=+=，结论错误．故选：B【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.7.函数()fx是定义在R上的奇函数，对任意两个正数()1212,,xxxx，都有(

)()1212fxfxxx，记()2250.2af=，()1bf=，513log3log5cf=−，则,,abc大小关系为（）A.cbaB.bcaC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函数()()f

xgxx=，则函数()gx单调递减，且a=()20.2g，b=()1g，c=()3log5g，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】构造函数()()fxgxx=，则函数()gx单调递减，()2250.2af=()()2

220.20.20.2fg==，()1bf=()()111fg==，51335clogflog=−()()333log5log5log5fg==，230.21log5，abc.故选C.【点睛】本题主要考

查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（）A.

378B.306C.268D.198【答案】D【解析】【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可.【详解】解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290CCA=种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内

媒体,有123633108CCA=种不同提问方式.所以共有90108198+=种提问方式.故选：D【点睛】本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元

素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.9.已知圆O的半径为2，,PQ是圆O上任意两点，且60,POQAB=是圆O的一条直径，若点C满足(1)OCOPOQ=−+（R），则CACB的最小值为（）A.-1B.-2C.-3D.-

4【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CACBCOOPOQ=−=−+−2134[3()]24=−−,结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为2()()()CACBCOOACOOBCOCOOAOBOAOB=++=+

++,由于圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，所以0OAOB+=，22(1)4OAOB=−=−，又60POQ=，所以224[(1)]4CACBCOOPOQ=−=−+−()()2222121?4OPO

POQOQ=−+−+−222134(331)44(33)4[3()]24=−+−=−=−−,所以当12=时，2133[3()]244−−=−，所以CACB的最小值为34()34−=−.故

选：C.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算公式，准确化简是解答的关键，着重考查推理与运算能力.第Ⅱ卷非选择题（共105分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在

本试卷上的无效.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数2(1)(1)zaai=−++为纯虚数，则2020||1aii

+=+__．【答案】2【解析】【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案.【详解】解：2(1)(1)zaai=−++为纯虚数，210a−=且10a+，解得1a=20001112(1)111(1)(1)iiiiiii++−===−++

+−，所以20201|||1|21iii+=−=+故答案为：2.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.11.若83()axx+的展开式中4x的系数为448−，则实数a=__．【答案】﹣2【解析】【分析】写出展开式通项公式，令x

的指数为4，求得4x的项数，得其系数，由系数为－448可得a．【详解】由题意展开式通项公式为48831883()rrrrrrraTCxaCxx−−+==，令4843r−=，3r=，∴4x系数为338448aC=−，解得2a=−．故答案为：

2−．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．【答案】46【解析】【分析】过正方体对角面作半球的截面，得

半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O，矩形11AACC是正方体对角面，O是11AC中点，设正方体棱长为a，则38a=，2a=，由图知球半径为222(2)6OC=+

=，半球体积为3322(6)4633VOC===．故答案为：46．【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与半球的关系．13.函数()lnfxxxa=+的图象在1x=处的切线被圆22:2440Cxyxy+−+−=截得弦长为2，则实数a

的值为________.【答案】6−或2.【解析】【分析】由题可知切线的斜率()11kf==，又()1fa=，所以切点坐标为()1,a，函数()fx的图象在1x=处的切线方程为1yxa=+−.圆心到切线的距离

|2|2ad+=，则222|2|132a++=，求出实数a的值.【详解】因为()lnfxxxa=+，所以()1lnfxx=+代入切点横坐标1x=，可知切线的斜率()11kf==.又()1fa=，所以切点坐标为()1,a，所以函数()lnfxxxa

=+的图象在1x=处的切线方程为1yxa=+−.又因为圆22:2440Cxyxy+−+−=，圆心坐标为()1,2−，半径为3，所以圆心到切线的距离|2|2ad+=.因为切线被圆22:2440Cxyxy+−+−=截得弦长为2，则222|2|132a++=，解得实

数a的值是6−或2.故答案为：6−或2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.14.若0x,0y,且224log3log9log81xy+=,则此时2xy+=__,233xyxy++的最小值为__．【答案】(1).2(2).26

23+【解析】【分析】(1)由对数运算和换底公式,求得xy、的关系为22xy+=即可.(2)根据22xy+=化简232233xyyxxyxy++=++,再利用基本不等式求最小值即可.【详解】(1)因为0x,0y,224log3log9log

81xy+=,所以()224222222log33log3log3log3xyxy+==所以22xy+=.(2)因为22xy+=,故2323222223333xyxyxyyxyxxyxyxyxy++++=+=+++2623=+当且仅当23yxxy=,22xy+=,即62662

xy=−=−时取等号.所以最小值为2623+故答案为：2；2623+【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题．15.已知函数()(

)()11,2,022,0,xxfxfxx−+−=−+，则()3log2563f=_______；若方程()fxxa=+在区间2,4−有三个不等实根，则实数1a的取值范围为______.【答案】(1).81(2).11,2−−【解析】【分析】（1）利用

分段函数解析式求出()3f，再根据对数、指数的运算法则计算可得.（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围.【详解】解：由()11,2,0()2(2),0,xxfxfxx−+−=−+，则()()()()()()3232212212414104fffff

=−==−=−=−=，所以()34log256log256433381f===.作出函数()fx在区间2,4−上的图象，如图所示，设yxa=+，由图象可知要使方程()fxxa=+在区间2,4−有3个不等实根，则直线yxa=+应位于1l与2l之间或直线3l的位

置，所以实数a的取值范围为20a−或1a=.所以，112a−或11a=，故答案为：81；11,2−−.【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos(coscos)0CaBbAc++=．（1）求角C的大小；（2）若2a=，2b=．求：（ⅰ）边长c；（ⅱ）sin(2)BC−的值．【答案】（1）34C=；（2）（ⅰ）10c=；（ii）72sin

(2)10BC−=−．【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cosC的值，由此求得角C的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)BC−的值.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2cos(sincossincos)sin0CA

BBAC++=2cossinsin0CCC+=，2cos2C=−，0C，34C=（2）（ⅰ）因为2,2ab==，34C=，由余弦定理得22222cos24222()102cababC=+−=+−−=，10c=（ⅱ）由5sinsinsin

5cbBCB==，因为B为锐角，所以25cos5B=5254sin22555B==，223cos2cossin5BBB=−=，423272sin(2)sin2coscos2sin()525210BCBCBC−=−=−−=−【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考

查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17.如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，//BFCE，BCCE⊥，4DCCE==，2BCBF==．（Ⅰ）求证：//AF平面CDE；（Ⅱ）求平面ADE与平面BC

EF所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）32．【解析】【分析】证明DC⊥平面BCEF，以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线

为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB为平面CDE的一个法向量，证明AF平面CDE，只需证明·0AFCB=;（Ⅱ）求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE一个法向量

为()()10,1,1,2,2,0nEF==−，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，BCCE⊥，BCCD⊥，又平面ABCD⊥平面BCEF，且平面

ABCD平面BCEFBC=，DCCE⊥DC⊥平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A，(20,0)B，，(00,

0)C，，(00,4)D，，(04,0)E，，(22,0)F，则(0,2,4)AF=−，(20,0)CB=，．BCCD⊥，BCCE⊥，CB为平面CDE的一个法向量．又·0AFCB=．AF平面CDE．//AF平面CDE．（Ⅱ）设平面ADE的一个法向量为(,,)nxyz

=，则(20,0)AD=−，，(044)DE=−，，，·20·440ADnxDEnyz=−==−=得(01,1)n=，DC⊥平面BCEF，平面BCEF一个法向量为(0,0,4)CD=，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角

的大小为，则42cos=242nCDnCD==因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为4．（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE一个法向量为得(01,1)n=，(2,2,0)EF=−，设直线EF与平面ADE所成角为，则11121sincos,2222EFnEFnEFn=

===23cos1sin2=−=因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为32．【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能

力、运算求解能力和推理论证能力.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小18.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，左、右焦点分别为12,F

F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线20xy−+=相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点2F作OQ的平行线交椭圆C与,MN两个不同的点，记2QFM△的面积为1S，2OFN△的面积为2S，令12SSS=+，求S的最大值.【答案

】（1）22142xy+=；（2）2.【解析】【分析】（1）由离心率可得222ab=，再根据条件求出2b=，即可求出a，写出椭圆方程；（2）设()11Mxy，，()22Nxy，，直线OQxmy=：，则直线2MNxmy=+：，联立椭圆方程，根据弦长公式求出()22412mMNm+

=+，再求出点O到直线MN的距离221dm=+，即可表达出OMN的面积，进而求出最大值.【详解】（1）由题意知22cea==，所以22222212cabeaa−===，即222ab=，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆

为222xyb+=，且与直线20xy−+=相切，所以()222211b==+−，2224ab==，故椭圆C的标准方程为22142xy+=.（2）设()11Mxy，，()22Nxy，，直线OQxmy=：，则直线2MNxmy=+：，由222142xmyxy=+

+=，得()2222220mymy++−=，122222myym+=−+，12222yym=−+.2221MNmyy=+−∣∣()22121214myyyy=++−2222221422mmmm=+−−−++()224

12mm+=+，因为MNOQ∥，所以2QFM△的面积等于2OFM△的面积，12OMNSSSS=+=，因为点O到直线2MNxmy=+：的距离221dm=+，所以()222224111222122221mmSMNdmmm++===+++∣∣令21m

t+=，则()2211mtt=−，2222211tSttt==++，因为1122tttt+=，当且仅当1tt=，即1t=时，也即0m=时取等号，所以当0m=时，S取得最大值2.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的三角形面积最值问题，属于较难题.19.数列{}na

是等比数列，公比大于0，前n项和*()nSnN，{}nb是等差数列，已知112a=，32114aa=+，3461abb=+，45712abb=+．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式na，nb；（Ⅱ）设{}nS的前n项和为*():nTnN（ⅰ）求n

T；（ⅱ）若11312()nnnnnnTbbcbb+++++−=，记1nnnnRC==，求nR的取值范围．【答案】（Ⅰ）12nna=；1nbn=−；（Ⅱ）（i）112nnTn=−+；（ii）3[8，1)2．【解析

】【分析】（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q，得通项公式na，再由等差数列的定义求得1b和d，得nb；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n项和公式求得nS，由分组求和法求得nT，（ⅱ）求得nc后，用裂项相消法求得nR，结合函数性质可得取值范围．【详解】解：（Ⅰ）设数列

{}na的公比为(0)qq，因为112a=，32114aa=+，可得121112114aaqaq==+，整理得21120qq−−=，解得1q=−（舍)或12q=，所以数列{}na通项公式为12nna=．设数列{}nb的公差为d，因为3

461abb=+，45712abb=+，即1128831616bdbd+=+=，解得10b=，1d=，所以数列{}nb的通项公式为1nbn=−；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n项和公式可得11(1)12211212nnnS−==−−，所以211111(1

11)()(1)122222nnnnTnn=+++−+++=−−=−+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2nnnnnnnnnnnnnTbbncbbnnnnnn++++

+++++−+−+====−+++，所以{}nc的前n项和122231111111111()()()122222322(1)22(1)2nnnnnRcccnnn++=+++=−+−++−=−++．又nR在*nN上是递增的，13182nRR=„．所以nR的取值范围为3[8，1)2．【

点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力．20.已知函数()xaxbfxex+＝，a，bR，且0a.（1）若函数()fx在1x=−处取得极值1e，求函数()fx的解析式；（2）在（1）的条件下，

求函数()fx的单调区间；（3）设()()()1xgxaxefx−=−，()gx为()gx的导函数.若存在()01,x＋，使()()000gxgx+=成立，求ba的取值范围.【答案】（1）()()210xxfxexx+=；（2）调递增区

间是(),1−−，1,2+；单调递减区间是()1,0−，10,2；（3）()1,−+.【解析】【分析】（1）先求导函数，再由函数()fx在1x=−处取得极值1e，得1(1)(1)0fef−=−

=，代入求解参数a，b，（2）由（1）可得()fx，再求出函数的导函数，利用令()0fx…和()0fx求解函数的单调区间；（3）将()fx代入()gx化简，再求()gx，然后得00()()gxgx+，令其为0，得2(23)21bxxax−=−，令2(23)()21xxhxx

−=−，则问题转化为求()hx在区间(1,)−+上的值域，利用导数求解．【详解】解：（1）函数()fx的定义域为()(),00,−+.()22xaxbxbfxex+−=，由题知()()1011ffe−=−=即()()112011abeabe

e−−−=−+=−解得2a=，1b=，所以函数()()210xxfxexx+=.（2）()()()2212121xxxxxxfxeexx+−+−==令()0fx得1x−或12

x，令()0fx得10x−或102x.所以函数()fx的单调递增区间是(),1−−，1,2+单调递减区间是()1,0−，10,2（3）()2xbgxaxaex=−−，()0a()

2xbbgxaxaexx=+−−22221()()23(23)xxxxxxeexgxgxaxeaebeaxabxx−−+=−−=−−，由条件存在0(1,)x+，使00()()0gxgx+=成

立，得22230xxxxxeeaxeaebx−−−=，对(1,)x+成立，又0xe221230xaxabx−−−=对(1,)x+成立，化简得2(23)21bxxax−=−，令2(23)()21xxhxx−=−，则问题转化为求()hx在区间(1,)+上的值域

，求导得222(463)()(21)xxxhxx−+=−，令2463yxx=−+，为二次函数，图象开口向上，△120=−，则24630xx−+，又0x，则()0hx，()hx在区间(1,)+上单调递增，值域为(1,)−+，所以ba的取值范围是(1,)−+．【点睛】导

函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．