【文档说明】河北省2025届高三上学期省级联测考试数学解析.docx，共(20)页，1.055 MB，由小赞的店铺上传

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2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()21,2,3,4,ln9ABxyx=−==−Z∣，则AB=（）A.1,2,3B.1,2−C.2

,3D.0,1,2,3,4【答案】B【解析】【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B，再由交集的定义求AB.【详解】集合()22ln990332,1,0,1,2Bxyxxxxx==−=−=−=−−ZZZ，而1,2,3,4A

=−，所以1,2AB=−.故选：B.2.已知复数()221233i,24i,zaazaaa=−+=+−R，若12zz+为纯虚数，则a=（）A.1或2B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】计算出(

)22123243izzaaaa+=−++−+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,zaazaaa=−+=+−R可知，()()22221233i24i3243izzaaaaa

aaa+=−+++−=−++−+，因为12zz+为纯虚数，所以22430320aaaa−+−+=，解得2a=.故选：C.3.已知向量,ab满足()2,2,0ab==，且2ab+=，则a在b上的投影向量的坐标为（）A.()1,0−B.()1,0C

.()2,0−D.()2,0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得2ab=−，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2ab==，所以222()24244abaabbab+=++=++=，可得2ab

=−，所以()()212,01,02||abbb=−=−，故选：A.4.已知()πcos2cos3π2+=+，则221sinsin22cos+=（）A.14−B.34C.2D.6【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得tan2=，然后将目标式子用tan表示，由

此即可得解.【详解】由()πcos2cos3π2+=+，得sin2cos=，则tan2=，所以221sinsin22cos+=222sinsincostantan426cos

+=+=+=，故选：D.5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B.

16πC.64π3D.72π【答案】C【解析】【分析】得到4ABBC==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD是面积为16的正方形，则4ABBC==，由题意可知半球的半径2R=，圆柱的底面圆半径2r=，高4h=，由球的体积公式可得半球的体积3

11416ππ233VR==，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πVShrh===，故该几何体的体积1216π64π16π33VVV=+=+=.故选：C.6.设nS为正项等比数列na的前n项和，213332,8

Saaa=+=，则数列21nan+−的前5项和为（）A.55B.57C.87D.89【答案】C【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得na表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【

详解】因为{𝑎𝑛}是正项等比数列，所以10a，公比0q.因为21332Saa=+，所以()121332aaaa+=+，则3212023aaa−−=，即21112320aqaqa−−=，则22320qq−−=，解得2q=或12q=−（舍），又因为231148aaqa===，所以12a=

，所以数列{𝑎𝑛}通项公式为2nna=，所以21221nnann+−=+−，设数列21nan+−的前n项和为nT，则()()()()123212325221nnTn=++++++++−()()123222213521nn=+++++++++−()()12212121

22122nnnnn+−+−=+=+−−，所以62525287T=+−=，故选：C.7.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，将函数()fx的图象先向右平移π4个单

位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，若关于x的方程()0gxm−=在,126−ππx上有两个不等实根，则实数m的取值范围为（）A.(2,2−B.(2,3−−C.3,2D.(3,

3−【答案】B【解析】【分析】首先根据三角函数图象与性质计算即可得()fx表达式，先根据三角函数的图像变换得的的()π2sin43gxx=−，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.【详解】由函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图

象可知，2A=，因为11ππ31264T−=，所以2ππ,2TT===，又π26f=，所以ππ22π,62kk+=+Z，解得π2π,6kk=+Z，由π2可得π6=，所以()π2sin26fx

x=+，将()fx的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin43gxx=−的图象，令3π4tx=−，由ππ,126x−，可得2ππ,33t−

，函数2sinyt=在2ππ,32−−上单调递减，在ππ,23−上单调递增，且ππ2π2sin2,2sin3,2sin3233−=−=−=−，因为关于x的方程()0gx

m−=在ππ,126x−上有两个不等实根，即ym=与()ygx=的图像在ππ,126x−上有两个交点，即ym=与2sinyt=在2ππ,33t−上有两个交点，所以实数m的取值范围为(2,3−

−，故选：B.8.已知定义域为R的函数()fx不是常函数，且满足()()()()fxyfxyfxfy++−=，()10f=，则20261()ifi==（）A.2−B.2C.2026−D.2026【答案】A【解析】【分

析】依次算得()02f=，()fx的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402ffffff=−==−=−==，由此得𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y=，得()()()20fxfxf=，又𝑦

=𝑓(𝑥)不是常函数，所以()02f=，再令1y=，得()()()()111fxfxfxf++−=，即()()110fxfx++−=，则𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，即()()2fxfx−=−，故()()4fxfx=+，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)的周期为4，由

𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，令1x=，得()()()()()()310,202,402ffffff=−==−=−==，所以𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)ififffff

fff==+++++=+=()()122ff+=−.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()1,4,

2,1XNYN，则下列说法正确的是（）A.若(0)0.2PX=，则()20.4PX=B.若()()0.20.1PXaPX==，则10.49aPX=C.()()12PXPYD.()()44PXPY【答案】BD【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐

一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A，因为()(0)20.2PXPX==，所以()()21210.2PXPX=−=−=0.8，故A错误；对于选项B，因为()1,4XN，且()()0.20.1PXaPX==，则0.212a+=，即a=1.8，则()1

(0.21)(1)0.20.50.10.49aPXPXPXPX==−=−=，故B正确；对于选项C，()()120.5PXPY==，故C错误；对于选项D，因为随机变量()()1,4,2,1XNYN，所以11221

,2,2,1====，因为()()()()()1122452,42PXPXPXPYPY=+=+，又()()112222PXPY+=+，所以()()44PXPY，故D正确，故选：BD.10.已知函数()32

2fxxxx=−+−，若()()22gxfxxxa=−++，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的单调递增区间为()1,3B.函数()fx的极大值点为1C.若1,2x，则()fx的值域为2,0−D.若

0x，都有()0gx成立，则a的取值范围为(,1−−【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求导，解不等式求出函数单调性；B选项，在A选项基础上得到函数的极大值点；C选项，()fx在1,2上单调递减，从而求出值域；D选项，参变分离，得到32axxx−−，构造函数

()32hxxxx=−−，求导得到其单调性，求出()hx的最小值为()11h=−，故1a−.【详解】对于选项A，因为()322fxxxx=−+−，所以()()()2341311fxxxxx=−+−=−−−，所以当()1,1,3x−+时，()0fx；当1,13x

时，()0fx，所以()fx单调递增区间为1,13，故A错误；对于选项B，如下表：x1,3−131,131()1,+()fx-0+0-()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()fx的极大值点.故B正确；对于

选项C，()fx在1,2上单调递减，所以()fx的最小值为()22f=−，最大值为()10f=，所以当1,2x时，()fx的值域为2,0−，故C正确；对于选项D，()()2322gxfxxxaxxxa=−++=−+++.因为()0gx.即32a

xxx−−，令()32hxxxx=−−，则()()()2321311hxxxxx=−−=+−，因为)0,x+，所以当()1,x+时，()()0,hxhx单调递增，当)0,1x时，()()0,hxhx单调递减，所以当1x=时取到极小值，所以(

)hx的最小值为()11h=−，所以1a−，故D正确.故选：BCD.11.已知曲线:4Gxxyy+=，则下列说法正确的是（）A.点()1,1在曲线G上B.直线:lyx=−与曲线G无交点C设直线:2lykx=+，当()1,0k−时，直线l与曲线G恰有三个公共点D.直线

:2lxy+=与曲线G所围成的图形的面积为π2−【答案】BCD的.【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A；分,xy的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1−时结合渐近线可得B正确；由四分之一圆面积减去三角

形面积可得D正确；由图形可得C正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0xyxyxyxyxxyyyxxyxyxy+=−=+=−=−−=，因当0,0xy时，224xy−−=无意义，无此曲线，故舍去，

所以曲线G表示为2222224,0,04,0,04,0,0xyxyxyxyyxxy+=−=−=，作出曲线图象如图所示，对于选项A，将点(1,1)代入4xxyy+=，得到24=，显然不成立，故A错误；对于选项B，将yx=−代入曲线G

得，04xxxx−=，无解，故B正确；对于选项C，由于直线2ykx=+恒过点(0,2)，当0k=时，直线与x轴平行，与曲线G有一个交点；当1k=−时，直线与曲线G的渐近线平行，此时与曲线G有两个交点.当10k−时.结合斜率的范围可得直

线与曲线G有三个交点（如图），故C正确；对于选项D，设直线l与,xy轴的交点分别为,AB.因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2AB，所以直线与曲线G围成的图形的面积为211π222π242−=−，故D正确.故选：B

CD.为【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,xy的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln31,,fxaxxba

b=+−+R，若曲线()yfx=在0x=处的切线方程为32yx=+，则ab+=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,ab的值，进而得到所求和.【详解】由函数()

()2ln31fxaxxb=+−+，有()0fb=，由()3231afxxx=−+，可得()03fa=，因为曲线𝑦=𝑓(𝑥)在0x=处的切线方程为32yx=+，所以33,302,ab==+解得1,2ab==，则3ab+=.故答案为

：3.13.已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左､右焦点分别为12,FF，过坐标原点O的直线与双曲线C交于,MN两点，且点M在第一象限，满足120MFMF=.若点P在双曲线C上，且112FPNF=，则双曲

线C的离心率为______.【答案】173##1173【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NFm=，则12PFm=，由双曲线定义可得2222,2PFamNFam=+=+，由勾股定理得到方程，求出23ma=，进而求出171793ca==.【详解】如图，连接1222

,,,MFMFNFPF，因为120MFMF=，所以12π2FMF=，由对称性可得12π2FNF=，由112FPNF=，可设1NFm=，则12PFm=，由双曲线的定义可知，212PFPFa−=，212NFN

Fa−=，则2222,2PFamNFam=+=+，由12π2FNF=得，22222||PFPNNF=+，即222(22)9(2)ammam+=++，解得23ma=，又由12π2FNF=得，2221212FFFNN

F=+，即222221228684339aaFFac=+==，解得171793ca==，所以双曲线C的离心率173e=.故答案为：17314.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进

行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为()fm，则当m=__________时，()fm取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()20

2022C133mmmfm−=−，利用()()()()11fmfmfmfm−+解不等式即可.【详解】由题意得()202022C133mmmfm−=−，020m且mN，则()()

()()11fmfmfmfm−+，即201211202020119120202222C1C1,33332222C1C1,3333mmmmmmmmmmmm−−−−−+−+−−−

−故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3mmmmmmmm−−−−+−又mN，所以13m=或14m=，故当13m=或14m=时，()fm取得最大值.故答案为：

13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足2coscoscosAACacabbc−=.（1）求角A；（2）若23

,aABC=的面积为3，求ABCV的周长.【答案】（1）π3（2）2623+【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos1A=，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc=，进一步结合余弦定理可得26bc+

=，由此即可得解.【小问1详解】由题意，因为2coscoscosAACacabbc−=，所以2coscoscosbAcAaC−=，由正弦定理可得2sincossincossincosBACAAC−=，即()2sincossincossincossinsinBAACCAACB

=+=+=，因为sin0B，所以2cos1A=，所以1cos2A=，又0πA，所以π3A=.【小问2详解】由（1）可知，π3A=，则31sin,cos22AA==，因为ABCV的面积113sin3222ABCSbcAbc===，可得4bc=，由余弦定理可得22

222cos()3abcbcAbcbc=+−=+−，即212()34bc=+−，可得26bc+=，所以ABCV的周长为2623abc++=+.16.已知椭圆()2222Γ:10xyabab+=的左焦点为1F，上､下顶点分别为,A

B，且1π2AFB=，点21,2在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F的直线交椭圆Γ于,MN两点，交直线2x=−于点P，设1PMMF=，1PNNF=，证明：+为定值.【答案

】（1）2212xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AFB=，得2ab=，再把点21,2代入椭圆方程求出,ab即可；（2）设出直线MN的方程，代入椭圆方程，设()()1122,

,,MxyNxy，由1PMMF=，1PNNF=，表示出+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AFB=，所以2ab=，因为点21,2在Γ上，所以2211122bb+=，解得1b=，故2a=，所以椭圆Γ的方程为2212xy+=.【小问2详解】由

已知得直线MN的斜率必存在，可设直线MN的方程为()1ykx=+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxkxk+++−=，2880k=+，设()()1122,,,MxyNxy，则()22121222

214,1212kkxxxxkk−+=−=++，又()()12,,1,0PkF−−−，由11,PMMFPNNF==得121222,11xxxx++=−=−++.所以()()()1212121212234221111xxxxxxxxxx

++++++=−−=−++++，因为()()2212122221423423401212kkxxxxkk−+++=+−+=++，所以0+=为定值.17.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PCD⊥平面,ABCDPDC为钝角三角

形且DPDC=，2290,DABABCADBDCBE====是PA的中点.（1）证明：BDPD⊥；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角为60o，求平面BDE与平面CDE夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解

析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD⊥平面PCD，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,BCDE的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2

290DABABCADBDCB====，得,ADABAD=//BC，则45DBCDCB==，所以,90BDCDBDC==，即BDCD⊥，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面,ABCDCDBD=平

面ABCD，所以BD⊥平面PCD，又PD平面PCD，所以BDPD⊥.【小问2详解】如图，过点P作CD的垂线，交CD的延长线于点H，连接AH，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面,ABCDCDPH=平面,PCDPHCD⊥，所以P

H⊥平面ABCD，则DH为PD在底面ABCD内的射影，所以PDH为直线PD与底面ABCD所成的角，即60PDH=.设1AD=，得2,2BDDCDPBC====，在PHD△中，26,22DHPH==，在ADH中，45ADH=，由余弦定理得222

2cos452AHADDHADDH=+−=，所以222AHDHAD+=，所以AHCD⊥，如图，过点D作DF//PH，则DF⊥底面ABCD，以,,DBDCDF所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()26222262,0,0,0,2,0,

0,,,,,0,,,2222424BCPAE−−−，所以()()2262,0,0,,,,0,2,0424DBDEDC==−=，设平面BDE和平面CDE的法向量分别为()()111

222,,,,,nxyzmxyz==，则1111202260424nDBxnDExyz===−+=，2222202260424mDCymDExyz===−+=，令121,1zz==，则112230,,3,02xyxy===−=，所以()30,,1,3,0,12nm=

=−，则17cos,7724nmnmnm===，设平面BDE与平面CDE的夹角为，则2742cos,sin1cos77==−=，故平面BDE与平面CDE夹角的正弦值为427.18.已知函数()

()21(0)fxxaxa=++.（1）证明：函数()fx的极大值大于1；（2）若函数()fx有3个零点，求实数a的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3iiiAxyi=是()fx图象上四个不重合的点

，直线03AA为曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点0A处的切线，若123,,AAA三点共线，证明：1202xxx+=.【答案】（1）证明见解析（2）332,2−−（3）证明见解析【解析】【分析】（

1）求导，得到函数单调性，确定当3ax=−−时，()fx取得极大值，由单调性得到()013aff−−=；（2）在（1）的基础上，得到函数()fx有3个零点，应满足03af−，即1033aaa−+−+，解得3322a−；（3）

表达出直线03AA的斜率03223300iAAkxxxxa=+++，同理可得1321222211331122,AAAAkxxxxakxxxxa=+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123xxx+=−，又()030AA

kfx=，所以()()303020xxxx+−=，求出302xx−=，故1202xxx+=.【小问1详解】证明：由题，()23fxxa=+，令()0fx=，解得3ax=−，当3ax<--或3ax>-时，()()0,fxfx单

调递增，当33aax--<<-时，()()0,fxfx单调递减，所以当3ax=−−时，()fx取得极大值，由单调性可知()013aff−−=，所以函数()fx的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当3ax=−−时，()fx有极大值，且极大值为1

03af−−，因为()(),;,xfxxfx→−→−→+→+，且当3ax=−时，()fx有极小值，所以要使得函数()fx有3个零点，应满足03af−，即1

033aaa−+−+，解得3322a−，所以实数a的取值范围为332,2−−.【小问3详解】直线03AA的斜率()()()0333223300303300303011AAxaxxaxxxxxxxakxxxx++−++−+++==−−，因为3

0xx，所以03223300iAAkxxxxa=+++，同理可得1321222211331122,AAAAkxxxxakxxxxa=+++=+++，因为123,,AAA三点共线，则有222211331122xxxxaxxxxa+++=+++，整理得()(

)()3232123xxxxxxx−+=−，因为32xx，所以321xxx+=−，即123xxx+=−，又()030AAkfx=，所以222330003xxxxaxa+++=+，整理得()()303020xxxx+−=，因为3

0xx，所以3020xx+=，即302xx−=，所以1202xxx+=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调

性判断函数的走势，从而判断零点个数19.已知有限集()123,,,,2nAaaaan=，若A中的元素()1,2,,iain=L满足1212nnaaaaaa=+++，则称A为“n元重生集”.（1）集合1212,22−−−+是否为“2元重生集”

，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*iaN，证明：“n元重生集”A有且只有一个，且3n=.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）12121212

2222−−−+−−−++，故1212,22−−−+不为“2元重生集”；（2）设正整数集123,,Aaaa=为“3元重生集”，设123aaa，利用不等式关系推出123aa，故121,2aa==，

求出1,2,3A=；（3）设123naaaa，得到121naaan−，当2n=时，推出矛盾，当3n=时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即1,2,3，当4n时，推出()1!nn−，但()1!nn−在4n上恒成立，故当4

n时，不存在“n元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】12121211212,1224422−−−+−−−−+==−+=−，因为121212122222−−−+−−−++，所以集合1212,22−−−+不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集123,,Aaa

a=为“3元重生集”，则123123aaaaaa=++，不妨设123aaa，则12312333aaaaaaa=++，解得123aa，因为*12,aaN，故只有121,2aa==满足要求，综上，1,2,3A=满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正

整数的“3元重生集”，即1,2,3A=.【小问3详解】不妨设123naaaa，由1212nnnaaaaaana=+++，得121naaan−，当2n=时，12a，故11a=，则221aa+=，

无解，若*12,aaN，则12,aa不可能是“2元重生集”，所以当2n=时，不存在“2元重生集”；当3n=时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即1,2,3，当4n时，()1211231na

aan−−，又121naaan−，故()1!nn−，事实上，()()()221!1232(2)2nnnnnnnn−−−=−+=−−+在4n上恒成立，故当4n时，不存在“n元重生集”，所以若*,iaN“n元重生集

”A有且只有一个，且3n=.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较

为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.