【文档说明】云南省昆明市2021届高三下学期3月”三诊一模“复习教学质量检测（二模）数学（理）试题 含答案.docx，共(10)页，696.408 KB，由小赞的店铺上传

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昆明市2021届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知

复数z满足21zii=+−，则z=（）A.3i−−B.3i−+C.3i+D.3i−2.集合()ln1Axyx==−，0Bxx=，则AB=（）A.()0,1B.()0,+C.)0,+D.()1,+3.已知5sincos4−=，则sin2=（）A.916−B.71

6−C.716D.9164.小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气

和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是（）A.90B.180C.220D.3605.已知P，Q分别是正方体1111ABCDABCD−的棱1BB，1CC上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（）A.平

面APQ与平面ABCD所成的角的大小为定值B.1AQBD⊥C.四面体ABPQ的体积为定值D.//AP平面11DCCD6.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知

其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在(1,2021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到

大的顺序排列，得到数列na，则数列na的项数为（）A.101B.100C.99D.987.曲线21xyxe−+=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A.eB.2eC.2eD.1e8.已知点P是ABC△所在平面内一点，且0PA

PBPC++=，则（）A.1233PABABC=−+B.2133PABABC=+C.1233PABABC=−−D.2133PABABC=−9.若等边三角形一边所在直线的斜率为33，则该三角形另两条边所在直线斜率为（）A.34−，35B.

34−，32C.32−，35D.32−，3410.已知1F，2F分别是椭圆E：()222210xyabab+=的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若123MFNF=，则椭圆E的离心率为（）A.13B.12C.2

2D.6311.饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，小于80mg/100ml的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的驾驶

行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100ml，若经过()*nnN小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml，则n的最小值为（参考数据：lg20.3010）（）A.7B.8C.9D.1012.已

知函数()sin()0,02fxx=+，66fxfx+=−−，22fxfx+=−，下列四个结论：①4=②93()2kkN=+③02f−=④直线3x=−是()fx图

象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（）A.①②B.①③C.②④D.③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点为F，右顶点为A，O为原点，若2OFOA=，则C的渐近线方程为_____

______.14.甲、乙两个样本茎叶图如下，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是__________.（填一个数据即可）15.在ABC△中，60BAC=，3BC=，D是BC上的点，AD平

分BAC，若2AD=，则ABC△的面积为__________.16.由正三棱锥SABC−截得的三棱台111ABCABC−的各顶点都在球O的球面上，若6AB=，三棱台111ABCABC−的高为2，且球心O在平面ABC与平面111ABC之间（不在两平面上），则

11AB的取值范围为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，四棱柱1111ABCDABCD−的侧棱1AA⊥底

面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为1CC，1AA的中点.（1）证明：B，E，1D，F四点共面；（2）若1ABAA=，3DAB=，求直线AE与平面1BEDF所成角的正弦值.18.已知等差数列na的前n项和为nS，332nnaa=−，

且5324SSa−=.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，证明：34nT.19.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉

年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为45，12，13，各题回答正确与否相互独立.（1）求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的

概率；（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X，求X的分布列及小明闯关成功的概率.20.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1,2A，B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为1k，2k，3k，且123111kkk+=，记B点的轨迹为E.（1）求曲线E的方程；（2）已知直线l：1xt

y=+，l与曲线E交于C，D两点，直线AC与x轴，y轴分别交于M，N两点，直线AD与x轴，y轴分别交于P，Q两点.当四边形MNPQ的面积最小时，求直线l的方程.21.已知函数()()cosxfxexaxaR=−−.（1）若()fx在)0,+上单

调递增，求a的取值范围；（2）证明：)0,x+，2sin2sinsincosxxexxxx+−.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方

程]在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为21xtyt=+=+（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=.（1）求1C的极坐标方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C，2C交于A，B两点，求OAO

B.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()323fxxx=−+−.（1）求不等式()6fx的解集；（2）若3,32x，3()160xafx−+，求实数a的取值范围.昆明市2021届“三

诊一模”高三复习教学质量检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5：DBABD6-10：ACDCC11-12：BB二、填空题13.3yx=−，3yx=14.76、77、78填一个即可15.33216.()2

6,6三、解答题17.解：（1）证明：连接BE，1DE，取1DD的中点为G，连接AG，GE，因为E，G分别为1CC，1DD的中点，由已知可得四边形ABEG为平行四边形，故//AGBE.因为F是1AA的中点，所以1//FDAG，所以1//FDBE，所以B，F，1D，E四点共

面.（2）连接AC、BD交于点O，取上底面1111ABCD的中心为1O，以O为原点，OA、OB、1OO分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，设2AB=，则()3,0,0A，()0,1,0

B，()3,0,1E−，()3,0,1F，()23,0,1AE=−，()3,1,1BF=−，()3,1,1BE=−−，设平面1BFD的一个法向量为(),,mxyz=，则030030mBFxyzmBExyz=−+==−−+=

，取()0,1,1m=.设直线AE与平面1BEDF所成角为，故26sin26mAEmAE==，所以直线AE与平面1BEDF所成角的正弦值为2626.18.解：（1）设数列na的公差为d，在332nnaa=−中令1n=，有3132aa=−，即11232ada+=

−，故11ad=+①.由5324SSa−=得4524aaa+=，所以123ad=②.由①②解得13a=，2d=.所以数列na的通项公式为：21nan=+.（2）()12(321)222nnnaann

Snn+++===+，所以211111222nSnnnn==−++，故1111111112324352nTnn=−+−+−++−+，所以11113231221242(1

)(2)nnTnnnn+=+−−=−++++.因为2302(1)(2)nnn+++，所以34nT.19.解：（1）设事件1A为小明回答正确第一个问题，事件2A为小明回答正确第二个问题，所以小明回答第一，第二个问题，至少有一个正确的概率为()()1241911111152

10PAPA−−−=−−−=.（2）设事件3A为小明回答正确第三个问题，由题知小明在闯关赛中，回答题目正确的个数X的取值为0，1，2，3，所以()()()1231121(0)11152315PXPAPAPA==−−−==，

()()()123(1)11PXPAPAPA==−−()()()()()()1231231111PAPAPAPAPAPA+−−+−−4121121111152352352330=++=，()()

()()()()()()()123123123(2)111PXPAPAPAPAPAPAPAPAPA==−+−+−4124111111352352352330=++=，()()()1234112(3)52315PXPAPAPA====.故X的分布列为：X

0123()PX11511301330215所以小明闯关成功的概率为13217(2)301530PX=+=.20.解：（1）设(),Bxy，依题意得1122xxyy−+=−，化简得24yx=，则曲线E的方程为：()240,1yxxx=

.（2）由（1）可知0t，设()11,Cxy，()22,Dxy，联立214xtyyx=+=得2440yty−−=，由韦达定理得124yyt+=，124yy=−，1121112241214ACy

ykyxy−−===−+−，则AC的方程为：142(1)2yxy−=−+，所以M的坐标为1,02y−，N的坐标为1120,2yy+，同理P的坐标为2,02y−，Q的坐标为2220,2yy+，所以122PyMy−=，()

()1212422yyyyNQ−=++，则()()()()()221212121212124122224MNPQyyyyyySMPNQyyyyyy−+−===+++++216162248tttt+==+，当且仅当1t=时等号成立，故四边形MNP

Q面积的最小值为4.所以四边形MNPQ的面积最小时，直线l的方程为1yx=−或1yx=−+.21.解：（1）'()sinxfxexa=+−，若()fx在)0,+上单调递增，则'()0fx，即sinxaex+，设()sinxgxex=+，

则'()cosxgxex=+，因为)0,x+，所以'()0gx，故()gx在)0,+上单调递增，所以()()01gxg=，所以1a.所以a的取值范围为(,1−.（2）设()()sin0Fxxxx=−，则'(

)1cos0Fxx=−，所以()Fx在)0,+上单调递增，所以()()00FxF=，所以sinxx，所以0,1x时，22sinxx，当()1,x+时，显然22sinxx，故)0,x+时，22sinxx.设()21()cos102Gx

xxx=+−，则'()sinGxxx=−+，''()1cos0Gxx=−，则'()Gx在)0,+上单调递增，所以()'()'00GxG=，所以()Gx在)0,+上单调递增，所以()()00GxG=，即21cos12xx−.所以2102cos12xx−+.所以22

221sinsin(2cos)(2cos)12xxxxxxxxx+−+−++，只需证22112xxexxx++，即证2112xexx++.设21()1(0)2xhxexxx=−−−，则'()1xhxex=−−，''()10xhxe=−，所以'(

)hx在)0,+上单调递增，所以()'()'00hxh=，所以()hx在)0,+上单调递增，()()00hxh=.故2112xxex++成立，所以，当)0,x+时，2sin2sinsincosxxexxxx+−.综上所述，)0,x+，2si

n2sinsincosxxexxxx+−.22.解：（1）1C的普通方程为1xy−=，所以1C的极坐标方程为cossin1−=，2C的直角坐标方程为()2224xy−+=.（2）1C的极坐标方程为cossin1

−=，2C的极坐标方程为4cos=，联立cossin14cos−==，解得cos4=，1sin4=−，由22sincos1+=得421280−+=，所以22128=，1

222=，所以1222OAOB==.23.解：（1）336,()23,3236,3xxxxxfxx−+−=，由()6fx，得32366xx−+或3326xx或3366xx

−.故04x，所以不等式()6fx的解集为0,4.（2）当3,32x时，()fxx=，存在3,32x，3()160xafx−+，即3160xax−+，即216axx+，只需2min16axx+，3,32x.因为3

222168888312xxxxxxxx+=++=，当且仅当28xx=，即2x=时取等号，所以2min1612xx+=，故12a.所以实数a的取值范围为()12,+.