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学科网（北京）股份有限公司2024年高考押题预测卷01【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．设集合2230,log1AxxxBxx=−=∣∣，则()AB=Rð（）A．()0,2B．(0,2C．(1,2D．

()2,3【答案】B【详解】230xx−，得03x，即03Axx=，2log1x，得2x，即2Bxx=，2Bxx=Rð，所以()(020,2ABxx==Rð.故选：B2．设数列na的前n项之积为nT，满足21nnaT+=（

*Nn），则2024a=（）A．10111012B．10111013C．40474049D．40484049【答案】C【详解】因为*21(N)nnaTn+=，所以1121aT+=，即1121aa+=，所以113a=，所以*121(2,N)nnnTTnnT−

+=，显然0nT，所以*1112(2,N)nnnnTT−−=，所以数列1{}nT是首项为11113Ta==，公差为2的等差数列，所以132(1)21nnnT=+−=+，即121nTn=+，所以202420242

0231404722024114049220231TaT+===+．故选：C．3．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.2

5g/m，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量nr满足函数模型0.25010()3ntnrrrr+=+−（tR，学科网（北京）股份有限公司*nN），其中0r为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r为

首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A．12B．13C．14D

．15【答案】D【详解】由题意知302.25g/mr=，312.21g/mr=，当1n=时，0.251010()3trrrr+=+−，故0.2531t+=，解得0.25t=−，所以0.25(1)2.250.043nn

r−=−．由0.65nr，得0.25(1)340n−，即lg400.25(1)lg3n−，得4(12lg2)114.33lg3n++，又*nN，所以15n，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良

工艺的次数最少要15次．故选：D4．已知点M在抛物线2:4Cyx=上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是KMF△的中位线，可知||2||

MFON=，过,MN向准线做垂线，垂足分别为11,MN，同理1NN是1KMM△的中位线，11|||2|MMNN=，由抛物线定义知11|||,|||||MMMFNNNF==，故得||||ONNF=，学科网（北京）股

份有限公司又(1,0)F，则N点横坐标是12，代入24yx=可得其纵坐标为2，故2213||()(2),||322ONMF=+==.故选：C．5．已知0.50.3sin0.5,3,log0.5abc===，则,,abc的

大小关系是（）A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】B【详解】对π0,2x，因为sinyxx=−，则cos10yx=−，即函数sinyxx=−在π0,2单调递减，且0x=时，0y=，则sin0xx−，即sinxx，所以sin0

.50.5a=，因为0.30.30.32log0.5log0.25log0.31==且0.30.3log0.5log0.31=，所以0.30.5log0.51c=，又0.50331b==，所以acb.故选：B

6．设等差数列na的公差为d，则“10ad”是“{}nan为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由等差数列na的公差为d，得1naadnd=−+，则1naaddnn−=+，当10ad时，

10ad−，而111nn+，则111adadnn−−+，因此11nnaann++，{}nan为递增数列；当{}nan为递增数列时，则11nnaann++，即有111adadnn−−+，整理得1ad，不能推出10a

d，所以“10ad”是“{}nan为递增数列”的充分不必要条件.故选：A7．已知21sincos,cossin22+=−=−，则()cos22−=（）A．732B．732−C．53932D．5393

2−【答案】A【详解】解：因为21sincos,cossin22+=−=−，所以222211sin2sincoscos,cos2cossinsin24++=−+=，学科网（北京）股份有限公司两式相加得：()322s

incoscossin4+−=，即()322sin4+−=，化简得()5sin8−=−，所以()()27cos2212sin32−=−−=，故选：A8．已知函数()fx的导函数()()()

22fxxxxm=+++，若函数()fx有一极大值点为2−，则实数m的取值范围为（）A．()2,−+B．(4,2−−C．(,2−−D．(),2−−【答案】D【详解】由题意()()()22fxxxxm=+++，令()2gxxxm=++，若()0gx恒成立，易

知：当(),2x−−时()0fx，当()2,x−+时()0fx，所以2−是()fx的极小值点，不合题意，故()gx有两个不同零点．设()gx的两个零点分别为()1212,xxxx，则()()()()122fxxxxxx=−+−，结合三次函数的图象与性质知：122xx−

，在()1,x−、()22,x−上()0fx，()fx单调递减，在()1,2x−、()2,x+上()0fx¢>，()fx单调递增，2−是()fx的极大值点，符合题意，此时需()220gm−=+，得2m−，所以实数m的取值范围为(),2−−．故

选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,zz，则下列命题一定成立的有（）A．若120zz+=，则12zz

=−B．若12=zz，则2212zz=C．1212··zzzz=D．()()221222zzzz+=+【答案】AC学科网（北京）股份有限公司【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.【详解】设12i,i(

,,,)zabzcdabcd=+=+R，则1z=2i,iabzcd−=−.对于A：12ii()()izzabcdacbd+=+++=+++，若1|z+2|0z=，则0,0acbd+=+=，所以12iizzabcd+=−+−=()()i

0acbd+−+=，即12zz=−，故A一定成立；对于B：222212,zabzcd=+=+，若12=zz，则2222+=+abcd①，2222212i(i)2izaabbabab=++=−+，同理22222izcdcd=−+，若2212zz=

，则需满足2222abcd−=−且abcd=，与①式不同，故B不一定成立；选项C：()()()()()()2212·iiizzabcdacbdadbcacbdadbc=++=−++=−++，()()()()()()2212·iiiz

zabcdacbdadbcacbdadbc=−−=−−+=−++，所以1212·zzzz=，故C一定成立；选项D：()22212[()()i]()zzacbdac+=+++=+−2()2()()ibdacbd++++②，()()()()()()()222212i2izzacbdacbdacbd

+=+−+=+−+−++，与②式不同，故D不一定成立.故选：AC10．已知()213sincoscos,02222xxxfx=+−，下列结论正确的是（）A．若()fx的最小正周期为π，则2=B．若()fx的图

象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则min1=C．若()fx在)0,2π上恰有4个极值点，则的取值范围为513,36D．存在，使得()fx在ππ,64−上单调递减【答案】ABC【详解】由

()2131π3sincoscossincossin2222226xxxfxxxx=+−=+=+，对于A，若()fx的最小正周期为π，则2π2T==，故A正确；对于B，若()fx

的图象向左平移π3个单位长度后得ππππsinsin3636yxx=++=++，其图象关于学科网（北京）股份有限公司纵轴对称，则有()ππππZ13362kkk+=+=+，显然min1=，故B正确；对于C，)πππ

0,2π,2π666xx++，根据题意有7ππ9π5132π,26236+，故C正确；对于D，πππππππ,,6466646xx−+−++，显然πππ466+，πππ

666−+，即该区间为包含π6的连续区间，根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.故选：ABC11．六氟化硫，化学式为6SF，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体

结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A．该正八面体结构的表面积为223mB．该正八面体结构的体积为32mC．该正八面体结构的外接球表面积为22πmD．该正八面体结构的内切球表面积为22π3m【答案】ACD【详解

】学科网（北京）股份有限公司对A：由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，故该正八面体结构的表面积2238234Smm==，故A正确；对B：连接,ASPS，则22ASPSm==，PS⊥底面ABCD，故该正八面体结构的体积23

1222323Vmmm==，故B错误；对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径22RPSm==，故该正八面体结构的外接球表面积22π(2)2πSmm==，故C正确；对D：该正八面体结构的内

切球半径323222323VmmrSm===，故内切球的表面积2222π4π()323mmS==，故D正确；故选：ACD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．62()xxyy−+的展开式中24xy的系数为．【

答案】24【详解】二项式6()xy+的展开式通项公式为616C,6,NrrrrTxyrr−+=，当4r=时，4242456C15Txyxy==，当=5r时，515566C6Txyxy==，因此展开式中含24xy的项为245242156()24xxyxyxyy+−=，故所求系数

为24.故答案为：24.13．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为36π，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线PO所成角为π6，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为1S，2S，则12SS=.【答案】815π160【详解】令球O半径为

R，则34π36π3R=，解得3R=，由平面与直线PO成π6角，得平面截球所得小圆半径π33cos62rR==，因此2127ππ4Sr==，学科网（北京）股份有限公司由球O的内接圆锥高为2，得球心O到此圆锥底面距离21dR=−=，则圆锥底面圆半径2222rRd

=−=，令平面截圆锥所得截面为等腰PAB，线段AB为圆锥底面圆1O的弦，点C为弦AB中点，如图，依题意1π6CPO=，12PO=，14π3cos6POPC==，123CO=，显然222452(22)()33AB=−=，于是2

18523SABPC==，所以1227π8154π160853SS==.故答案为：815π16014．已知双曲线22:13yCx−=的左右顶点分别为,AB，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线,PAPB的倾斜角分别为,，则tantan=；当2tantan

+取最小值时，PAB的面积为．【答案】326【详解】设(,),(0,0)Pmnmn，则2213nm−=，可得223(1)nm=−，又因为,AB分别为双曲线22:13yCx−=的左右顶点，可得(1,0),(1,0)AB−，所以22tantan3111

APBPnnnkkmmm====+−−；又由tan0,tan0，所以2tantan22tantan26+=，当且仅当2tantan=时，等号成立，所以211nnmm=+−，解得3m=，所以223(1)24nm=−=，所以2

6n=，所以PAB的面积为1122262622Pay==.故答案为：3；26.学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．如图，在平面四边形ABCD

中，4ABAD==，6BC=．(1)若2π3A=，π3C=，求sinBDC的值；(2)若2CD=，cos3cosAC=，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)34(2)162853+【详解】（1）在ABD△中，4ABAD==，2π3A=，则π6ADB

=，π2cos24cos436BDADADB===，在BCD△中，由正弦定理得sinsinBCBDBDCC=，π6sinsin33sin443BCCBDCBD===.（2）在ABD△和BCD△中，由余弦定理得222222cos44244cos3232co

sBDABADABADAAA=+−=+−=−，222222cos62262cos4024cosBDCBCDCBCDCCC=+−=+−=−，得4cos3cos1AC−=−，又cos3cosAC=，得11cos,cos39AC=−=−，则22sin

3A=，45sin9C=，四边形ABCD的面积11sinsin22ABDBCDSSSABADACBCDC=+=+12214516285446223293+=+=.16．已知函数()2()2

e,Rxfxxxaa=−+．(1)若1a=，求函数()fx在[0,3]x上的最大值和最小值；(2)讨论函数()fx的单调性．【答案】(1)最大值为34e，最小值为0；(2)答案见解析.学科网（北京）股份有

限公司【详解】（1）当1a=时，()2()21exfxxx=−+，则()2()1exfxx−=，令()2()1e0xfxx=−=，得1x=或=1x−，由于[0,3]x，所以当()0,1x，()0fx，(

)fx在()0,1单调递减，所以当()1,3x，()0fx，()fx在()1,3单调递增，所以()fx在1x=时取到极小值，且(1)0f=，又因为(0)1f=，3(3)4ef=，综上，函数()fx在[0,3]x上的最大值为34e，最小值为0.（2）因为()2(

)2e,Rxfxxxaa=−+，所以()2()2e,Rxfxxaa−=+，当20a−，即2a时，()2()2e0xfxxa=+−，()fx在(),−+单调递增，当20a−，即2a时，令()2()2e0xfxx

a=+−=，则2xa=−，所以当(),2xa−−−，()0fx，()fx在(),2a−−−单调递增，当()2,2xaa−−−，()0fx，()fx在()2,2aa−−−单调递减，当()2,xa−+，()0fx，()f

x在()2,a−+单调递增.综上所述，当2a时，()fx在(),−+单调递增，当2a时，()fx在(),2a−−−，()2,a−+单调递增，在()2,2aa−−−单调递减.17．2023年12月2日，中央广

播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况

赋予相应的认知度分值，得到如下表格：认知情况A类：不会读不会写B类：会读不会写C类：会读且会写但不理解D类：会读、会写且理解学科网（北京）股份有限公司人数/万人103055认知度分值507090100(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；(2)为

了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；(3)若从参与

调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)71，209(2)1398(3)分布列见解析，310【详解】（1）参与调查的人员认知度分值的平均数为()4410105030705905

100715010x=+++=，方差为()()()()422222410105071307071590715100712095010s=−+−+−+−=．（2）将这8个字随机排列，不同的排列方法有

882222AAA种，相同的字分别相邻的不同情况有66A种，故参与者可以获得奖励的概率66882222A1A14AAP==．若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为121113C1141498−=．（3）根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类

抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人，则X的所有可能取值为0，1，2，则()318320C680C95PX===，()12218320CC511C190PX===，()21218320CC32C190PX===，∴X的分布列为X012

P6895511903190∴X的数学期望为()6851330129519019010EX=++=．学科网（北京）股份有限公司18．已知四棱柱1111ABCDABCD−如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面1111DCBA内的投影为点1A，且

1ABAA==2,120ADABC=．(1)求证：平面1ABD⊥平面11ADDA；(2)已知点E在线段1CD上（不含端点位置），且平面1ABE与平面11BCCB的夹角的余弦值为55，求1DEEC的值．【答案】(1)证明见解析(2)113DEEC=【详解】（1）不妨设1AD=，因为1AD⊥平面,

ABCDAD平面ABCD，故1ADAD⊥，在ADB中，2,1,60ABADDAB===，由余弦定理，222222cos21221cos603BDABADABADDAB=+−=+−=，得3BD=，故222ADBDAB+=

，则ADDB⊥，因为11,,ADDBDADDB=平面1ABD，所以AD⊥平面1ABD，而AD平面11ADDA，所以平面1ABD⊥平面11ADDA；（2）由（1）知，1,,DADBDA两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系Dxy

z−，则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,3,1,3,0DABAC−，故()112,3,0,ACACAC=−=，()12,3,3C−，所以()()110,3,3,2,3,3ABDC=−=−，设()101DEDC=

，则()12,3,3DEDC==−，即()2,3,3E−，所以()12,3,33AE=−−；学科网（北京）股份有限公司设()111,,nxyz=为平面1AEB的一个法向量，则()111111133023330nAByznAExyz=−==−+−−=，

令12z=，则112,233==−yx，所以()233,2,2n=−，因为y轴⊥平面11BCCB，则可取()0,1,0m=为平面11BCCB的一个法向量，设平面1AEB与平面11BCCB的夹角为，则225c

os520123nmnm===−+，解得14=，故113DEEC=．19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其

实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面()222222Γ:10,0,0xyzabcabc++=，这说明椭球完全包含在由平面,,xa

ybzc===所围成的长方体内，其中,,abc按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面0z=的截痕是椭圆22:12+=xEy.(1)已知椭圆()222210xyabab+=在其上一点()00,Qx

y处的切线方程为00221xxyyab+=．过椭圆E的左焦点1F作直线l与椭圆E相交于,AB两点，过点,AB分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABM面积的最小值．(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容

异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当bc=时，椭球面Γ围成的椭球是一个旋转学科网（北京）股份有限公司体，类比

计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．【答案】(1)22(2)42π3【详解】（1）椭圆E的标准方程为2212xy+=，则()11,0F−．当直线l的倾斜角为0时，,AB分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直

线l的倾斜角不为0,设直线()()1122:1,,,,lxtyAxyBxy=−,由22121xyxty+==−,得()222210tyty+−−=，则212122221Δ880,,22ttyyyy

tt−=++==++，所以()222121212114ABtyytyyyy=+−=++−()()2222222221441222tttttt+=++=+++,又椭圆E在点A处的切线方程为1112xxyy+=，在点B处的切线方程为2212xxyy

+=，由11221212xxyyxxyy+=+=，得()()()()()2121211221122112222211Myyyyyyxxyxytyytyyyy−−−====−−−−−−，代入1112xxyy+=，得()1111111Mtyxytyy+−+===，所以()2,

Mt−，则点M到直线l的距离222111tdtt−−==++，所以()()2222222212111112222ABMtttSABdttt+++==+=++，设211mt=+，则3221ABMmSm=+△，学科网

（北京）股份有限公司令()3221mfmm=+，则()()()42222301mmfmm+=+，所以()fm在)1,+上单调递增，所以当1m=，即0=t时，ABM的面积最小，最小值是22；（2）椭圆E的焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，椭球由椭圆E及其内部绕x轴旋转18

0而成旋转体，构造一个底面半径为1，高为2的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为()02hh时，设小圆锥底面半径为r，则12hr=，即22rh=，所以新几何体的截面面积为21ππ2h−，

把xh=代入22:12+=xEy，得2212hy+=，解得22112yh=−，所以半椭球的截面面积为221πππ2yh=−，由祖暅原理，得椭球的体积()142π222π2π33VVV=−=−=圆柱圆锥.