【文档说明】山东省泰安市新泰市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.653 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题一、选择题1.下列命题中正确的个数有（）①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A.0B.1C.2D.3

【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．【详解】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//ABCD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；

对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误；对于④，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.故选：

A．【点睛】本题考查向量的基本定义和命题的真假判断，关键是理解向量有关概念的定义．2.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对【答案】C【解析】【分

析】事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”不可能同时发生，故它们是互斥事件.事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生，故它们不是对立事件.【详解】由题意知，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1

号”不可能同时发生.由互斥事件的定义可知，它们是互斥事件.又事件“丙分得4排1号”与事件“丁分得4排1号”其中一个可能发生，即事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生.由对立事件的定义知，它们不是对立事件.故选：C.

【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.3.如图，已知AP＝43AB，用OA，OB表示OP，则OP等于()A.13OA－43OBB.13OA＋43OBC.－13OA＋43OBD.－13OA－43OB

【答案】C【解析】OP＝OA＋AP＝OA＋43AB＝OA＋43(OB－OA)＝－13OA＋43OB，选C.4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0

到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113

537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共

有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p==故选：B【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且

直观图OABC的面积为2，则原梯形的面积为（）A.2B.22C.4D.42【答案】D【解析】【分析】根据24SS=直观原图，可求出原梯形的面积.【详解】由斜二测画法知，24SS=直观原图，又2S=直观，42S=原图.故选：D.【点睛】本题考查斜二测画法，属

于基础题.6.一组数据1a，2a，3a，…，na的平均数为1，标准差为2，则数据123a−，223a−，323a−，…，23na−的平均数与标准差分别是（）A.1−，4B.1−，1−C.2，4D.2，1−【答案】A【解析】【分

析】根据平均数和标准差的计算公式，可得答案.【详解】由题意知，()12312311,nnxaaaaaaaann=++++=++++=，123a−，223a−，323a−，…，23na−的平均数为()()()1212111232323

23231nnyaaaaaannnnnn=−+−++−=+++−=−=−.数据1a，2a，3a，…，na的标准差为2，()()()2222212111124nSaaan=−+−++−==,123a−

，223a−，323a−，…，23na−的方差为()()()()()()222222'2121211231231231414141nnSaaaaaann=−++−+++−+=−+−++−2416S==，'4S=，即数据123a−，22

3a−，323a−，…，23na−的标准差为4.故选：A【点睛】本题考查平均数和标准差，属于基础题.7.《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是

：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（）A.66立方尺B.78立方尺C.84立方尺D.92立方尺【

答案】C【解析】【分析】如图，在DC，EF上取G，H，使得DGEHAB==，连接BG，BH，GH，CH，ADEBGHBCGHFVVV−−=+，计算得到答案.【详解】如图，在DC，EF上取G，H，使得DGEHAB==，连

接BG，BH，GH，CH，故多面体的体积11()7332ADEBGHBCGHFVVVSABCGHF−−=+=++直截面111736(42)7384232=+=，故选：C．【点睛】本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生

的计算能力和空间想象能力.8.已知点O在平面ABC中，且2220||||OAABOAACOBBAOBBCOCCAOCCBABACBABCCACB−+−+−=

，则点O是ABC的（）A.重心B.垂心C.外心D.内心【答案】D【解析】【分析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.由题意得，0||||OAABOAACABAC−=，0OBBAOBBCBABC−=，0OCCA

OCCBCACB−=.根据数量积的定义，化简这3个等式，即得点O的位置.【详解】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.2220||||OAABOAACOBBAOBBCOCCAOCCBABACBABCCACB−+−+−=，0|

|||OAABOAACABAC−=，0OBBAOBBCBABC−=，0OCCAOCCBCACB−=.当0||||OAABOAACABAC−=时，||||OAABOAACABAC=如图所示即coscos||||OAA

BDABOAACDACABAC=，,DABDACOABOAC==，点O在ABC的内角A的角平分线上.同理，点O在ABC的内角B的角平分线上，点O在ABC的内角C的角平分线上.点O是ABC的内心.故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积

，属于中档题.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πRB.圆锥的侧面积为22πRC.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆锥的表面积最小【答案】CD【

解析】【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积计算公式，球的表面积计算公式，对选项逐一判断，即得答案.【详解】由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.则圆柱的侧面积为22π24RRR=，故A错误.圆锥的侧面积为2122RRR

=，故B错误.球的表面积为24,R圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确.圆锥的表面积为2222SSRRR+=+=侧底，圆柱的表面积为2222426SSRRR+=+=侧底，球的表面积为24,R圆锥

的表面积最小，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积的计算公式，属于基础题.10.下列结论正确的是（）A.若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同B.ABC中，D是BC中点，则1()2ADABAC=+C.向量AB与

向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D.若ab，则R，使ab=【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，对四个选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，a与b的方向相同或相反，所以A错误；对于B，由向量的中点公式，可知是正确的；对于C

，A，B，C，D不一定在一条直线上，如ABCD的四个顶点；对于D，当0b=时，不一定存在R，使ab=，所以D错误．故选：B．【点睛】本题考查对平面向量的线性运算和共线定理的理解及应用，属于常考题.11.2.5PM是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽

值限定值，即2.5PM日均值在335/gm以下空气质量为一级，在335~75/gm空气量为二级，超过375/gm为超标．如图是某地12月1日至10日的2.5PM（单位：3/gm)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（）A.这10天中有3天空气质量为一级B.从6日到9日2.5PM日

均值逐渐降低C.这10天中2.5PM日均值的中位数是55D.这10天中2.5PM日均值最高的是12月6日【答案】C【解析】【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一

级，所以A正确；从图可知从6日到9日2.5PM日均值逐渐降低，所以B正确；从图可知，这10天中2.5PM日均值最高的是12月6日，所以D正确；由图可知，这10天中2.5PM日均值的中位数是4145432+=，所以C不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有

关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.12.设m、n表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是（）．A.若//m，//

mn，则//nB.若m，n，//m，//n，则//C.m、n是两条异面直线，若//m，//m，//n，n//．则//．D.若//，//m，//nm，n，则n/

/【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一分析：A项，有可能n.B项，当与相交，且直线,mn都平行于与的交线时，也符合条件.C项，设直线'//nn，且'nmO=，直线'n与m确定的平面为，可证//,//，故//.D项，

易知m//或m.分m//或m两种情况判断n与的位置关系，即得答案.【详解】A项，若//m，//mn，则//n或n，故A错误.B项，当与相交，且直线,mn都平行于与的交线时，也

符合条件，故B错误.C项，设直线'//nn，且'nmO=，直线'n与m确定的平面为.由题意'n.'''//,//,,//nnnnn，又'',,,////,nmOnmm=.同理//，//.故C正确.D项，//,

//,//mm或m.若m//，过m作平面交于直线l，则m//l.//,//nmnlQ，又//,,nnl.若m，////,,nnmnQ.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系，属于中档题.三、填空题（每小题5

分，共4小题20分）13.已知i为虚数单位，若复数122izi+=−，z的共轭复数为z，则zz=________.【答案】1.【解析】【分析】先通过除法，化简复数z，再计算其共轭复数，用乘法计算结果.【详解】由题可知(12)(2)(2)(2)iiziii++==−+，

所以zi=−，所以()1zzii=−=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的除法、乘法以及共轭复数的求解.14.已知(1,2),(2,)ab=−=，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是__.【答案】1,-4且【解析】【分析】由a与b的夹角为锐角，设为θ，则0＜cosθ＜1，由

两个向量的夹角公式求出cosθ的解析式，代入不等式求解．【详解】∵a与b的夹角为锐角，设为θ，则0＜cosθ＜1，又cosθ＝22254abab−=+，∴0＜22254−+＜1，∴λ＜1且4﹣8λ+4λ2＜20+5λ2，即λ＜1且λ≠﹣4.故答案为λ＜1且λ≠

﹣4．【点睛】本题考查向量的数量积和两个向量的夹角公式，当两个向量的夹角为锐角时，夹角的余弦值大于0且小于1，属于基础题．15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C

处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】63【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得45,75,60oooACBBACB===由正弦定理可得3

202106sin60sin4522ooACABAC===，所以海轮的速度为1066303=海里/分．故答案为63.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．16.如图，在ABC中，3ABAC==，1co

s3BAC=，2DCBD=，则ADBC的值为．【答案】2−【解析】试题分析：2()()3221[()]()()333ADBCACCDBCACCBBCACABACBCABACACAB=+=+=+−=+−222116132333ABABACAC=−++=−++=−

考点：向量数量积四、解答题17.已知复数12zi=−（i为虚数单位）.（1）若002zzzz=+，求复数0z的共轭复数；（2）若z是关于x的方程250xmx−+=一个虚根，求实数m的值.【答案】（1）2i−；（2）2．【解析】分析：（1）因为002zzzz=+

，所以021zzz=−，求出0z，即可得到0z的共轭复数；（2）将12zi=−代入方程250xmx−+=，根据复数相等可求求实数m的值.详解：（1）因为002zzzz=+，所以()02122212izzizi

−===+−−，所以复数0z的共轭复数为2i−.（2）因为z是关于x的方程250xmx−+=的一个虚根，所以()()2121250imi−−−+=，即()()2240mmi−+−=.又因为m是实数，所以2m=.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的

定义，考查了计算能力，属于基础题．18.已知ABC中，()2,4A，()1,2B−−，()4,3C，BC边上的高为AD.（1）求证：ABAC⊥；（2）求点D和向量ADuuuv的坐标；（3）设ABC=，求cos.【答案】

（1）见解析；（2）D点坐标为75,22，ADuuuv33,22=−；（3）31010.【解析】【分析】（1）计算ABACuuuruuur可得；（2）由ADBC⊥及,BDBC共得D点坐标，再得

向量AD；（3）由cosBABCBABC=计算可得．【详解】（1）证明：()()12,243,6AB=−−−−=−−，()()42,342,1AC=−−=−.()()32610ABAC=−+−−

=，ABAC⊥，即ABAC⊥.（2）设D点坐标为(),xy，则()2,4ADxy=−−，又()()41,325,5BC=++=，ADBC⊥，()()52540ADBCxy=−+−=.①又()1,2BDxy=++，而BD与BC共线，()()5152xy+=+，②由①②解得72x=，

52y=，故D点坐标为75,22，752,422AD=−−33,22=−.（3）()3,6BA=，()5,5BC=，cosBABCBABC=22223565310103655+==++.【点睛】本题考查向量垂直的

坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查求向量的夹角问题．根据题设条件，利用向量的夹角公式或相关知识构建方程（或方程组），把向量问题转化为代数问题，用方程思想求向量坐标.同时要注意转化的细节，如本题中的第（3）问，必须是向量

BC与向量BA的坐标，有的同学不小心用AB和BC的坐标进行计算而导致错误.19.2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷

调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75,100内，按成绩分成5组：第1组)75,80，第2组)80,85，第3组)85,90，第4组)90,

95，第5组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．()1求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；()2求第3，4，5组分别

选取的作深入学习的人数；()3若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．【答案】（1）87.25；（2）3，2，1；（3）45【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【详解】(

)1这100人的平均得分为：75808085859090959510050.010.070.060.040.0287.2522222x+++++=++++=.()2第3组的人数为0.06

510030=，第4组的人数为0.04510020=，第5组的人数为0.02510010=，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1.()3记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结

果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己)共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取

的概率为124.155P==【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.20.设,ab是不共线的两个非零向量.（1）若233OAabOBabOCab=−=+=−，，，求证：ABC，

，三点共线；（2）若8akb+与2kab+共线，求实数k的值；（3）若232ABabBCabCDakb=+=−=−，，，且ACD，，三点共线，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4.（3）43

k=.【解析】【分析】（1）利用向量的加法运算得ACAB=−，再利用共线向量定理得ABC，，三点共线；（2）假设存在实数使得()82akbkab+=+，从而得到关于,k的方程组；（3）由ACD，，三点共线得AC与CD共线，设ACCD=，即()322ax

akb−=−，从而得到关于,k的方程组。【详解】证明：（1）22ABOBOAabACOCOAab=−=+=−=−−，，所以ACAB=−.又因为A为公共点，所以ABC，，三点共线.（2）设()82akbkab+=+R，，则82kk==，，解得42k

==，或42k=−=−，，所以实数k的值为4.（3）()()2332ACABBCababab=+=++−=−，因为ACD，，三点共线，所以AC与CD共线.从而存在实数使ACCD=，即()322abakb−=−，得322

.k=−=−，解得324.3k==，所以43k=.【点睛】本题考查共线向量基本定理的运用，考查方程思想和基本运算求解能力。21.已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量(),3cossinmacAC=++，(),sinnb

B=满足//mnurr．（1）求角A．（2）若ABC的面积为43，5a=，求ABC的周长．【答案】（1）π3A=；（2）573+【解析】【分析】（1）由//mnurr得()()sin3coi0ssnacBbAC++=−.由正弦定理得sinsin3sincosABBA=，可求角A．（2）由（1）知

π3A=.由三角形面积公式可得1sin432bcA=，求出bc.由余弦定理求出bc+，即求ABC的周长．【详解】（1）由//mnurr得()()sin3cossinacBbAC+=+，由正弦定理得()s

insinsinsinsin3sincosACBBCBA+−=．即sinsin3sincosABBA=.(0,π)B，sin0B，tan3A=．(0,π)A，π3A=．（2）ABC的面积为43，1sin432bcA=．由（

1）知π3A=，16bc=．由余弦定理得()()22222222cos34825abcbcAbcbcbcbcbc=+−=+−=+−=+−=．73bc+=．ABC的周长为573+．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示、正余弦定理和三角形面积公式，属于中档题.