【文档说明】甘肃省2021年高中学业水平考试模拟考试数学试题4含解析.docx，共(12)页，168.855 KB，由小赞的店铺上传

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2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（4）高中数学一、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0)B．－1C．1D．02．设函数f(x)＝3x－b，x<1，2x，x≥1.若f(f(5

6))＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.123．直线x－y＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．90°D．135°4．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥组成的组合

体5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()A．13B．14C．23D．－136.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为()A.=1.23x+0.08B.=1.23x+5C

.=1.23x+4D.=0.08x+1.237．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°8．定义“符号函数”sgn(x)＝1，x>00，x＝0－1，x<0，则不等式(x＋

1)sgn(x)>2的解集为()A．{x|－3<x<1}B．{x|－1<x<2}C．{x|x<－3或x>1}D．{x|x<－1或x>2}9．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足AB，则实数a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{

a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}10．函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．311．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2

x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．312．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是()A.内切B．相交C．外切D．外离13．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为13，则m，n的值分别为()A．4和3

B．－4和3C．－4和－3D．4和－314．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()A．y＝－3xB．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4

)D．y＝3(x＋4)15．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一个平面16．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2,则

此棱锥的高被分成的两段之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶(2＋1)D．1∶(2－1)17．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(

)18．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为()A．1B．2C．2D．2219．已知三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2

,SB＝SC＝4,则该三棱锥的外接球的半径为()A．3B．6C．36D．920．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则yx的最大值为()A.32B.3＋22C.2＋2D.6二、填空题（共4小题，

每小题3分，共12分）21．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．22．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面面积为________cm2.23．直

线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.24．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．三、解答

题（共3小题，共28分）25．(本小题满分8分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长.26．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，B

C＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.27．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－34.(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．2

021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（4）高中数学解析版四、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0)B．－1C．1D．0解析：由1＋1x＝0，得1x＝－1，∴x＝－1.答案：B2．设函数f(x)＝3x－b

，x<1，2x，x≥1.若f(f(56))＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.12解析：f(f(56))＝f(3×56－b)＝f(52－b)．当52－b<1，即b>32时，3×(52－b)－b＝4，解得

b＝78(舍)．当52－b≥1，即b≤32时，2×(52－b)＝4，解得b＝12.故选D.3．直线x－y＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．90°D．135°A[因为直线的斜率为1，所以tanα＝1，即倾斜角为45°.故选A.

]4．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥组成的组合体D[直角三角形的斜边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．]5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB

|等于()A．13B．14C．23D．－13A[因为点B是A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，所以B点的坐标是(0，2，3)，所以|OB|＝13.]6.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为()A.=1.23x+0.08B.=

1.23x+5C.=1.23x+4D.=0.08x+1.23【解析】选A.设回归直线方程为=x+，则=1.23，因为回归直线必过样本点的中心，代入点(4，5)得=0.08.所以回归直线方程为=1.23x+0.0

8.7．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]8．定义“符

号函数”sgn(x)＝1，x>00，x＝0－1，x<0，则不等式(x＋1)sgn(x)>2的解集为(C)A．{x|－3<x<1}B．{x|－1<x<2}C．{x|x<－3或x>1}D．{x|x<－1或x>2}解析：①当x>0时，sgn(x

)＝1，则不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，sgn(x)＝0，则不等式无解；③当x<0时，sgn(x)＝－1，则不等式的解集为{x|x<－3}．综上，不等式(x＋1)sgn(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．故选C.9．设集合A＝{x|1

＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足AB，则实数a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}解析：如图：答案：A10．函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为

()A．0B．1C．2D．3解析：在同一直角坐标系下作出函数f(x)＝lnx与g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，如图所示．由图知f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选C.答案：C11．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(

x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：∵x≤0时，f(x)＝2x2－x∴f(－1)＝2－(－1)＝3.又f(x)为R上的奇函数，故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.答案：A12．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N

(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是()A.内切B．相交C．外切D．外离B[∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0，0)，半径为r1＝2；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1，2)，半径为r2＝3.∵MN＝12＋22＝5，且3－2<5<3＋2，∴两圆的位

置关系是相交．]13．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为13，则m，n的值分别为()A．4和3B．－4和3C．－4和－3D．4和－3C[由题意知：－mn＝－43，即3m＝4n，且有－1n＝13，∴n＝－3，m＝－4.]14．已知等

边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()A．y＝－3xB．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4)D．y＝3(x＋4)C[由题意知∠A＝∠B＝60°，故直线BC的倾斜角为60°，∴kBC＝tan60°＝3

，则BC边所在的直线方程为y＝3(x－4).]15．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一个平面B[若α∥β，则α内有无数条直线与β

平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β

的充要条件．故选B.]16．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此棱锥的高被分成的两段之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶(2＋1)D．1∶(2－1)D[借助轴截面，利用相似的性质，若截面面积与底面面积之比为1∶

2,则对应小棱锥与原棱锥高之比为1∶2，被截面分成两段之比为1∶(2－1).]17．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()解析：由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.答案：B18．用斜二测

画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为()A．1B．2C．2D．22D[∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝2.根

据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝22.故选D.]19．已知三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2,SB＝SC＝4,则该三棱锥的外接球的半径为()A．3B．6C．36D．9A[因

为三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S­ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线，所以外接球的半径为1222＋42＋42＝3.]20．实数x，y满足x2＋y2－

6x－6y＋12＝0，则yx的最大值为()A.32B.3＋22C.2＋2D.6B[设yx＝k，则y＝kx，代入x2＋y2－6x－6y＋12＝0得(1＋k2)x2－6x－6kx＋12＝0，即(1＋k2)x2－(6＋6k)x＋12＝0.∴Δ＝[－(6＋6k)]2－4×12×(1＋

k2)≥0，∴3－22≤k≤3＋22，∴yx的最大值为3＋22.]五、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．解析：因为函数f

(x)在[－2,0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－23.所以，实数m的取值范围是－∞，－23.答案：－∞，－2322．底面直径和高都是4cm的

圆柱的侧面面积为________cm2.16π[圆柱的底面半径为r＝12×4＝2，故S侧＝2π×2×4＝16π.]23．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.1[因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面

．]24．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．解析：根据题意画出f(x)大致图象，由图象可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0.答案：(

－2,0)∪(0,2)六、解答题（共3小题，共28分）25．(本小题满分8分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长.[解]如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为

r、R.因为l－10l＝rR，所以l－10l＝14，所以l＝403cm.即圆锥的母线长为403cm.26．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中

点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C

，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.27．(本小题满分10分)已知直

线l经过点P(－2，5)且斜率为－34.(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[解](1)直线l的方程为：y－5＝－34(x＋2)，整理得3x＋4y－

14＝0.(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，d＝|3×（－2）＋4×5＋n|32＋42＝3，解得n＝1或－29.∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.