【文档说明】北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案.doc，共(12)页，534.000 KB，由小赞的店铺上传

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PDCBA清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号一二三总分得分一、选择题（每题5分，共40分）1．化简2aa（）A．aB．aC．aD．2a2．分式1||22xxx的值为0，则x的值为（）A．21或B．2C．1D．2

3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于（）A．43B．35C．34D．454．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，

∠P=40°，则∠BAC=（）A．040B．080C．020D．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）A．21B．165C．167D．436．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使A

B边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.6B.4C.5D.37．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动(4题图)OCBAP(6题图)ABCDFE(3题

图)DCBA41216xyOOyx161248816xyO416xyO8888路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()8.若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函

数y的图象上②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）。已知函数02101422xxxxxy，，,则函数y的“友好点对”有（）个A．0B.1C.2D.3注意：请将选

择题的答案填入表格中。二、填空题（每题5分，共50分）9．已知a、b是一元二次方程2210xx的两个实数根，则代数式2ababab的值等于10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，

甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m，3的对面的数字为n，则方程1xmn的解x满足1kxk，k为整数，则k11．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E

处，BF是折痕，且BF=CF=8，则AB的长为题号12345678得分评卷人答案11题图BCEDAF523321261甲乙丙10题图12．记函数y在x处的值为()fx（如函数2yx也可记为2()fxx，当1x时的函数值可

记为(1)1f）。已知||)(xxxf，若cba且0cba，0b，则)()()(cfbfaf的所有可能值为13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶

点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是14．如图，三棱柱111CBAABC中，底面2,1BCAB，三个侧面都是矩形，31AAM为线段1BB上

的一动点，则当1MCAM最小时，BM=15.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上。若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16.如图，

CD为直角ΔABC斜边AB上的高，BC长度为1，DE⊥AC。设ΔADE，ΔCDB，ΔABC的周长分别是12,,ppp。当12ppp取最大值时，AB=17.如图放置的等腰直角ABC薄片（2,900ACACB）沿x轴滚动，点A的运动轨迹曲线与x轴有交点，则在两个相邻交点间点A的

轨迹曲线与x轴围成图形面积为___18.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为（用

具体数字作答）1234567…35791113…812162024…20283644…486480…题图15oxyCAB题图17题图16题图13ABCM1A1B1C题图14注意：请将填空题的答案填在下面的横线上。9.10.__1

1.12.13._14.___15._16._17.18.三、解答题（共60分）19.（本小题满分12分）如图，抛物线1417452xxy与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点

P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N。设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合

的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN能否为菱形？请说明理由.得分评卷人OxAMNBPCy20.（本小题满分12分）函数)(xf，若自变量x取值范围内存在0x，使00)(xxf成立，则称以00(,)

xx为坐标的点为函数()fx图像上的不动点。（)(xf的定义．．．见第．．12．．题．）（1）若函数bxaxxf3)(有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；（2）在（1）的条件下，若a=2，直线1)1(:bxayl与y轴、x轴分别相

交于A、B两点，在xby的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形ABQP的面积等于2，求P点的坐标（3）定义在实数集上的函数)(xf，对任意的x有)()(xfxf恒成立。下述命题“若函数)(xf的图

像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明。ABQxPyO21.（本小题满分12分）已知圆O圆心为坐标原点，半径为34，直线l：3(4)3yx交x轴负半轴于A点，交y轴正半轴于B点（1）求BAO（2）设圆O与x轴的两交点是1

2,FF，若从1F发出的光线经l上的点M反射后过点2F，求光线从1F射出经反射到2F经过的路程（3）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标AO

1F2FMBlxyAO1F2FPBlxy22.（本小题满分12分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等

腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？）图（1）图（223.（本小题满分12分）试求出所有正整数a使得关于x的二次方程22(21)4(3)0

axaxa至少有一个整数根.数学试卷答案一、选择题（每题5分，共40分）三、填空题（每题5分，共50分）9．110．011．612．1或-113．614．115．2516．217．2418．12288三、解答题（共60分）19．解：

（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=121x……………3分（2）)121(1417452tttMPNPMNs)30(415452ttt………………6分（3）

若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有25415452tt，解得11t，22t所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.………………8分①当t=1时，23MP，4NP，故25MPNPMN,又在Rt△MPC中，2522

PCMPMC，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形…………10分②当t=2时，2MP，29NP，故25MPNPMN,又在Rt△MPC中，522PCMPMC，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.…………12分20.解：（1）由题得xbxax3有两个

互为相反数的根0x，0x)0(0x即)(0)3(2bxaxbx有两个互为相反数的根0x，0x……1分根带入得0))(3(0)3(020020axbxaxbx，两式相减得0)

3(20xb，3b……3分方程变为)3(02xax90aa且…………4分题号12345678答案BBACDABC（2）由（1）得3,2ba，所以2:xyl，即A（0,2）B(2,0)……5分设xy3上任意一点)2)(3,(

tttP，所以)2)(0,(ttQ……6分又因为2-AOBAOQPSS四边形，所以22221)32(21tt25t……8分)56,25(P……………………9分（3）正确①在)()(xf

xf令0x得)0()0(ff所以0)0(f所以)0,0(为函数的不动点……………………10分②设00(,)xx为函数()fx图像上的不动点，则00)(xxf所以000)()(xxfxf，所以)

,(00xx也为函数()fx图像上的不动点……………………12分21．解：（1）由题|OA|=4，|OB|=334，所以33tanBAO，所以030BAO2分（2）如图（1）由对称性可知，点1F关于l的对称点/1F在过点4,0A且倾斜角为060的直线/l上在/21AF

F中，0'160AOF，3811'1OFAOAFAF，3162AF所以/21AFF为直角三角形，02'190FAF。所以光线从1F射出经反射到2F经过的路程为3382'12'121

FFMFMFMFMF…………………………6分（2）如图（2）由对称性可知，点P关于l的对称点'P在过点4,0A且倾斜角为060的直线/l上QPMQMPMQPM''，所以路程最短即为/l上点/P到切点Q的切线长最短。连接',OPOQ，

在'OQPRt中，只要'OP最短，由几何知识可知，/P应为过原点O且与/l垂直的直线与/l的交点，这一点又与点P关于l对称，∴260cos0'AOAPAP，故点P的坐标为2,0……………12分22．解：(1)设纵断面层数

为n，则2009......321n即20092)1(nn，040182nn，经带入62n满足不等式，63n不满足当62n时，剩余的圆钢最少………………………2分此时剩余的圆钢为562)162(622009；………………………4分(2)当纵断面为等腰梯形时

，设共堆放n层,第一层圆钢根数为x，则由题意得：2009)1(.....)2()1(nxxxx，化简得2009)1(21nnnx，即4177220092)12(nxn，……………………6分因1n与n的奇偶性不同，所以12n

x与n的奇偶性也不同，且12nxn，从而由上述等式得：574127nxn或2871214nxn或981241nxn或821249nxn，所以共有4种方案可供选择。-------------------

----------8分(3)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n，则29x，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为3200cm，AO1F2FMBlxy'1F）图（1AO1F2

FPBlxyQ'PM）图（2而400103200，所以符合条件；………………10分若49n，则17x，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为3240cm

，显然大于4m，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地………………12分23.解：原方程可化为122)2(2xax，易知2x，此时2)2(122xxa……2分因为a是正整数，即1)2

(1222xx为正整数。又0)2(2x，则122)2(2xx即0822xx，解得24x。因为2x且x是整数，故x只能取-4，-3，-1，0,1,2，…………………………6分依次带入a的表达式得14ax63ax

101ax30ax9141ax12ax从而满足题意的正整数a的值有4个，分别为1,3,6,10…………………………12分