【文档说明】数学（九省新高考新结构卷02）（全解全析）.docx，共(15)页，2.479 MB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司2024年高考押题预测卷02【新九省卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。1．已知集合31,Z,06AxxnnBxx==−=，则AB=（）A．1,4B．1,5C．2,4D．2,5【答案】D【解析】31,Z,06AxxnnBxx==−=，则2,5AB=，故

选D2．若πtan24−=，则sin2=（）A．35B．35−C．45D．45−【答案】B【解析】由πtan1tan241tan−−==+，得tan3=−，2222sincos2tan3sin22sincossincos1tan5

====−++，故选B.3．已知(),1am=，()31,2bm=−，若//abrr，则m=（）A．1B．1−C．23D．23−【答案】A【解析】因为(),1am=，()31,2bm=−，//abrr，所以()2310mm−−=，解得1m=，故选A.4．若5250125(12)xaax

axax−=++++，则24aa+=（）学科网（北京）股份有限公司A．100B．110C．120D．130【答案】C【解析】在5250125(12)xaaxaxax−=++++中，2225C240a==，4445C280a==，所以24120aa+=，故选C5．已知等

差数列na的前n项和为nS，且22S=，69S=，则10S=（）A．14B．16C．18D．20【答案】D【解析】设数列na的公差为d，由22S=，69S=，得112265692adad+=+=，解得17814ad==，所以10110

935451020244Sad=+=+=，故选D.6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧

面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且120ABC=，则该圆台的体积为（）A．502π3B．9πC．7πD．142π3【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为12,rr，由题意可知112π3=2π3r，解得11r=

，212π6=2π3r，解得：22r=，作出圆台的轴截面，如图所示：学科网（北京）股份有限公司图中121,2ODrOAr====，633AD=−=，过点D向AP作垂线，垂足为T，则211ATrr=−=，所以圆台的高2223122hADAT=−=−=，则上底面面积21π

1=πS=，22π2=4πS=，由圆台的体积计算公式可得：121211142π()7π22333VSSSSh=++==，故选D.7．已知直线1(2)ymx+=−与圆22(1)(1)9xy−+−=相交于M，N两点.则||MN的最小值为（）A．5B．25C．4D．6【答案】

C【解析】由圆的方程22(1)(1)9xy−+−=，可知圆心(1,1)A，半径3R=，直线1(2)ymx+=−过定点()2,1B−，因为22(21)(11)59−+−−=，则定点()2,1B−在圆内，则点()2,1B−和圆心(1,

1)A连线的长度为()22(21)115d=−+−−=，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时ABMN⊥，由圆的弦长公式可得22224|23(5)|2NRMd=−=−=，故选：C8．已知可导函数()fx的定义域为R，

12xf−为奇函数，设()gx是()fx的导函数，若()21gx+为奇函数，且()102g=，则()1012kkgk==（）A．132B．132−C．112D．112−【答案】D【解析】因为12xf−为奇函数，则

1122xxff−=−−−，即()()11fxfx−=−−−，两边求导得()()11fxfx−=−−，学科网（北京）股份有限公司则()()11gxgx−=−−，可知()gx关于直线=1x−对称，又因为()21gx+为奇函数，则()()21210gxgx+

+−+=，即()()110gxgx++−+=，可知()gx关于点()1,0对称，令1x=，可得()()200gg+=，即()()1202gg=−=−，由()()11gxgx−=−−可得()()2gxgx=−−，由()()110gxgx++−+=，可得()

()20gxgx+−+=，即()()2gxgx=−−+，可得()()22gxgx−−=−−+，即()()4gxgx+=−，令0x=，可得()()1402gg=−=−；令2x=，可得()()1622gg=−=；且()()()()84gxgxgxgx+=−+=−−=，可知8为()gx的周期

，可知()()()()118284,8688,22gkgkgkgkk+=+=−+=+=Z，所以()()()1011111212569103478222kkgk==−+++++++++=−.故选：D.二、选择题

：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z，下列说法正确的是（）A．若0zz−=，则z为实数B．若220zz+=，则0zz==C．若i1z−=，则||z的最大值为2D．若|i|||1z

z−=+，则z为纯虚数【答案】AC【解析】设()i,zabab=+R，则izab=−，若0zz−=，即()()ii2i0ababb+−−==，即0b=，则z为实数，故A正确；若220zz+=，即()()22ii0abab++−=，化简可得22222i2i0abababab−++−−=，即

22ab=，即ab=，当ab=时，izaa=+，izaa=−，此时不一定满足0zz==，学科网（北京）股份有限公司当ab=−时，izaa=−，izaa=+，此时不一定满足0zz==，故B错误；若i1z−=，即iz−=()()221

11i1abab=+−=+−=，所以()2211ab+−=，即z表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆上的点，且z表示圆上的点到原点的距离，所以||z的最大值为2，故C正确；若|i|||1zz−=+，即()()22i1

i1zabab−=+−=+−，2211zab+=++，即()222211abab+−=++，化简可得22bab=−+，则0a=且0b，此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC10．已知函数()

()πcos0,02fxx=+的图象在y轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（）A．π3=B．()()2fxfx+恒成立C．()fx在π0,3上单调递减D．将()yfx=的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y轴对称【答案】AC

【解析】函数()()πcos0,02fxx=+的图象在y轴上的截距为12，所以1cos2=，因为π02，所以π3=.故A正确；又因为π12是该函数的最小正零点，所以ππcos0123+=，所以πππ1232+=，

解得2=，所以()πcos23fxx=+，()π2sin23fxx=−+，所以()()πππcos22sin25cos25333fxfxxxx+=+−+=++，故B错误；当π0,3x时，()ππ2,π0,π33x

+，故C正确；学科网（北京）股份有限公司将()yfx=的图象向右平移π3个单位，得到πππcos2cos2333yxx=−+=−，是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.故

选：AC.11．如图，已知抛物线()220Cypxp=：的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l（直线l的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于AB，两点（A在x轴的上方，B在x轴的下方），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则（）

A．当直线l的斜率为1时，4ABp=B．若NFFM=，则直线l的斜率为2C．存在直线l使得AOB90=D．若3AFFB=，则直线l的倾斜角为60【答案】AD【解析】易知,02pF，可设():02pABykxk=−，设()()1122,,,AxyBxy，与抛物线方程联立

得()22222220242pykxkpkxkppxypx=−−++==，则221212224kpppxxxxk++==,，对于A项，当直线l的斜率为1时，此时123xxp+=，由抛物线定义可知12422ppAFBF

xxABp+=+++==，故A正确；易知AMN是直角三角形，若NFFM=，则ANMFMNAMFFAM==，又AFAM=，所以AMF为等边三角形，即60AFx=，此时3k=，故B错误；由上可知()()222212121212124pkpk

xxyykxxxx+=+−++学科网（北京）股份有限公司()()2222222223104244pkppkpkkpk+=+−+=−，即0OAOB?uuruuur，故C错误；若1212332322ppAFFBxxxpx=−=−=−，又知212213,462pppxxxx=

==，所以13yp=，则1132ykpx==−，即直线l的倾斜角为60，故D正确.故选：AD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准

如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个

正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为．【答案】11【解析】由题意得小明同学第一题得

6分；第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，所以中

位数为1012112+=，13．在直三棱柱111ABCABC-中，14ABACAA===，ACAB⊥，过1AC作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为．【答案】8π【解析】由直三棱柱111ABCABC-可知，1AA⊥平面ABC，学科网（北京）股份有限公司又ACAB⊥

，所以1,,ABACAA两两垂直，设直三棱柱111ABCABC-外接球的半径为R，通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以1,,ABACAA为边长的长方体外接球相同；过1AC作该直三棱柱外接球的截面，当1AC为所截圆的直径时截面面积最

小，因为2214442AC=+=，则所求截面面积最小值为242π8π2=.14．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin2coscaCcA=−，则sin2A=；若2a=，则ABC面积的最大值为．【答案】34273+【解析】因为2sin2coscaCc

A=−，由正弦定理得sin2sinsin2sincosCACCA=−，因为()0,,sin0CC，则有sinco1s2AA−=，所以21(sincos)4AA−=，得112sincos4AA−=，即32sincos4AA=，故3sin24A=；因32sincos4AA=，(

)0,πA，故π0,2A，可得sin0,cos0AA，由221sincos2sincos1AAAA−=+=，解得17sin471cos4AA+=−=，得111

7sin224ABCSbcAbc+==，由余弦定理得，22271cos24bcaAbc+−−==，所以227142bcbc−+=+，由2271422bcbcbc−+=+，当且仅当bc=时等号成立，可得84(57)957bc=+−，117427(57)2493AB

CS+++=，即ABC面积的最大值为273+.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（本小题满分13分）已如曲线()()22ln,fxaxxxbab=+−+R在2x=处的切线与直线210xy++=垂直.学科网（北

京）股份有限公司(1)求a的值；(2)若()0fx恒成立，求b的取值范围.【解】（1）由于210xy++=的斜率为12−，所以()22f=，又()221fxaxx=+−,故()224122fa=+−=，解得1

2a=，（2）由（1）知12a=，所以()()()221221xxxxfxxxxx+−+−=+−==，故当1x时，()()0,fxfx单调递增，当01x时，()()0,fxfx单调递减，故当1x=时，()fx取最小值()1112fb=++，要使()0fx恒成立

，故()11102fb=++，解得32b−，故b的取值范围为32b−16．（本小题满分15分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读

活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．(1

)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读

时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167+

+++=（分钟）学科网（北京）股份有限公司（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人的可能取值为：0，1，2则304236CC1(0)C5P===2142363(1)5CCPC===1242361(

2)5CCPC===所以的分布列为：012P153515()1310121555E=++=17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，5PAPB==，点M

在PD上，点N为BC的中点，且//PB平面MAC．(1)证明：//CM平面PAN；(2)若3PC=，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值．【解】（1）连接BD交AC与点O，连接OM，可得平面PBD与平面MAC的交线为OM，因为//PB平面MAC，PB平面PBD，所以//PBOM，又因为O为BD

的中点，所以点M为PD的中点，取PA的中点E，连接,EMEN，可得//EMAD且12EMAD=，又因为N为BC的中点，可得//CNAD且12CNAD=，所以//EMCN且EMCN=，所以四边形EMCN为平行四边形，所以//CMEN，又因为CM平面PA

N，且EN平面PAN，所以//CM平面PAN．（2）取AB的中点S，连结,PSCS，学科网（北京）股份有限公司因为5PAPB==，可得PSAB⊥，且222PSPBBS=−=，又因为225SCBCBS=+=，且3PC=，所以222PCPSSC=+，所以PS

SC⊥，又因为ABSCS=，且,ABSC平面ABCD，所以PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Sxyz−，可得()()()()()1,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2ABCDP−−，因为M为PD

的中点，N为BC的中点，可得()1,1,1,1,1,02MN−，则()()131,0,2,1,1,2,,1,1,,1,122APPNAMMC==−==−，设()111,,mxyz=是

平面PAN的法向量，则111112020mAPxzmPNxyz=+==+−=，取2x=，可得4,1yz=−=−，所以()2,4,1m=−−，设()222,,nxyz=是平面MAC的法向量，则222222302102nAMxyznMCxyz=

+−==++=，取2x=，可得2,1yz=−=，所以()2,2,1n=−；设平面PAN与平面MAC的夹角为，则111121cos63321mnmn===，即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为112163．1

8．（本小题满分17分）已知椭圆22:184xyE+=，直线l与椭圆E交于A、B两点，O为坐标原点，且OAOB⊥，OPAB⊥，垂足为点P．(1)求点P的轨迹方程；学科网（北京）股份有限公司(2)求OAB面积的取值范围．【解】（1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性

，不妨设直线l在y轴右侧，直线OA的方程为yx=，由22184xyyx+==，解得263x=，263y=，所以，2626,33A，所以，直线AB的方程为263x=，此时26,03P．同理，当直线l在y轴左

侧时，26,03P−．②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，由22184ykxmxy=++=消去y整理得，()222124280kxkmxm+++−=，∴

22648320km=−+，且122412kmxxk−+=+，21222812mxxk−=+，又∵OAOB⊥，∴0OAOB=即：12120xxyy+=，所以，()()12120xxkxmkxm+++=，则()()22121210kxxkmxxm++++=，故()()()222222222

1281240121212kmmkkmkkk+−+−+=+++，所以()22381mk=+满足0，所以，()()22222812613311kmmOPkkk+====+++．综上，263OP=，所以，点P的轨迹方程为2283xy+=．（2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜

率为0时，83ABCS=△．②当直线l斜率存在且不为0时，2222122648321112kmABkxxkk−+=+−=++学科网（北京）股份有限公司()()()22222223282114463112312

kkkkkk+++=+=++42242424645146134413441kkkkkkk++==+++++2246111344kk=+++，∵20k，∴22144kk+，当且仅当212k=，即22k=等号成立．∴

221911,1844kk+++，∴46,233AB，∴18,2223ABCSOPAB=，综上，8,223ABCS．19．（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是

集合1,2,,,Ann+=N的函数称为n次置换.满足对任意(),iAfii=的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作nS.对于()nfiS，我们可用列表法表示此置换：()()()()1212nfifffn=，记()()()()()()()()()()()12231,,

,,,,kkfififfififfififfifiiAk−+====N.(1)若()()41234,4213fiSfi=，计算()3fi；(2)证明：对任意()4fiS，存在k+N，使得()kfi为恒等置

换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.学科网

（北京）股份有限公司【解】（1）()12344213fi=，由题意可知()()2312341234,32411234fifi==；（2）解法一：①若()12341234fi=，则()1fi为恒

等置换；②若存在两个不同的i，使得()fii=，不妨设1,2i=，则()12341243fi=.所以()212341234fi=，即()2fi为恒等置换；③若存在唯一的i，使得()fi

i=，不妨设2i=，则()12343241fi=或()12344213fi=.当()12344213fi=时，由（1）可知()3fi为恒等置换；同理可知，当()12343241fi=时，()3fi也是恒等置换；④若对任意的(),ifii，

则情形一：()12342143fi=或()12343412fi=或()12344321fi=；情形二：()12342341fi=或()12342413fi=

或()12343142fi=或()12343421fi=或()12344123fi=或()12344312fi=；对于情形一：()2fi为恒等置换；对于情形二：()4fi为恒等置换；综上，对任意()4

fiS，存在k+N，使得()kfi为恒等置换；解法二：对于任意1,2,3,4i，都有()()()()1234,,,1,2,3,4fifififi，学科网（北京）股份有限公司所以()()()()1234,,,fifififi

中，至少有一个满足()kfii=，即使得()kfii=的k的取值可能为1,2,3,4.当i分别取1,2,3,4时，记使得()kfii=的k值分别为1234,,,kkkk，只需取k为1234,,,kkkk的最小公倍数即可.所以对任意()4fiS，存在k+N，使

得()kfi为恒等置换；（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对1,2,,52作一次如下置换：()1234552127228352fi=，即(),21,26,2,kikf

ikik=−=+=其中1,2,,26k=.注意到各编号在置换中的如下变化：11f→，2271433179532ffffffff→→→→→→→→，428404649251374ffffffff→→→→→→→→，662915830412111ffffffff→→→→→→→→，103116

344322371910ffffffff→→→→→→→→，123242472438452312ffffffff→→→→→→→→，183518ff→→，203644485051263920ffffffff→→→→→→→→，5252f→，所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环

2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.