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第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面课后篇巩固提升必备知识基础练1.空间中可以确定一个平面的条件是()A.三个点B.四个点C.三角形D.四边形答案C解析当三个点共线时不能确定一个平面,故选项A错误;当四个点为三棱锥的四个顶点时,最多确定四个平面,故选项B错误;

三角形的三个顶点不共线,因此能确定一个平面,故选项C正确;空间四边形不能确定一个平面,故选项D错误.2.圆心和圆上任意两点可确定的平面有()A.0个B.1个C.2个D.1个或无数个答案D解析若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点

不共线,则确定一个平面.3.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B答案A解析由基本事实2或画图可知:l⊂α.4.已知α,β

为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M

∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合答案C解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.5.(多选题)下列说法错误的是()A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共

面答案BC解析由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.6.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面

γ,则β∩γ=()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对答案C解析根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.7.三条直线两两平行,则

过其中任意两条直线最多共可确定个平面.答案3解析当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.8.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.(1)A∉α,a

⊂α:;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:;(3)a⊄α,a∩α=A:;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:.答案(1)③(2)④(3)①(4)②解析根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,(1)A∉α

,a⊂α:对应③;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1

上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴

Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,A

C∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD

.∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈

A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.关键能力提升练11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有()A.1条或2条B.2条或3条C.1条或3条D.1条或2条或3条答案D解析当α过平面β与γ

的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.12.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则()A.P∈cB.P∉cC.c∩a=⌀D.c∩β

=⌀答案A解析如图,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b.∵α∩β=a,β∩γ=b,∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,∴P∈c.13.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面

AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面答案ABC解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.14.在正方体AB

CD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=13DD1,NB=13BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案C解析设直线C1M,CD相交于点

E,直线C1N,CB相交于点F,连接EF交直线AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C1MPQN为所求截面图形.15.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且𝐵𝐺𝐺𝐶=

𝐷𝐻𝐻𝐶=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.证明∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,且EF=12BD.又𝐵𝐺𝐺𝐶=𝐷𝐻𝐻𝐶=2,∴GH∥BD,且GH=13BD,∴EF∥GH,且EF>GH,∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相

交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.学科素养创新练16.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1

中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.(1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.解(1)延长DM交D1A1的延长

线于点E,连接NE,则直线NE即直线l.(2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,∴AD=A1E=A1D1=a.∵A1P∥D1N,且D1N=12a,∴A1P=12D1N=14a,