【文档说明】江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练数学试题【精准解析】.doc，共(26)页，2.438 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-42b10703407eb2e152feaf22f9e29cf7.html

以下为本文档部分文字说明：

江苏省西亭高级中学2020届高三数学考前热身训练数学Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知集合{|03},{0,1,3}AxxB==，则AB=____.【答案】{1}；【解析】【分析】根据交集的定义计

算．【详解】由题意{1}AB=．故答案为：{1}．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2.已知复数1aizi+=+（i为虚数单位）的实部为零，则复数z的模为____.【答案】1【解析】【分析】利用除法运算将复数标准化结合已知得到a，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】()(1)1

(1)1(1)(1)2aiaiiaaiziii++−++−===++−，由题意102a+=，解得1a=−，所以zi=，1z=.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数的模，涉及到复数实部，是一道容易题.3.已知一组数据4,6

,3,7,a的平均数为5，则该组数据的标准差是____.【答案】2；【解析】【分析】利用平均数得到a值，进而计算得到该组数据的方差，再得到标准差【详解】数据4,6,3,7,a的平均数为5，则463755a++++=，得5a=所以该组数据的方差为()()()()()222222145653

5755525s=−+−+−+−+−=所以标准差为2故答案为：2【点睛】本题考查几个数据的平均数与标准差，考查计算能力，属于基础题.4.在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有3名医生和2名护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一名医生”的概率为____.【答案

】910；【解析】【分析】可用列举法写出所有基本事件，得出事件“至少有一名医生”含有的基本事件，然后计算概率．【详解】把医生和护士编号，医生：,,ABC，护士：,ab，任选2人的基本事件有：,,,,,,,,,ABACAaAbBCBaBbCaCbab共10个，其中事件“至少有

一名医生”含有：,,,,,,,,ABACAaAbBCBaBbCaCb共9个基本事件，所以概率为910P=．故答案为：910．【点睛】本题考查古典概型，方法是列举法．属于基础题．5.某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图

所示的程序框图.执行此程序框图，输出a的值为____.【答案】23；【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：0,1an==，8a=，221aZ−；2,13na==，221aZ−；3n=，18a=，221aZ−；4n=，23a=，2

21a−Z，结束.故答案为：23.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力，理解能力和应用能力.6.在一次大学校园双选招聘会上，某公司计划招收x名女生，y名男生，若,xy满足约束条件252

5xyxyx−−，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为____.【答案】10；【解析】【分析】根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y的最大值.【详解】由题,xy满足约束条件2525xyxyx−−

，该公司计划在本次校招所招收人数为zxy=+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,5,3,5,5ABC，yxz=−+，当直线经过C点时取得最大，即10z=，

此时女生5名，男生5名.故答案为：10.【点睛】此题考查线性规划问题的实际应用，关键在于准确作出可行域，根据目标函数平移直线求出最值取得的条件，注意考虑横纵坐标取整数.7.已知函数()()2sin2fxx=+的图象关于点,012对称，则当的绝对值取最小时，4f

的值为____.【答案】3【解析】【分析】由已知条件可得出关于的表达式，根据最小求得的值，然后代值计算可求得4f的值.【详解】由于函数()()2sin2fxx=+的图象关于点,012对称，()212

kkZ+=，()6kkZ=−，当0k=时，最小，此时6=−，因此，2sin2sin34263f=−==.故答案为：3.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，同时也考查了

三角函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.8.如图，三棱锥PABC−中，点,,,,DEFMN分别为棱,,,,PCPAPBBABC的中点，如果三棱锥PABC−的体积为8，则几何体NMBDEF−的体积为____.【答案】3；【解

析】【分析】先根据几何关系得18PABCPDEFVV−−=，根据三棱柱NMBDEF−与三棱锥PDEF−等底等高，故3NMBDEFPDEFVV−−=，即可解决.【详解】解：因为点,,,,DEFMN分别为棱,,,,PCPAPBBABC的中点，所以4ABCDEFSS=，三棱锥

PABC−的高是三棱锥PDEF−的2倍，所以188PABCPDEFVV−−==，又因为三棱锥PABC−的体积为8，所以1PDEFV−=又因为三棱柱NMBDEF−与三棱锥PDEF−等底等高，故33NMBDEFP

DEFVV−−==.故答案为：3.【点睛】本题考查利用几何关系求解几何体的体积，是中档题.9.已知定义在实数集R上的函数()3cosxfxx=+，则不等式()()22fxfx−的解集是____（结果用区间表示）.【答案】22,3−；【解析】【分析】根据函数的单

调性，奇偶性解不等式即可.【详解】解：()()()3cos3cosxxfxxxfx−−=+−=+=，所以函数为偶函数，当0x，()3cos3cosxxfxxx=+=+，()'3ln3sin0xfxx=−，所以()fx在()0,+上单调递增，由偶函数得()

fx在(),0−上单调递减，所以由()()22fxfx−得22xx−，解得22,3x−故答案为：22,3−【点睛】本题考查利用函数单调性，奇偶性解不等式问题，是中档题.10.已知等差数列na中，241018aaa++=，则684

aa−=____.【答案】18【解析】【分析】由通项公式把已知和待求式都用1a和d表示后可得．【详解】由题意241011113931318aaaadadadad++=+++++=+=，∴6811144(5)(7)31318aaadadad−=+−+=+=．故

答案为：18．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．11.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条准线与抛物线24yx=的准线重合，当4224aab++取得最小值时，双曲线C的离心率为____.

【答案】2；【解析】【分析】先根据两个曲线的准线重合得2ac=，在根据基本不等式得22ac==，再利用离心率公式求解即可.【详解】解：抛物线24yx=的准线方程为1x=−，双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的准线方程为2axc=，所以，2=1ac，即2ac=，所以42224444accccab++==++，当且仅当42cc==时等号成立.所以22ac==，解得2a=，所以双曲线的离心率为222cea===.故答案为：2.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的准线方程，基本不等式，是基础题.12.在平面

直角坐标系xOy中，动圆222:(4)()Cxybr−+−=截x轴所得的弦长恒为42.若过原点O作圆C的一条切线，切点为A，则点A到直线120xy+−=距离的最大值为____.【答案】82；【解析】【分析】先根据截x轴所得的弦长恒为42找到,rb的关系，再由切点列勾股定理可得点()00,Ax

y在228xy+=的圆上，从而最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】因为动圆222:(4)()Cxybr−+−=截x轴所得的弦长恒为42，所以228rb=+设()00,Axy，由已知条件得，22220016brxy+=++

所以22008xy+=，即点()00,Axy在228xy+=的圆上所以点A到直线120xy+−=距离的最大值为1222822dr+=+=故答案为：82【点睛】此题考查圆上点到直线距离的最值问题，关键点是对题干条件的转化，属于较易题目.13.已知函数3235(1

2)22()11(2)22xxxfxxxe−++=−，（e＝2.71828…是自然对数的底数）()ln2gxxmx=+−，若存在12,[1,]xxe，使得12()()fxgx=成立，则实数m的取值范围是____.【答案】

3[,5]2e；【解析】【分析】先利用导数求得()fx的值域为1[,3]2，再转化为1ln232xmx+−，在[1,e]x有解，转化为5ln5ln2xxmxx−−在[1,e]x有解，再令()ux=5ln2xx−，()vx=5lnxx

−，[1,e]x，利用导数求()ux的最小值a，()vx的最大值b，则m的取值范围是[,]ab.【详解】当12x时，()fx=323522xx−++，则2()333(1)0fxxxxx=−+=−−，即()fx在[1,2)递减，得1()(,3]2fx，当2

xe时，11()22fxx=−在[2,]e递增，则11()[,]22efx−，综合得()fx的值域为1[,3]2.由题若存在12,[1,]xxe，使得12()()fxgx=成立，则1ln232xmx+−，在[1,e]x有解，即5ln5ln2xxmxx−

−在在[1,e]x有解，令()ux=5ln2xx−，()vx=5lnxx−，[1,e]x，则27ln2()0xuxx−=，()ux在[1,]e递减，()ux的最小值3()2auee==，又2ln6()0xvxx−=，()vx在[1,]e递减，()vx的最大值(1)5bv

==，则m3[,5]2e.故答案为：3[,5]2e【点睛】本题考查了能成立问题，利用导数求函数的值域或最值，还考查了分离变量的技巧，转化思想，难度较大.14.已知锐角三角形ABC中，BC=3，AHBC⊥于H，若2244ABACAHCAAHAB−=+，则sinsinsinABC的

取值范围是____.【答案】32(0,)2【解析】【分析】由向量的数量积的运算结合条件2244ABACAHCAAHAB−=+可得出4BABHCACH=，进而得到2BHCH=，从而有tan2tanCB=，在三角形中可得sin3sinsin2tanA

BCB=，再根据三角形ABC为锐角三角形，得出tanB的范围,得出答案.【详解】由2244ABACAHCAAHAB−=+得2244ABAHABAHCAAC−=+，()()4ABABAHCAAHAC−=−4ABHBCACH=,即4BABH

CACH=所以cos4cosBHBABCHCAC=,即224BHCH=所以2BHCH=，又BC=3，所以21BHCH==，所以tan,tan21AHAHBCAH===,则tan2tanCB=()2sinsinsincossincostant

an3tan3sinsinsinsinsinsintantan2tan2tanBCABCCBBCBBCBCBCBCBB+++=====又在锐角三角形ABC中，()2tantan3tantantan01tantan

12tanBCBABCBCB+=−+=−=−−−解得2tan2B，从而sin3320,sinsin2tan2ABCB=故答案为：32(0,)2【点睛】本题考查向量的数量积的运算和投影的意义，考查三角恒等变换，属于中档题.二、解答题（本大题共5小题，共计90分.解

答写出必要的过程）15.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD为矩形，E是BC的中点，F是1DC上以点，且满足12DFFC=.（1）求证：1ADDC⊥；（2）求证：1//DA平面DEF.【答案】（1）证明见解

析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1ADDD⊥、ADDC⊥推出AD⊥平面11DCCD，由1DC平面11DCCD即可推出1ADDC⊥；（2）连接AC，交DE于点G，连接FG，由2AGADGCEC==、12DFFC=可推出1

DFAGGCFC=，则1//DAFG，得证.【详解】（1）在直四棱柱1111ABCDABCD−中，1DD⊥平面ABCD，由AD平面ABCD得1ADDD⊥，因为四边形ABCD是矩形，所以ADDC⊥，又1DDDCD=，1DD平面11DCCD，DC平面11DCCD所

以AD⊥平面11DCCD，又1DC平面11DCCD，所以1ADDC⊥；（2）连接AC，交DE于点G，连接FG，因为四边形ABCD是矩形，且E是BC的中点，所以2AGADGCEC==，因为12DFFC=，所以1DFAGGCFC=，所以1//DAFG，

又1DA平面DEF，FG平面DEF，所以1//DA平面DEF.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的判定与证明，利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题.16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(54)cos4cosacBbC−=.（1）求cosB的

值；（2）若π4C=，6b=，求ABC的面积S.【答案】（1）cos45B=；（2）21.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式和诱导公式可得cosB；（2）由正弦定理求得c，由诱导公式和两角和的正弦公式求

得sinA，再由三角形面积公式得结论．【详解】解：（1）因为，(54)cos4cosacBbC−=，由正弦定理sinsinsinabcABC==得(5sin4sin)cos4sincosACBBC−=，

所以，5sincos4(sincossincos)4sin(BC)ABBCCB=+=+因为，在ABC中，180ABC++=所以，sin()sin(180)sinBCAA+=−=所以，5sincos4sinABA=，又(0

,),sinA0A，所以cos45B=（2）因为，在ABC中，cos45B=，所以23sinB1cos5B=−=由正弦定理sinsinsinabcABC==得sin52sinbcCB==因为，在A

BC中，180ABC++=所以，72sinsin(180)sin()sincoscossin10AABCBCBC=−=+=+=所以，ABC的面积S1sin212bcA==．【点睛】本题考查正弦定理解三角形与边

角互化，考查诱导公式与两角和的正弦公式，同角间的三角函数关系，应用的公式较多，注意应用公式的顺序，本题属于中档题．17.如图是一块空地OABC，其中AB，BC，OC是直线段，曲线段OA是抛物线的一部分，且点O是

该抛物线的顶点，OC所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量：O，A，B三点在一条直线上，OC＝4，2BC=，2BA=，（单位：百米）4OCB=.开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池DEFG，矩形顶点都在空地的边界上，其中点D，E在直线段OC上，设GD＝x（百米），矩形草坪DEFG的面

积为f(x)（百米）2.（1）求f(x)的解析式；（2）当x为多少时，矩形草坪DEFG的面积最大？【答案】（1）3224,01()24,12xxxxfxxxx−−+=−+；（2）1313x−=.【解析】【分析】（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标

系，设出抛物线标准方程，然后将C点坐标给出来，代入方程求出p的值，然后分两段表示出()fx的表达式．（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后取其中的较大者，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题．【详解】解：

以O为坐标原点，OC所在的直线是x轴，建立平面直角坐标系xOy由于OC＝4，22BC=，4OCB=所以点C的坐标为（4，0）点B的坐标为（2，2）2BA=，点A的坐标为（1，1）由于抛物线的顶点为点O对称轴是直

线OC，可设抛物线方程为y2=mx，将点A的坐标代入得m=100，所以抛物线方程为y2=x，直线CB的方程是y=4-x，直线AB的方程是y=x（1）因为设DG=x，所以当0<x<1时，点G的坐标为2(,)xx，点F的坐标为(4)-x,x所以矩

形DEFG的面积S=232(4)4xxxxxx−−=−−+；当1<x<2时G的坐标为(,)xx所以矩形DEFG的面积S=2(4)24xxxxx−−=−+所以矩形DEFG的面积S=3224,01()24,12xx

xxfxxxx−−+=−+（2）当0<x<1时，'2()324fxxx=−−+令'2()3240fxxx=−−+=得13113x−=所以，当13103x−时'()0fx；当13-113x时，'()0fx所以，当1

313x−=时，矩形DEFG的面积取得最大值；当1<x<2时，22()242(1)2fxxxx=−+=−−+所以，函数f(x)在区间（1，2）单调递减当1x=时，矩形DEFG的面积取得最大值又131()(1)3ff−综上，当1313x−=时，矩形DEFG的面积取得最大值答（1）矩

形DEFG的面积S=3224,01()24,12xxxxfxxxx−−+=−+；（2）当1313x−=时，矩形DEFG的面积取得最大值.【点睛】本题考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值．属于中档题.18.已知点F是椭圆:E

()222210xyabab+=的左焦点，椭圆E的离心率为12，点3(1,)2−在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）过点F的直线交椭圆E于,PQ两点，设椭圆E的左顶点为A，记直线PA，QA的斜率分别为12,kk.①求12kk

的值；②过P作垂直于PA的直线l交x轴于点M.则A，P，M，Q四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）①94−；②存在；满足条件的圆的方程为223169()864xy++=.【解析】【分析】（1）由条件列式

，利用待定系数法求椭圆方程；（2）①设直线PQ方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示12kk的值；②要A，P，M，Q四点共圆，则必有QMQA⊥，分别利用直线PM，QM求得点M的坐标，建立等式，再代入点,PQ的坐标，求得1k和2k，以及点M的坐标，并

根据坐标求圆的方程.【详解】解：（1）由椭圆的离心率为12，得2234ba=又椭圆经过点3(1,)2−，所以221914ab+=，解得224,3ab==，所以椭圆E的方程为22143xy+=（2）①证明：由于直线PQ的斜率不为零，故设直线PQ的方程为x=my-

1代入22143xy+=，得（3m2+4）y2-6my-9=0所以12122269,3434myyyymm−+==++设点PQ，的坐标分别为1122(,)(,)xyxy，所以121212121222(1)(1)yyyykkxxmymy==++++=2229996344mmn−=−−+++②因

为PMPA⊥，所以PM的直线方程为1111()yyxxk−=−−令0y=，得M的坐标为111,0)kyx+（要A，P，M，Q四点共圆，则必有QMQA⊥所以QM的直线方程为2221()yyxxk−=−−令0y=，得M的坐标为222,0)ky

x+（所以222111kyxkyx+=+由方程组22(2)143ykxxy=++=解得22268431243kxkkyk−=+=+所以21121112168431243kxkkyk−=+=+，22

222222268431243kxkkyk−=+=+从而22222211222222111268126843434343kkkkkkkk−−+=+++++即2221334343kk=++所以120kk+=，由

①知1233-22kk==，此时M的坐标为（54，0），所以，满足条件的圆的方程为223169()864xy++=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，四点共圆的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，以及计算能力，本题的最后一问是本题的难点，关键

是根据四点共圆的条件设直线，并能力转化为坐标运算.19.已知正项数列{}na的前n项和是nS*()nN，满足1(1)(1)()nnnaarSn+++=+（r为常数）（1）记2nnnbaa+=−，证明：数列{}nb是等差数列；

（2）若6r=，()235,,31aSa+成等比数列，①求数列{}na的通项公式；②设131()nnanncq−−=，其中1(0,)2q，且对任意的正整数k，12kkkccc++−−仍在数列{}nc中，求q的所有值.【答案】（1）证明见解析；（2）①31nan=

−；②q的所有取值是21−.【解析】【分析】（1）将题中所给的式子进行变形，得到121(1)()(1)nnnnaaara++++−=+，即2nnnbaar+=−=，得到10nnbb+−=，从而得到数列{}nb是等差数列，得证；（2）①根据条件可以求得数

列{}na是以2为首项，3为公差的等差数列，从而得到其通项公式；②根据定义，结合题意，分情况讨论得到结果.【详解】（1）当1n=时，121(1)(1)(1)aarS++=+，故21ar=-；当n取为1n+时，121(1)(1)(

1)nnnaarSn+++++=++，所以1211(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnaaaara++++++−++=+，即121(1)()(1)nnnnaaara++++−=+，又0na，所以2nnnbaar+=−=所以10

nnbb+−=所以，数列{}nb是等差数列；（2）①因为6r=，所以25a=因为()235,,31aSa+成等比数列，所以213aa−=由（1）可知数列{}na是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，数列{}na的通项公式是31nan=−②1131()n

nannncqq−−−==，因为对任意的正整数k，12kkkccc++−−仍在数列{}nc中，所以123ccc−−仍在数列{}nc中，21231mcccqqq−−=−−=，当0m=时，q无解；当1m=时，得21q=−；当2()mmN时，21mqqq−−=，即21mqqq++=（*），令2()m

fqqqq=++，则()fq为关于q的单调递增函数，因为102q，所以2222111111()1222222mmfqqqq=++++++=，所以（*）无解，所以q的取值为21−，进一步得，当21q=−时，对任意

的正整数k，2121(1)kkkkkkccccqqcqc+++−−=−−==仍在数列{}nc中，所以q的所有取值是21−.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明，等差数列的通项公式，恒成立问题求参数，属于较难题目.20.已知函数*()(

)kxfxxek=N，(),(,gxcxmcm=+R)，其中e＝2.71828…是自然对数的底数.（1）当1k=时，①若曲线()yfx=在1x=处的切线恰好是直线()ygx=，求c的值；②若me=−

，方程()()fxgx=有正实数根，求c的取值范围.（2）当2,1km==−时，不等式2()()fxeaxbxgx−+对于任意[1,)x+恒成立，当c取得最大值时，求实数a的最小值.【答案】（1）①2ce=；②

[2,)e+；（2）a的最小值为1.【解析】【分析】（1）①求导计算(1)2fe=，()1fe=，得到切线方程；②记()xehxecx=+−，求导得到函数单调区间，讨论2ce，2ce=，2ce三种情况，计算得到答案.（2）确定()1fxecx−−在[1,)+上恒

成立，令1()xexxex−=−，求导得到函数单调性，计算最值得到1c=，取1x=计算得到=−ba，代入计算得到1ax，得到1a，再代入1a=验证得到答案.【详解】（1）当1k=时，()xfxxe=，所

以()(1)xfxxe=+.①所以(1)2fe=，()1fe=，则曲线()yfx=在1x=处的切线方程是2yexe=−，因为曲线()yfx=在1x=处的切线恰好是直线()ygx=所以2ce=.②当me=−，由题意，得方程xxe

cxe=−有正实数根，即方程0xeecx+−=有正实数根，记()xehxecx=+−，2()xehxex=−，当01x时，()0hx；当1x时，()0hx；所以()hx在(01)，上为减函数，在(1)，+上为增函数，所以min()(1)

2hxhec==−.若2ce，则()(1)20hxhec=−，不合题意；若2ce=，由①知适合；若2ce，则(1)20hec=−，又11(ln)0lnlnhccccc=+−=，所以(1)(ln)0hhc，由零点存在性定理知()hx在(1,ln)(0,)c+上必

有零点.综上，c的取值范围为[2,)e+.（2）要不等式2()1fxeaxbxcx−+−在[1,)+上恒成立，首先必须()1fxecx−−在[1,)+上恒成立，所以21xxeecx−+，令1()xexxex−=−，则21()(1)0xexxex−=++，

1()xexxex−=−在[1,)+上单调递增，()()min11x==，1c，故c的最大值为1.又(1)0,00feab−=+，所以=−ba，所以2-1axaxx−在[1,)+上恒成立，故1ax，所以a的最小值为1，当a=1时，记222()

()xhxfxexxxexxe=−−+=−+−，则2()(2)21xhxxxex=+−+，而2()(42)2720xhxxxee=++−−，所以2()(2)21xhxxxex=+−+在[1,)+单调递增，而(1)310he=−，从而22()xhxxexxe=−+−在[1,)+单

调递增，所以()(1)0hxh=，所以不等式2()fxeaxbxxc−++在[1,)+上恒成立.【点睛】本题考查了切线方程，利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数计算方程的根的相关问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.数学II（理科附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其

中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-2：矩阵与变换】21.已知矩阵12aMb=，若点(1,1)−经过变换MT后得到点(1,1)−，求矩阵M的特征值.【答案】矩阵M

的特征值为1,3=−=.【解析】【分析】由题意可得11112121aabb−−+==−−，求解易得,ab的值，则1221M=，由矩阵M的特征多项式2()(1)40f=−−=，求出特征值即可.【详解】解：因为111

12121aabb−−+==−−，所以21ab==，矩阵M的特征多项式为2()(1)4f=−−，令()0f=，解得1,3=−=，所以矩阵M的特征值为1,3=−=.【点睛】本题主要考查矩阵变换，矩阵的特征及其特征的求法.属于较

易题.B.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知直线l的参数方程为22222xtymt=+=+（t为参数），点P（1，3）在直线l上.（1）求m的值；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2=与直线l交于点A，B，求线段AB的长.【答案】（

1）4m=；（2）22AB=.【解析】【分析】（1）将点代入直线的参数方程解得答案.（2）将参数方程和极坐标方程化为普通方程，计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理解得答案.【详解】（1）因为点P（1，3）在直线l上，则21222

32tmt=+=+，解得4m=.（2）将直线l的参数方程为222242xtyt=+=+化为普通方程是2yx=+，将曲线C的极坐标方程2=化为直角坐标方程是224xy+=，则圆心到直线l的距离

为222d==，所以22222ABrd=−=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力，转化能力和应用能力.C.【选修4-5：不等式选讲】23.已知不等式25xxx+−+的解集为(),mn.（1）求m，n的值；（2）若0x，0y，0nxym++=，求

11xy+的最小值.【答案】（1）1m=−，7n=；（2）71+【解析】【分析】（1）按0x，02x，2x进行分类讨论，求出不等式25xxx+−+的解集，即可得m，n的值；（2）由（1）得71xy+=，则()11117xyxyx

y+=++，展开后运用均值不等式即可求出最小值.【详解】（1）原不等式可化为025xxxx−+−+或0225xxxx+−+或225xxxx+−+，解得10x−或02x或27x，∴17x

−，∴原不等式的解集为()1,7−，故1m=−，7n=；（2）由（1）得710xy+−=，即()710,0xyxy+=，所以117778xyxyyxxyxyxy+++=+=++27871+=+.当且仅当771yxxyxy=+=，

即177x=+，777y=+时取等号，故所求最小值为71+.【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式，考查了分类讨论的数学思想；考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时要根据一正，二定，三取等的思路去思考．【必做题】请在答题卡

指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.如图，在以,,,,,ABCDEF为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AFDF⊥，22AFFD=，45DFECEF==.（1）求异面直线BC，DF所成角的大

小；（2）求二面角DBEC−−的余弦值.【答案】（1）2；（2）3510.【解析】【分析】（1）根据题意，可以得到从同一点O出发的三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零，得到异面直线BC，DF所成角为2；（2）利用空间向量法能求出二面角DBEC−−的平面角的余弦值.【详

解】因为四边形ABEF为正方形，AFDF⊥所以AF⊥平面DCEF又45DFECEF==所以，在平面DCEF内作DOEF⊥，垂足为点O，以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图所示）.设OF=a，因为22AFFD=所以2,4,2DFaAFaCDa===

（1）点D的坐标为(0,0,)Da，点F的坐标为(,0,0)Fa，点B的坐标为(3,4,0)Baa−点C的坐标为(2,0,)Caa−.则(,4,),(,0,)BCaaaDFaa==−，设向量,BCDF的夹角为则cos0||||B

CDFBCDF==所以异面直线BC，DF所成角为2（3）点E的坐标为(3,0,0)Ea−，(,4,),BCaaa=(0,4,0),(3,0,),BEaDEaa=−=−−设平面DBE的法向量为1(,,)nxyz=，由11

00nDEnBE==得3040xzy+==，取1x=得平面DBE的一个法向量为1(1,0,3)n=−，设平面CBE的法向量为2(,,)nxyz=，由2200nBCnBE==得4040xyzy++==，取1x=得平面DBE的一个法向量为2(1,0

,1)n=−，设两个法向量12,nnrr的夹角为则121235cos10||||nnnn==由于二面角DBEC−−为锐二面角，所以二面角DBEC−−的余弦值为3510【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量法求线线角的大小和二面角的余弦值，在解题的过程中，注意

对题的条件的正确和合理利用，对基础知识灵活掌握是正确解题的关键，属于简单题目.25.当,*nmmnN，时，集合A＝{1，2，3，…，n}，取集合A中m个不同元素的排列分别表示为M1，M2，M3，…，MA(

n)－1，MA(n)，其中A(n)表示取集合A中m个不同元素的排列的个数.设pi为排列Mi中的最大元素，qi为排列Mi中的最小元素，1≤i≤A(n)，记P＝p1＋p2＋…＋pA(n)－1＋pA(n)，Q＝q1＋q2＋…＋qA(n)－1＋qA(n).（1）当m=2，n＝3时，分别求A

(3)，P，Q；（2）对任意的*mN，求P与Q的等式关系.【答案】（1）A(3)＝6，P=16，Q＝8；（2）P＝mQ.【解析】【分析】（1）当m=2，n＝3时，分析题意，可求得A(3)的值，分别写出对应的

排列，得到P，Q的值；（2）对任意的*mN，分析其对应的数据，找到其关系，从而得到结果.【详解】（1）当m=2，n＝3时，A（3）＝23A＝6，6个排列分别为1，2；2，1；1，3；3，1；2，3；3，2.则P=16，

Q＝8.（2）显然m≤pi≤n，pi∈*N，并且以m为最大元素的取法有11mmC−−个，以m+1为最大元素的取法有1mmC−个，以m+2为最大元素的取法有11mmC−+，，以k(m≤k<n)为最大元素的取法共有11mkC−−，，以n为最大元素的取法有11mnC−−个，P＝p1＋p2＋

＋pA(n)－1＋pA(n)＝1111111[(1)(2)]AmmmmmmmmnmmCmCmCnC−−−−−+−++++++①因为11mmkkkCmC−−=(k＝m，m+1，，n)，所以P＝m12()mmmmmmmmnmCCCCA++

++++＝1112()AmmmmmmmmnmmCCCC++++++++＝122()AmmmmmmnmmCCC++++++＝11mmnmmCA++.显然1≤qi≤n－m+1，qi∈*N，以1为最小元素的取法有1

1mnC−−个，以2为最小元素的取法有12mnC−−个，以3为最小元素的取法有13mnC−−个，，以k(1≤k≤n－m+1)为最小元素的取法共有1mnkC−−，，以n－m+1为最小元素的取法有11mmC−−个.Q＝q1＋q2＋＋qA(n)－1＋qA(n)，则Q＝111

1111[(1)(n)(n1)]AmmmmmmmmnmnmCmCmCC−−−−−+−−++−+−−++②①＋②得P＋Q＝(n＋1)11_11111()AmmmmmmmmnmCCCC−−−−+−++++＝(n＋1)AmmnmC＝(m+1)11AmnmmC++，则Q＝11mmnmCA++

，所以P＝mQ.【点睛】该题考查的是有关排列数的问题，涉及到的知识点有集合中元素的特征，排列数公式，属于较难题目.