【文档说明】湖南省邵东市第一中学2025届高三9月第二次月考 数学答案.pdf，共(8)页，1.522 MB，由小赞的店铺上传

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2024年下学期高三第二次月考数学试卷时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合31log0,1MxxNxyxx

，则M∪(∁������)=（D）A．,1B．,1C．,00,1D．,00,12．若a，b∈R，且a>|b|，则(B)A．a<－bB．a>bC．a2<b2D．1a>1b3．在平面直角坐标系x

Oy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin(α−2017���2)＝(B)A．－45B．－35C．35D．454．已知0,0ab，则“2ab”是“222ab”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要

条件5．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝(B)A．5B．5C．2D．16．设函数f(x)=sin（ωx+π3）在区间（0，π）恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是（B）（课时规范练33P347T5）A．

[53,136）B．（133,83]C．[53,196）D．（136,196]7．若f(x)＝(x＋a)ln2x－12x＋1为偶函数，则a＝(B)A．－1B．0C．12D．18．已知函数f(x)＝ax＋ex－(

1＋lna)x(a>0，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，则a的取值范围为(C)A.[12，e]B．[2，e]C．[e，＋∞)D．(e，＋∞)答

案C{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}解析依题意，得alna＋e－4≥0,①因为f′(x)＝axlna＋ex－1－lna＝(ax－1)lna＋ex－1，当a>1时，对任意的x∈[0,1]，ax－1≥0，

lna>0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0；当0<a<1时，对任意x∈[0,1]，ax－1≤0，lna<0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0，所以f(x)在[0,1]上是增函数，则对任意的x1，x2∈[0,1]

，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，只需f(x)max－f(x)min≤alna＋e－4，因为f(x)max＝f(1)＝a＋e－1－lna，f(x)min＝f(0)＝1＋1＝2，所以a＋

e－1－lna－2≤alna＋e－4，即a－lna＋1－alna≤0，即(1＋a)(1－lna)≤0，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数sin2cos236fxxx，则（AC）A．fx的最大值为2B．fx在,86上单调递增C．fx在0,上有

2个零点D．把fx的图象向左平移12个单位长度，得到的图象关于原点对称10．已知函数f(x)=������和g(x)=logax(a>0且a≠1),若两函数图像相交，则其交点的个数可能是（ABC）A.1B.2C.

3D.411．f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数是g（x），若f(3x+1)是奇函数，且对任意的x∈R，都有f(4-x)=f(x),则对于任意的k∈Z,下列说法正确的是（BC）A.4k都是g(x)的周期B.曲线y=g(x)关于点（2k,0）对称C.曲线y=g(x)关于直线x=2k

+1对称D.g(x+4k)都是偶函数{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知sinα

＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于π413．已知函数f(x)=3x+4,x<13x−2,x≥1，若m<n，且f(m)=f(n),则mf(n)的取值范围是[−43,7)（优化设计P60例5）14．设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0，则

���2+���2的最小值是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知0a，设函数sinRfxxax．(1)若π2a=，求函数f（x）在（-∞，0）内的单调递增区间；(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域

．解：(1)由题设，cos,2()sin||2cos,2xxfxxxx，所以，根据余弦函数的性质得()fx在{|0}2xx，{|2(21),Z,0}xkxkkk

上递增；……………………6分(2)由题设，[,2]xaa，则[0,3]xaa，又2aa，即0a，所以()sin()fxxa，{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgOR

FAAsAABAQFABAA=}#}当32a，即06a时，()[0,sin3]fxa；当32a，即63a时，()[0,1]fx；当332a，即32a时，()[sin3,1]fxa；当332a，

即2a时，()[1,1]fx；16．（15分）已知向量3sin,cosaxx，cos,cosbxx，函数32fxab．(1)求函数yfx的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若fC恰

好为函数fx的最大值，且此时CDfC，求3a＋4b的最小值．【解】（1）32fxab233sincoscos2xxx31cos23sin2222xx31sin2cos2122xxsin216x，则

函数yfx的最小正周期22T.……………………5分（2）由（1）可知sin216fxx，当226xππ，即3x时，fx取得最大值为2，则3ACB，2CD，……………………8分因

为CD平分ACB，所以6ACDBCD，则点D分别到,ACBC的距sin16hCD，由ABCACDBCDSSS△△△，则111sin222ACBCACBAChBCh，即32abab，整理可得1132ab，……………………12分

112334343ababab342373abba237433143243，当且仅当34abba，即32ab时，等号成立，故34ab最小值为143243.17

．（15分）(优化设计p122训4改编）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点���0）开始计算时间．(1)以

过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（

单位：秒）的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？解：(1)设ℎ=���sin(������+���)+������>0,���>0,���<���2，根据函数ℎ=���sin

(������+���)+���的物理意义可知：���=������0=2,���=1，由题意可知当���=0时，ℎ=0，则2sin���+1=0，所以sin���=−12，则���=−���6，又因为函数ℎ=2sin(������−���6)+1的最小正周

期为���=6，所以���=2������=���3，所以ℎ=2sin(���3���−���6)+1(���≥0)；……………………8分(2)解：根据题意可知，ℎ=2sin(���3���−���6)+1≥2，即sin(���3���−���6)≥12，当水轮转动一圈时，��

�∈[0，6]，可得：���3���−���6∈[−���6,11���6]，所以此时���6<������3−���6<5���6，解得1<���<3，又因为3−1=2（秒)，即水轮转动任意一圈内，有2秒的时间点���距水面的高度不

低于2米．18.（17分）已知()1xfxex，2()()gxaxaR．（Ⅰ）求()fx的最小值．（Ⅱ）设()()()2Fxfxgx，若当(,)at时，()Fx有三个不同的零点，求t的最小

值．（Ⅲ）当(0,)x时，[f(x)+x]ln(x+1)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）令()10xfxe得，0x，易知，当(,0)x时，()0fx，()fx单调递减，当(0,)x时，()0fx，()fx单调递增，()fx的最小值为(0)0f；

……………………3分（Ⅱ）依题意，22()121xxFxexaxexax，令()0Fx，则21xexax，令21()xexhxx，则243(1)(1)2(2)(1)()xxxexexxxehxxx，当0x或x>2时，ℎ'(���)>0，则

()hx在(,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}又00lim()0,lim(),lim(),lim()xxxxhxh

xhxhx，21(2)4eh，从而作出函数()hx的草图如右图，由图象可知，要使()hxa有三个不同的实数根，则214ea，t的最小值为214e；……………………10分（Ⅲ）[f(x)+x]ln(x+1)≥g(x

)等价于2(1)(1)xelnxax，即2(1)(1)(0)xelnxaxx„，(1)111(1)(1)xxlnxeexxaxelnxlnx„，构造函数1()xexx，则2(1)1()0(0)xxexxx

，()x在(0,)上单调递增，又考虑到(1)lnxx„，则()((1))xlnx，从而(1)111(1)xlnxexelnx，实数a的取值范围为(，1]．19．（17分）多元导数在微积分学中有重要的作用,设y是由,,abc等多个自变

量唯一确定的因变量,则当a变化为aa时,y变化为yy.记0limaya为y对a的导数,其符号为ddya.和一般导数一样.若在12,aa上,已知d0dya.则y随着a的增大而增大:反之,已知d0dya,则y随着a的增大而减小.多元导数除满

足一般分式的运算性质外,还具有下列性质:①可加性:1212ddddddyyyyaaa；②乘法法则:121221ddddddyyyyyyaaa；③除法法则:11221222ddddydyyyyydaaay

；④复合法则:2211ddddddyyyaya.记2211ln.(2.71828182xyexxxexaeee为自然对数的底数),（1）写出ddyx和ddya的表达式:（2）已知方程0y有两实数1212,,xxxx（i）求出a的取值范围

:{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}（ii）证明12d0dxxa,并写出12xx随a的变化趋势.解析：（1）设2211()()ln2xfxgaexxxexaee,则00d()()

2limlim()lndxxxyyfxxfxfxexxexxxe,同理()1dygada.……………………4分（2）(i)由（1）,2()lnxfxexxee,则(1)0f,且1x时,ln0,()0xee

xxfx即()fx单调递减,1x时()0fx即()fx单调递增,故1()(1)2fxfae,而0x时,2x趋近于0的速度远远快于lnx趋近于的速度,故2ln0,()1xxfxa,因此只需10a且102ae即由零点存在性定

理,12(0,1),1xx,存在两个零点,故1,12ae.……………………10分（ii）由(1),120,0fxfx,故只需证明120fxfx,令122xxm设21()(

)()02xxhxfmxfmxx,则2121(0)02xxhhfxfx,()()()hxfmxfmx,则21122xxhfxfx,又22()()()(l

n()1)(ln()1)mxmxhxfmxfmxemxemxee单调递增,且(0)0h,故()(0)0,()hxhhx单调递增,则21()2xxhxh必然211202xxhfxfx

,否则()0hx即()hx单调递减,不符合.2121(0)02xxhhfxfx,故原命题成立,由题,12xx随a增大而减小.{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAs

AABAQFABAA=}#}8{#{QQABDYiEgggIAJAAARhCQw24CgGQkBCCCYgORFAAsAABAQFABAA=}#}