【文档说明】《中考数学十大题型专练卷题型》09 几何类比、拓展、探究题（原卷版）.docx，共(33)页，985.692 KB，由管理员店铺上传

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1备战2020年中考数学十大题型专练卷题型09几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC（12ACBCAC）绕点C顺时针旋转得DEC，射线AB交射线DE于点F．（1）AFD与BCE的关系是；（2）如图2，当旋转角

为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OGOD=，连接GC．①AFD与GCD的关系是，请说明理由；②如图3，连接,AEBE，若45ACB=o，4CE=，求线段AE的长度．22．（问题）如图1，在RtABCV中，90,

ACBACBC==，过点C作直线l平行于AB．90EDF=，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组

运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DPDB=，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点AC、），受（1）的启发，这个小组过点D作D

GCD⊥交BC于点G，就可以证明DPDB=，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点AB、），N是射线BD上一点，且AMBN=，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小

组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若4ACBC==，请你直接写出BQ的最大值．343．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶

点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′

，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推

理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．54．问题提出：如图，图①是一张由

三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显

然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，

把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的

方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．6探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：

把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方

体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．75．在ABC中，90BAC=，ABAC=，ADBC⊥于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，

且90BMN=，当30AMN=，2AB=时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且90EDF=，求证：BEAF=；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且90BMN=，求证：2ABANAM+=;86．如图，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同

一条直线上，且2ABBC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DMMG⊥，并求MBMG的值．（2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB=，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；

若无变化，说明理由．97．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：()1如图1，点ABC，，在Oe上，ABC的平分线交Oe于点D，连接ADCD，．求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：()2如图2，在等补四边形AB

CD中ABAD，＝，连接ACAC，是否平分?BCD请说明理由．运用：()3如图3，在等补四边形ABCD中，ABAD＝，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点105FCDAF，＝，＝，求DF的长．8．已知VABC内接于Oe，BAC的平分线交Oe于

点D，连接DB，DC．10（1）如图①，当120BAC=o时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当90BAC=o时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）

如图③，若BC=5，BD=4，求ADABAC+的值．9．如图，在ABC中，ABBC=，ADBC⊥于点D，BEAC⊥于点E，AD与BE交于点F，BHAB⊥11于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①

所示，若30ABC=o，求证：33DFBHBD+=；（2）如图②所示，若45ABC=o，如图③所示，若60ABC=o（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接B

C，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．12（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰

直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为

定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．13(1)概念理解：如图2，在四边形ABC

D中，ABAD=，CBCD=，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD⊥．试证明：2222ABCDADBC+=+；(3)解决问题：如图3，分别以RtACBV的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE、BG、GE．已知4AC=，5AB=，求GE的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，14AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系

；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求M

N，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，15APFD=．（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EMEB=，连接MF，求证：MF

PF=；（3）如图2，过点E作ENCD⊥于点N，在线段EN上取一点Q，使AQAP=，连接BQ，BN．将AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点'Q落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点'B是否落在线段BN上，并说明理由．14．在ABC中，90ABC=，ABnBC=

，M是BC上一点，连接AM16（1）如图1，若1n=，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BMBN=（2）过点B作BPAM⊥，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q.①如图2，若1n=，求证：CPBMPQBQ=②如图3，若M是BC的中点，直接写出tanBP

Q的值（用含n的式子表示）15．⑴如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BDDE、，将BDE绕着点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.17①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段B

EBF、和DB之间的数量关系.⑵当四边形ABCD为菱形，ADC60=o，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BDDE、，将BDE绕着点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2，点E在线段上时，请探究线段BEBF、和BD之间的

数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M；若BE1,AB2==,直接写出线段GM的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．18例2如图，在ABC中，,DE分别是边,BCAB的中点，,ADCE相交于点G，求证：13GE

GDCEAD==，证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCDY中，对角线ACBD、交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若ABCDY为正方形，且6AB=，则OF的长为．（2

）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为12，则ABCDY的面积为．17．如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，19作PAB关于直线PA的对称'PAB，设点P的运动

时间为()ts（1）若23AB=①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理

由（2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三

角形ABC中，ABAC=，作CMAB⊥交AB于点M，BNAC⊥交AC于点N．20（1）在图1中，求证：BMCCNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作//PEAB交CM于点E，作//P

FAC交BN于点F，求证：PEPFBM+=；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作//PEAB交CM的延长线于点E，作//PFAC交NB的延长线于点F，求证：···AMPFOMBNAMPE+=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，

E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．21问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图

2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P

'处．若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，

垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．2220．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则1BOCBACB+++＝＝．．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“BOCABC++＝”这个规律，所以我

们把这个模型叫做“箭23头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，ABCDEF+++++=．②如图3，ABEACE、的2等分线（即角平分线）BFCF、交于点F，已知12050BECBAC==oo，，则BFC=③

如图4，iiBOCO、分别为ABOACO、的2019等分线12320172018i=（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018OOOO、、、、．已知BOCmBACn==oo，，则1000BOC

=度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，2BCCDBCDBAD==，．O是四边形ABCD内一点，且OAOBOD==．求证：四边形OBCD是菱形．21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的

中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现24①当0=时，AEBD=；②当时，AEBD=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△E

DC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线E

F上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.25(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若D

E＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如

图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如

下问题.26（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD

=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.24．（1）（探究发现）如图1，EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，90EOF=，将EOF绕点O旋转，旋转过程中，EOF的两边分别与

正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重27合）．则,,CECFBC之间满足的数量关系是．（2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“120BCD=o的菱形ABCD”，其他条件不变，当60EOF=o时，

上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）（拓展延伸）如图3，120BOD=o∠，34OD=，4OB=，OA平分BOD，13AB=，且2OBOA，点C是OB上一点，60CAD=o，求OC的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别

相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”28或“假”）．①条边成比例的两个

凸四边形相似；（命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

111111ABBCCDABBCCD==，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE

的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求21SS的值．26．在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F.（1）如图1，当EF∥BC时，求证：

1BECFAEAF+=；29（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中

的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰RtABCV中，90,142ACBAB==o．点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90º得到EF．30（1）如图1，若ADBD=，点E与点C重合，AF与DC相

交于点O．求证：2BDDO=．（2）已知点G为AF的中点．①如图2，若,2ADBDCE==，求DG的长．②若6ADBD=，是否存在点E，使得DEG△是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD是Oe的内接四边形

，连接AC，BD，ABBCAC==．求证：BDADCD=+.31小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD=，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD=…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形A

BCD是Oe的内接四边形，连接AC，BD，BC是Oe的直径，ABAC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD是Oe的内接四边形，连接AC，BD．若BC是Oe的直径，30ABC=，则线

段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD是Oe的内接四边形，连接AC，BD．若BC是Oe的直径，::::BCACABabc=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______

．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQAE⊥于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE⊥．32①求证：DQAE=；②推断：GFAE的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCkAB=（k为常数）．将矩形ABCD沿G

F折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AECP之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当23k=时，若3tan4CGP=，210GF=，求CP的长

．30．在ABC，CACB=，ACB=．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．33（1）观察猜想如图1，当60=时，BDCP的值是，直线BD与直线CP相交

所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90=时，若点E，F分别是CA，CB的

中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．