【文档说明】河南省平顶山市2021-2022学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.356 MB，由envi的店铺上传

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2021—2022学年第一学期高二期末调研考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为实数，且ab，则以下不等式成立的是（）A.2abB.acbc+

−C.33ab−−D.3ab【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【详解】取2,3,4abc=−=−=−可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C2.若命题p为“0x，()10xx−”，则p为（）A.0x，()10x

x−B.0x，()10xx−C.0x，()10xx−D.0x，()10xx−【答案】B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0x，()10xx−”

的否命题为“0x，()10xx−”，故选：B3.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31

.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺【答案】A【解析】【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为1a尺，公差为d尺，利的用等差数列的通项公

式，求出d，即可求出1a，从而得到答案．【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{na}，如冬至日的日影长为1a尺，设公差为d尺.由题可知，所以1474431.5331.

510.5aaaaa++===，2585528.5328.59.5aaaaa++===，549.510.51daa=−=−=−，()()369653339.5138.525.5aaaaad++==+=−==，故

选：A．4.已知实数x，y满足不等式组21112yxyxyx+−−，若23zxy=+，则z的最小值为（）A.9−B.233−C.23−D.13【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域

，然后根据线性规划的几何意义求得答案.【详解】作出不等式组21112yxyxyx+−−所对应的可行域如图三角形ABC阴影部分，平行移动直线直线230xy+=，可以看到当移动230xy+=过点A时，2

3zxy=+在y轴上的截距最小,联立21112yxyx=+=−，解得45,33A−−，当且仅当动直线23zxy=+即233zyx=−+过点45,33A−−时，z取得最小值为45232()3()333z=−+−=−，

故选：B5.已知命题p：xR，21x−…，命题q：xR，cos2x=−，则（）A.pq是假命题B.pq是真命题C.()pq是真命题D.()pq是假命题【答案】C【解析】【分析】先分别判断命题p、q的真假，再利用逻辑联结词“或”

与“且”判断命题的真假.【详解】由题意，20x，所以xR，21x−成立，即命题p为真命题，1cos1x−，所以不存在xR，使得cos2x=−，即命题q为假命题，所以p是假命题，q为真命题，所以pq是真命题，pq是假命题，()pq

是假命题，()pq是真命题.故选：C6.设P为椭圆2212516xy+=上一点，1F，2F为左、右焦点，且12||4||PFPF=，则（）A.12PFF△为锐角三角形B.12PFF△为钝角三角形C.12PFF△为直角三角形D.P，1F，2F三点构不成三

角形【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出,,abc，然后结合椭圆定义和已知条件求出12||,||PFPF并求出12||FF，进而判断答案.【详解】由题意可知，225,43abcab===−=，由椭圆的定义可知12||||10PFPF+=，

而12||4||PFPF=，联立方程解得12||8,||2PFPF==，且12||6FF=，则6+2=8，即12,,FPF不构成三角形.故选：D.7.设双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为e，则下列命题中是真命题的为（

）A.ba越大，双曲线开口越小B.ba越小，双曲线开口越大C.e越大，双曲线开口越大D.e越小，双曲线开口越大【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，ba越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，b

a越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由21cbeaa==+，e越大，则ba越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，e越小，则ba越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C.8.已知a，b为正实数，且11133abab+=++，则ab+的最

小值为（）A.14B.13C.12D.1【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求ab+的最小值.【详解】11133abab+=++可化为()()4433ababab+=++，由基本不等式可得()()()2233443342abababababab++++=++=+，故

1ab+，当且仅当1ab==时等号成立，故ab+的最小值为1，故选：D.9.在ABC中，60A=，4BC=，且BC边上的高为22，则满足条件的ABC的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】利

用等面积法求得ABAC，再利用正弦定理求得sinsinBC，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为61sin262B−−=，再利用正弦函数的性质求满足条的B的个数，即可求解.【详解

】由三角形的面积公式知11sin6042222ABAC=，即1663ABAC=由正弦定理知48sinsinsin603ABACCB===所以88sin,sin33ABCACB==，即64166sinsin33BC=，即

6sinsin4BC=，即6sinsin34BB+=利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得61sin262B−−=又60A=，则20,3B，72,666B

−−，且161122−由正弦函数的性质可知，满足61sin262B−−=的B有2个，即满足条件的ABC的个数为2.故选：B10.某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的

方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以203nmile/h的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1hB.3h2C.33hD.1h2【答案】A【解析】【分析】设t小时后，

相遇地点为C，在三角形ABO中根据题目条件得出OBAC⊥，再在三角形BOC中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为A，设缉私艇追上走私船的最短时间为t，相遇地点为C.则20AOnmile=，走私船以30nmile/h的速度向北偏东30°

的方向逃窜，CAO=60°.因为20min后缉私艇才以203nmile/h的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了130103nmile=，到达B.在三角形ABO中，由余弦定理知：22212cos60500210202OBABAOABAO

=+−=−，则=103OBnmile，所以OBAC⊥.在三角形BOC中，()30BCtnmile=，()203OCtnmile=，有：()()()222222203=103+30OCtOBBCt==+，化简得：23

00300t=，则1t=.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】11.在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABBCBB===，11ABBABCBBC==3=，12AEBD=，则1||BE=（）A.33B.5C.32D.3【答案】B【解析】【分析】由113

2BEBABBBC=++uuuruuruuuruuur，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：()11111232BEBBBAAEBBBABABBBCBABBBC=++=++++=++uuuruuuruuruuuruuuruu

ruuruuuruuuruuruuuruuur，所以()22222221111132364122BEBABBBCBABBBCBABBBBBCBABC=++=+++++uuuruuruuuruuuru

uruuuruuuruuruuuruuuruuuruuruuur222111312611411121125222=+++++=，所以15BE=uuur，故选：B.12.已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q，前n项和为

nT．若nnST=2212232332nnnnnn+−−+，则（）【A.11a=−B.6d=−C.18b=−D.9q=【答案】D【解析】【分析】用基本量表示nnST可得基本量的关系式，从而可得9q=，故可得正确的选项.【详解】若1q=，则1nTnb=，而()2111222nnnddSna

dnan−=+=+−，此时3211122nnSdbdTnban=+−，这与题设不合，故1q，故()1111111nnnbqbqbTqqq−==−−−−，故21112211nnnbqbddTnanqqS=+−−−−

()()2112111122112121nndabdbnqdbbdnqnanqqqq−=+−−−−−−−，而22392932nnnnSTnnnn=−−+()11123,9,2211dabdbqqq

−===−−−，故11148,8dbab==，此时11,,dba不确定，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在正项等比数列na中，11a=，2312aa+=，则na的公比为___________.【答案】3【解析】【分析】由题设知等比数

列公比0q，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设，等比数列公比0q，且221112qqaqaq+==+，所以(4)(3)0qq+−=，可得3q=或4q=−（舍），故na公比为3.故答案为：3

14.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，103,2P为C的右支上一点，且124PFPF−=，则C的离心率为___________.【答案】62【解析

】【分析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知24a=，故2a=，又点103,2P在双曲线上，所以2109414b−=，解得22b=，所以22261142bea=+=+=.故答案为：6215.如图，已知正方形ABCD边长为2，长方形ADEF中，1AF=，

平面ABCD与平面ADEF互相垂直，G是线段ED的中点，则异面直线BG与CF所成角的余弦值为______．【答案】3399【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出BG，CF后可求异面直线所成角的余弦值.【详解】长方形ADEF可得EDAD⊥，因为平面ABCD与平面ADE

F互相垂直，平面ABCD平面ADEFAD=，ED平面ADEF，故ED⊥平面ABCD，的的故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,1,0,2,0,0,0,0.5,2,2,0FCGB，故()2,2,0.5BG=−−uuur，()2,2,1CF=−，故0.53

3cos,993394BGCF==.故答案为：339916.若a，b，c都为正实数，1abc++=，且2a，b，2c成等比数列，则1ba−的最小值为______．【答案】222−##222−+【解析

】【分析】利用等比中项及条件可得1ac+=，进而可得1212baaaa−+−=，再利用基本不等式即得.【详解】∵a，b，c都为正实数，2a，b，2c成等比数列，∴24,2bacbac==，又1abc++=，∴21aacc++=，即()21ac+=，∴

1ac+=，∴()211212aabacaaaaaa+−−++−===122222aa=+−−，当且仅当12aa=，即12a=取等号.故答案为：222−.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6a=，

663b+=，663c−=.（1）求A的大小及△ABC的面积；（2）求sinsinBC+的值.【答案】（1）3A=，△ABC的面积为536；（2）2.【解析】【分析】（1）应用余弦定理求A的大小，由三角形面积公式求△ABC的面积；（2）由（

1）及正弦定理的边角关系可得22sinsinbcBC+=+，即可求目标式的值.【小问1详解】在△ABC中，由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+−==，又0A，则3A=.所以△ABC的面积为111053sinsin22336bcA==.【小问2

详解】由（1）得：3sin2A=，由正弦定理得：22sinsinsinbcaBCA===，则22sinsinbcBC+=+，所以sinsin222bcBC++==.18.设p：()224300xaxaa−+，q：211180xx−+.（1）若命题“()1,2x，p是真命题”，求a的取值范

围；（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）2,13（2）2,3【解析】【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到(,3)aa是2,9的真子集，进而求出a的取值范围.【小

问1详解】因为0a，由22430xaxa−+可得：3axa，因为“()1,2x，22430xaxa−+”为真命题，所以()()1,2,3aa，即1,32,aa，解得：213a.即a的

取值范围是2,13.【小问2详解】因为0a，由22430xaxa−+可得：3axa，21118029xxx−+，因为p是q的充分不必要条件，所以(,3)aa是2,9的真子集，所以2,39,aa（等号不同时取），解得：23a，即a的取值范围是

2,3.19.已知在等差数列na中，40a=，125aa+=−．（1）求na的通项公式；（2）若3nnnca=，求数列nc的前n项和nS．【答案】（1）4nan=−（2）()1293274nnnS+−+=【解析】【分析】（1）设na的公差为d，由等差数列的通项

公式结合条件可得答案.（2）由（1）可得(4)3nncn=−，由错位相减法可得答案.【小问1详解】设na的公差为d，由已知得130ad+=且125ad+=−，解得13a=−，1d=，所以na的通项公式为4nan=−．【小问2详解】由（1）可得(4)3nncn=−，所以()()1233323

13nS=−+−+−()()15343nnnn−++−+−…，所以3nS()()()()23413323135343nnnn+=−+−+−++−+−…，两式相减得：()12341233333343nnnSn+−=−+++++−−…，所以()()2341212+33333

43nnnSn+−=−+++++−−…()1133124313nnn++−=−+−−−()1923272nn+−−=，所以()1293274nnnS+−+=20.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，14,6ABBCCC===，若点P为棱1DD上一点，且2DP=，Q，R分别

为棱1,BBBC上的点，且12BQBR==.（1）求直线1DQ与平面1PBR所成角的正弦值；（2）求平面1PBR与平面11BDDB的夹角的余弦值.【答案】（1）1414（2）5714【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向

量法求线面角；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】以D为坐标原点，射线1,,DADCDD方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.当2DP=时，1(0,0,2),(4,4,6),(2,4,0)PBR，所以1(4,4,4),(2,4,2)PBPR==−，设平

面1PBR的法向量为(,,)nxyz=，所以100nPBnPR==，即4440,2420,xyzxyz++=+−=不妨得，(3,2,1)n=−，又1(0,0,6),(4,4,4)DQ，所以1(4,4,2)DQ=−，则11|6|14sin141436||

nDQnDQ−===【小问2详解】在长方体1111ABCDABCD−中，因为1BB⊥平面ABCD，所以平面11BDDB⊥平面ABCD，因为平面11BDDB与平面ABCD交于BD，因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD⊥，所以A

C⊥平面11BDDB，即AC为平面11BDDB的一个法向量，(4,0,0),(0,4,0)AC，所以(4,4,0)=−AC，又平面1PBR的法向量为(3,2,1)n=−，所以|||20|57cos14||||1442nACnAC===.21.已知椭

圆C：()222210xyabab+=的离心率为12，且经过点31,2.（1）求C的方程；（2）设C的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求DEAB的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）34,43【解

析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为12，及经过点31,2建立等式可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算AB与DE后再求范围即可.【小问1详解】由题意知C的离心率为2212aba−=，整理得2243ab=，又因为C经过点31,2

，所以22233214bb+=，解得3b=，所以2a=，因此，C的方程为22143xy+=.小问2详解】由已知可得()1,0F，当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得AB4=，3DE=或3AB=，4DE=，此

时有34DEAB=或43.当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线AB：()1ykx=−，直线DE：()11yxk=−−，()11,Axy，()22,Bxy，()33,Dxy，()44,Exy由()221,431,xyykx+==−

得()22223484120kxkxk+−+−=，所以2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，所以()()2222121212212111434kABkxxkxxxxk+=+−=+

+−=+，用1k−替换k可得()2212143kDEk+=+.【所以()222344734,43343343DEkABkk+==−++，综上所述，DEAB的取值范围为34,43.22.已知抛物线E：22ypx=（0p）的焦点为F，点P在E上，点1(,1)2Q在E的

内侧，且||||PFPQ+的最小值为32．（1）求E的方程；（2）过点(2,0)M−的直线l与抛物线E交于不同的两点A，B，直线OA，OB（O为坐标原点）分别交直线24yx=−−于点ST，，记直线l，FS，FT的斜率分别为k，1k，2k，若21216kkk=，求k

的值．【答案】（1）24yx=（2）32719k−=【解析】【分析】（1）先求出抛物线的准线l，作PRl⊥于R由抛物线的定义，可得||||||||PFPQPRPQ+=+，从而当且仅当P，Q，R三点共线时||||PRPQ+取得最小，得出答

案.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，设l：()2ykx=+与抛物线方程联立，得出韦达定理，设出直线OAOB，的方程分别与直线l的方程联立得出点ST，的坐标，进一步得到1k，2k的表达式，由条件可得答案.【小问1详解】

E的准线为l：2px=−，作PRl⊥于R，则||||PRPF=，所以||||||||PFPQPRPQ+=+，因为点1,12Q在E的内侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时||||PRPQ+取得最小值，所以13222p+=

，解得2p=，所以E的方程为24yx=．【小问2详解】由题意可知l的斜率一定存在，且不为0，设l：()2ykx=+（0k），联立()22,4,ykxyx=+=消去y得()22224440kxkxk+−+=，由0，即()2241

610kk−−，得212k，结合0k，知2102k．记()11,Axy，()22,Bxy，则212221244444kxxkkxx−+=−=−=直线OA的方程为11yyxx=．由11,24,yyxxyx==−−得111111

44,22xySxyxy−−++．易知()1,0F，所以111111142412yxykxxy+=++11146yxy=+()()1114262kxxkx+=++()()114262kxkxk+=++．同理

可得()()2224262kxkkxk+=++．由21216kkk=，可得()()()()2121222212121624166264kxxxxkkxxkkxxk+++=+++++，即()()22224424414462644kk

kkkk+−+=+++−+，化简得219610kk+−=，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com