【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考（二）数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.155 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学命题人：周芳芳张博审题人：周芳芳伊波得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21,Axxkk==−N，1,0,1,2,3B=−，则AB=（）A.1,3B.0,1,3C.1,1,3−D.1,0,1,2,3−【答案】C【解析】【分析】利用自然数集的含义描述集合A，根据集合

交集运算求解.【详解】根据题意，集合A表示从1−开始的奇数的集合，即1,1,3,5,−L，1,1,3AB=−.故选：C.2.若复数()21i68iz−=+，则zz+=（）A.25B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】利用

复数的运算对复数z化简，再求,zz，即可求解.【详解】由()()()()()21i2i68i1612i43i68i68i68i1002525z−−−−−====−−++−，则43i2525z=−+，则224

3125255zz=−+−==，因此25zz+=，故选：B.3.设a，b是单位向量，则()2abab+−的最小值是（）A.1−B.0C.34D.1【答案】D【解析】【分析】设a，b的夹角为0

,π，则cos1,1ab=−rr，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a，b的夹角为0,π，因为1==abrr，则coscos1,1abab==−rrrr，可得()2222cos1abababab+−=++=+rrrrrrrr，当且仅当cos1

=−时，等号成立，所以()2abab+−的最小值是1.故选：D.4.已知()2cos23cos0+−=，则()tantan+=（）A.5B.15C.-5D.15−【答案】D【解析】【分析】由角的变换()()2,+=++=+

−，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos23cos+=，则()()2cos3cos++=+−则()()()()2coscos2sinsin3coscos3sin

sin+−+=+++，，即()()5sinsincoscos−+=+，所以()5tantan1−+=，∴()1tantan5+=−，故选：D5.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，且()2~30,2XN.记一

天中旅客人数不少于26万人的概率为0p，则0p的值约为（）（参考数据：若()2~,XN，有()0.683PX−+，()220.954PX−+，()330.997PX−+）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.683【答

案】A【解析】【分析】根据正态分布对称性求得答案.【详解】因为()230,2XN:，所以30=，2=，()26340.954PX=，根据正态曲线的对称性可得，()()()010.954262634340.9540.9772pPXPXPX−==+=+=.故选：A.6.已

知抛物线C：24xy=的焦点为F，过点F的直线与C相交于M，N两点，则122MFNF+的最小值为（）A.92B.4C.72D.3【答案】A【解析】【分析】设过点F的直线l的方程为：1ykx=+，与抛物线C的方程联立，利用根与系

数的关系求出12yy的值，再根据抛物线的定义知11MFy=+，21NFy=+，从而求出122MFNF+的最小值即可.【详解】由抛物线C的方程为24xy=，焦点坐标为𝐹(0,1)，设直线l的方程为：()()11221,,,,ykxMxy

Nxy=+，联立方程241xyykx==+，整理得2440xkx−−=，则12124,4xxkxx+==−，故221212144xxyy==，又1112pMFyy=+=+，2212pNFyy=+=+，则()()12121

2111515922112222222222MFNFyyyyyy+=+++=+++=，当且仅当121,22yy==时等号成立，故122MFNF+的最小值为92.故选：A.7.若x，0y，1xy+=，则3xy+的取值范围为（）A.1,3B.1,2C.3

,2D.1,32【答案】B【解析】【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可；【详解】因为1xy+=，设22cos,sinxyaa==，又由x，0y，不妨取π0,2，所

以22π33cossin3cossin2sin3xyaaaaa骣琪+=+=+=+琪桫，因为π0,2，所以ππ5π,336a轾+?犏犏臌，所以[]π2sin1,23a骣琪+?琪桫，所以3xy+的取值范围为1,2，故选：B.8.从重量分别为1，2，3，4，

…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中9x的系数为m的选项是（）A.()()()()23101111xxxx++++B.()()()()11213110xxxx++++C.()()()()()2222223

41011111xxxxx+++++D.()()()()22222232101111xxxxxxxxx++++++++++【答案】C【解析】【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m，在分析各个选项9x的系数，即可求解.【详解】一个砝码有，9一

种情况，12C2=种情况，两个砝码有1,8，2,7，36，，4,5几种情况1122CC416=种三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况111122223C3CCC30+=种四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，

1,2,2,4，1,2,3,3，11224CC16=种，五个砝码有，1,1,2,2,3，12C2=种，总计66m=种.对A，选项9x系数为8，故不符合，所以A错误；对B，9x的系数是选9个带x的，其他的1个括号选常数项，可得9

10C1066=，故B错误；对C，()()()()()222222341011111xxxxx+++++()()()()()()()()()()23410234101111111111xxxxxxxxxx=++++++++++9x系数为9x单

独组成，其他为常数，则有12C2=种，系数为29x有两项组成，系数为x与8x组成，其他为常数，1122CC4=，系数为4，9x系数为2x与7x组成，其他为常数，1122CC4=，系数为4，9x系数为3x与6x组成，其他为常数，1122CC4=，系数为4，9x系数4x与5

x组成，其他为常数，1122CC4=，系数为4，为同理9x由三项组成7,,xxx，26,,xxx，35,,xxx，44,,xxx，225,,xxx，234,,xxx几种情况，其他项为常数，则系数为111122223C3CCC30+=同理9x由

四项组成25,,,xxxx，34,,,xxxx，224,,,xxxx，233,,,xxxx几种情况，其他常数，则系数11224CC16=，同理9x由五项组成223,,,,xxxxx其他项为常数，则系数为12C2=，综上9x系数为66m=，故C正确；对D，()()(

)()22222232101111xxxxxxxxx++++++++++()()()()2232101111xxxxxxxxx=++++++++++()()()()2232101111xxxxxxxxx++++++++++，5x系数直接有5x一项，其他是常

数项，可有162C12=种情况，系数为12，5x有x与4x组成，其他是常数项，可有11962CC10860=,故D错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分.9.(多选)下列选项中，正确的是（）A.不等式220xx+−的解集为{|2xx−或1}xB.不等式2112xx+−的解集为{|32}xx−C.不等式21x−的解集为{|13}xxD.设Rx，则“11x−”是“405xx+−”的充分不

必要条件【答案】ABD【解析】【分析】解出各选项中的不等式后可判断．【详解】A选项，220(1)(2)02xxxxx+−−+−或1x，A正确；为B选项，(3)(2)02121311003220222xxxxxxxxxx+−+++−−−−−

−，B正确；C选项，2121xx−−或21x−−，即3x或1x，C错误；D选项，1102xx−，()()40450455xxxxx++−−−，而{|02}xx是{|45}xx−的真子集，D正确．故选：ABD．10.如图，透明塑料制成的长

方体容器1111ABCDABCD−内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜度的不同，11AC始终与水面所

在平面平行D.当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值【答案】AD【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正确；图（2）中水面面积比（

1）中水面面积大，B错；图（3）中11AC与水面就不平行，C错；图（3）中，水体积不变，因此AEH△面积不变，从而AEAH为定值，D正确．故选：AD．的【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11.已知奇函数()fx在R

上单调递增，()()fxgx=，()()gxfx=，若()()()22fxfxgx=，则（）A.()gx的图象关于直线0x=对称B.()()()222gxgxfx=+C.()00g=或1D.()()221gxfx−=【答案】ABD【解析】【分析

】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到()()0fxfx−−=，()()()()()2222fxfxgxfxgx=+，再结合选项进行判断即可.【详解】对于A，由()fx为𝑅上的奇函数，则()00f=，()()0fxfx+−=，则()(

)0fxfx−−=，所以()()0gxgx−−=，即()gx为偶函数，因此关于直线0x=对称，故A正确；对于B，由()()()22fxfxgx=，则两边同时求导得：()()()()()2222fxfxgxfxgx=+，即()()()222gxgxf

x=+，故B正确；由()()()()0gxfxfxgx−=，则()()()()220gxgxfxfx−=，即()()220gxfx−=，即()()220gxfx−=，则()()22gxfxC−=（C为常数），设()()()22hxgxfxC=

−=（C为常数），对于C，由()()()222gxgxfx=+，则()()()22000ggf=+，即()()0010gg−=，解得()00g=或()01g=，当()00g=，则()()()220000h

gf=−=，则()()()220hxgxfx=−=，即()()fxgx=，又()gx为偶函数，则()fx即是奇函数也是偶函数，与()fx在𝑅上单调递增矛盾，因此()00g=不符合题意，则()01g=，故C错误

；对于D，当()01g=时，则()()()220001hgf=−=，则()()()221hxgxfx=−=，即()()221gxfx−=，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如()()()22fxfxgx=，求导可以得到()()()()()2222fxf

xgxfxgx=+，再结合()()fxgx=，()()gxfx=，灵活变化，必要时可以对其进行赋值.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分

别记为m，n，记A=“log0mn”，则()PA=______.【答案】1528【解析】【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log0mn，所以01,1mn或1,01mn，从111,,,2,3,4,6,9432中

任取两个不同的数，共可得到28A56=取法，其中对数值为负数的有11113553AAAA30+=个，所以()30155628PA==.故答案：1528.13.如图，ABCV中，6AB=，2ACBC=，D为AB中点，则tanBDC的取值范围为___

___.【答案】40,3为【解析】【分析】以D为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，结合题中条件确定tanyBDCx=的范围即可.【详解】以D为坐标原点

，AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A−，()0,0D，()3,0B，设(),Cxy，又2ACBC=，则C在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C在第一象限，则()()2222323xyxy++

=−+，整理得()22516xy−+=且0y，又tanyBDCx=，结合图象知，tan0BDC，则22222210911tan9101yxxBDCxxxx−+−===−+−，当159x=时，

2tanBDC取最大值为169，则40tan3BDC，即tanBDC的取值范围为40,3，故答案为：40,3.14.小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数

少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数

为______.【答案】4【解析】【分析】分黑球和白球个数为()1,10，()2,9，()3,8，()4,7，()5,6进行讨论，若小方有必胜策略，重点在于小方取完后盒中球的情况为()1,2或()2,

1时，则小方必胜.【详解】设黑球数为m，白球数为n，由11+=mn，mn，则(),mn可能有以下几种情况：①()1,10，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为()1,2，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为(0,2)，(0,1)，()1,1，(1,0)

，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；②()2,9，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为(2,1)，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；③()3,8，小军可先手在白盒子中取3颗球，

此时两盒球数为()3,5，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；若两盒中球数不一样，且均不为0，则一定是以下三种情况之一：（1）两盒球数为()3,4；（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即()1,3，()3,

1，()1,5；（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即()2,4，()3,2，()2,5；无论为哪种情况，小军都可将其取为()1,2或(2,1)，知此时小军必胜，不符合题意；④()4,7，若小军只从白盒中取球，则两盒球数为()4,1，()4,2，

()4,3时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.若两盒球数为()4,6时，小方可将球数转为()3,5，知小方必胜；若两盒球数为()4,5时，小方可将球数转为()1,2，知小方必胜；若两盒球数为()4,4时，知小方必胜若小军从黑盒中取出了球，则

黑盒中球数3，白盒中球数−黑盒中球数3，从而由③推理过程知小方必胜；⑤()5,6，小军可将球数转化为()1,2，小军必胜，不符合题意；因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为4，故答案为：4.的【点睛】关键点点睛：本题的关键在于小方怎样将盒中的球变为()1,2或()2,1，则小方必胜.四

、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知2ab−=，()sinsinsin2ABAB+−=.（1）求c；（2）若ABCV的内切圆在AB上的切点为D，求AD.【答案】（

1）4（2）1【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对()sinsinsin2ABAB+−=进行边化角，再借助2ab−=即可求出c的值；（2）利用内切圆的性质可得,,ADAMBDBNCMCN===，再结合4,2cab=−=，即可求出AD的

值.【小问1详解】由()sinsinsin2ABAB+−=，则2sincos2cossinsinsinABABAB−=+，整理得：()()sin2cos1sin12cosABBA−=+，则角化边可得：222222211222acbbcaabacbc+−+−−

=+，整理可得：()2cab=−，又2ab−=，因此可得4c=.【小问2详解】由（1）知4,2cab=−=，设ABCV的内切圆在,ACBC上的切点为,MN，则,,ADAMBDBNCMCN===,则4cABADBDAMBN===+=+，()()

2abBCACBNCNAMCMBNAM−=−=+−+=−=，因此可得1AM=，即1AD=.16.已知动圆P过点()2,0A−且与圆B：()22236xy−+=内切.（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）设动圆1C：2221xyt+=，1C与E相交于,,,ABCD四点，动圆2C：()222212

xyttt+=与E相交于,,,ABCD四点.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，求2212tt+的值.【答案】（1）22195xy+=（2）14【解析】【分析】（1）设动圆半径为r，根据题意可以得到64PA

PBAB+==，利用椭圆的定义知动圆圆心P的轨迹E是以,AB为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）设()22,,(,)AxyAxy，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得112244xyxy=，再根据,AA在椭圆上，从而求出所以22129xx+=，22125yy

+=，即可求出2212tt+的值.【小问1详解】设动圆半径为r，则PAr=，6BPBrrr=−=−（内切），64PAPBAB+==，所以点P的轨迹是以,AB为焦点的椭圆．623aa==，242ABcc===，2225bac=−=．则动圆圆心P的轨迹E的方

程为：22195xy+=．【小问2详解】设()22,,(,)AxyAxy，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得112244xyxy=，故22221122xyxy=，因为点A，A均在椭圆上，所以，22221212515199xxxx−=−，整理可得：

()()2222121290xxxx−−+=，由12tt，知12xx，所以22129xx+=，同理可得22125yy+=，因此2222221211229514ttxyxy+=+++=+=.17.为提高我国公民整体健康水

平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟

中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X（2X），且该市随机抽取的18～6

4岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X不超过n的概率大于13，求整数n的最小值.【答案】（1）32243（2）4【解析】【分析】（1）依题意，可判

断随机变量()2XX服从二项分布，利用概率公式计算即得；（2）由题意，列出随机变量()2XX的分布列，则得22222211123111212121CCC33333333nn−−++++

L，利用错位相减法求和将其转化成()226243nn−+，判断数列()22243nnan−=+的单调性，代值验证即得整数n的最小值.【小问1详解】根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，即采访的前四位中有一位是

达标成年人，第五位必是达标成年人，所以随机变量()2XX服从二项分布，所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为31412132C333243=.【小问2详解】依题意，随机变量()2XX服从二项分布，则X234LnP213

21212C33221312C33221112C33nn−−所以22222211123111212121CCC33333333nn−−++++

L，化简得()2212221123193333nn−++++−L，即()2222212313333nn−++++−L，记(

)222221231333nSn−=++++−L①，则()23122222123133333nSn−=++++−L②，由①−②，可得()22112222

1133333nnSn−−=++++−−L，即()1121123123313nnSn−−−=−−−，解得()229243nSn−=−+，由此可得，()2292

433nn−−+，即()226243nn−+，设()22243nnan−=+，()*2,Nnn，因为()()1122262631362243nnnnnanann−+−++==++，可得数列na是递减数列，又3

22010633a==，2421612633a==，所以整数n的最小值为4.18.已知函数()12exxfxx−=−.（1）当1=时，求()fx的图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程；（2）若1x时，()0fx，求的

取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*nnnnnnn+++++−+++−N.【答案】（1）0y=（2）)1,+（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化

为212lnxxx+，求出函数()212lnxgxxx=+的最大值得解；（3）先构造函数()12lnxxxx=−+，利用导数证明11ln2xxx−，1x，令11xn=+，可得()111ln1ln21nnnn+−++，迭代累

加可证得结果.【小问1详解】当1=时，()12exxfxx−=−，𝑓(1)=0，则()12121exxfxxx−=−+，则()0122e0f=−=，所以()fx在点(1,𝑓(1))处的切线方程为0y=.【小问2详解】由1x时，()0fx，即12e0

xxx−−，整理得212lnxxx+，对1x恒成立，令()212lnxgxxx=+，则()()42321ln222lnxxxxxgxxxx−−−=−+=，令()1lnhxxxx=−−，1x，所以()ln0hxx=−，即函数ℎ(𝑥)在1x上单调递减，所以()()1

0hxh=，即()0gx，所以函数()gx在1x上单调递减，则()()11gxg=，1.【小问3详解】设()12lnxxxx=−+，1x，则()()222221212110xxxxxxxx−−−+−==−−=，所以𝜑(𝑥)在(1

,+∞)上单调递减，则()()10x=，即12ln0xxx−+，11ln2xxx−，1x，令11xn=+，*Nn，可得1111111ln1112211nnnnn++−=++

+，所以()111ln1ln21nnnn+−++，()()111ln2ln1212nnnn+−++++，()()111ln3ln2223nnnn+−++++，…()()111ln2ln2122

12nnnn−−+−，以上式子相加得()112221ln2ln212212nnnnnnn−+++++++−，整理得，11111ln2412212nnnnn−++++++−L，两边取指数得，11111ln241221

2eennnnn−++++++−L，即得111114122122eennnnn−++++++−L，()*Nn得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12lnxxxx=−+，利用导数证明11l

n2xxx−，1x，令11xn=+，得到()111ln1ln21nnnn+−++.19.高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧

拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x与球面三角形内角和满足：πx=+，其中为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面

三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S为球面三角形面积，R为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求的值；（3）把多面体的任何一个

面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体顶点数为V，棱数为E，面数为F，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩVEF=−+为定值，并求出()Ω.【答案】（1）3π2（2）1（3）

证明见解析；()2=【解析】【分析】（1）由球面三角形边角定义，转化为大圆弧长可求圆心角，由球面三角形三条边长均为π2，得,,OAOBOC两两垂直，从而得到面面垂直，进而求内角和可得；（2）将球面平均分割为8个全等的球面三角形，由特值代

入公式πx=+待定即可；（3）将球面分割为F个球面多边形，再转化为球面三角形，借助球面三角形总曲率x与球面三角形内角和关系，利用所有分割后的球面三角形面积之和（用,,VEF表示）即为球面面积建立等量关系求证即可．【小问1详解】如图，设球心为O，球面三角形三个顶点分别为,,ABC

，由球面三角形三边长均为π2，由题意，即每个大圆弧长均为π2.又单位球面的球半径1R=，则球面三角形每条边所对圆心角为π2，所以在三棱锥AOBC−中，,,OAOBOC两两垂直.由,OAOBOAOC⊥⊥，OBOCO=，且OB平面OBC，OC平面OBC，则OA⊥平面OBC，OA

平面OAB，故平面OAB⊥平面OBC，同理平面OAB⊥平面OCA，平面OCA⊥平面OBC，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2，故球面三角形的3个角均为π2，从而此球面三角形内角和为

3π2.【小问2详解】若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和90经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形，由（１）可知，每个球面三角形的3个角均为π2，且球面三角形内角和3π2=，从而每个球面三角形的面积为224ππ82RRS==，则每个球面三角形的总曲率

为2π2SxR==，设()fx=，由题意()πfxx=+，且为常数，则有ππ3ππ222f=+=，从而1=.【小问3详解】将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为R的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边

，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后()VEF=−+不变.不妨记球面仍为单位球面，半径1R=，对于任意一个球面k边形，可用球面上的边分割成(2)k−个球面三角形，由（2）可知，1=，则每个球面三角形的

内角和2πππSxSR=+=+=+．即每个内角和为的球面三角形面积为π−，记21kjj−==，称为分割成(2)k−个球面三角形的球面k边形的内角和．所以球面k边形面积为(2)πk−−.由已知凸多面体顶点数为V，棱数为E，面数为F，则可记

球面上多边形,1,2,,iiF=，对每一个球面多边形i，设其边数为il，内角和为i，面积为iS，则()()1112ππ2πFFFiiiiiiiiSll====−−=−+，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之

和为2π，顶点数为V，从而所有球面多边形内角和为12πFiiV==，又球面多边形每条边被重复计算2次，棱数为E，故1π2πiiFlE==，则()1π2π2π2π2πFiiilVEF=−+=−+，又所有球面多边形面积之和214π4πiFiSR=

==，故2π2π2π4πVEF−+=，故()2VEF=+−=.【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于转化化归思想的应用，一是理解球面三角形及边角的定义，将球面内角和问题转化多面体的二面角之和求解；二是将凸多面体膨胀为

球面后，凸多面体欧拉示性数()VEF=−+没有变化，从而将凸多面体问题转化为球面问题处理；三是利用分割法将球面面积转化为球面三角形的面积之和，从而建立等量关系求解2VEF−+=．