【文档说明】天津市南开中学2020届高三数学开学统练试题含解析【精准解析】.doc，共(21)页，1.521 MB，由小赞的店铺上传

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天津南开中学2020届高三年级开学考试南开中学2020届高三数学统练（1）一、选择题1.设集合1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxRx=−==，则()ACB=（）A.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4【答案】

D【解析】【分析】求出AC后可求()ACB.【详解】1,2AC=，故()1,2,3,4ACB=，故选D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.2.设xR，则“250xx−”是“|1|1x−”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x推不出11x−；由11x−能推出05x，故“250xx−”是“|1|1x−”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必

要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A.86B.46C.26D.

6【答案】D【解析】【分析】先证得PB⊥平面PAC，再求得2PAPBPC===，从而得PABC−为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PAPBPCABC==为边长为2的等边三角形，P

ABC−为正三棱锥，PBAC⊥，又E，F分别为PA、AB中点，//EFPB，EFAC⊥，又EFCE⊥，,CEACCEF=⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，2APBPAPBPC====，PABC

−为正方体一部分，22226R=++=，即364466,62338RVR====，故选D．解法二:设2PAPBPCx===，,EF分别为,PAAB中点，//EFPB，且12EFPBx==，ABC为边长为2的等边三角形，3CF=又90CEF=21

3,2CExAEPAx=−==AEC中余弦定理()2243cos22xxEACx+−−=，作PDAC⊥于D，PAPC=，DQ为AC中点，1cos2ADEACPAx==，2243142xxxx+−+=，221221222xxx+===，2PAPBPC===

，又===2ABBCAC，,,PAPBPC两两垂直，22226R=++=，62R=，344666338VR===，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长

，进而补体成正方体解决．4.已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为l.若l与双曲线22221(0,0)xyabab−=的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF=（O为原点），则双曲线的离心率为

A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】只需把4ABOF=用,,abc表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线24yx=的准线l的方程为1x=−，双曲线的渐近线方程为byxa=，则有(1,),(1,)bbABaa−−−∴2bABa=，24ba=，2ba=，

∴225cabeaa+===．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．5.已知5log2a=，0.5log0.2b=，0.20.5c=，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.bcaD.cab

【答案】A【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log2log52a=，0.50.5log0.2log0.252b==，10.200.50.50.5，故112c，所以acb．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单

调性进行比较．6.设xR，[]x表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[]1t=，2[]2t=，…，[]ntn=同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】因为[]x表示不超过x的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得

，所以，由得，与矛盾，故正整数n的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7.已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA=+是奇函数，将()yfx=的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()gx.若()gx的

最小正周期为2π，且24g=，则38f=（）A.2−B.2−C.2D.2【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A值即可．【详解】因为()fx为奇函数，∴(0)sin0=,0,

fAkk===，0=；又12()sin,2,122gxAxT===2=，2A=，又()24g=∴()2sin2fxx=，3()2.8f=故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()gx．8.已知aR，设函数222,1,()

ln,1,xaxaxfxxaxx−+=−„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为（）A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e【答案】C【解析】【分析】先判断0a时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；若ln0xax

−在(1,)+上恒成立，转化为lnxax在(1,)+上恒成立．【详解】∵(0)0f，即0a，（1）当01a时，2222()22()22(2)0fxxaxaxaaaaaaa=−+=−+−−=−，当1a时，(1)10f=，故当0a时，2220xaxa

−+在(,1]−上恒成立；若ln0xax−在(1,)+上恒成立，即lnxax在(1,)+上恒成立，令()lnxgxx=，则2ln1'()(ln)xgxx−=，当,xe函数单增，当0,xe函数单减，故max()()gxge

e==，所以ae．当0a时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；综上可知，a的取值范围是[0,]e，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题9.83128xx

−展开式中的常数项为________.【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项．【详解】8848418831(2)()(1)28rrrrrrrrTCxCxx−

−−+=−=−，由840r−=，得2r=，所以的常数项为228(1)28C−=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．10.设0,0,25xyxy+=，则(1)(21)xyxy++的最小值为______.【答案】43【解析】【

分析】把分子展开化为26xy+，再利用基本不等式求最值．【详解】(1)(21)221,xyxyxyxyxy+++++=0,0,25,0,xyxyxy+=2232643xyxyxyxy+=，当且仅当3xy=，即3,1xy==时成立，故所求的

最小值为43．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．11.在四边形ABCD中，ADBC∥，23AB=，5AD=，30A=，点E在线段CB的延长线上，且AEBE=，则BDAE=__________.【答案】1−.【解析】【分析】建立坐标

系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B，535(,)22D．因为AD∥BC，30BAD=，所以150CBA=，因为AEBE=，所以30BAEABE==，所以直线B

E的斜率为33，其方程为3(23)3yx=−，直线AE的斜率为33−，其方程为33yx=−．由3(23),333yxyx=−=−得3x=，1y=−，所以(3,1)E−．所以35(,)(3,1)122BDAE=−=−．【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标

系的问题中使用坐标方法更为方便．12.已知直线l：330mxym++−=与圆2212xy+=交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与y轴交于C，D两点，若||23AB=，则||CD=__________．【答案】4【解析】【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得

m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为23AB=，且圆的半径为23r=，所以圆心()0,0到直线330mxym++−=的距离为2232ABr−=，则由23331mm−=+，解得33m=−，代入直线l的方程，得3233yx=+，所以直线l的倾斜角为3

0，由平面几何知识知在梯形ABDC中，4cos30ABCD==．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的

条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．13.已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxfxxaxax++=−+−若关于x的方程()fxax=恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是__________

____.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x和0x两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x时，方程()fxax=即22xaxaax++=，整理可得：()21xax=−+，很明显1x=−不是方程的实数解，则21

xax=−+，当0x时，方程()fxax=即222xaxaax−+−=，整理可得：()22xax=−，很明显2x=不是方程的实数解，则22xax=−，令()22,01,02xxxgxxxx−

+=−，其中211211xxxx−=−++−++，242422xxxx=−++−−原问题等价于函数()gx与函数ya=有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()gx的图象，同时绘制函数ya=的图象如图所示

，考查临界条件，结合0a观察可得，实数a的取值范围是()4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零

点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐

标有几个不同的值，就有几个不同的零点．14.已知aR，函数()4fxxaax=+−+在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】9-，2【解析】41,4,4,5xxx+，

分类讨论：①当5a时，()442fxaxaaxxx=−−+=−−，函数的最大值9245,2aa−==，舍去；②当4a时，()445fxxaaxxx=+−+=+，此时命题成立；③当45a时，()maxmax4,5fxaaaa=−+−+，则：4545aaaaaa

−+−+−+=或4555aaaaaa−+−+−+=，解得：92a=或92a综上可得，实数a的取值范围是9,2−．【名师点睛】本题利用基本不等式，由1,4x，得44,

5xx+，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a；②4a；③45a，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．三、解答题15.在ABC中，内角ABC，，

所对的边分别为,,abc.已知2bca+=，3sin4sincBaC=.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26B+的值.【答案】(Ⅰ)14−；(Ⅱ)35716+−.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理

得到,,abc的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2,cos2BB的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin26B+的值.【详解】(Ⅰ)在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC=得sinsinbCcB=，又由3s

in4sincBaC=，得3sin4sinbCaC=，即34ba=.又因为2bca+=，得到43ba=，23ca=.由余弦定理可得222cos2acbBac+−=2224161992423aaaaa+−==−.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得2

15sin1cos4BB=−=，从而15sin22sincos8BBB==−，227cos2cossin8BBB=−=−.故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB++=+=−−=−【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关

系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：3

0之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二

项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3XB，从面()()33210,

1,2,333kkkPXkCk−===.所以，随机变量X的分布列为：X0123P1272949827随机变量X的数学期望2()323EX==.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则2~3,3YB.且{3,

1}{2,0}MXYXY=====.由题意知事件3,1XY==与2,0XY==互斥，且事件3X=与1Y=，事件2X=与0Y=均相互独立，从而由(Ⅰ)知：()()3,12,0PMPXYXY=====()()3,12,0PXYPXY===+==(3)(

1)(2)(0)PXPYPXPY===+==824120279927243=+=.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简

单实际问题的能力.17.如图，AE⊥平面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC⊥====.（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角EBDF−−的余弦值为13，求线段CF的长.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）49（Ⅲ）8

7【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半

平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以,,ABADAE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,

0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2ABCDE.设()0CFhh=，则()1,2,Fh.(Ⅰ)依题意，()1,0,0AB=是平面ADE的法向量，又()0,2,BFh=，可得0BFAB=，又因为

直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE.(Ⅱ)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE=−=−=−−，设(),,nxyz=为平面BDE的法向量，则00nBDnBE==，即020xyxz−+=−+=，不妨令z=1，可

得()2,2,1n=r，因此有4cos,9||||CEnCEnCEn==−.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.(Ⅲ)设(),,mxyz=为平面BDF的法向量，则00mBDmBF==，即020xyyhz−+=+

=.不妨令y=1，可得21,1,mh=−.由题意，有2241cos,3432mnhmnmnh−===+，解得87h=.经检验，符合题意｡所以，线段CF的长为87.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量

解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直

线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ONOF=（O为原点），且OPMN⊥，求直线PB的斜率.【答案】（Ⅰ）22154xy+=（Ⅱ）2305或2305−.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程

；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

依题意，524,5cba==，又222abc=+，可得5a=，b=2，c=1.所以，椭圆方程为22154xy+=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0PPPMPxyxMx.设直线PB的斜率为()0kk，又()0,2

B，则直线PB的方程为2ykx=+，与椭圆方程联立222154ykxxy=++=，整理得()2245200kxkx++=，可得22045Pkxk=−+，代入2ykx=+得2281045Pkyk−=+，进而直线OP的斜率24510PPykxk−=−，在2yk

x=+中，令0y=，得2Mxk=−.由题意得()0,1N−，所以直线MN的斜率为2k−.由OPMN⊥，得2451102kkk−−=−−，化简得2245k=，从而2305k=.所以，直线PB的斜率为2305或

2305−.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba===−=+，

.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,1,,2,kknkknccbn+===其中*kN.（i）求数列()221nnac−的通项公式；（ii）求()2*1niiiacn=N.【答案】（Ⅰ）31nan=+；32nnb=（Ⅱ）（i）()2

21941nnnac−=−（ii）()()2*211*12725212nnniiiacnnn−−==+−−NN【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列()22

1nnac−的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得21niiiac=的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.依题意得()()262426262424124qddqdd=+−=

+=++=+，解得32dq==，故4(1)331nann=+−=+，16232nnnb−==.所以，na的通项公式为31nan=+，nb的通项公式为32nnb=.(Ⅱ)(i)()()()()22211321321941nnnnnnnacab

−=−=+−=−.所以，数列()221nnac−的通项公式为()221941nnnac−=−.(ii)()22111nniiiiiiiacaac===+−()2222111nniiiiiaac===+−()2212432nnn

−=+()1941nii=+−()()2114143252914nnnn−−−=++−−()211*2725212nnnnN−−=+−−.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的

基本方法以及运算求解能力.20.设函数()ecos,()xfxxgx=为()fx的导函数.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当,42x时，证明()()02fxgxx+−…；（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx=−在区间2,24

2mm++内的零点，其中nN，证明20022sincosnnnxxex−+−−.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为32,2(),()44kkkfx−+Z的单调递减区间为52,2()44kkk++Z.

（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数()fx的单调区间；(Ⅱ)构造函数()()()2hxfxgxx−=+，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数()hx

的最小值即可证得题中的结论；(Ⅲ)令2nnyxn=−，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】(Ⅰ)由已知，有()()'ecossinxfxxx=−.当()52,244xkkkZ

++时，有sincosxx，得()'0fx，则()fx单调递减;当()32,244xkkkZ−+时，有sincosxx，得()'0fx，则()fx单调递增.所以，

()fx的单调递增区间为()32,244kkkZ−+，()fx的单调递减区间为()52,244kkkZ++.(Ⅱ)记()()()2hxfxgxx−=+.依题意及

(Ⅰ)有：()()cossinxgxexx=−，从而'()2sinxgxex=−.当,42x时，()'0gx，故'()'()'()()(1)()022hxfxgxxgxgxx=+−+−=−.因此，()hx在区间,42

上单调递减，进而()022hxhf==….所以，当,42x时，()()02fxgxx+−….(Ⅲ)依题意，()()10nnuxfx=−=，即ecos1nxnx=.记2nnyxn=−，则,42ny

.且()ecosnynnfyy==()()22ecos2enxnnnxnnN−−−=.由()()20e1nnfyfy−==„及(Ⅰ)得0nyy….由(Ⅱ)知，当,42x时，()'0gx，所以()gx在,42上为减函数，

因此()()004ngygyg=„.又由(Ⅱ)知()()02nnnfygyy+−…，故：()()()2e2nnnnnfyygygy−−−=−„()()022200000sincossincosnnnyeeegyeyyxx−−−=−−„

.所以200e22sincosnnnxxx−+−−.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问

题和解决问题的能力.