【文档说明】四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考理科数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.420 MB，由小赞的店铺上传

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泸县四中2022-2023学年高二下期第一学月考试数学（理工类）第I卷选择题（60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y轴

上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.3yx=B.33yx=C.4yx=D.14yx=【答案】B【解析】【分析】易得2ca=，再结合222cab=+可求得223ab=，最后由双曲线的焦点在y轴上写出渐近线方程即可.【详解】由题得，2ca=，即2ca=，再由222

cab=+，得2224aab=+，即223ab=，所以223ab=，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以其渐近线方程为33ayxxb==.故选：B.【点睛】易错点睛：本题求解渐近线方程是易忽略焦点在y轴上这一条件，从而导致错解.2.在圆2216xy+=内随机取一点P，则点P

落在不等式组40400xyxyy+−−+，表示的区域内的概率为（）A.14B.34C.1D.43【答案】C【解析】【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆2216xy+=的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组

40400xyxyy+−−+，如图做出点P的可行域:由图可知：点P的可行域为等腰三角形ABC，所以1162ABCSABOC==,圆2216xy+=的面积为16，由几何概型可知，圆2216xy+=内随机取一点P，则点P落在不等式组40400xyxyy+−−+

表示的区域内的概率为：16116P==,故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.3.某企

业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（）A.2022年甲系

列产品收入比2020年的多B.2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C.2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的14D.2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍【答

案】C【解析】【分析】根据题意，结合2020与2022产品的年收入构成比例图，分别计算各系列产品不同年份的年收入，对各选项逐一分析判断即可.【详解】设该企业2020年5种系列产品年总收入为1，则该企业2022年5种系列产品年总收入为2.对于A，2022年甲系列产品收入

为220%0.4=，2020年甲系列产品收入为130%0.3=，故A正确；对于B，2022年乙和丙系列产品收入之和为()220%35%1.1+=，比2020年的企业年总收入还多，故B正确；对于C，2022年丁系列产品收入为25%0.1=，2020年丁系

列产品收入为120%0.2=，所以2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的12，故C错误；对于D，2022年戊系列产品收入是220%0.4=，2020年戊系列产品收入是120%0.2=，所以2022年戊系列产品收入是2020

年戊系列产品收入2倍，故D正确.故选：C.4.在区间33−，上随机取一个数a，则关于x的方程23xax=−−至少有一个正根的概率为（）A.18B.16C.13D.12【答案】D【解析】【分析】根据题意可以对一元二次方程

根进行分类讨论得出a的取值范围，然后再利用几何概型来进行求解可得出结果.【详解】由题意可将方程整理得230xxa++=，若有两个相等实数根，则940a=−=，94a=代入后解得32x=−与题意正根不符舍去；若有两个不相等的实数根，因为1230xx+=−，题目要求至少有一个正根，

所以只可能一个根为正，一个根为负，即120xxa=，940a=−，解得a<0，由几何概率可知关于方程至少有一个正根的概率0(3)13(3)2P−−==−−，故选：D5.若m，n表示互不重合的直线，，表示不重合的平面，则//m的一个充分条件是（）A.//,/

/mB.,m⊥⊥C.//,//mnnD.,,//nmmn=【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断各选项.【详解】对于A，//m，//则当m时不能得到//m，因而不是充分条件，所以A错误；对于B，m⊥，⊥

则当m时不能得到//m，因而不是充分条件，所以B错误；对于C，//mn，//n则当m时不能得到//m，因而不是充分条件，所以C错误；对于D，n=，m，//mn，则//m，所以D正确；故选：D

．【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对空间想象能力要求较高，属于基础题.6.在长方体1111ABCDABCD−中，11,3ABBCAA===，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A.55B.255C.15D.22【答案】

A【解析】【分析】以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出余弦值即可.【详解】解：以点D为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()()11(1,0,0),1,1,3,0,0,3,0,0,0ABDD()11,0,3AD=−，1(1,1,3)DB=所以11111113cos,

5455ADDBADDBADDB−+===因为异面直线夹角的范围为0,2，所以，异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55故选：A7.已知F为抛物线C：()220xpyp=的焦点，纵坐标为5的点A在C上，8A

F=，则p=（）A.2B.3C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答.【详解】依题意，抛物线C：22xpy=的焦点(0,)2pF，准线方程为2py=−，显然有5()82pAF=−−=，所以6p=.故选：D8.已知函数32(

)3fxxx=−，若过点(2,)Pt可以作出三条直线与曲线()fx相切，则t的取值范围是（）A.(2,1)−−B.(3,2)−−C.(4,3)−−D.(5,4)−−【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为()32000,

3xxx−，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过(2,)Pt得关于0x的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为0()0hx=，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得t的范围．【详解】设切点坐标()()()32322000,3,3,36,xxxfxxx

fxxx−=−=−曲线()fx在()32000,3xxx−处的切线斜率为20036xx−，又切线过点()2,,Pt切线斜率为3200032xxtx−−−，322000003362xxtxxx−−=−−，即3200029120xxxt−++=，∵过点()2,Pt可作曲线()yfx=的三

条切线，方程3200029120xxxt−++=有3个解．令()3200002912hxxxxt=−++，则()0hx图象与x轴有3个交点，()0hx的极大值与极小值异号，()200061812hxxx=−

+，令()00hx=，得01x=或2，01x或02x时，0()0hx，012x时，0()0hx，即0()hx在(,1)−及(2,)+上递增，在(1,2)上递减，()h1是极大值，(2)h是极小值，()()210hh,即()()450tt++，解得54t−

−，故选：D.9.已知函数21()ln22fxxxaxx=−−有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.()2,e−−B.()20,e−C.()1,e−−D.()10,e−【答案】B【解析】【分析】由()'

ln1fxxax=−−在()0,+上有两个不同的零点，转化为函数ya=与ln1xyx−=有两个不同的交点，利用数形结合法求解.【详解】()'ln1fxxax=−−，因为()'ln1fxxax=−−在()0,+上有两个不

同的零点，即ln10xax−−=有两个不同的正根，即ln1xax−=有两个不同的正根，即ya=与ln1xyx−=有两个不同的交点.因为22lnxyx−=，当20xe时，0y，当2xe时，0y，所以函数ln1xyx−=在()20,e

为增函数，在()2,e+为减函数，当2xe=时，21ye=，且当xe时，0y，在同一坐标系中作出ya=与ln1xyx−=的图象，如图所示：由图象得210,ae，故选：B.【点睛】方

法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．10.设O为坐标原点，1F，2F是椭圆22221xyab+=（0ab）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足123F

PF=，且32OPa=，则该椭圆的离心率为（）A.12B.14C.312−D.22【答案】A【解析】【分析】根据中线向量可得()1212POPFPF=+，平方后结合椭圆的定义可得212PFPFa=，在焦点三角形中再利用余弦定

理可得224ca=，从而可求离心率.【详解】因为O为12FF的中点，故()1212POPFPF=+，所以()2221212124POPFPFPFPF=++，故22212123112442aPFPFPFPF=++，故()2222121212123aPFPF

PFPFPFPFPFPF=++=+−，所以212PFPFa=，又22212121422cPFPFPFPF=+−，故()2222212124343cPFPFPFPFaaa=+−=−=，故12e=.故选：A.【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的

计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.11.已知函数e()xfxaxx=−，,()0x+，当210xx时，不等式()()1221fxfxxx恒成立

，则实数a的取值范围为（）A.(,e]−B.(,e)−C.e,2−D.e,2−【答案】D【解析】【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数

分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案.【详解】当210xx时，不等式()()1221fxfxxx恒成立，则()()1122fxxfxx，即函数()()2exgxxfxax==−在()0,+上单调

递增，则()e20xgxax=−，整理可得2xeax，令()exmxx=，则()()21exxmxx−=.当()0,1x时，()0mx，()mx单调递减，当()1,x+时，()0mx，()mx单调递增，()()min21eamxm==，e2a

.故选：D.12.已知5a且5e5e,4aab=且44,3bbeec=且3e3ecc=，则（）A.cbaB.b<c<aC.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】令(),0xefxxx=，利

用导数研究其单调性后可得,,abc的大小.【详解】因为5e5e,5aaa=，故0a，同理0,0bc，令(),0xefxxx=，则()()21xexfxx−=，当01x时，()0fx，当1x时，()0fx¢>，故()

fx在()0,1为减函数，在()1,+为增函数，因为5e5e,5aaa=，故5ee5aa=，即()()5ffa=，而05a，故01a，同理01b，01c，()()4ffb=，()()3ffc=因为()()()543fff，故()()()

fafbfc，所以01abc.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．第II卷非选择题（90分）二、填空

题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据

概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==.故答案为：19.【点睛

】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.若函数()1lnfxxaxx=++在)1,+上是单调减函数，则a的取值范围是________.【答案】1,4−−【解析】【分析】函数()1lnfxxaxx=++在

)1,+上是单调减函数等价于()'2110fxaxx=+−在)1,+上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可.【详解】解：因为函数()1lnfxxaxx=++，所以()'211fxaxx=+−，由函数()1lnfxxaxx=++在)1,+上是单调减函数，则()'

2110fxaxx=+−在)1,+上恒成立，即211axx−在)1,+上恒成立，设)211(),1,gxxxx=−+，则)2111()(),1,24gxxx=−−+，当2x=时，min1()4gx=−，即14a−≤，即a

的取值范围是1,4−−，故答案为：1,4−−.【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.15.已知偶函数()fx，对任意的x都有()(

)2'6fxxfx+，且()12f=，则不等式()2231xfxx−的解集为_________．【答案】1xx−，或0x=，或1x【解析】【分析】由已知条件构造函数22()()31gxxfxx=−

+，求导后可判断出()gx在(0,)+上单调递增，在(,0)−上单调递减，由()12f=，可得(1)(1)0gg−==，由()fx为偶函数，可判断出()gx为偶函数，而不等式()2231xfxx−转化为()0gx，偶函数的性质可得1x，从而可求出x的范围

，再由(0)10g=可得0x=，进而可求出不等式的解集【详解】解：令22()()31gxxfxx=−+，则'2''()2()()6[2()()6]gxxfxxfxxxfxxfx=+−=+−，因为对任意的x都有(

)()2'60fxxfx−+，所以当0x，'()0gx，当0x，'()0gx，所以()gx在(0,)+上单调递增，在(,0)−上单调递减，因()12f=，所以(1)(1)0gg−==，因为()fx为偶函

数，所以()()fxfx−=，所以2222()()()3()1()31()gxxfxxxfxxgx−=−−−−+=−+=，所以()gx为偶函数，所以由()0gx，所以()(1)gxg，所以1x，解得1x−或1x，因为(0

)10g=，所以0x=，综上，1x−，或1x，或0x=，所以不等式的解集为1xx−，或0x=，或1x.故答案为：1xx−，或0x=，或1x16.ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，//EFBC，沿EF把AEF△折

起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥PBCFE−的体积的最大值为_______________.【答案】2为【解析】【分析】依题意当平面PEF⊥平面EFCB时，体积才会取得最大值，设2EFa=，设O为EF的中点，根据面面垂直的性质得到P

O⊥平面EFCB，从而表示出四棱锥PBCFE−的体积()Va，再利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】解：依题意当平面PEF⊥平面EFCB时，四棱锥PBCFE−的体积才会取得最大值，设2EFa=()03a，设O为EF的中点，如图：等边ABC中，点E，F分别为AB，AC上

一点，且//EFBC，PEPF=，O为EF的中点，POEF⊥，平面PEF⊥平面EFCB，平面PEF平面EFCBEF=，PO⊥平面EFCB，2EFa=，3AOa=．四棱锥PBCFE−的体积()311(223)(33)3(3)

(3)332Vaaaaaaaaa=+−=+−=−，()2330Vaa=−=，1a\=（负值舍去），当01a时()0Va，()Va单调递增，当31a时，()0Va，()Va单调递

减，1a\=，四棱锥PBCFE−的体积最大，()max312Va=−=．故答案为：2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为()2241R41xtttyt=+=+.（1）求曲线

C的直角坐标方程.（2）已知直线l的参数方程为()13Rxttyt=+=，点()1,0M，并且直线l与曲线C交于A，B两点，求11MAMB+.【答案】（1）()()22240xyx−+=；（2）153.【解析】【分析】（1）先求出241tx=−，消去t可得；（2）求出直线l的参数

方程标准形式，利用“t”的几何意义求解.【小问1详解】由241xt=+可得：04x，且241tx=−.由241tyt=+可得：22222416144161txyxxtx−===−+，且241tx=−，即()22400xxyx−+=.所以曲线

C的直角坐标方程()()22240xyx−+=.【小问2详解】由直线l的参数方程()13Rxttyt=+=得到的标准参数方程为()312R12xttyt=+=代入圆的一般方程2240xxy−+=,得2330t

t−−=.设A,B对应的参数分别为12,tt,则12123,3tttt+==−.所以121111||||||||MAMBtt+=+12121212||||||||||||tttttttt+−==()21212124||tttttt+−=()23121533+=

=.18.已知函数()3223fxxaxbxa=+++在=1x−时有极值0．（1）求函数()fx的解析式；（2）记()()1hxfxm=−+，若函数()hx有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）()32694fx

xxx=+++（2）15m【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导函数，由()fx在=1x−时有极值0，则(1)0,(1)0ff−=−=，两式联立可求常数a，b的值，检验所得a，b的值是否符合题意，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据

函数图象的大致形状可求出参数k的取值范围.【小问1详解】由()3223fxxaxbxa=+++可得()236fxxaxb=++，因为()3223fxxaxbxa=+++在=1x−时有极值0，所以()()1010ff

−=−=，即2360130ababa−+=−+−+=，解得13ab==或29ab==，当1a=，3b=时，()()22363310fxxxx=++=+，函数()fx在R上单调递增，不满足在=1x−时有极值，故舍去，当2a=，9b=时满足题意，所以常数

a，b的值分别为2a=，9b=，所以()32694fxxxx=+++．【小问2详解】由（1）可知()32695hxxxxm=++−+，()()()()2343313hxxxxx=++=++，令()0hx=，解得11x=−，23x

=−，∴当3x−或1x−时，()0hx，当31x−−时，()0hx，∴()hx的递增区间是(),3−−和()1,−+，单调递减区间为()3,1−−，当3x=−时，()hx有极大值m5−+；

当=1x−时，()hx有极小值1m−，要使函数()hx有三个零点，则须满足5010mm−+−，解得15m．19.2018年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从

不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非

常满意已知满意度等级为基本满意的有680人．(1)求频率分布于直方图中a的值，及评分等级不满意的人数；(2)在等级为不满意市民中，老年人占13，中青年占23，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改

督导员，求至少有一位老年督导员的概率；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.【答案】（1）0.025a=；评分等级不满意人数为120；

（2）35；（3）满意指数为80.7，故判断该项目能通过验收.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可（2）按年龄分层抽取6人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取2人担任整改督导员的所有可能情况为26=15C种

，至少有一位老年督导员的对立事件是抽取的都是中青年，共有246C=种，根据对立事件即可求出（3）根据频率分布直方图计算样本平均值，估计市民满意程度平均值，计算满意指数，即可得出结论.详解】（1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++=由100.

075)1a+=（解得0.025a=，的【设总共调查了N个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N+=，解得2000N=人.不满意频率为10(0.0020.004)0.06+=，所以共有20000.06120=人，即不满意的人数为120人.（2）改等级120

个市民中按年龄分层抽取6人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取2人担任整改督导员的所有可能情况为26=15C种,抽不到老年人的情况为246C=种，所以至少有一位老年督导员的概率24266311155CPC=−=−=.（3）所选样本满意程度的平均得分

为：450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7+++++=，估计市民满意程度的平均得分为80.7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100=，故

该项目能通过验收.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，对立事件，属于中档题.20.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD−，如图所示，其中60ABD=，点E，F，G分别是,,AC

BCAB的中点．（1）求证：EF⊥平面CDG；（2）求二面角FAED−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）77．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得，AB⊥平面CDG，再由//ABE

F，即可证明.的（2）如图，以H为原点，以,,HBHFHA所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AEF和平面AED的法向量，进而可得结果.【详解】（1）证明：根据已知得AD

BD=，又G为AB的中点，所以DGAB⊥，因为ACBC=，G为AB的中点，所以CGAB⊥，又DGCGG=，所以AB⊥平面CDG．又因为//ABEF，所以EF⊥平面CDG．（2）因为,CDADCDBD⊥⊥，所以CD⊥平面ABD，取BD中点H，连接,AHFH

，则AH⊥平面BDC，又HFBD⊥，所以以H为原点，以,,HBHFHA所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则13(0,0,3),(0,1,0),(1,2,0),,1,,(1,0,0)22AFCED−−−，所以13,1,,(

0,1,3),(1,0,3)22AEAFAD=−−=−=−−．设平面AEF的法向量为()1111,,nxyz=，则110,0,nAEnAF==即11111130,2230,xyzyz−+−=−=令11z=，得1(3

,3,1)n=．设平面AED的法向量为()2222,,nxyz=，则220,0,nAEnAD==即22222130,2230,xyzxz−+−=−−=令21z=−，得2(3,0,1)n=−．所以12317cos,727nn

−==，所以二面角FAED−−的余弦值为77．21.双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，焦距等于8，点M在双曲线C上，且12MFMF⊥，12FMF△的面积为12.（1）求双曲

线C的方程；（2）双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过2F的斜率不为0的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.【答案】（1）221412xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积公式以及双曲线的定义求出,ab可得双

曲线的标准方程；（2）设直线l的方程为4xmy=+，联立直线l与椭圆方程，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到12yy+和12yy，用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标为定值即可得解.【小问1

详解】依题意28c=，由双曲线的对称性不妨设11MFr=，22MFr=，因为12MFMF⊥，所以有122221211228rrrr=+=,则()22221212122822416rrrrrr−=+−=−=，12||4rr−=，所以122||4arr=−=，得2a=，所以222

12bca=−=，所以双曲线C的方程为221412xy−=.【小问2详解】由题意得()2,0A−，()2,0B，2(4,0)F，易知直线l的斜率不等于3.设直线l的方程为4xmy=+，()11,Pxy，()22

,Qxy，则33m.由2241412xmyxy=+−=消去x整理得()223124360mymy−++=，则()214410m=+，则1222431myym+=−−，1223631yym=−.（用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系

求得交点的横坐标）直线AQ的方程：()2222yyxx=++，直线BP的方程：()1122yyxx=−−，令()()21212222yyxxxx+=−+−，得()()()()21122222yxxyxx−+=+−.因为11

4xmy=+，224xmy=+，所以()()()()21122262ymyxymyx++=+−，展开整理得()()2112123223yyxmyyyy−=−−+，即()()121121124222yyyxmyyyyy+−=−−++，即1122224362442

22313131mmyxmymmm−−=−−−−−−,即()()2211244317243148mymxmymm−−−=−−−+，即()()22112443124431mymxmym−−

−=−−−，所以1x=.所以直线AQ与BP的交点恒在定直线1x=上.【点睛】关键点点睛：用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标是解题关键.22.已知函数()()2ln,fxxaxbxab=−−R.（1）若3,5a

b==−，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()()2gxfxax=+有两个不同的零点12,xx，求证：12lnln2xx+.【答案】（1）函数()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意

，求导得()fx，然后即可得到其单调区间；（2）根据题意可得，得lnxbx=，则直线yb=与函数()x的图像在()0,+上有两个不同的交点，然后求导得到()x，得到其极值从而得到10eb；方法一:设211exx，将不等式转化为()1

212122:lnxxxxxx−+，然后换元121xtx=，构造()()21ln,11thtttt−=−+即可证明；方法二:由换元法十构造差函数，令1122ln,lntxtx==，则12121201

,eetttttt=，即证122tt+.【小问1详解】当3,5ab==−时，()2ln35,0fxxxxx=−+.则()()()22611165165165xxxxxxfxxxxxx+−−++−−=−+==−=−.当

()0fx¢>时，解得116x−，又0x，所以01x；当()0fx时，解得1x，或16x−，又0x，所以1x.所以函数()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+.【小问

2详解】函数()()2ln,0gxfxaxxbxx=+=−，令()ln0gxxbx=−=，得lnxbx=.令()ln(0)xxxx=，则直线yb=与函数()x的图像在()0,+上有两个不同的交点.因为()21ln,0xxxx=−，由()0x，得0ex；由()

0x，得ex.所以函数()x在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减.所以()max1()()eexx===极大值.又()10=，且当x→+时，()0x→且()0x，由于12,xx是方程()0gx=的两实根，

所以10eb.方法一：不妨设211exx，由()()120gxgx==，得1122ln0,ln0xbxxbx−=−=，两式相减得：()1212lnlnxxbxx−=−，两式相加得：()1212lnlnxxbxx+

=+.欲证：12lnln2xx+，只需证：()122bxx+，即证：121212lnln2xxxxxx−−+，即证()1212122:lnxxxxxx−+.设121xtx=，则12xtx=，代入上式得：()21ln,1

1tttt−+.故只需证：()21ln,11tttt−+.设()()21ln,11thtttt−=−+，则()()()22221211(1)0(1)(1)ttthttttt+−−−=−=++，所以()ht在()1,+上单调递增，所以()()10hth=，所以

()21ln1ttt−+故12lnln2xx+，得证.方法二（换元法十构造差函数）：不妨设121xex，令1122ln,lntxtx==，则12121201,eetttttt=，即证122tt+.

设()ettkt=，则()()12ktkt=.因为()1ettkt=−，所以()kt在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减.当22t时，易得122tt+；当12012tt时，要证122tt+，即证12120tt−，即证()()122ktkt−..因为()()

12ktkt=，所以()()222ktkt−.构造函数()()()2(12)Ktktktt=−−，易得()()()()10,2KKtktkt==+−.则()()()22111ee(12)eettttttKttt−−−−−=+=−−，所以10t−.

又2tt−−，所以2eett−−，即()0Kt.所以()Kt在()1,2上单调递增，()0(12)Ktt.所以()20Kt，即()()222ktkt−.故12lnln2xx+，得证.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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