【文档说明】高中数学人教A版 《必修第一册》全书课件5.5.2.pptx，共(32)页，1.733 MB，由小赞的店铺上传

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5.5.2简单的三角恒等变换C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png预学案预学案共学案共学案C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png预学案C

:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png一、半角公式❶sinα2＝____________，cosα2＝__________，tanα2＝_________．±1－cos𝛼2±1+co

s𝛼2±1－cos𝛼1+cos𝛼C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png【即时练习】若cosα＝13，且α∈(0，π)，则cosα2＝()A．63B．－63C．±63D．±33答案：A解析：因为α∈(0，π)，

所以α2∈(0，π2).所以cosα2＝1+cos𝛼2＝23＝63.故选A.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png微点拨❶对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于α2是α的一半，其他如α是2α的一半，α4是α2的一半，3α2是3α的一半等

，这里面蕴含着换元思想，半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png二、辅助角公式❷asinx＋bcosx＝________________，其中

tanφ＝ba.𝑎2+𝑏2·sin(x＋φ)C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png微点拨❷(1)运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角(均为x)；齐一次(均为一次的)；正余全(一个是sinx，一个是cosx)．(2

)常见基本形式如下：y＝sinx－3cosx＝2(12sinx－32cosx)＝2sin(x－π3)；y＝sinx＋cos(x＋π6)＝sinx＋32cosx－12sinx＝12sinx＋32cosx＝sin(x＋π3)；y＝cos(2x＋π3)＋2sin2x＝1

2cos2x－32sin2x＋1－cos2x＝－12cos2x－32sin2x＋1＝1－sin(2x＋π6)．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png【即时练习】1．函数y＝3sinx＋4cosx的最大

值是()A．5B．5C．4D．3答案：B解析：因为y＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，又sin(x＋φ)∈[－1，1]，所以函数y＝3sinx＋4cosx的最大值是5.故选B.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png2．函数y＝cosx＋sinx

的最小正周期为______．2π解析：y＝cosx＋sinx＝2(22cosx＋22sinx)＝2sin(x＋π4)，所以最小正周期为2π.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png共学案C:\Users\Admini

strator\Desktop\图片1.png【学习目标】(1)能用二倍角公式推导出半角公式，并进行简单的应用．(2)能运用两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换．(3)掌握三角恒等变换在三角

函数中的应用．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题型1半角公式【问题探究1】(1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？(2)根据上述结果，试用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2

.提示：(1)cosα＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.(2)∵cos2α2＝1+cosα2，∴cosα2＝±1+cosα2.同理sinα2＝±1−cosα2，tanα2＝sinα2cosα

2＝±1−cosα1+cosα.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png例1已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2.解析：∵sinθ＝45，5π2<θ<3π，∴cosθ＝－1−sin2θ

＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2＝－1−cosθ2＝－255，cosθ2＝－1+cosθ2＝－55，tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2.C:\Users\Administrator\Desktop\图片

1.png题后师说利用半角公式求值的步骤C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练1已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－45，则tanθ2＝()A．－3B．3C．－13D．13答案：A解析：因为π＜θ＜2π，所以π2<θ2<π，所以

tanθ2＝－1−cosθ1+cosθ＝－1−−451+−45＝－3.故选A.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题型2三角函数式的化简、证明例2已知π<α<3π2，化简：1+sinα1+cosα−1

−cosα+1−sinα1+cosα+1−cosα.解析：原式＝sinα2+cosα222cosα2−2|sinα2|+sinα2−cosα222cosα2+2|sinα2|.∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cosα2<0，

sinα2>0，∴原式＝sinα2+cosα22−2sinα2+cosα2+sinα2−cosα222sinα2−cosα2＝－sinα2+cosα22+sinα2−cosα22＝－2cosα2.C:\Users\Adminis

trator\Desktop\图片1.png学霸笔记：化简、证明问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数

种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.pn

g跟踪训练2求证：2sinxcosxsinx+cosx−1sinx−cosx+1＝1+cosxsinx.证明：左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2−2sin2x22sinx2cosx2+2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2−sin2x2＝si

nx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1+cosxsinx＝右边．所以原等式成立．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题型3辅

助角公式的应用【问题探究2】(1)请同学们根据两角和与差的正弦公式合并式子：sinx±cosx，sinx±3cosx，cosx±3sinx．(2)一般地，对于y＝asinx＋bcosx，如何进行合并呢？C:\Users\Adminis

trator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png例3已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos(2x－π6)＋cos(2x＋π6)，x∈R.(1)求fπ1

2的值；(2)求函数f(x)在区间[π2，π]上的单调区间．C:\Users\Administrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png学霸笔记解此类问题首先利用两角和与差

的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简已知函数式，转化为正弦(余弦)型函数，再研究三角函数的性质．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练3已知函数f(x)＝sinxcosx－32cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在[

0，π2]上的值域．解析：(1)f(x)＝sinxcosx－32cos2x＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当0≤x≤π2时，－π3≤2x－π3≤2π3，∴－32≤sin(2x－π3)≤1，∴－32≤f(x)≤

1，即f(x)在[0，π2]上的值域为[－32，1].C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题型4三角恒等变换的实际应用例4(见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点

，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．C:\Users\Administrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrat

or\Desktop\图片1.png学霸笔记：(1)解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．(2)在求解过程中，要注意三点：①充分借

助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练4如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最大？C:\Users\Ad

ministrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png随堂练习1.已知cosα＝－15，π2＜α＜π，则sinα2＝()A．－105B．105C．－155D．155答案：D解析：∵

π2＜α＜π，∴π4＜α2＜π2，∵cosα＝－15，∴sinα2＝1−cosα2＝155.故选D.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png2．函数f(x)＝sinx2＋cosx2的最小正

周期和最大值分别是()A．2π和2B．2π和2C．4π和2D．4π和2答案：C解析：∵f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin(x2+π4)，∴f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π，最大值为2.故选C.C:\U

sers\Administrator\Desktop\图片1.png3．已知α∈(π，3π2)，则12−12cosα＝()A．sinα2B．cosα2C．－sinα2D．－cosα2答案：A解析：12−12cosα＝12−121−2sin2α2＝sinα2，α∈(π，3π

2)，α2∈(π2，3π4)，故sinα2>0，故12−12cosα＝sinα2＝sinα2.故选A.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png4．若函数y＝2sinx＋acosx的最

大值为3，则a的值为________．5解析：因为y＝2sinx＋acosx＝4+asin(x＋φ)(tanφ＝a2)，即函数y＝2sinx＋acosx的最大值为4+a，由已知有4+a＝3，即a＝9－4＝5.C:\Users\Admini

strator\Desktop\图片1.png课堂小结1.半角公式的推导．2．利用半角公式解决三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．辅助角公式的推导．4．利用辅助角公式研究三角函数的性质．5．辅助角公式在实际问题

中的应用．