【文档说明】专题2.3二次函数的图象与性质（2）-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】.docx，共(14)页，130.926 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.3二次函数的图象与性质（2）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道

、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•长兴县模拟）抛

物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解析】抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是：直线x＝﹣1．故选

：B．2．（2020•龙泉驿区模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点为（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，0）【分析】根据抛物线y＝（x﹣1）2+1，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得

以解决．【解析】∵抛物线y＝（x﹣1）2+1∴该抛物线的顶点坐标为（1，1），故选：C．3．（2020•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是（）A．y＝﹣（x+1）2+5B．y＝﹣（x﹣1）2+5C．

y＝﹣（x+1）2﹣5D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解析】∵函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，∴平移

后的抛物线的顶点坐标为（1，5），∴平移后得到的函数关系式为y＝﹣（x﹣1）2+5．故选：B．4．（2019秋•铜山区期末）已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为

（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+3B．y＝3（x﹣1）2+3C．y＝3（x+1）2+3D．y＝﹣3（x+1）2+3【分析】根据抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，可知抛物线解析式中的a也是﹣3，然

后根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），即可得到抛物线的顶点式，本题得以解决．【解析】∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2+3，故选：D．5．（20

19秋•西城区期末）A（−12，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【分析】抛物线的对

称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系．【解析】二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（−12，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y

随x的增大而增大，有y1＜y2，由x=−12，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，故选：B．6．（2020•河南模拟）如果点A（1，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣4）2+h上两个不同的

点，那么m的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解析】∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣4）2+h上两个不同的点，∴A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x＝4对称，∴1+𝑚2=4，解得m＝7，故选：D．

7．（2020•萧山区模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．【解析】A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可

得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项符合题意；B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象

应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象

可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；故选：A．8．（2020•南充一模）已知函数y={−𝑥2−2(𝑥≤0)−𝑥−1(𝑥＞0

)，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（）A．±2B．2或﹣5C．2或5D．﹣2或5【分析】把y＝﹣6分别代入函数解析式，根据x的取值范围可得x的值．【解析】由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，∵x≤0，

∴x＝﹣2，由﹣x﹣1＝﹣6，解得：x＝5，综上：x＝﹣2或5，故选：D．9．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，

则m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．0＜m＜2C．1＜m＜2D．m＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解析】∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，∴

该抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，∴1＜m＜2，故选：C．10．（2020•雁塔区校级一模）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣

2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，则下列说法正确的是（）A．a＞0B．h＜0C．k≥3D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】利用对称性得到抛物线对称轴为直线x＝1，根据点的坐标确定开口向下，最大值大于3，根据二次函数的性质即可判断D正确．【解析】∵抛物线y＝a（x﹣h）

2+k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=𝑚−2+4−𝑚2=1，即a＜0，h＝1，∴k＞3，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选：D．二、填空题（本大题共8小

题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•长白县期末）与抛物线y=12（x﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为𝑦=−12(𝑥+1)2−3．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点进行

解答即可．【解析】∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=12（x﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=12（﹣x﹣1）2+3，即y=−12（x+1）2﹣3．故答案为：y=−12（x+1）2﹣3．12．（2020秋•思明区校级月考）

把抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，得到抛物线y＝（x﹣5）2﹣6．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解析】抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，所得图象的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6．故答案为：y＝（

x﹣5）2﹣6．13．（2019秋•九龙坡区期末）已知一条抛物线y＝2（x﹣3）2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为（﹣3，1）；④开口向上．其中正确的是①④．（只填序号）【分析】根据题目中的函数解析式和二次函

数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立．【解析】∵抛物线y＝2（x﹣3）2+1，∴对称轴为直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；当x＝3时，函数有最小值1，故②错误；顶点坐标为（3，1），故③错误；开口向上，故④正确；故答案为：①④．14．（2019秋•安居区期末）

对于抛物线y=−12（x+1）2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，4）；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是①③④（只填序号）．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立

．【解析】∵抛物线y=−12（x+1）2+4，∴a=−12＜0，该抛物线的开口向下，故①正确；对称轴是直线x＝﹣1，故②错误；顶点坐标为（﹣1，4），故③正确；当x＞﹣1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确；故答案为：①③④．15．（2019秋•溧阳市期末）二次函数y＝a（x+m

）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第一象限．【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且

在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．16．（2020•海淀区校级一模）若函数y={𝑥2+2(𝑥≤2)2𝑥(𝑥＞2)的函数值y＝6，则自变量x的值为x＝2或﹣2或3．【分析】把y＝6直接代

入函数y={𝑥2+2(𝑥≤2)2𝑥(𝑥＞2)即可求出自变量的值．【解析】把y＝6代入函数y={𝑥2+2(𝑥≤2)2𝑥(𝑥＞2)，先代入上边的方程得x＝±2，再代入下边的方程x＝3，故x＝2或﹣2或3，故答案为x＝2或﹣2或3．17．（2020•南

京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点

在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．【解析】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵

在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而

减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．18．（2020•都江堰市模拟）已知二次函数y＝﹣（x+a）2+2a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图

分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是y＝﹣2x﹣1．【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．

【解析】由已知得抛物线顶点坐标为（﹣a，2a﹣1），设x＝﹣a①，y＝2a﹣1②，①×2+②，消去a得，2x+y＝﹣1，即y＝﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣2x﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）19．填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y＝2x2+3向上y轴（0，3）y=−12（x﹣1）2向下直线x＝1（1，0）y＝4（x+5）2+√2向上直线x＝﹣5（﹣5，√2）【分析】根据函数的性质即可求解．【解析】函数y＝2x2+3，a＝2＞0，故函数开口向上，对称轴

为y轴，顶点坐标为（0，3）；函数y=−12（x﹣1）2，a=−12＜0，故函数开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0）；函数y＝4（x+5）2+√2，a＝4＞0，故函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣5，顶点坐标为（﹣5，√2）；填表：抛物线开口方向对称轴顶点

坐标y＝2x2+3向上y轴（0，3）y=−12（x﹣1）2向下直线x＝1（1，0）y＝4（x+5）2+√2向上直线x＝﹣5（﹣5，√2）20．（2019秋•萧山区期中）已知二次函数y=−12（x﹣1）2（1）完成下表

；x…﹣2﹣101234…y…−92﹣2−120−12﹣2−92…（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．【分析】（1）选取合适的x的值，求出对应的y的值即可完成表格，；（2）利用描点法画出函数图象．【解析】（1

）完成表格如下：x…﹣2﹣101234…y…−92﹣2−120−12﹣2−92…（2）描点，画出该二次函数图象如下：21．（2018秋•孝南区期中）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1

）指出抛物线的对称轴；（2）求a的值；（3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）直接根据顶点式求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），可以求的a的值；（3）根据二次函数的性质可以

求得y1与y2的大小．【解析】（1）由y＝a（x﹣3）2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3；（2）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，∴a＝﹣1；（3）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴此函数的图象开

口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，∴y1＜y2．22．（2019秋•丹江口市期中）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A，B两点，（1）求A，B两点的坐标．（

2）求△ABO的面积．【分析】（1）联立两函数解析式求解即可；（2）利用三角形面积计算方法即可求得△ABO的面积．【解析】（1）联立{𝑦1=−2𝑥2+2𝑦2=2𝑥+2，解得：{𝑥=−1𝑦=0或{𝑥=0𝑦=2，所以A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）；（2

）∵A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∴S△OAB=12OA•OB=12×1×2=123．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A、B的坐标；（2）求S△A

OB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；（2）根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据y＝（x+2）2，可得函数图象的

对称轴；（4）分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案．【解析】（1）当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是（0，4），当y＝0时，（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是（﹣2，0）；（2）如图，连接AB，S

△AOB=12|AO|•|BO|=12×|﹣2|×|4|＝4；（3）y＝（x+2）2的对称轴是x＝﹣2；（4）对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：当P点坐标是（﹣2，4）时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形；当P点坐

标是（﹣2，﹣4）时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形．24．（2020秋•思明区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+94经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关

系表达式；（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．【分析】（1）运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标

，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+94经过△AB

C的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2），∴2＝a+94，∴a=−14，∴抛物线的函数关系表达式为y=−14x2+94；（2）①当点F在第一象限时，如图1，令y＝0得，−14x2+94=0，解得：x1＝3，x2＝﹣3，∴点C的坐标为（3，0）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，则有{

−𝑚+𝑛=23𝑚+𝑛=0，解得{𝑚=−12𝑛=32，∴直线AC的解析式为y=−12x+32．设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．∵点F（p，p）在直线y=−12x+32上，∴−12p+32=

p，解得p＝1，∴点F的坐标为（1，1）．②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1）；