【文档说明】江苏省连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期第二次学情检测（10月）数学+含答案.docx，共(10)页，786.408 KB，由管理员店铺上传

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2024届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数()()i1i2,aaa+−=−R，则a=（）A.1−B.0C.1D.22．已知全集U=R,集合22log(1)0,1A

xxBxx=−=≥，则（）A.[2,)UA=+ðB.BAC.()UAB=a?D.(,2]AB=−3．若()()11ln1xfxxax−=+−+为偶函数，则a=（）A.1−B.0C.12D.14

．向量1==ab，3=c且++=0abc，则cos,−−=acbc（）A.1314B.1314−C.45D.45−5.“sincos0+=”是“22sinsin1+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.记n

S为等比数列na的前n项和，若45S=−，6221SS=，则8S=（）A.120B.85C.85−D.120−7.已知sinsin()13++=，则cos()3−=（）A.12B.22C.33D.238.已知定义在R上的函数

()fx满足()()2fxfx−+=−，且1x，()21,x+，12xx，()()12120fxfxxx−−.若1x，()()()2ln10fxafx−−+−≤恒成立，则a的取值范围为（）A.)2,0−B.)2,−+C.()2,−+D.12,2−二、

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知ab，则（）A．22ln(1)ln(1)ab++B．3

3abC．11abD．()2)12(1ab10.已知函数()()2cos0,2fxx=+的一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为1−，将()fx的图象向左平移1个单位长度后得到函数()gx的图象，则下列结论正确的是（）A.()2cos44fxx

=+B.()fx在区间()6,9上单调递增C.()gx为奇函数D.若()gx在区间[1,]a−上的值域为[2,2]−，则3a=11．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3ABC=，内角B的

平分线交AC于点D且3BD=，则下列结论正确的是（）A．111ac+=B．b的最小值是2C．3ac+的最小值是43D．ABC△的面积最小值是312．已知定义在R上的函数()fx满足(2)(2)0fxfx++−−=，

且(1)fx+为偶函数，则下列说法正确的是（）A．(1)(1)0fxfx−−+−+=B．(1)(1)fxfx−=+C．(4)()fxfx−=D．(2023)0f=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数()22log,14,1xxxfxx−=≥，则

1(())2ff=．14．已知向量(cos,2)=−a，(1,sin)=b，且⊥ab，则2sin22cos3=+．15．在锐角三角形ABC中，AB=2,且114tantantanABC+=，则A

B边上的中线长为．16．已知直线l与曲线1exy−=和ln(1)yx=+都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：______，______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设{}na是公比不为1的等比

数列，1a为2a，3a的等差中项．(1)求{}na的公比；(2)若11a=，求数列{}nna的前n项和．18．（12分）如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3ABBCAA===，平面1ABC⊥平面11AABB．(1)求证：ABBC⊥；(2)求二面角1AACB−−的正弦值．19．（12分）已

知函数22()cos23sincossinfxxxxxm=+−+的最大值为1.(1)求常数m的值；(2)若01()25xf=，0[0,]3x，求0cos2x的值．20．（12分）已知数列na的前n项积为nT，且1nnaT+=．(1)求证：数列1nT是等差

数列；(2)证明：321211234nnnaaaaaaaaa+−−−+++…．21．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2()bcac=+.(1)若3B=，求ac的值；(2)若ABC△是锐角三角形，求23sin

2cosBC+的取值范围.22．（12分）已知函数21()(1)ln(1),()2fxxxgxaxx=++=+．(1)求证：()121fxx−−≤；(2)若函数()()()hxfxgx=−在(0,)+上存在最大值，求a的取值范围．参考答案1．A2．C3．D4．A5．A6．C7．C8．B9．B

D10．BD11.ABD12．BC13.114.42315.216.y＝x或x－ey＋1＝08.解：由(2)()fxfx−+=−，得(2)()0fxfx−++=，故()fx的图象关于点(1,0)对称．因为1x，2(1,)x+，12xx，1212()()0f

xfxxx−−．所以()fx在(1,)+上单调递增，又由题意可得f（1）0=，故()fx在(,)−+上单调递增，因为(2)((1))0fxaflnx−−+−„，所以((1))(2)()flnxfxa

fxa−−−−=+„，所以(1)xalnx+−…，即(1)alnxx−−…，1x．令()(1)hxlnxx=−−，1x，则12()111xhxxx−=−=−−．当12x时，()0hx，()hx单调递增，当2x时，()0hx，()hx单调递

减，所以()maxhxh=（2）2=−，所以2a−…．故选：B．16.解：设直线l与曲线1xye−=和(1)ylnx=+的切点分别为1(,)aae−，(b，(1))lnb+，由于1xye−=和(1)ylnx=+的导数分别为1xye−=和11yx

=+，所以有111(1)1aalnbeebba−−+−==+−，整理得1aaae−=，解得0a=或1，当0a=时，直线l与曲线1xye−=的切点为1(0,)e，直线l斜率为1e，直线l方程为11yxee=+，当1a=时，直线l与曲线1xye−=的切点为(1,1

)，直线l斜率为1，直线l方程为yx=．故答案为：11yxee=+，yx=．17.（1）设{}na的公比为q，1a为23,aa的等差中项，212312,0,20aaaaqq=++−=，1,2qq=−；（2）设{}n

na前n项和为nS，111,(2)nnaa−==−，21112(2)3(2)(2)nnSn−=+−+−++−，①的23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn−−=−+−+−+−−+−，②①−②得，2131(2)(2)(2)(2)nnnSn−=+

−+−++−−−1(2)1(13)(2)(2)1(2)3nnnnn−−−+−=−−=−−，1(13)(2)9nnnS−+−=.18.解：（1）证明：过点A作1ADAB⊥于点D，平面1ABC⊥平面11AABB，平面1AB

C平面111AABBAB=，AD平面11AABB，AD⊥平面1ABC，ADBC⊥，直三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，BC平面ABC，1AABC⊥，1ADAAA=，BC⊥平面11AABB，AB平面11AABB，ABBC⊥；（2

）如图，以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，2ABBC==，13AA=，(0A，2，0)，(0B，0，0)，(2C，0，0)，1(0A，2，3)，则1(0AA=，0，3)，(2

AC=，2−，0)，1(0BA=，2，3)，(2BC=，0，0)，设平面1AAC的法向量为(nx=，y，)z，则130220nAAznACxy===−=，取1x=，得(1n=，1，0)，设平面1ABC的法向量为(ma=，b，)c，则123020mAAbcmAC

a=+===，取3b=，得(0m=，3，2)−，33cos,||||21326mnmnmn===，二面角1AACB−−的正弦值为234421()2626−=．19.解：（1）31

()3sin2cos22(sin2cos2)2sin(2)226fxxxmxxmxm=++=++=++，则当sin(2)16x+=时，函数()fx取得最大值21m+=，得1m=−．（2）1m=−，()2sin(2)16fxx=+−，若01(

)25xf=，0[0,]3x，则012sin()165x+−=，得062sin()65x+=，得03sin()65x+=，设06x=+，则06x=−，则3sin5=，003x剟，0662x+剟，即62剟，则4cos5=，则3424sin2

2sincos25525===，2167cos22cos1212525=−=−=，则0712437243cos2cos2()cos(2)cos2cossin2sin633325225250x+=−=−=+=+=20.【证明】（1

）依题意，1nnaT+=，所以，当2n≥时，11nnnTTT−+=，整理得，1111nnTT−+=，所以，当2n≥时，1111nnTT−−=为定值，所以数列1nT是等差数列．……………………5分（2）因为1nnaT+=，令1n=，得111aT+=，112a=，故112

T=，结合（1）可知，1nT是首项为2，公差为1的等差数列，所以11nnT=+，得11nTn=+．所以，当2n≥时，11111nnnTnnaTnn−+===+，显然112a=符合上式，所以1nnan=+．所以()111111212221nnnnnaan

nnannnnn++−−++===−+++，故3212112nnnaaaaaaaaa+−−−+++11111111111121322421122nnnn=−+−++−+−−++

111113111212124212nnnn=+−−=−+++++．因为*Nn，11012nn+++，所以32121123111342124nnnaaaaaaaaann+−−−+++=−+++．…………12分21.【解】（1）在△AB

C中，π3B=，据余弦定理可得222222cosbacacBacac=+−=+−，又22bcac=+，故2aacac−=，即22aac=，又0a，故2ac=，得2ac=．……………………5分（2）在△ABC

中，据余弦定理可得2222cosbacacB=+−，又22bcac=+，故2222cosacacBcac+−=+，即22cosaacBac−=，又0a，故2cosacBc−=．据正弦定理sinsinacAC=，可得sin

2sincossinACBC−=，所以()sinπ2sincossinBCCBC−+−=，即()sin2sincossinBCCBC+−=，sincoscossin2sincossinBCBCCBC+

−=所以sincoscossinsinBCBCC−=，()sinsinBCC−=，因为A，B，()0πC，，所以()ππBC−−，，BCC−=或πBCC−+=，即2BC=或πB=(舍)．所以2π3sin

2cos3sin2cos212sin216BCCCC+=++=++．因为△ABC是锐角三角形，所以π032π022π02ACBCC=−=，，，得ππ64C

，所以ππ2π2263C+，故π3sin2162C+，，()π2sin213136C+++，，所以23sin2cosBC+的取值范围是()313+，．……………………12分2

2.（1）证明：()(1)(1)fxxlnx=++，()(1)1fxlnx=++，(1)1fxlnx−=+，令()(1)(21)22uxfxxlnxx=−−−=−+，[0x，)+，111()xuxxxx−=−=，可得(0,1)x时，()0ux，函数()ux单调递增；(1,

)x+时，()0ux，函数()ux单调递减．1x=时，函数()ux取得极大值即最大值，u（1）0=，()uxu„（1）0=，即(1)21fxx−−„．（2）解：函数21()()()(1)(1)2hxfxgxxlnxaxx=−=++−−，(0,)x+，(0)0h=．()(1)hx

lnxax=+−，①0a„时，()0hx，因此函数()hx在(0,)+上单调递增，无最大值．0a时，令()(1)vxlnxax=+−，(0,)x+，(0)0v=．1()1()11aaxavxaxx−−−=−=++，②1a…时，()0vx，函数()vx在(0

,)+上单调递减，()(0)0hxh=，因此函数()hx在(0,)+上单调递减，()(0)hxh，无最大值．③01a时，可得1axa−=时，函数()vx取得极大值即最大值，1()0ava−

，x→+时，()vx→−，因此存在0x，使得000()(1)0vxlnxax=+−=，函数()hx在0(0,)x上单调递增，在0(x，)+上单调递减．函数()()()hxfxgx=−在(0,)+上存在最大值

，因此(0,1)a．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com