【文档说明】广东省云浮市云浮中学2021届高三上学期数学测试卷（2021.1.4）含答案.docx，共(9)页，267.758 KB，由小赞的店铺上传

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12021届云浮中学高三数学测试卷（2021.1.4）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A＝4241xx，B＝=101,lgxxyy，则A∩B＝()A．[－2,2]B．(1，＋∞)

C．(－1,2]D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)2．设i是虚数单位，若复数25++iia(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．3C．1D．－13．“a<2”是“∀x>0，a≤x＋x1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函

数f(x)＝32)2()44ln(−+−xxx的图象可能是()5．已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(23)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a6．已知函数)3(sinsin

)(22++=xxxf，则f(x)的最小值为()A.21B.41C.43D.227．已知等边△ABC内接于圆τ：x2＋y2＝1，且P是圆τ上一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最大值是()A.2B．1C.3D．28．已知点P在椭圆τ：12222=+byax(a>b>

0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设PD→＝43PQ→，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e＝()A.21B.22C.23D.33二、多项选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．9.数列na的前n项和为nS，且()为非零常数pnpSSpann,222,11=−=−，下列正确的是()A.na是等比数列B.当81514==Sp时，C.当nmnmaaap+==时，21D.6583aaaa+=+

210．已知nxax)1(2+(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是()A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项D．展开式中含x15项的系数为4511．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是()A．直线BM与平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线AD1与A1C1所成

的角为3D．|MB|＋|MD1|的最小值为512．已知双曲线15222=−yax(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝2，则下列结论正确的是()A．点P在双曲线的右支上B．点)3,23(−在双曲线的渐近线上C．

双曲线的离心率为5D．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读

这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有________种．(请用数字作答)14．已知()().7,4,2,1−==ba若()cbaca+⊥,//，则c＝______．15．若

sin(α＋β)＝31，tanα＝3tanβ，则sin(α－β)＝________.16.函数)55sin(5+=xy(－15≤x≤10)的图象与函数22)1(52+++=xxxy图象的所有交点的横坐标之和为________．四、解答题：本题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且222bcabc+−=.（1）已知_______________，计算ABC的面积；请①7a=，②2b=，③sin2sinCB=这三个条件中任选两个，将问题（

1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求coscosBC+的最大值.18．(12分)已知数列{an}满足.352533522521321nanaaan=−++−+−+−(1)求数列{an}的通项公

式；(2)设数列+11nnaa的前n项和为Tn，证明：61221nT.319.(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平

面PCE，并说明理由；(2)当二面角D­FC­B的余弦值为42时，求直线PB与平面ABCD所成的角．20．(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案，考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文

、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考

综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内

的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91－100、81－90、71－80、61－70、51－60、41－50、31－40、21－30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分

，该学科C＋等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C＋等级．而C＋等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学学科的转换等级分为x，617058656569−−=−−xx，求得x≈66.73，四舍五入后该同学化

学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N(60,122)．①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B＋，其所在原始分分布区间为82～93，求

小明转换后的物理成绩；②求物理原始分在区间(72,84)的人数．(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝

0.682，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997.421．(12分)已知F1，F2分别为椭圆C：13422=+yx的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线

AN的交点为B.(1)证明：点B恒在椭圆C上．(2)设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得∠PTQ＝2恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．(12分)已知函数()cos()xfxe

xaxaR=+−.（1）若()fx在(0,)+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当1a=−时，若实数()1212,xxxx满足()()124fxfx+=，求证：120xx+52021届云浮中学高三数学测试卷答案（2021.1.4）1-4:CDAA,5-8:DADC9．ABC10．B

CD11．ACD12．ABC13．3614．5215．1616．－717．【详解】（1）若选②2b=，③sin2sinCB=．sin2sinCB=，24cb==，222bcabc+=+，2221cos22bcaAbc+−==，又(0,)A，3A=．A

BC∴的面积113sin2423222SbcA===．若选①7a=，②2b=．由222bcabc+=+可得3c=，222bcabc+=+，2221cos22bcaAbc+−==，又(0,)A，3A=．ABC∴的面积11333sin232222SbcA==

=．若选①7a=，③sin2sinCB=sin2sinCB=，2cb=，又222bcabc+=+，222472bbb+=+，可得213b=，2213c=ABC∴的面积1121221373sin223326MBCSbcA===．

（2）3A=13coscoscoscos[()]coscos()coscossin3322BCBBBBBBB+=+−+=−+=−+13cossinsin()226BBB=+=+203B，5366B

+当3B=时，sin()coscos6BBC+=+有最大值1．18．解析：(1)12a1－5＋22a2－5＋32a3－5＋…＋n2an－5＝n3，①当n＝1时，a1＝4.6当n≥2时，12a1－5＋22a2－5＋32a3－5

＋…＋n－12an－1－5＝n－13，②由①－②，得an＝3n＋52(n≥2)．因为a1＝4符合上式，所以an＝3n＋52.(2)证明：1anan＋1＝4(3n＋5)(3n＋8)＝4313n＋5－13n＋8.Tn＝1a1a2＋1a2

a3＋…＋1anan＋1＝43×18－111＋111－114＋…＋13n＋5－13n＋8＝43×18－13n＋8.∵0<13n＋8≤111，∴122≤Tn<1

6.19．解析：(1)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连接EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝12CD，AE∥CD且AE＝12CD，故AE∥FQ且AE＝FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形．所以

，AF∥EQ，又EQ⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.(2)由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝

AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD＝a(a>0)，则由题意知D(0,0,0)，F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(3，1,0)，FC→＝(0,2，－a)，CB→＝(3，－1,0

)，设平面FBC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由m·FC→＝0m·CB→＝0得2y－az＝03x－y＝0，令x＝1，则y＝3，z＝23a，所以取m＝1，3，23a，7显然可取平面DFC的一个法向量n＝(1,0,0)，由题意：24＝|cos〈m，n〉|＝11＋3

＋12a2，所以a＝3.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝PDBD＝a＝3，从而∠PBD＝60°，所以直线PB与平

面ABCD所成的角为60°.20．解析：(1)①设小明转换后的物理等级分为x，93－8484－82＝90－xx－81，求得x≈82.64，小明转换后的物理成绩为83分；②因为物理考试原始分基本服从正态分布N(60,122)，所以P(72<ξ<84)＝P

(60<ξ<84)－P(60<ξ<72)＝12P(36<ξ<84)－12P(48<ξ<72)＝12(0.954－0.682)＝0.136.所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2000×0.136＝272(人)；(2)由题意得，随

机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为25，随机抽取4人，则X～B4，25，P(X＝0)＝354＝81625，P(X＝1)＝C14·25·353＝216625，P(X＝2)＝C24·252·352＝216625，P(X＝3)＝

C34·253·351＝96625，P(X＝4)＝254＝16625.X的分布列为X01234P816252166252166259662516625数学期望E(X)＝4×25＝85.821．解析：(1)证明：由题意知F2(1,0)，A(4,0)，设M(s

，t)，N(s，－t)，则s24＋t23＝1.直线MF2的方程为y＝ts－1(x－1)，直线AN的方程为y＝－ts－4(x－4)，联立可得xB＝5s－82s－5，yB＝3t2s－5，即B的坐标为5s－82s－5，3t2s－5.因为x2B4＋y2B3＝(5s－8)2＋12t24(

2s－5)2＝(5s－8)2＋36－9s24(2s－5)2＝1，所以B点恒在椭圆C上．(2)当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx＋b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝π2恒成立，则T一定在x轴上，故设T(x0,0)，由y＝

kx＋b，x24＋y23＝1，可得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0.因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以Δ＝64k2b2－4(4k2＋3)(4b2－12)＝48(4k2－b2＋3)＝0，所以xP＝－4kb，yP＝kxP＋b＝3b.又因为Q(4,4k＋b)，∠PTQ＝π2，所以

TP→·TQ→＝－4kb－x0，3b·(4－x0,4k＋b)＝0，即x0＋4kb(x0－4)＋3(4k＋b)b＝0.所以x20－4x0＋3＋kb(4x0－4)＝0对于任意的满足4k2－b2＋3＝0的k，b恒成立，所以4x0－4＝0，x2

0－4x0＋3＝0，解得x0＝1.故在平面内存在定点T(1,0)，使得∠PTQ＝π2恒成立．22.（1）()esinxfxxa=−−，由()fx在(0,)+上单调递增，故当0x时，esin0xxa−−恒成立，即esinxax−恒成立.设()esin(0)xhxxx=−，()ecos

xhxx=−，因为0x，所以e1,cos1xx，所以cos0xex−，即()0hx.故()hx在(0,)+上单调递增，故()(0)1hxh=，故1a；9（2）当1a=−时，()ecosxfx

xx=++，()esin10xfxx=−+，故()fx在R上单调递增，又因为(0)2f=，且()()124fxfx+=，故120xx.要证120xx+，只需证21xx−，因为()fx在R上单调递增，故只需证()()21fxfx−，即只需证()()114fxfx−

−，即只需证()()1140fxfx−+−.令()()()4(0)gxfxfxx=−+−，()()()gxfxfx=−−esin1esin1xxxx−=−+−−−ee2sinxxx−=−−，令()ee2sinxxxx−=−−，则()

ee2cos22cos0xxxxx−=+−−，所以()ee2sinxxxx−=−−在(,0)−上单调递增，所以()(0)0x=，故()gx在(,0)−上单调递减，故()(0)2(0)40gxgf=−=，故原不等式成立.