【文档说明】湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一下学期6月大联考数学试题含答案.docx，共(13)页，1.008 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省名校联考联合体2021年春季高一大联考数学时量：120分钟满分：150分得分：________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合1Axx=，

11Bxx=−，则“xA”是“xB”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．函数()3log3fxxx=+−的零点所在的一个区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）3．已知3π3

sin23−=，则22sin=（）A．23B．43C．233D．4324．已知平面直角坐标系xOy中，原点为O，点()0,3A，()1,0B−，C（3，0），则向量BA在向量BC方向上的投影向量为（）A．14BCB．34BCC．14BC−D．34BC−5．已知(

)0.13.2a=，2log5b=，3log2c=，则（）A．bacB．cbaC．bcaD．abc6．已知直三棱柱111ABCABC−的6个顶点都在球O的球面上，若3AB=，4AC=，ABAC⊥，112AA=，则球O的表面积为（）A．153πB．160πC．169πD

．360π7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BCa=，

BAb=，3BEEF=，则BF=（）A．1292525ab+B．16122525ab+C．4355ab+D．3455ab+8．已知函数()3221xfxx=−+，且()()20fafb++，则（）A．0

ab+B．0ab+C．10ab−+D．20ab++二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若

复数z满足()2i34iz+=+（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A．z的虚部为3i−B．13z=C．z的共轭复数为23i+D．z是第三象限的点10．设平面向量a，b，c均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若abac=，则bc=B．若abab=，则a与b共线C．若abab+=

−，则ab⊥D．已知()1,2a=，()1,1b=且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+11．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论中正确的是（）A．在ABC中，若AB，则sinsinABB．若sin2sin2AB

=，则ABC是等腰三角形C．若coscosaBbAc−=，则ABC是直角三角形D．若2220abc+−，则ABC是锐角三角形12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提

出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxfxaa=，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其表达式为eecosh2xxx−+=，相

应地，双曲正弦函数的函数表达式为eesinh2xxx−−=．则下列关于双曲正、余弦函数结论中正确的是（）A．22coshsinh1xx−=B．()coshcoshcoshsinhsinhxyxyxy+=−C．()sinhsinhcoshcoshsinhxyxy

xy+=+D．coshyx=为偶函数，且存在最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数()()sin2fxx=+为偶函数，则的一个值为________．（写出一个即可）14．已知向量()1,3a=，()sin,sincosb=−，若ab，则tan2=___

_____．15．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式iecosisinxxx=+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则iπe1+=________；313i2

2+=________．（第一空2分，第二空3分）16．在ABC中，ACB为钝角，1ACBC==，COxCAyCB=+且1xy+=，函数()fmCAmCB=−的最小值为32，则CO的最小值为________．四、解答题：本题共6个小

题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、BC上，且满足13AEAB=，13AFAD=，23BGBC=，设ABa=，ADb=．（1）用a，b表示EF，EG；（2）若EFEG⊥，2ABEGab=，求

角A的值．18．（本题满分12分）如图，四棱台1111ABCDABCD−，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且50cmAB=，1140cmAB=，110cmAA=．（1）求四棱台1111ABCDABCD−，的侧面积；（2）求四棱合1111ABCDABCD−，的体积．（

台体体积公式()13VSSSSh=++下下上上）19．（本题满分12分）在条件①()()()sinsinsinsinabABcCB−+=−；②sinsin2BCbaB+=；③()cos2cos22sinsinsinABCBC−=−中任选一个，补充

以下问题并解答：如图所示，ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，________，且3BC=，D在AC上，ABAD=．（1）若2BD=，求sinACB；（2）若2BDCD=，求AC的长．20．（本题满分12分）已知函数()π4sincos6fxxx

=−．（1）求()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若12Af=，2a=，求ABC面积的最大值．21．（本题满分12分）今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新

手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本()Rx万元，且()210100,040,100007019450,40.xxxRxxxx+=

+−由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2021年的利润()Wx（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额−成本）；（2）2021年产量为多少

（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（本题满分12分）已如函数()2lg1fxax=+−，aR．（1）若函数()fx是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()yfx=与函数lg2xy=的图象公共点个数，并说明理

由；（3）当)1,2x时，函数()2xyf=的图象始终在函数()lg42xy=−的图象上方，求实数a的取值范围．名校联考联合体2021年春季高一大联考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123

45678答案CBBAACBA1．C【解析】111Axxxx==−，11Bxx=−，则BAÜ，即“xA”是“xB”的必要不充分条件．2．B【解析】函数()3log3fxxx=+−在()0,+上单调递增且连续，且()33

2log223log21f=+−=−0，()33log33310f=+−=；故函数()3log3fxxx=+−的零点所在的一个区间是（2，3）．3．B【解析】由3π3sin23−=，得3cos3=，则()22142sin21cos2133=−=−=．4．A【

解析】()1,3BA=，()4,0)BC=，向量BA在向量BC方向上的投影向量为()11,04BOBC==．5．A【解析】∵00.10.50.513.23.23.242a===，22log5log42b=

=，31log32c==33log2log31=，∴bac．6．C【解析】由题意，三棱柱111ABCABC−为直三棱柱111ABCABC−，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABCABC−补成回棱柱，则四棱柱的体对角线是

其外接球的直径，所以外接球半径为222113341222++=，则三棱柱111ABCABC−外接球的表面积是24π169πR=．7．B【解析】法一：过F作FGBC⊥于G，不坊设3BE=，1EF=，则4BF=，3FCBE==，所以5BC=，125FG=，165BG=，所以1625BGBC=，1225

GFBA=，所以16122525BFBGGFBCBA=+=+16122525ab=+．法二：()33334444BFBCCFBCEABCEBBABCBFBA=+=+=++=+−+，即3344BFBCBFBA=+−+，解得16122525BFBCBA

=+，即16122525BFab=+．法三：建立直角坐标系用坐标解决．8．A【解析】令()()33221112121xxxgxfxxx−=+=−+=+++，则()()gxgx−=−，()gx是奇函数，且易知()fx在R上递增，则()gx在R上递增，又()()()()()()21

10fafbfafbgagb++=+++=+，故()()()gagbgb−=−，故ab−，0ab+．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9

101112答案BCBCACACD9．BC【解析】∵()2i34iz+=+，∴()()234ii34i2223iiiz+−+=−=−=−−，虚部为3−，13z=，共轭复数为23i+，z是第四象限的点．10．BC【解析】当b，c在a方向上的投影相同时，显然bc=不一定成立，A

错误；若abab=，则向量夹角0=或π，a与b同向或反向，共线，B正确；若abab+=−，两边平方得，0ab=，即ab⊥，C正确；若a与ab+的夹角为锐角，则()350aab+=+，且0，所以D不正确．11．AC【解析】在ABC中，若AB

，根据大边对大角，所以ab，利用正弦定理，所以2sin2sinRARB，则sinsinAB，故选项A正确；对于选项B，∵sin2sin2AB=，∴22AB=或22πAB+=，，即AB=或π2AB+=，ABC为等

腰或直角三角形，即选项B错误；对于选项C，由余弦定理知，2222acbabac+−−2222bcacbc+−=，化简整理得222abc=+，∴ABC为直角三角形，即选项C正确，（也可以化边为角）；对于选项D，2220abc+−只能说明C为锐角，

而角A和B不确定，即选项D错误．12．ACD【解析】对于A．22222222eeeeee2e2ecoshsinh1224xxxxxxxxxx−−−−+−++−+−−=−==，故A正确；对于B．eeeeeeeecoshc

oshsinhsinh2222xxyyxxyyxyxy−−−−++−−−=−=()eeeeeeeeeecosh442xyxyxyyxxyxyxyyxxyyxxy+−−−−+−−−−−−++++−−+−==−，故B错误；对于C，()eeeeeeeeee

sinhcoshcoshsinhsinh22222xxyyxxyyxyxyxyxyxy−−−−+−−−++−−+=+==+，故C正确；对于D．()eecoshcosh2xxxx−+−==，故函数为偶

函数，由于1eee2exxxx−+=+，故eecosh12xxx−+=（当且仅当0x=时，等号成立），故D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．π2（答案不唯一）【解析】∵函数()sin2yx=+为偶函数，∴ππ2k=+，kZ，故可取π2=．14．43−【解析】

因为向量()1,3a=，()sin,sincosb=−，且ab，所以sincos3sin0−−=，即sin1tancos2==−，所以22122tan42tan21tan3112−===−−

−−．5．0；1−【解析】iπe1cosπisinπ1110+=++=−+=，πi313ππicosisine2233+=+=，因此，33πi313iecosπisinπ122+==+=−．16．12【解析】法一：由向量减法模的几何意义和函数()fm的最小值

为32知2π3ACB=，且O点在直线AB上，当COAB⊥时，CO最小，为12．法二：在ABC中，ACB为钝角，1ACBC==，函数()fm的最小值为32．∴函数()22223212cos2fmCAmCBCAmCBmCACBmmAC

B=−=+−=+−，化为248cos10mmACB−+恒成立．当且仅当8coscos8ACBmACB==时等号成立，代入得到1cos2ACB=−，∴2π3ACB=．∴()()22222222222π122cos11332COxCAyCBxyCACBxyxyxxx

xx=++=++=+−−−=−14+，当且仅当12xy==时，2CO取得最小值14，∴2CO的最小值为12．四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）11113333EFAFAEADABba=−=−=−，222

23333EGEBBGABADba=+=+=+．4分（2）若EFEG⊥，则0EFEG=，即()()()2222099bababa−+=−=，∴ab=，6分又()22222333ABEGaabaabab

=+=+=，∴22aab=，8分∴22cosaabA=，即1cos2A=，∴π3A=．10分18．【解析】（1）∵侧面是全等的等腰梯形，50cmAB=，1140cmAB=，110cmAA=，∴斜高为2250401053cm2−−=，3分则四棱台1111ABC

DABCD−的侧面积为()2144050539003?cm2+=；6分（2）∵侧面是全等的等腰梯形，50cmAB=，1140cmAB=，110cmAA=，∴四棱台的高为()22105252cm−=，9分四棱台的体积为

()2222313050024040505052cm33V=++=．12分19．【解析】选①()()()sinsinsinsinabABcCB−+=−，由正弦定理得，()()()ababccb−+=−，整理得，222bca

bc+−=，由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+−==，由A为三角形内角得，π3A=；3分选②sinsin2BCbaB+=，由πBCA+=−得，πsinsinsinsin2ABAB−=因为sin0B，所

以πsinsin2AA−=，即cossin2sincos222AAAA==，由于cos02A，所以2sin12A=，即1sin22A=，故π3A=；选③()cos2cos22sinsinsinABCBC−=−，所以()2212sin12s

in2sinsinsinABCBC−−+=−，整理得，222sinsinsinsinsinBCABC+−=，由正弦定理得，222bcabc+−=，由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+−==，由A为三角形内

角得，π3A=；（1）因为π3A=，2BD=，且ABAD=，所以ABD为等边三角形，所以120BDC=，2BD=，3BC=，BDC中，由正弦定理得，sinsinBCBDBDCBCD=，即32sin120sinBCD=，所以3sinsin3ACBBCD=

=，6分（2）设DCx=，则2ADABBDx===，3ACx=，ABC中，由余弦定理得，224991cos602232xxxx+−==，故377x=，977AC=．12分20．【解析】（1）函数()π314

sincos4sincossin622fxxxxxx=−=+311cos2π4sin22sin214226xxx−=+=−+，令πππ2π22π262kxk−−+，求得ππππ63kxk−+，kZ，

可得函数的单调递增区间为πππ,π63kk−+，kZ．6分（2）在ABC中，若π2sin1126AfA=−+=，∴πsin06A−=，∴π6A=．∴ABC面积为1sin24bcbcA

=．∵2a=，根据余弦定理可得2222242cos323abcbcAbcbcbcbc==+−=+−−，∴()442323bc=+−，∴ABC面积为1sin2324bcbcA=+，故ABC面积的最大值为2

3+．21．【解析】（1）当040x时，()()227001010025010600250Wxxxxxx=−+−=−+−，2分当40x时，()100001000070070194502509200Wxxxxxx=−+−−=−++

，4分∴()210600250,040,100009200,40.xxxWxxxx−+−=−++5分（2）若040x，()()210308750Wxx=−−+，当30x=时，(

)max8750Wx=万元，7分若40x，()10000920092002100009000Wxxx=−++−=，9分当且仅当10000xx=时，即100x=时，()max9000Wx=万元，11分∴2021年产

量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．12分22．【解析】（1）函数2()lg1fxax=+−为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有()()0fxfx+−=，即22lgl

g011aaxx+++=−−−，∴22111aaxx+−=−+，显然1x，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有1x−．上面等式左右两边同时乘以()()11xx−+得()()2121

21axaxx−++−=−，化简得()()2221430axaa−−−+=，上式对定义域内任意x恒成立，所以必有2210,430,aaa−=−+=，解得1a=；3分（2）由（1）如1a=，所以()2

lg11fxx=+−，即()1lg1xfxx+=−，由101xx+−，得1x−或1x，所以函数()fx定义域()(),11,D=−−+，由题意，要求方程1lglg21xxx+=−解的个数，即求方程

22101xx−−=−在定义域D上的解的个数．令()2211xFxx=−−−，显然()Fx在区间(),1−−和()1,+均单调递增，又()22112210343F−−=−−=−−，3232112105252

22F−−=−−=−−．且3232212250122F=−−=−，()22221101F=−−=，所以函数()Fx在区间32,2−−和3,22上各有一个零点，即方程222101x−−=−在定义域D上有2个解，所以函数()yfx

=与函数lg2xy=的图象有2个公共点；7分（3）要使)1,2x时，函数()2xyf=的图象始终在函数()lg42xy=−的图象的上方，必须使24221xxa+−−在)1,2x上恒成立，令2xt=，则)2,4t，上式整理得()2560tata

+−+−在)2,4t恒成立．因为()2560tata+−+−在)2,4t恒成立，即()2156tatt−−+−．又113t−，所以得2561ttat−+−−在)2,4t恒成立，令1ut=−，则)1,3u，且1tu=+，所以()(

)22151656231uuttutuu−+++−−+−==−+−，由基本不等式可知22222uuuu+=（当且仅当)21,3u=时，等号成立）即min222uu+=，所以2maxmax56233221ttutu−+−=−+=−−

，所以a的取值范围是()322,−+．12分