【文档说明】江西省部分学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题.docx，共(16)页，1000.597 KB，由管理员店铺上传

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2023年江西省高三12月份联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选

择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数123iz=−，21izz=，则12zz+的实部为（）A.

1−B.5C.1D.5−2.抛物线213yx=的准线方程为（）A.112y=−B.16x=−C.112x=−D.16y=−3.若奇函数2()1,0,()lg,0,gxxfxxxx+=+则(10)g−=（）A.

102−B.102C.101−D.1014.现有一个圆台形的杯子，杯口的内径为8cm，杯底的内径与杯中盛满溶液时的液面高度均为10cm，当杯中盛满溶液，且该溶液的密度31g/cm=时，杯中溶液的质量为（）A.2440g3B.800g3C.610g3D

.650g35.现有6个不同的生肖吉祥物，分1个给老师，其他5个分给3位学生，每位学生至少分到1个，则这6个生肖吉祥物的分配方法共有（）A.360种B.900种C.720种D.1800种6.已知向量a，b满足2ab+=，2abab−=+，则a的最大值

为（）A.23B.2C.32D.47.已知函数()4sincosfxxx=，()sin23cos2gxxx=−的定义域均为R，则（）A.当()fx取得最大值时，()gx取得最小值B.当()gx取得最大值时，()1fx=−C.()fx与()g

x的图象关于点,03对称D.()fx与()gx的图象关于直线3x=对称8.已知函数()3222()(ln)lnfxxxmxxxm=−++恰有4个零点，则m的取值范围是（）A.1,0e−B.1,02e−C.11

,e2e−−D.1,2e−+二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.江西省2017年到2022年

常住人口变化图如图所示，则（）A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万D.江西省201

7年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万10.在等差数列na中，34815aaa++=，下列结论正确的是（）A.5a是定值B.na的前9项和为54C.28aa的最大值为25D.若280aa，则2814aa+的最小值

为91011.已知曲线()2:1||1Cyx=−−，斜率为k的直线l经过点(3,3)A，下列结论正确的是（）A.C的周长为B.若l与C恰有3个公共点，则k的取值范围为623,13−C.若l与C恰有2个公共点，则k的取值范围为12263623

,1,1553−−D.若l与C恰有1个公共点，则k的取值范围为()36231226,1,35315−−12.如图，在边长为4的正方形ABCD中剪掉四个阴影部分

的等腰三角形，其中O为正方形对角线的交点，OEOEOFOFOGOGOHOH=======，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为12，则该正四棱锥的表面积可能为（）A.12B.445+C.8D.525+三、填空题：本大题共4小题

，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若集合22240Axxx=−−，222Bxmxm=+，AB=，则2m的最小值为__________.14.若随机变量1~(100,)02XBpp，且()16DX=，

则()EX=__________.15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()fx=__________.①2()()fxfxx−=−；②函数()fxyx=在(0,)+上单调递增.16.已知双曲线C的两个焦点为1F，2F，P为C上一点，112PFFF=，1236PFF=，则C的离心率

为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在梯形ABCD中，//ADBC，5BD=，60CBD=.（1）若1sin4BCD=，求CD的长；（2）若2AD=，求cosABD.18.（

12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，3AB=，4PD=，5PC=.（1）证明：平面PCD⊥平面PAD.（2）若ADPA⊥，2DEEC=，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.19.（12分）已知某地居民

中青少年、中年人、老年人的人数比例为3：4：3，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，且他们寒假去江西庐山、三清山旅游的概率如下表所示：青少年中年人老年人只去庐山旅游0.10.30.2只去三清山旅游0.20.20.3

庐山、三清山都去旅游0.050.10.1（1）若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，求此人寒假去庐山旅游的概率；（2）若甲，乙分别是该地居民中的一位中年人、老年人，记这两人中寒假去三清山旅

游的人数为X，求X的分布列.20.（12分）已知点1(1,2)A，2(2,3)A，设()()*,nnnAabnN，当3n时，线段21nnAA−−的中点为nB，nB关于直线yx=的对称点为nA.例如，3B为线段12AA的中点，则335,22B，353,22A.（1）设

11nnnnncabab++=+−−，证明：nc是等比数列.（2）求数列nnab+的通项公式.21.（12分）过点P作x轴的垂线，垂足为E，且该垂线与抛物线24xy=−交于点F，2||||1P

EEF+=，记动点P的轨迹为曲线C.（1）试问C为何种圆锥曲线？说明你的理由.（2）圆Q是以点(1,0)Q为圆心，(01)rr为半径的圆，过点(0,1)B−作圆Q的两条切线，这两条切线分别与C相交于点M，N（异于点B）.当r变化时，是否存在定点G，

使得直线MN恒过点G？若存在，求G的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数()(1)1mfxxmx=+−−，(1,)x−+，0m且1m.（1）讨论()fx的单调性；（2）若0,,2

2x，()sin2sin1cosxaxx+，求a的取值范围；（3）证明：当0,,22x，且nN，2n时，()()()()311sin1sin1sin1!1sinnnxxxnx−−−−−恒

成立.数学试卷参考答案1.B【解析】本题考查复数的运算与复数的实部，考查数学运算的核心素养.因为232iz=+，所以125izz+=−，所以12zz+的实部为5.2.C【解析】本题考查抛物线的准线方程，考查数学运算的核心素养.因为123p=，所以16p=，所以抛物线213yx=的准线方程为11

2x=−.3.A【解析】本题考查函数的奇偶性与函数求值，考查数学运算的核心素养.因为(10)1(10)(10)(1001)101gff−+=−=−=−+=−，所以(10)102g−=−.4.C【解析】本题考查圆台体积的实际应用，考查直

观想象与数学运算的核心素养.当杯中盛满溶液时，溶液的体积()223610104455cm33V=++=，此时杯中溶液的质量610g3mV==.5.B【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.分三步

，先分1个给老师，共有16C种分法，再把剩余的5个分成3组，共有3121525322CCCCA+种分组方法，最后将分好组的吉祥物分给3位学生，共有33A种分法，故这6个生肖吉祥物的分配方法共有31211

352536322CCCCCA900A+=种.6.D【解析】本题考查平面向量的数量积与模，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.因为2abab−=+，所以222abab+−=，即2222244abbaabba−

+=++，整理得220aab+=.又2ab+=，所以24ab+=，即2224abab++=，所以224bb==，即2b=.又2ab+=，所以当a与b反向时，a取得最大值，且最大值为224+=.7.D【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学

运算与逻辑推理的核心素养.()2sin2fxx=，()2sin23gxx=−.当()fx取得最大值时，22()2xkk=+Z，则()1gx=，A错误.当()gx取得最大值时，22()32xkk−=+Z，则522()6xkk=+Z，()1fx=，B错误.因为242

sin22sin22sin2()3333fxxxxgx−=−=−−=−=，所以()fx与()gx的图象关于直线3x=对称，C错误，D正确

.8.B【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养以及化归与转化的数学思想.令()2()(ln)ln0fxxxmxxm=−−=，得lnxxm=或2lnxxm=.设函数()lngxxx=，则()1lngxx=+.当10ex时，(

)0gx，当1ex时，()0gx，所以min11()eegxg==−.当0x→时，()0gx→.设函数2()lnhxxx=，则()2ln(2ln1)hxxxxxx=+=+.当10ex时，()0h

x，当1ex时，()0hx，所以min11()2eehxh==−.当0x→时，()0hx→.作出()lngxxx=与2()lnhxxx=的大致图象，如图所示.由图可知，当102em−时，直线ym=与这两个函数的图

象各有两个交点，且这些交点各不相同，此时()fx恰有4个零点.9.ABD【解析】本题考查统计的图表、极差、中位数、百分位数，考查数据处理能力.由图可知，A正确.将江西省2017年到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从

小到大的顺序排列为4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，则极差为4666.104517.40148.70−=万，中位数为4527.984622.104575.042+=万，B正确，C错误.因

为60.84.8=，所以第80百分位数为4647.60万，D正确.10.ACD【解析】本题考查等差数列的性质与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为3485315aaaa++==，所以55a=，则

na的前9项和为5945a=，A正确，B错误.因为x，yR，22xyxy+，所以()2228285252aaaaa+==，当且仅当285aa==时，等号成立，C正确.因为285210aaa+==，280aa，所以20a，80a，所以()82282828411

41195(54)10101010aaaaaaaa++=+++=，当且仅当82284aaaa=，即822023aa==时，等号成立，D正确.11.BC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.由21(||1)yx

=−−，得22(||1)1(0)xyy−+=，则曲线C表示两个关于y轴对称的半圆弧（半径为1），且左半圆的圆心为(1,0)F−，右半圆的圆心为(1,0)B，曲线C与x轴的交点为(2,0)D−，(0,0)O，(2,0)E.故曲线C的周长为2，A错误.若直线:(3)3lykx=−

+与左半圆相切，则2|43|11kk−+=+，解得122615k=，由图可知122615k−=.若直线:(3)3lykx=−+与右半圆相切，则2|23|11kk−+=+，解得6233k=，由图可知6233k−=.若直

线:(3)3lykx=−+经过点D，则35k=.若直线:(3)3lykx=−+经过点O，则1k=.若直线:(3)3lykx=−+经过点E，则3k=.若l与C恰有1个公共点，则k的取值范围为(36231226,1,35315−−，D

错误.若l与C恰有2个公共点，则k的取值范围为12263623,1,1553−−，C正确.若l与C恰有3个公共点，则k的取值范围为623,13−，B正确.12.BC【解析】本题考查立体几何中的翻折问题与四棱锥的内切球，考查空间想象能力与运算

求解能力.设翻折前(02)AExx=，则翻折后2EFx=，斜高2222OMx=−，该四棱锥的高2284OOOMOMx=−=−，则221148422333OEFGHEFGHxVOOSxxx−==−=−四边形.该四棱锥的表面积141642(42)82OFFABCDSSSxx=

−=−−=正方形△.因为该正四棱锥的内切球半径为12，所以312OFFGHVS−=，即21xx−=，则()32221(1)10xxxxx−+=−−−=，解得1x=或152x+=（负根舍去），故8S=或445+.13.6【解析

】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为46Axx=−，20m，所以26m，所以2m的最小值为6.14.20【解析】本题考查二项分布的期望与方差，考查数学运算的核心素养.因为~(100,)XBp，所以()100(1)16DXpp=−=，

解得15p=或45，因为102p，所以15p=，所以()10020EXp==.15.exx（答案不唯一，形如(1)xxaa均可）【解析】本题以开放题的形式考查函数的解析式与性质，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.因为1xxaa−

=，2()()fxfxx−=−，所以可设()xfxxa=，则()xfxyax==.因为函数()fxyx=在(0,)+上单调递增，所以1a，所以()(1)xfxxaa=满足这两个条件.16.352+【解析】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理与直观想象

的核心素养.如图，在线段12FF上取一点A，使得2||PAPF=.因为112PFFF=，1236PFF=，所以2112272PFFFPFPAF===，所以1723636APF=−=，所以12||PAAFPF==.易知12FPF△与2PAF△相似，则222121

22||PFAFAFPFPFPFAPPFPF−===.设1PFx=，2PFy=，则有yxyxy−=，则2210xxyy−−=，解得152xy+=（负根舍去），所以C的离心率12112121523522215112

xFFPFccxyexaaPFPFPFPFxyy++========−−−+−−．17.解：（1）在BCD△中，由正弦定理得sinsinBDCDBCDCBD=，则sin5sin601031sin4BDCBDCDBCD===.（2）因为//ADBC，所以

60ADBCBD==.由余弦定理得2222cos19ABBDADBDADADB=+−=，则19AB=，所以222419cos219ABBDADABDABBD+−==.18.（1）证明：在正方形ABCD中，3CDAB

==.因为222CDPDPC+=，所以CDPD⊥.在正方形ABCD中，CDAD⊥.因为PDADD=，所以CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.（2）解：由（1）知CD⊥平面P

AD，则CDPA⊥，则ABPA⊥.因为ADPA⊥，ADAB⊥，ABPAA=，所以AD⊥平面PAB.以A为坐标原点，AB，AP，AD的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,7,0P，(3,0,0)B，(2,0,3)E，(3,0,3)

C，(0,0,3)D.设平面PCD的法向量为(,,)mxyz=，(3,0,0)DC=，()0,7,3PD=−，则30,730,mDCxmPDyz===−+=，令7z=，得()0,3,7m=.因为(1,0,3)BE=−，所以37370cos,40410mBEmBEmBE=

==，所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为37040.19.解：（1）由表可知该地居民中青少年寒假去庐山旅游的概率为0.10.050.15+=，该地居民中中年人寒假去庐山旅游的概率为0.30.10.4+=，该地居民中老年人寒假去庐山旅游的概率为0.20.10.3

+=，所以根据全概率公式可得，此人寒假去庐山旅游的概率为3430.150.40.30.295343343343++=++++++.（2）由表可知该地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分别为0.20.1+，0.30.1+，即0.3，0.4.X的可能

取值为0，1，2，(0)(10.3)(10.4)0.42PX==−−=，(1)0.3(10.4)0.4(10.3)0.46PX==−+−=，(2)0.30.40.12PX===，则X的分布列为X012P0.420.460.12

【注】第（1）问中，得到所求概率为3430.150.40.3343343343++++++++，但最后的结果计算错误，扣1分.20.（1）证明：当nN时，线段1nnAA+的中点为2nB+，112,22nnnnnaabbB+++++

，则112,22nnnnnbbaaA+++++.由1212,2,2nnnnnnbbaaab+++++=+=得11222nnnnnnababab++++++++=，所以1122112nnnnnnnnabababab+++++++−−+−−=−，即112nn

cc+=−.因为122112cabab=+−−=，所以nc是以2为首项，12−为公比的等比数列.（2）解：由（1）知1122nnc−=−，即111122nnnnnabab−+++−−=−，则02211122abab+−−=−，13322122a

bab+−−=−，…，21112(2)2nnnnnababn−−−+−−=−，将以上各式相加得()101211111111441222122233212nnnnnabab−−−−−+−+=−+−++−=

=−−−−.因为113ab+=，所以11341332nnnab−+=−−.当1n=时，113ab+=也符合上式，故11341332nnnab−+

=−−.21.解：（1）设(,)Pxy，则(,0)Ex，2,4xFx−，则||||PEy=，22||44xxEF=−=.因为2||||1PEEF+=，所以2214xy+=，所以C为椭圆.（2）由题可知切线的斜率存在，设切线方

程为1ykx=−，圆222:(1)(01)Qxyrr−+=，则2|1|1krk−=+，整理得()2221210rkkr−−+−=.设切线BM，BN的斜率分别为1k，()212kkk，则1k，2k是上述方程的两根，由韦达定理得121kk=.设()11,Mxy，()22,Nxy，由1221

,1,4ykxxy=−+=得()22111480kxkx+−=.因为10x，所以1121814kxk=+，211214114kyk−=+.同理可得2222814kxk=+，222224114kyk−=+.因为121kk=，所以122184kxk=+，2122144kyk−=

+，所以22112242111131111122114414148818824243414MNkkkkkkkkkkkkkk−−−++−+===−−−++，所以直线MN的方程为2211122111411814314kkkyxkkk−+−=−−++，即221112211118413141

4kkkyxkkk+−=−−+++，整理得2111533kyxk+=−+.令0x=，得53y=，故存在定点50,3G满足题意.22.（1）解：11()(1)(1)1mmfxmxmmx−−=+−=+−.由1x−，得10x

+，(0)0f=.当01m时，10m−，()fx在(1,)−+上单调递减，若(1,0)x−，则()0fx，若(0,)x+，则()0fx，所以()fx在(1,0)−上单调递增，在(0,)+上单调递减.当1m时，10m−，()fx

在(1,)−+上单调递增，若(1,0)x−，则()0fx，若(0,)x+，则()0fx.所以()fx在(1,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增.（2）解：0,,22x，si

n(0,1)x，21cos1x+.当1a时，sin1ax，()sin21cos1xx+，所以1a满足题意.当1a时，由（1）知当01m时，()(0)0fxf=，即(1)1mxmx++，则()sin221cos1sincosxxxx++，所以2sin1sincosaxxx+

，即221sincos11sinsinsinxxaxxx+=+−.令sin(0,1)tx=，21()1gttt=+−，则()gt为减函数，则(1)1ag=，这与1a矛盾，所以1a不满足题意.综上，a的取值范围是(,1]−.（3）证明：()()()11133211sin1

sin1sin1(sin)1(sin)1(sin)(1sin)1sin1sin1sinnnnxxxxxxxxxx−−−−−−−=−−−−.当(0,1)m时，(1)1(1)mkmkk++−，设sin1

kx=−.因为0,,22x，所以(1,0)k−，所以1(sin)(1sin)mxmx−−.令1mn=（nN，2n），得111(sin)(1sin)nxxn−−.故11132111(1sin

)(1sin)(1sin)1(sin)1(sin)1(sin)1321sin1sin1sin1sin1sin1sin!nxxxxxxnxxxxxxn−−−−−−=−−−−−−，即()()()311sin

1sin1sin1(1sin)!nnxxxxn−−−−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com