【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题10.7 古典概型大题专项训练（30道） Word版含解析.docx，共(28)页，623.881 KB，由小赞的店铺上传

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专题10.7古典概型大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023·全国·高一专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组．

(1)该活动包含了多少个基本事件？(2)抽出男同学比女同学多的概率是多少？【解题思路】（1）对6名同学编号，利用列举法列出所有基本事件即可作答.（2）由（1），求出抽出男同学比女同学多的基本事件数，再利用古典概型计算作答.【解

答过程】（1）4名男同学分别记为𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4，2名女同学分别记为𝑏1,𝑏2，选出的3人构成的一组记为𝑥𝑦𝑧，表示一个基本事件，从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为：𝑎1𝑎2𝑎3,�

�1𝑎2𝑎4,𝑎1𝑎2𝑏1,𝑎1𝑎2𝑏2,𝑎1𝑎3𝑎4,𝑎1𝑎3𝑏1,𝑎1𝑎3𝑏2,𝑎1𝑎4𝑏1,𝑎1𝑎4𝑏2,𝑎1𝑏1𝑏2，𝑎2𝑎3𝑎4,𝑎2𝑎3𝑏1,𝑎2𝑎3𝑏2,𝑎2𝑎4𝑏1,𝑎2𝑎4

𝑏2,𝑎2𝑏1𝑏2,𝑎3𝑎4𝑏1,𝑎3𝑎4𝑏2,𝑎3𝑏1𝑏2,𝑎4𝑏1𝑏2，共20个，所以该活动包含了20个基本事件.（2）由（1）知，抽出的男同学比女同学多的事件包含的基本事件有：𝑎1𝑎2𝑎3,𝑎1𝑎2𝑎4,𝑎1𝑎2𝑏1,𝑎1𝑎2�

�2,𝑎1𝑎3𝑎4,𝑎1𝑎3𝑏1,𝑎1𝑎3𝑏2,𝑎1𝑎4𝑏1,𝑎1𝑎4𝑏2，𝑎2𝑎3𝑎4,𝑎2𝑎3𝑏1,𝑎2𝑎3𝑏2,𝑎2𝑎4𝑏1,𝑎2𝑎4𝑏2,𝑎3𝑎4𝑏1,𝑎3𝑎4𝑏2，共16个

，所以抽出男同学比女同学多的概率𝑃=1620=45.2．（2023·全国·高一专题练习）一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一

个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球．(1)求取出的2个球的颜色不相同的概率；(2)求取得的球中有1号球的概率．【解题思路】（1）先列举出所有的基本事件，再找到取出的2个球的颜色不相同基本事件，根据概率公式计算即可．（2）先列举出所有的基本事件，再找到取得的球中有1

号球的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答过程】（1）从袋中一次随机抽取2个球的基本情况有：（红1，红2)，（红1，黑1)，（红1，黑2)，（红1，白1)，（红2，黑1)，（红2，黑2)，（红2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白

1)，共10种，取出的2个球的颜色不相同的基本事件有：（红1，黑1)，（红1，黑2)，（红1，白1)，（红2，黑1)，（红2，黑2)，（红2，白1)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共8种，故取出的2个球的颜色不相同的概

率为810=45，（2）取得的球中有1号球的基本事件有：（红1，红2)，（红1，黑1)，（红1，黑2)，（红1，白1)，（红2，黑1)，（红2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共9种，故取得的球中有1号球的概率910.

3．（2023·全国·高一专题练习）由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求：(1)所抽到数为偶数的概率；(2)所抽到数为3的倍数的概率；(3)所抽到数的个位和十位不相同的概率．【解题思路】运用列举

法，结合古典概型计算公式进行求解（1）（2）（3）即可.【解答过程】（1）数字1，2，3，4构成的两位数有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16个，其中偶

数有12，14，22,24，32，34，42,44共8个，所以所抽到数为偶数的概率816=12；（2）数字1，2，3，4构成的两位数有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16个，其中3的倍数有12，21,24，33，4

2共5个，所以抽到数为3的倍数的概率516；（3）数字1，2，3，4构成的两位数有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16个，其中个位和十位相同的数有11，22，33，44共4个

，所以个位和十位不相同的数有12个，所以抽到数为3的倍数的概率1216=34.4．（2023秋·海南儋州·高二期末）两个口袋，每个袋中有3个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3.现分别从每一个袋中取一个小球，观察其上标的数字.(1)写出试验样本空间；

(2)设事件A=“两个小球都是奇数”，B＝“两个小球的和为4”，求：①事件A的概率；②事件B的概率.【解题思路】（1）利用列举法求得正确答案.（2）根据古典概型概率计算公式求得事件𝐴,𝐵的概率.【解答过程】（1）样本空间如下：{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2

,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}，（2）①，事件𝐴包括的基本事件为：(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)，共4种，所以𝑃(𝐴)=49.②，事件𝐵包括的基本事件为：(1,3),(

2,2),(3,1)，共3种，所以𝑃(𝐵)=39=13.5．（2023春·江西·高三阶段练习）为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派3人参加，某班级老师已经确定2参赛名额，第3个参赛名额在甲，乙同学间产生

，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各10次之前该题型的解答结果如下：(𝑎,𝑏)，(𝑎̅,𝑏)，(𝑎,𝑏̅)，(𝑎,𝑏)，(𝑎̅,𝑏)，(𝑎,𝑏)，(𝑎,𝑏)，(𝑎̅,𝑏̅)，(𝑎,𝑏)，(𝑎,

𝑏)，其中𝑎，𝑎̅分别表示甲正确和错误；𝑏，𝑏̅分别表示乙正确和错误．(1)若解答正确给该同学1分，否则记0分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；(2)若再

安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式分别计算甲、乙两人的平均数与方程，进而推荐人选；（2）利用古典概型的概率公式估计恰有一人正确的概率.【解答过程】（

1）由已知得甲的平均数𝑥̅甲=1×7+0×310=0.7，方差𝑠2⬚甲=7⋅(1−0.7)2+3⋅(0−0.7)210=0.21；乙的平均数𝑥̅乙=1×8+0×210=0.8，方差𝑠2⬚乙=8⋅(1−

0.8)2+2⋅(0−0.8)210=0.16，因为𝑥̅甲<𝑥̅乙，且𝑠2⬚甲>𝑠2⬚乙，所以推荐乙参加比赛更合适；（2）由已知的10个结果中，恰有一人解答正确的结果是(𝑎̅,𝑏)，(𝑎,𝑏̅)，(𝑎̅,𝑏)，共3个，所以恰有一人正确的概率为310.6．（2023秋·

四川绵阳·高二期末）某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘

制成如图所示的频率分布直方图.(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；(2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调

查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.【解题思路】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在[60,70)的频率，从而可得这800名学生的平均成绩；（2）根据分层抽样确定成绩在[80,90)内的人数并标记，成绩在[90,100]内的人数并标记，根据古典概型列举基本事件种数及所求事件种数，即可得概率

值.【解答过程】（1）成绩落在[60,70)的频率为1−(0.15+0.30+0.10+0.05)=0.40，补全的频率分布直方图如图：这800名学生的平均成绩约为；55×0.15+65×0.30+75×0.40+

85×0.10+95×0.05=71（分）；（2）抽取的40名学生中，成绩在[80,90)内的有800×0.1×40800=4（人），分别记为𝑎1，𝑎2，𝑎3，𝑎4，成绩在[90,100]内的有800×0.05×40800=2（

人），分别记为𝑏1，𝑏2，从这6人中随机抽取2人的基本事件有(𝑎1,𝑎2)，(𝑎1,𝑎3)，(𝑎1,𝑎4)，(𝑎1,𝑏1)，(𝑎1,𝑏2)，(𝑎2,𝑎3)，(𝑎2,𝑎4)，(𝑎2,𝑏1)，(𝑎2,𝑏2)，(𝑎3,𝑎4)，

(𝑎3,𝑏1)，(𝑎3,𝑏2)，(𝑎4,𝑏1)，(𝑎4,𝑏2)，(𝑏1,𝑏2).共有15种.记事件𝐴=“至少有1名学生成绩不低于90分”，则𝐴事件包含的基本事件有：(𝑎1,𝑏1)，(𝑎1,𝑏2)，(𝑎2,𝑏1)，(𝑎2,𝑏2)，(𝑎3,𝑏1)，(

𝑎3,𝑏2)，(𝑎4,𝑏1)，(𝑎4,𝑏2)，(𝑏1,𝑏2)，共9种，所以所求概率为𝑃(𝐴)=915=35.7．（2023秋·海南儋州·高二期末）某地区有小学15所，中学10所，大

学5所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题思路】（1）根据分层抽样的知识求

得正确答案.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【解答过程】（1）从小学抽取6×1515+10+5=3所；从中学抽取6×1015+10+5=2所；从大学抽取6×515+10+5=1所；（2）小学的3所学校编号为1,2,3，中学的2所学校编号为4,5，大学的1所学校编号为6，从中

随机抽取2所学校，基本事件有：12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种，其中抽取的2所学校均为小学的是：12,13,23，从3种，所以抽取的2所学校均为小学的概率为31

5=15.8．（2022春·甘肃天水·高一期末）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学，中学，大学中分别抽取学校的数目

；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题思路】（1）根据分层抽样的方法，得到分层抽样的比例，即可求解从小学，中学，大学中分别抽取学校的数目；（2）列举法列出从抽取的6所学校中随机抽取2所的所有可能性，利用古典概型的概率计算公式，即可求得相

应的概率．【解答过程】（1）学校总数为42所，所以分层抽样的比例为642=17，计算各类学校应抽取的数目为：21×17=3,14×17=2,7×17=1，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3所、2所、1所.

（2）3所小学分别记为𝑎1,𝑎2,𝑎3；2所中学分别记为𝑏1,𝑏2；1所大学记为𝑐1，应抽取的2所学校的所有结果为：{𝑎1,𝑎2},{𝑎1,𝑎3},{𝑎1,𝑏1},{𝑎1,𝑏2},{𝑎2,𝑎3},{𝑎2,𝑏1},{𝑎2,𝑏2},{𝑎3,𝑏1},{𝑎

3,𝑏2},{𝑏1,𝑏2},{𝑎1,𝑐1},{𝑎2,𝑐1},{𝑎3,𝑐1},{𝑏1,𝑐1},{𝑏2,𝑐1}共15种．设“抽取的2所学校均为小学”作为事件A．其结果共有3种，所以概率为𝑃(𝐴)=315=15

．9．（2022秋·湖北宜昌·高二期中）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等．(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率；(2)若第一次抽一张卡片，放回后搅

匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率．【解题思路】（1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于8的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于8的概率．（2）列举出每次抽

1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字2，从前面列举出的结果中找出来，根据古典概型的概率公式计算即可得到所求答案．【解答过程】（1）设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”，∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果

是{1、2、3}，{1、2、4}，{1、3、4}，{2、3、4}共4个，其中数字之和大于8的是{2、3、4}，∴𝑃(𝐴)=14.（2）设B表示事件“至少一次抽到2”，∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1），（1、2），（1、3），（1、4），（2、1），（2、2），（2

、3），（2、4），（3、1），（3、2），（3、3），（3、4），（4、1），（4、2），（4、3），（4、4），共16个．事件B包含的基本结果有（1、2），（2、2），（2、1），（2、3），（3、2），（2、4），（4、2），共7

个基本结果．∴所求事件的概率为𝑃(𝐵)=716.10．（2022秋·浙江杭州·高二期中）袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.(1)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;(2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸

出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【解题思路】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件

的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【解答过程】（1）试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2)，(1

,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以𝑃(𝐵)=46=23.（2）试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2)

,(4,3),(4,4)}，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为𝑃(𝐶)=816=12,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概

率是公平的.11．（2023·高一课时练习）抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的概率；(2)点数之和小于4的概率；(3)点数差的绝对值为3的概率．【解题思路】（1）抛掷两颗骰子，计算出总的基本事件，然后列出点数之和为4包含的基本事件，由此能求出点数之和为4的概率．（2）列

出点数之和小于4的基本事件，由此能求出点数之和小于4的概率．（3）列出点数差的绝对值为3的基本事件，由此能求出点数差的绝对值为3的概率．【解答过程】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数𝑛=6×6=36，点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2）

，（3，1），共3个，所以点数之和为4的概率𝑃=336=112；（2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，所以点数之和小于4的概率𝑃=336=112；（3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（

2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个，所以点数差的绝对值为3的概率𝑃=636=16.12．（2022·陕西·统考模拟预测）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，

将对二氧化碳排放量超过130g/𝑘𝑚的𝑀1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类𝑀1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/𝑘𝑚）甲80110120140150乙1001

20x100160经测算发现，乙品牌𝑀1型汽车二氧化碳排放量的平均值为𝑥乙̅̅̅̅=120g/𝑘𝑚（1）从被检测的5辆甲类𝑀1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/𝑘𝑚的概率是多少？（2）求表中𝑥的值，并比较甲、乙两品牌𝑀1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．(�

�2=1𝑛[(𝑥̅−𝑥1)2+(𝑥̅−𝑥2)2+⋯+(𝑥̅−𝑥𝑛)2])其中，𝑥̅表示的平均数，𝑛表示样本数量，𝑥𝑖表示个体，𝑠2表示方差．【解题思路】（1）由古典概型概率公式可得所求概率.（2）分别求甲、乙

两品牌𝑀1型汽车二氧化碳排放量的平均数和方差即可进行比较.【解答过程】从被检测的5辆甲品牌汽车任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120)(110,140),(110,150),(120,

140)(120,150)(140,150)设“至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km”事件𝐴事件𝐴包含7种不同结果：(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),

(120,150),(140,150)，所以𝑃(𝐴)=710=0.7（2）由题可知100+120+𝑥+100+1605=120，所以𝑥=120，又∵𝑥甲=80+110+120+140+1505=120

，所以𝑥甲=𝑥乙，𝑠甲2=15[(80−120)2+(110−120)2+(120−120)2+(140−120)2+(150−120)2]=600𝑠乙2=15[(100−120)2+(120−120)2+(120−120)2+(100−120)2+(160−120)2]=48

0，所以𝑠甲2>𝑠乙2，𝑥甲=𝑥乙，所以乙品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性好．13．（2023·河南平顶山·模拟预测）某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格：第1箱第2箱第3箱第4箱第5箱第6箱第

7箱第8箱第9箱第10箱烂果个数0001000011假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元．(1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？(2)若采购

员检查完前3箱（即第1~3箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率．【解题思路】(1)计算10箱苹果的平均价格，利用样本估计总体即可求解；(2)利用古典概率模型求解.【解答过程】（1）由表可知

，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱，所以这10箱苹果的价格为120×7+110×3=1170元，故采购员共1000kg苹果需要1170×100020×10=5850元．（2）设第

𝑖(𝑖=4,5,6,7,8,9,10)箱分别记为A，B，C，D，E，F，G（其中A，F，G这3箱有一个烂果），从7箱中任选2箱，所有的情况为(𝐴,𝐵)，(𝐴,𝐶)，(𝐴,𝐷)，(𝐴,𝐸)，(�

�,𝐹)，(𝐴,𝐺)，(𝐵,𝐶)，(𝐵,𝐷)，(𝐵,𝐸)，(𝐵,𝐹)，(𝐵,𝐺)，(𝐶,𝐷)，(𝐶,𝐸)，(𝐶,𝐹)，(𝐶,𝐺)，(𝐷,𝐸)，(𝐷,𝐹)，(𝐷,𝐺)，(𝐸,𝐹)，(𝐸,𝐺)，(𝐹

,𝐺)，共21种，其中没有A，F，G的有6种情况，故采购员按照这个价格采购苹果的概率为621=27．14．（2023春·湖北孝感·高二开学考试）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1，集合𝑃={1,2,

3,4},𝑄={2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(𝑎,𝑏)．(1)记事件A为“函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为[1,+∞)”，求事件A的概率；(2)记事件B为“方程|𝑓(𝑥)|=2有4个根”，求事件B的概率．【解题思路】（1）列

举样本空间所有的样本点，依题意有𝑏=2𝑎，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算；（2）依题意有𝑏2>4𝑎，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算.【解答过程】（1）由题知𝑎∈{1,2,3,4},𝑏∈{2

,4,6,8}，所以，数对(𝑎,𝑏)的可能取值为：(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16对．若函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为[1,+

∞)，则函数𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥=𝑏2𝑎=1，即𝑏=2𝑎所以，满足条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)，共4对，所以，事件A的概率为𝑃(𝐴)=416=14（2）因为𝑎>0

，二次函数开口向上，所以，方程|𝑓(𝑥)|=2有4个根，即为𝑓(𝑥)=2和𝑓(𝑥)=−2各有2个根，所以，二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1的最小值小于−2．所以−4𝑎−𝑏24𝑎<−2，即𝑏2>4𝑎，满足条件的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8

),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8)，共11对，所以，事件B的概率𝑃(𝐵)=1116．15．（2022秋·山东青岛·高二期中）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红

色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球𝑛个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件𝑀，且事件𝑀发生的概率是12.(1)求𝑛的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得

分为𝑎，第二次取出小球后得分为𝑏，记事件𝑁为“𝑎+𝑏=2”，求事件𝑁发生的概率.【解题思路】（1）袋子中随机抽取1个小球，共有𝑛+2个结果，得到𝑃(𝑀)=𝑛𝑛+2=12，解得答案.（2）红色小球记为𝐴，黄色的小球记为𝐵，蓝色小球记为𝐶1，𝐶

2，列举出所有情况共12种，满足条件共有4种，得到概率.【解答过程】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有𝑛+2个结果，每个结果可能性相同，其中事件𝑀发生有𝑛种结果，所以𝑃(𝑀)=𝑛𝑛+2=12，解得𝑛=2.（2）把红色小球记为𝐴；黄色的小球记为𝐵；蓝色小球记为𝐶1，�

�2；则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为𝐴𝐵𝐶1𝐶2𝐴×(𝐴,𝐵)(𝐴,𝐶1)(𝐴,𝐶2)𝐵(𝐵,𝐴)×(𝐵,𝐶1)(𝐵,𝐶2)𝐶1(𝐶1,𝐴)(𝐶1,𝐵)×(𝐶1,𝐶2)𝐶2(𝐶2,𝐴)(𝐶2,𝐵)(𝐶2,�

�1)×共12个样本点，其中事件𝑁包含的样本点有(𝐴,𝐶1)，(𝐴,𝐶2)，(𝐶1,𝐴)，(𝐶2,𝐴)，共4个，所以𝑃(𝑁)=412=13.16．（2023·全国·高三专题练习）2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加明显，为了有效阻断疫情的快速传播，全国各地

均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做好此项工作，高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100位线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的

平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访

问者恰有一名是80岁以上的概率．【解题思路】（1）由频率分布直方图计算平均数的方法计算即可；（2）由这100位线上采购爱好者的年龄位于区间[20,70)的频率估计概率；（3）由列举法结合概率公式求解即可.【解答过程】（1）该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄为5×0.01+15×0.

02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48（岁）（2）这100位线上采购爱好者的年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0

.017+0.023+0.02+0.017)×10=0.89.故估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间[20,70)的概率0.89.（3）参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下的人数为0.03×100=3人，记为1,2,3；80岁以上的人数为0.02×100=2人，记为𝑎,𝑏.从这

三名中抽取两名进行电话访问，所有情况如下：{1,2},{1,3},{1,𝑎},{1,𝑏},{2,3},{2,𝑎},{2,𝑏},{3,𝑎},{3,𝑏},{𝑎,𝑏}，共10种.其中被访问者恰有一名是80岁以上的情况分别为{1,𝑎},{1,𝑏},{2,𝑎},{2,𝑏},{3,

𝑎},{3,𝑏}，共6种.则被访问者恰有一名是80岁以上的概率为610=0.6.17．（2023·全国·高一专题练习）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120

)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.(1)求图中𝑥的值；(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在[13

0,140)，[140,150]的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在[130,140)的概率.【解题思路】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x；（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；（3）计算分层

抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.【解答过程】（1）由频率分布直方可知，(0.012+0.022+0.028+0.018+𝑥+0.008+0.002)×10=1，解得𝑥=0.0

1；（2）由图可知，语文成绩在[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中

语文平均成绩为𝑥，则𝑥=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=85+10×0.22+20×0.28+30×0.18+40×0.10+50×0.08+60

×0.02=85+2.2+5.6+5.4+4+4+1.2=107.4，故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；（3）由题知，样本内语文成绩在[130,140)，[140,150]的学生分别有8名和2名，按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在[130,140)的

学生有4名，记为A，B，C，D，在[140,150]的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人语文成绩在[130,140)的有4种：Ae，Be，Ce，De，则这5名学生中随机

选出2人，恰有一人语文成绩在[130,140)的概率为𝑃=410=25.18．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产的每件产品所用原材料的质量𝑚（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计

算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了300件产品，并将得到的数据按如下方式分为9组：[10,15)、[15,20)、⋯、[50

,55]，绘制成如下的频率分布直方图：工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了300件产品.(1)求今年一月份生产的产品长度在[25,40)的件数；(2)现从[25,30)和[30,35)两组产品中以分层抽样的方式抽取7件产品，客户在这7件产品中再随机抽取2件，求这2件产

品在[25,30)和[30,35)两组中各有1件的概率.【解题思路】（1）将产品长度在[25,40)的频率乘以300可得结果；（2）分析可知，在[25,30)的产品有3（件），设编号分别为𝑎、𝑏、𝑐，在[30,35)的产品有4（件），编号分别为𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，列举

出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在[25,40)的有300×(0.03+0.04+0.034)×5=156（件）.（2）由题可知，按分层抽样抽取的7件产品中，在[2

5,30)的产品有0.030.03+0.04×7=3（件），设编号分别为𝑎、𝑏、𝑐在[30,35)的产品有0.040.03+0.04×7=4（件），编号分别为𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，则在7件产品中随机抽取2件

，所有的基本事件有：(𝑎,𝑏)、(𝑎,𝑐)、(𝑎,𝐴)、(𝑎,𝐵)、(𝑎,𝐶)、(𝑎,𝐷)、(𝑏,𝑐)、(𝑏,𝐴)、(𝑏,𝐵)、(𝑏,𝐶)、(𝑏,𝐷)、(𝑐,𝐴)、(𝑐,𝐵)、(𝑐,�

�)、(𝑐,𝐷)、(𝐴,𝐵)、(𝐴,𝐶)、(𝐴,𝐷)、(𝐵,𝐶)、(𝐵,𝐷)、(𝐶,𝐷)，共有21个基本事件，其中事件“抽到的2件产品在[25,30)和[30,35)两组中各有1件”所包含的基本事件有：(𝑎,𝐴)、(𝑎,𝐵)、(𝑎,𝐶)、(𝑎,

𝐷)、(𝑏,𝐴)、(𝑏,𝐵)、(𝑏,𝐶)、(𝑏,𝐷)、(𝑐,𝐴)、(𝑐,𝐵)、(𝑐,𝐶)、(𝑐,𝐷)，共12个基本事件，故所求概率为𝑃=1221=47.19．（2023·全国·高一专题练习）开学初某校

进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在[5

0,60)内的有3人．(1)求n的值；(2)已知抽取的n名参考学生中，在[90,100]的人中，女生有甲、乙两人，现从[90,100]的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．【解题思路】（1）利用直方图可得到成绩在[50,60)内

的频率，结合频数即可求解；（2）先计算出成绩在[90,100]的人数，然后列举出抽取2人的总情况和甲被抽到的情况，利用古典概型进行求解即可【解答过程】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)内的频率为1−(0.0400+0.

0300+0.0125+0.0100)×10=0.075．因为成绩在[50,60)内的频数为3，所以抽取的样本容量𝑛=30.075=40．（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，因为有甲、乙两名女生，所以有两名男

生．用丙，丁表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种．所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为36=12.20．（2021春·四川成都·高二阶段练习）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按

年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)下表是年龄的频率分布表，求正整数a，b的值．区间[25,

30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数5050𝑎150𝑏(2)现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？(3)在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求

至少有1人年龄在第3组的概率．【解题思路】（1）根据频率分布直方图求频率，即可求出𝑎,𝑏的值；（2）利用样本容量比总容量的比例计算即可；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，.分别计算总个数与至少有1

人在第3组的个数，根据古典概型概率公式即可求解.【解答过程】（1）依题意，由频率分布直方图可得，𝑎=0.08×5×500=200，𝑏=0.02×5×500=50.（2）因为第1，2，3组一共有：50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名员工，则每组抽取的人数

分别为：第1组的人数为6×50300=1，第2组的人数为6×50300=1，第3组的人数为6×200300=4，所以年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是1人，1人，4人.（3）设第1组的1位员工为𝐴，第2组的1位员工为𝐵，第3组的4位员工为：𝐶

1,𝐶2,𝐶3,𝐶4,则从6位员工中抽取2人的基本事件有：(𝐴,𝐵),(𝐴,𝐶1),(𝐴,𝐶2),(𝐴,𝐶3),(𝐴,𝐶4)，(𝐵,𝐶1),(𝐵,𝐶2),(𝐵,𝐶3),(𝐵,𝐶4),(𝐶1,𝐶2),(𝐶1,𝐶3),

(𝐶1,𝐶4),(𝐶2,𝐶3),(𝐶2,𝐶4),(𝐶3,𝐶4)，共15种可能，其中2人年龄都不在第3组的有：(𝐴,𝐵)一种可能，所以在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，至少有1人年龄在第3组的概率

为：15−115=1415.21．（2022秋·云南昆明·高二阶段练习）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直

方图中𝑎的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[60

,70)内的概率.【解题思路】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算𝑎，再根据百分位数计算公式计算第50百分位数；（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，(0.006+0.012+0.

018×2+0.021+𝑎)×10=1，则𝑎=0.025，前3组的频率和为(0.006+0.012+0.018)×10=0.36，第4组频率为0.25，所以第50百分位数位于第4组[70,80)内，记第50百分

位数为𝑥，则𝑥−7010=0.5−0.360.25，解得𝑥=75.6，即第50百分位数为75.6；（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40,50),[50,60),[60,70)内的频率分别为0.06,0.12,0.18，采用分层

抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在[40,50)内的有1人，记为𝐴，成绩在[50,60)内的有2人，记为𝐵1､𝐵2，成绩在[60,70)内的有3人，记为𝐶1､𝐶2､𝐶3，则从成绩在[40,70)内的6人随机抽取2人，共有：𝐴𝐵1､𝐴𝐵2､𝐴𝐶1､𝐴𝐶2､𝐴�

�3､𝐵1𝐶1､𝐵1𝐶2､𝐵1𝐶3､𝐵2𝐶1､𝐵2𝐶2､𝐵2𝐶3､𝐶1𝐶2､𝐶1𝐶3､𝐶2𝐶3､𝐵1𝐵2，共有15种，2人中至少有1人成绩在[60,70)内，共有：𝐴𝐶1､𝐴𝐶2､𝐴𝐶3､𝐵1𝐶1､𝐵1𝐶2､𝐵1𝐶3､𝐵2𝐶1､�

�2𝐶2､𝐵2𝐶3､𝐶1𝐶2､𝐶1𝐶3､𝐶2𝐶3，有12种，记事件𝐴=“2人中至少有1人成绩在[60,70)内”，则𝑃(𝐴)=1215=45.22．（2023春·河南·高三阶段练习）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于20

21年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间𝑡min⁄[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60

,72]人数1036341064(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用分层抽样的方法从使用手机时间在[48,60)和[60,72]的两组学生中抽取5人

，再从这5人中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率．【解题思路】（1）将每个区间的中点值乘以对应组的频率，再将所得结果全部相加可得出该校学生每日使用手机的时间的平均数；（2）分析可知抽取的5人在[48,60)组的有3人，记为𝑎、𝑏、𝑐，

在[60,72]组的有2人，记为𝐴、𝐵，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解答过程】（1）解：由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为𝑥=6×10100+18×361

00+30×34100+42×10100+54×6100+66×4100=2736100=27.36(min)．所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36min．（2）解：由分层抽样的方法知，抽取的5人在[48,60)组的有3人，记为𝑎、𝑏、𝑐，在[60,72]组的

有2人，记为𝐴、𝐵，从5人中抽取2人的所有基本事件：𝑎𝑏、𝑎𝑐、𝑎𝐴、𝑎𝐵、𝑏𝑐、𝑏𝐴、𝑏𝐵、𝑐𝐴、𝑐𝐵、𝐴𝐵，共10个，来自不同组的基本事件：𝑎𝐴、𝑎𝐵、𝑏𝐴、𝑏𝐵、𝑐𝐴、𝑐𝐵，共6个，故所求概率𝑃=610=35．23

．（2022秋·广东湛江·高二期中）某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据统计图表提供的信息，解答下

列问题：(1)则参加调查的人数共有__________人；在扇形图中，𝑚=__________；将条形图补充完整；（不需要写过程）(2)该社团计划从篮球､足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰

好是“篮球”和“足球”的概率．【解题思路】（1）首先根据条形统计图与扇形统计图，用喜欢篮球的人数除以它占参加调查人数的百分比，求出参加调查的总人数；然后再扇形图中，利用百分比和为100%，即可求得𝑚的值，然后补充好条形图即可；（2）应用列表法，结

合古典概型求解即可得抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率．【解答过程】（1）因为24040%=600（人），则参加调查的人数共有600人；在扇形图中，10%+40%+20%+𝑚%=100%，所以𝑚=30；将条形图补充完整如下；（2）由题可知，抽取的

两种球类可能为：篮球足球乒乓球篮球/篮球、足球篮球、乒乓球足球足球、篮球/足球、乒乓球乒乓球乒乓球、篮球乒乓球、足球/所以，抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率𝑃=26=13．24．（2023秋·云南·高二期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛于

11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间

掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直

方图如图所示.(1)求样本中数据落在[50,60)的频率(2)求样本数据的第50百分位数；(3)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽

取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组的概率.【解题思路】（1）根据概率和为1即可求解；（2）先判断出第50百分位数落在第四组，套公式求解；（3）利用古典概型的概率公式求解.【解答过程】（1）依题意，样本中数据落在[50,60)的频率为：1

−(0.01×2+0.02×2)×10=0.4（2）样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为50+0.5−(0.1×2+0.2)0.4×10=52.5.（3）[20,30)与[60,70]两组的频率之比为1:2.现从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，则

[20,30)组抽取2人，记为𝑎,𝑏；[60,70]组抽取4人，记为1,2,3,4.所有可能的情况为(𝑎,𝑏)(𝑎,1),(𝑎,2),(𝑎,3),(𝑎,4),(𝑏,1),(𝑏,2),(𝑏,3),(𝑏,

4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共15种.其中至少有1人的年龄在[20,30)的情况有(𝑎,𝑏)(𝑎,1)(𝑎,2)(𝑎,3)(𝑎,4)(𝑏,1

),(𝑏,2)(𝑏,3)(𝑏,4)共9种.记“抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组”为事件A，则𝑃(𝐴)=915=35.25．（2023秋·贵州贵阳·高三期末）在2022年9月贵阳市疫情防控期间，某学校高一学生居家学习，为了解学生的自主

学习状况，随机抽取了该年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）平均每天白主学习时间的数据（单位：分钟），并分组整理得到如下频率分布表：组别分组频数频率𝐴1[180,210)40.1𝐴2[210,240)10s𝐴3[240,27

0)n0.3𝐴4[270,300)80.2𝐴5[300,330]mt(1)学校要进一步研究学生自主学习时间与学业成绩的相关性，在这5组内的40名学生中，用分层抽样的方法再选取20人进行对照研究，求从𝐴5组中抽取的人数；(2)在（1）的条件下，从𝐴1组和𝐴4组所抽取的学生中再随

机抽取两人做一个心理测试，求所抽两人中至少有一人来自于𝐴1组的概率，【解题思路】（1）首先利用分层抽样的特点及表中数据求出𝑠,𝑡,𝑚的值，则可求出从𝐴5组所抽人数；（2）分别求出在从𝐴5和𝐴4组所抽人数，再列出所

有基本事件和满足条件的结果，即可得到概率.【解答过程】（1）由已知得𝑠=1040=0.25,所以𝑡=1−(0.1+0.25+0.3+0.2)=0.15,因此𝑚=40×0.15=6,利用分层抽样,设从𝐴5组所抽人数为𝑥,则有2

040=𝑥6⇒𝑥=3,所以从𝐴5组所抽人数为3.（2）由(1)知,在𝐴1组中抽取的人数为20×0.1=2,在𝐴4组中抽取的人数为20×0.2=4,记从𝐴1组中抽取的学生为𝑎1,𝑎2,从𝐴4组所抽取的学生为𝑏1,𝑏2,𝑏3,𝑏4.从这6人中抽取2人的所有基本事件有:(

𝑎1,𝑎2),(𝑎1,𝑏1),(𝑎1,𝑏2),(𝑎1,𝑏3),(𝑎1,𝑏4),(𝑎2,𝑏1),(𝑎2,𝑏2),(𝑎2,𝑏3),(𝑎2,𝑏4),(𝑏1,𝑏2),(𝑏1,𝑏3)

,(𝑏1,𝑏4),(𝑏2,𝑏3),(𝑏2,𝑏4),(𝑏3,𝑏4)，共有15个基本事件,满足条件的结果为(𝑎1,𝑎2),(𝑎1,𝑏1),(𝑎1,𝑏2),(𝑎1,𝑏3),(𝑎1,𝑏4),(𝑎2,𝑏1

),(𝑎2,𝑏2),(𝑎2,𝑏3),(𝑎2,𝑏4),共有9个基本事件,所以所求概率为:𝑃=915=35,即所抽两人中至少有一人来自于𝐴1组的概率为35.26．（2023·陕西渭南·统考一模）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，

测得其质量如下（单位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为𝑥̅，样本标准差为𝑠.(1)求𝑥̅,𝑠；(2)将质量在区间(𝑥̅−𝑠,𝑥̅+𝑠)内的零件定为一等品.

①估计这台机器生产的零件的一等品率；②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.【解题思路】（1）由平均数、标准差的计算公式求解；（2）由列举法结合概率公式得出①②.【解答过程】

（1）𝑥̅=110(10.5+9.9+9.4+10.7+10.0+9.6+10.8+10.1+9.7+9.3)=110×100=10𝑠2=110[(10.5−10)2+(9.9−10)2+(9.4−10)2+(10.7−10

)2+(10.0−10)2+(9.6−10)2+(10.8−10)2+(10.1−10)2+(9.7−10)2+(9.3−10)2]=110×2.5=0.25，所以𝑠=0.5.（2）①(𝑥̅−𝑠,𝑥̅+𝑠)=(9.5,10.5)，质

量在区间(9.5,10.5)内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为510=12；②从5件一等品中，抽取2件，分别为(9.9,10.0),(9

.9,9.6),(9.9,10.1),(9.9,9.7),(10.0,9.6)，(10.0,10.1),(10.0,9.7),(9.6,10.1),(9.6,9.7),(10.1,9.7)，共10种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：(9.9,10.0

),(9.9,9.6),(9.9,10.1),(9.9,9.7)，(10.0,10.1),(10.0,9.7),(9.6,9.7)共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率𝑃=710.27．（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不

放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果袋中装的是4个红球，𝑛个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为25，那么𝑛是多少？【解题思路】（1）先

求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；（2）结合（1）求解即可；（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.【解答

过程】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90（种）可能，即𝑛(Ω)=90，设事件𝐴=“两次取出的都是红球”，则𝑛(𝐴)=4×3=12，设事件𝐵=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则𝑛(

𝐵)=4×6=24，设事件𝐶=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则𝑛(𝐶)=6×4=24，设事件𝐷=“两次取出的都是绿球”，则𝑛(𝐷)=6×5=30，因为事件𝐴,𝐵,𝐶,𝐷两两互斥，所以P（第二次取到红球）=�

�(𝐴∪𝐶)=12+2490=25.（2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）=𝑃(𝐴∪𝐷)=12+3090=715；（3）结合（1）中事件，可得𝑛(𝐴)=4×3=12，𝑛(Ω)=(𝑛+4)(𝑛+3)，因为�

�(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(Ω)=25，所以𝑛(Ω)=𝑛(𝐴)×52=12×52=30，即(𝑛+4)(𝑛+3)=30，解得𝑛=2（负值舍去），故𝑛=2.28．（2023春·北京海淀·高一开学考试）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达

标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．(1)体育成绩大于或

等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在[40,50)和[60,70)的样本学生中随机抽取

2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60,70)的概率；(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a，b，𝑐∈𝑁．当数据a，b，c的方差𝑠2最小时，写出a，b，c的值（结论不

要求证明）【解题思路】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数；（2）利用列举法求出古典概型的概率；（3）先分析出𝑎=79,𝑐=90，再列出方差𝑠2=

6𝑏2−1014𝑏+43386，由二次函数的对称轴得到当𝑏=84或85时，𝑠2取得最小值.【解答过程】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有40−2−6−2=30人，所以该校高一年级学生中

“体育良好”的学生人数大约为1000×3040=750人；（2）成绩在[40,50)有2名学生，设为1,2；[60,70)有2名学生，设为𝐴,𝐵，故抽取2名学生的情况有：(1,2),(1,𝐴),(1,𝐵),(2,𝐴),(2

,𝐵),(𝐴,𝐵)，共6种情况，其中恰有1人体育成绩在[60,70)的情况有：(1,𝐴),(1,𝐵),(2,𝐴),(2,𝐵)，共4种情况，故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60,70)的概率为�

�=46=23；（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为𝑎,𝑏,𝑐，且分别在[70,80)，[80,90),[90,100]三组中，其中𝑎,𝑏,𝑐∈𝑁，要想数据𝑎,𝑏,𝑐的方差𝑠2最小，则𝑎,𝑏,𝑐三个数据的差的绝对值越小越好，故𝑎=79,

𝑐=90，则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为79+𝑏+903=169+𝑏3，故方差𝑠2=13[(79−169+𝑏3)2+(𝑏−169+𝑏3)2+(90−169+𝑏3)2]=127[(68−𝑏)2+(2𝑏−169)2+(101−𝑏)2]=127(6𝑏2−1014𝑏+4

3386)，对称轴为𝑏=−−101412=84.5，故当𝑏=84或85时，𝑠2取得最小值，𝑎,𝑏,𝑐的值为79，84，90或79，85，90.29．（2023·全国·高三专题练习）如图，以边长为4的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心为原点，构建一个平面直

角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点𝑃的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）．(1)（i）请用列表的方法，表示出点𝑃的坐标的所有可能的结果；（ii）求点�

�在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中（含正方形内部和边界）的概率．(2)试将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点𝑃在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中的概率为13？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由．【解题思路

】（1）（i）用列表法写出点𝑃的坐标的所有可能的结果即可；（ii）由古典概型计算即可得答案；（2）要使点𝑃在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中的概率为13，则需有且只有12个点落在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中（含正方形内部和边界），由此即可写出答案.【解答过程】（1）（i）设𝑃(

𝑥,𝑦)，则点𝑃坐标的所有可能结果如下表所示．（ii）由（i）知构成的点𝑃的坐标共有36种情况，其中在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)这4种情况．∴点𝑃在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中

的概率为436=19．（2）∵点𝑃在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中的概率为13=1236>19，∴只能将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种，∴满足要求的平移方式有两种，一种是将正方形𝐴𝐵�

�𝐷先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度（先向右再向上亦可）；另一种是将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度（先向右再向上亦可）．30．（2022·高一课时练习）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同

的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数

字之和大于5，则获得奖品．(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．【解题思路】（1）根据题意，设三个红球分别为：𝐴1,𝐴2,𝐴3，两个黄球分别为𝐵1,𝐵2，利用列

举法一一列举出来即可得到答案；（2）根据古典概型，分别求出三种方案的概率，即可得出结论【解答过程】（1）记摸到1，2，3号红球分别为𝐴1，𝐴2，𝐴3，摸到4，5号黄球分别为𝐵1，𝐵2，则按方案一一次性抽取2个球的所有样

本点为(𝐴1,𝐴2)，(𝐴1,𝐴3)，(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐴3)，(𝐴2,𝐵1)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐵2)，共10个；按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(

𝐴1,𝐴2)，(𝐴1,𝐴3)，(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐴1)，(𝐴2,𝐴3)，(𝐴2,𝐵1)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐴1)，(𝐴3,𝐴2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐴1)，(𝐵1,𝐴2)，(𝐵1,𝐴

3)，(𝐵1,𝐵2)，(𝐵2,𝐴1)，(𝐵2,𝐴2)，(𝐵2,𝐴3)，(𝐵2,𝐵1)，共20个；（2）方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，则由（1）知事件A包含(𝐴1,𝐴2)，(𝐴1,𝐴3)，(𝐴2,𝐴3

)，(𝐵1,𝐵2)，共4个样本点，故𝑃(𝐴)=410=25；方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，则由（1）知事件B包含(𝐴1,𝐴2)，(𝐴1,𝐴3)，(𝐴2,𝐴1)，(𝐴2,

𝐴3)，(𝐴3,𝐴1)，(𝐴3,𝐴2)，(𝐵1,𝐵2)，(𝐵2,𝐵1)，共8个样本点，故𝑃(𝐵)=820=25；方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为𝑥、𝑦，则所有可能的基本事件对应的二元有序数组(𝑥,𝑦)表示如下表，共25个基本事件，（1，1）（1，2）（1，

3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）在方案三中，设事件C

表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，故𝑃(𝐶)=1525=3

5；因为𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)<𝑃(𝐶)，所以选择方案三获得奖品的可能性更大.