【文档说明】江苏省苏州市八校联盟2021届高三下学期4月第三次适应性考试数学试题 含答案.doc，共(16)页，1.316 MB，由小赞的店铺上传

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2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测数学试卷（满分150分考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|42}Mxx=−，2{|60}Nxxx=−−，则MN=A．

{|43}xx−B．{|42}xx−−C．{|22}xx−D．{|23}xx2．复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足11||21iz−+≤≤，则点Z所在区域的面积A．πB．2πC．3

πD．4π3．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重

多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为A．15.5斤B．16.5斤C．17.5斤D．18.5斤4．设三点A，B，C不共线，则“向量AB与AC夹角是钝角”是“||||ABA

CBC+”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设0.4log0.5x=，1.5log0.5y=，则A．0xyxy+B．0xyxy+C．0xyxy+D．0xyxy+6．已知函数()yfx=的图像如右

图所示，则此函数可能是A．2ee()||2xxfxxx−−=+−B．2ee()||2xxfxxx−−=+−C．3||11||()eexxxxfx−−+=−D．3||11||()eexxxxfx−−−=−(第6题图)7．若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=

Fn-1+Fn-2(n≥3)，则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个

数列的前30项之和最接近（备注：20.6180.38，21.6182.61）A．31万B．51万C．217万D．317万8．平面直角坐标系xoy中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点(6,0),(6,0)AB−，若整点P满足||||4PAPBPAPB

+≤，则点P的个数为A．10B．11C．14D．15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．已知函数2()(sin3cos)fxxx=+，则A．f(x)在区间[0,

]6上递增B．f(x)的图象关于点(,0)3−对称C．f(x)最小正周期为πD．f(x)的值域为[0,4]10．某学校组织知识竞赛，每班组成四人小组参加比赛，比赛采用抢答形式，答对则得5分，否则得0分．高三（10）班由甲、乙、丙、丁四人组队参赛．最后统计结果为：甲、乙、丙、丁

四人得分恰好由高到低排列，且均不相同；甲答对题个数的2倍小于丁答对题个数的3倍，则A．甲至少答对了11道题B．乙至少答对了9道题C．丁至少答对了8道题D．高三（10）班至少获得了170分11．在平面直角坐标系

xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则A．四边形ABCD不可能为平行四边形B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠CC．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA,OB斜率之积恒为─2D．若

△OAC为正三角形，则该三角形的面积为12312．平行六面体ABCD-A1B1C1D1（底面为平行四边形的四棱柱）中，AB=AD=AA1=2，∠A1AB=∠DAB=∠A1AD=600，则A．线段AC1的长度为26B．异面直线BD1、B1C夹角的余弦值为13C．对角面B

B1D1D的面积为43D．四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为42三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点A(─3，1)，则C的标准方程为▲．14．255()()yxxyx++展开式中，82xy的系数为▲．1

5．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出

的优点．另外，由于转子引擎的轴向运转特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如下图所示)．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大

距离为2，则该“莱洛三角形”的面积为▲．16．已知函数211()(243)(ee)21xxfxxxx−−=−+−−+在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=▲．(第15题图)(第19题图)PBACDQ四、解答题

：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中，00=1,90,60BCABCBCD==，075BAD=．（1）若030CBD=，求三角形ABD的面积；（2）若62=2AD−，求CBD的大小．18．（本

小题满分12分）已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数，12a=，23aa+是3a与4a的等差中项．记正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1=1，2(1)(2)nnnTan−=≥．（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；（2）证明：1111()(2)(21)2niiiian

Nbibi+=+−−−−≥．19．（本小题满分12分）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，==2ABPA，0=60ABC，22QCQD==，(0)PQaa=．（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为

平面四边形；（2）当14a=时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．BACD(第17题图)20．（本小题满分12分）某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的

家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；（2）假设2

017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%t(0<t<10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经

过n年脱贫工作后该地区小康户数为na．（i）求1a并写出1na+与na的关系式；（ii）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．0.100.320.300.060.040.18(第20题图)21.（本小题满分12分）已知圆()22+18Exy+=:，点(,0)(0

)Fmm，P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线l与直线EP相交于点Q．（1）若m=2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；（2）若m=1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C．过E点作两条互相垂直的直线12ll、，1l与曲线C交于两点A、B，2l与曲

线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点．试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()exfx=，()singxx=．（1）设函数()()(1)()hxfxxgx=−−，当π,0x−时，求函数()h

x零点的个数；（2）求证：()()1()lngxgxxfxx+−．2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测数学试卷（参考答案）（满分150分考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．B4．C5．A6．B7．C8．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．ACD10．BD11．ABD12

．AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．22188yx−=14．1515．2π23−16．2−四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中，=1,90,60OO

BCABCBCD==，75OBAD=．（1）若030CBD=，求三角形ABD的面积；（2）若62=2AD−，求CBD的大小.【解析】（1）在BCD中，由30C60OOCBDBD==，，可得39

0,2OBDCBD==，000000062sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin304+=+=+=在ABD中，由正弦定理知sinsinADBDABDA=，可得3(62)4AD−=．．．．．．．．．．．2分所以01133(62)9

33sinsin45222416SBDADADB−−===．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由62==1,602OADBCBCD−=，，BACD(第17题图)在ABDBCD、中，由正弦定理知，0622=sinsin75BDABD−，01=sinsin6

0BDBDC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又090ABC=，所以sin∠ABD=cos∠CBD从而有13cos,sin,22BDCBDBDBDC==两式相除可得sin3cosBDCCBD=

．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由000sinsin(18060)sin(60)BDCCBDCBD=−−=+0031sin60coscos60sincossin22CBDCBDCBDC

BD=+=+因此有tan3CBD=，由000180CBD可得060CBD=．．．．．．．．．．10分（延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分）18．（本小题满分12分）已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数，12a=，23aa+是3a与4a

的等差中项．记正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1=1，2(1)(2)nnnTan−=≥．（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；（2）证明：1111()(2)(21)2niiiianNbibi+=+−−−−≥．【

解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由各项为正，故q>0．由于23aa+是3a与4a的等差中项，可得23342()aaaa=++，又a1=2，所以2232(2)222qqqq++=，因此=2q，从而112nnnaqa−==，即an=2n．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．2分由bn>0,b1=1，2212222Tbbb===，．(第19题图)PBACDQ当3n时，12(2)(1)nnnTa−−−=，得12(1)22(1)2(1)(2)2nnnnnnnnTaabT−−−−−===，故

12(3)nnbn−=，b1=1，b2=2均符合上式，所以12nnb−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）11112111(2)(21)(2)(21)22(1)iiiiiiiiabib

iiiii+++−−==−−−−−−−−−+，．．．．．．．6分因此有：2231111111111()()()()(1)2122222322(1)niiinniabibinn+=+−=−+−++−−−−−−−−−−+1112(1)nn+=−−+．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．8分要证不等式成立，即证12(1)2()nnnN++−+由212(2)[2(1)]4210nnnnn++−+−−+=−可得数列1{2(1)}nn+−+递增，．．．10分所以1112(1)2(11)2nn++−

+−+=．由此1111()(2)(21)2niiiianNbibi+=+−−−−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（亦可运用二项式定理证明）19．（本小题满分12分）如图，多面体PQABCD中，四边

形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，==2ABPA，0=60ABC，22QCQD==，(0)PQaa=．（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；（2）当14a=时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．【解析】（1）方法1：设Q在

平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED，所以点E在CD的垂直平分线上．．．．．．．．．．．．2分PBACDQxyzF由ABCD是菱形，且0=60ABC，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F．．．．．4分因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABC

D，所以PA//QE，从而PA，QE共面，因此PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形．．．．．．．．．．．．．6分方法2：证明CD⊥平面AFQ，．．．．．．．．．．．．2分再证明CD⊥平面PAF．．．．．．．．．．．．．4分由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平

面PAF重合．即P、Q、F、A共面，所以PQFA为平面四边形．．．．．．．．．．．．．6分（2）分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，(1,3,0),(0,

3,0),(0,0,2)CFP当14a=时，由7,7PFQF==可得222PFQFPQ+=,所以Q的坐标为(02+33)，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分可求平面PBC的一个法向量为(3,1,3)n=．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分设直线PQ与平面PBC所成角为，则526sincos,14nPQ−==，从而直线PQ与平面PBC所成角的正弦值为52614−．．．．．．．．．．．．．．．

．．．12分FPBACDQ20.（本小题满分12分）某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）将家庭人均年纯收入不足5

000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%t(0<

t<10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n年脱贫工作后该地区小康户数为na．（i）求1a并写出1na+与na的关系式；（ii）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正

整数t的值．【解析】（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在)2000,3000元、)3000,4000元、)4000,5000元、)5000,6000元、)6000,7000元、)7000,8000元的家庭数依次为：

0.04502=户；0.10505=户；0.325016=户；0.305015=户；0.18509=户；0.06503=户；共计50户，(第20题图)其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：251623++=户．················2分若从这50户中再取出10

户调查致贫原因，这10户中含有“特困户”的户数X服从H(10，23，50)的超几何分布，因为当(),,XHnMN时，()=MEXnN，所以()23104.650EX==户；····················

···4分（2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%010tt（）变为"特困户”，所以有（ⅰ）19019001009909100100=−+=−tat·

···············5分()19011000100100+=−+−nnntaaa，即110900(010)100nntaat+−=+····8分（ⅱ）211010900(9909)900100100ttaat−−=+=

−+，由2950a可得()()9909105000tt−−，·················10分记函数()()()990910fttt=−−，其中0t10，因函数()()()990910ftt

t=−−是开口向上的二次函数，且其对称轴为t=60，则函数()()()990910fttt=−−在()0,10上单调递减，又()45724f=，()54725f=，故最大的正整数4t=．·········12分21.（本

小题满分12分）已知圆()22+18Exy+=:，点(,0)(0)Fmm，P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线l与直线EP相交于点Q．（1）若m=2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；（2）若m=1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C．过E点作两条互相垂直的直线12

ll、，1l与曲线C交于两点A、B，2l与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点．试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【解析】（1）m

=2时，点F在圆E外，EF>22．由Q是线段PF的垂直平分线l与直线EP的交点，QP=QF，又点Q在线段PE外，故有QPQE=22−，于是有QFQE=22−，又由EF>22，即QEQFEF−，由双曲线定义知点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线．·····3分（不说

明QEQFEF−扣1分）（2）当=1m时，(1,0),(1,0)EF−，同（1）可得||||22||QFQEEF+=，故Q点的轨迹C是以E，F为左右焦点的椭圆，=1c，又222−=abc，QE+QF=22=2a，22=21ab=

，，故曲线C方程:22+=12xy．·························5分设()()()11122001A,B,Mlxtyxyxyxy=−：，，，，，①当0t=时，直线MN与x轴重合，····················6分②0t由221,+=1,2xtyxy=−

，消去x得()22+2210tyty−−=，因点E在椭圆内，所以有0恒成立，且1222=2tyyt++，120222yytyt+==+，由点()00Mxy，在直线11lxty=−：上，002212xtyt=−=−+即222M+22ttt−

+，因直线12ll，相互垂直，故可设111lxyt=−−：，同理可得2222N2+121tttt−−+，···8分（ⅰ）若22222221ttt−−++，则有21t，此时()()(

)22224222313+221222121+221MNtttttttkttttt+++===−−−++，直线MN方程：则有()222322221ttyxttt−=+++−，化简整理得：()232321tyxt=+

−此时直线MN恒过点203−，．························10分（ⅱ）若22222221ttt−−=++，则有21t=，此时2121MN3333−−−，，，，或2121MN3333，，，

−−−此时直线MN过点203−，；综上可知直线MN恒过定点203−，·····················12分其它解法根据情况酌情给分．22.（本小题满分12分）已知函数()exfx=，()singxx=.（

1）设函数()()()()1hxfxxgx=−−，当π,0x−时，求函数()hx零点的个数；（2）求证：()()()1lngxgxxfxx+−．【解析】（1）由题意可得：()()1sinxhxexx=−−，()()sin1cosxhxexxx=−−−，()()2cos1si

nxhxexxx=−+−，1当,02x−时，0xe，sin0x，()1cos0xx−，()0hx，()hx在,02−上单调递增，…………………………………………2分2当,2x−−时，0xe，cos0x，()1sin

0xx−()0hx，()hx在,2−−上单调递增，又()210,()102hehe−−−=−−−=+，且()hx的图象在,2−−内连续不断，0(,)2x−−使得()00h

x=，且当)0,xx−时，()0hx；当0(,]2xx−时，()0hx，()hx在)0,x−内单调递减，在0(,]2x−内单调递增，综合12可知：()hx在)0,x−内单调递减，在0(,0]x内单调递增，……………4分又()0he−−=，(

)20()1022hxhe−−=−−，()010h=，且()hx的图象在,0−内连续不断，1020(,),(,0)xxxx−使得()()120hxhx==，函数()hx在,0−内零点的个数是2.……………

…………………………6分（2）证明：要证明()()()1lngxgxxfxx+−，即证：sincos1ln0xxxxex+−+即证：sin21ln02xxxex+−+，（*）设()sin22Fxxx=−，则()()2cos222

cos210Fxxx=−=−()Fx在()0,+内单调递减，()()00FxF=，sin22xx所以要证（*）成立，只需证1ln0xxxex+−+…………………………8分（法一）设()1lnxGxxxex=+−+

，则()()()11111xxxGxxexexx+=−++=−又设()1xkxxe=−，()(1)0xkxxe=−+，()kx在()0,+内单调递减，又()()010,110kke==−()0,1t使得()0kt=，即1tte=，ln0tt

+=…………………………10分当()()0,,0xtGx，()Gx单调递增，当()(),,0xtGx+，()Gx单调递减，所以，()()1lntGxGtttet=+−+=0，所以原命题得证.………………12分（法二）设()1xHxex=−−，则()1xHxe=−所以()Hx

在(),0−单调递减，在()0,+单调递增，所以()()00HxH=，1xex+…………………………………………………………………10分lnln1xxexx+++，ln1xxexx++，即

证1ln0xxxex+−+成立所以原命题得证.…………………………………………………………12分