【文档说明】山西省朔州市怀仁市2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.318 MB，由小赞的店铺上传

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怀仁市2022-2023学年度下学期高三第二次调研测试数学第I卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.已知i为虚数单位，复数z满足()1i12iz−=+，则在复平面内复数z对应的点在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【

答案】C【解析】【分析】利用复数的除法，求出复数z，从而可求出对应的点位于的象限．【详解】复数z满足()1i12iz−=+，则()()()()12i1i12i13i1i1i1i22z+++===−+−−+，∴复数对应的点的坐标是13,22−，对应的点

在第二象限.故选：C．2.若集合14,1AxxBxx==，则()RAB=ð（）A.(,1−B.(0,1C.()(,00,1−D.((),01,4−【答案】D【解析】【分析】先根据分式不等式的解法求出集合B，再根据交集和补集的定义即可得解.【详解】由11x

得10xx−，则()100xxx−，解得01x，所以(0,1B=，则(()R,01,B=−+ð，所以()(()R,01,4AB=−ð.故选：D.3.2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载

火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级()dx（单位：dB）与声强x（单位：2W/m）满足()

1210lg10xdx−=.若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为910，则火箭发射时的声强级约为（）A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB【答案】B【解析】【分析】

设人交谈时的声强为1x，从而得到7110x−=，求出火箭发射时的声强为972101010−=，代入解析式求出答案.【详解】设人交谈时的声强为1x，则火箭发射时的声强为9110x，则1125010lg10x−=，解得：7110x−=，则火箭发射时的声强为972101010−=，将其代入

()1210lg10xdx−=中，得：()2212101010lg14010d−==dB，故火箭发射时的声强级约为140dB.故选：B4.已知p：0xy+，q：()()22ln1ln10xxyy++−+−，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】令()2()ln1,Rfxxxx=++,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令()2()ln1,Rfxxxx=++，(0)0f=，且()()22()()ln1ln1ln10fxfxxxxx+−=++++−==，故()

2()ln1fxxx=++为奇函数，0x时，21xx++递增，则()2()ln1fxxx=++也递增，又()fx为奇函数，则()fx在R上递增，pq，若0xy+，则xy−，则()()fxfy−，即()()22ln1ln1xxyy

+++−即()()22ln1ln10xxyy++−+−；pq，若()()22ln1ln10xxyy++−+−，则等价于()()22ln1ln1xxyy+++−，即()()fxfy−，由()fx在R上递增，则xy−，即0xy+，故p是q

的充要条件，故选：C.5.已知0m，0n，且1mn+=，则下列结论正确的个数是（）①122mn++的最小值是4；②sin1nm+恒成立；③22loglog2mn+−恒成立；④222mnnmmn+++的最大值是2313+．A.1个B.2

个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】①利用基本不等式求解判断；②令sin1=+−ynm，得到()sin=−fmmm()0,1m，用导数法判断；③利用基本不等式结合对数运算求解判断；④由()(

)222222122111−−+=+=+++−+−−+nmnnnnmmnnnnnnn，令()()22,0,11−=+−nfnnnn，用导数法求解判断.详解】①11122222224+++++==mn

mnmn,当且仅当122+=mn，即1mn=+，即0,1nm==等号成立，而0n，故错误；②令sin1=+−ynm，因为0m，0n，且1mn+=，所以()sin=−fmmm，()0,1m，则()cos10=−fmm，所以()fm在()0,1上递

减，则()()00=fmf，即sin1nm+，故正确；③因为0m，0n，且1mn+=，所以124+=mnmn，当且仅当12==mm时，等号成立，则22221loglogloglog24+==−

mnnm，故正确；④因为()()222222122111−−+=+=+++−+−−+nmnnnnmmnnnnnnn，【令()()22,0,11−=+−nfnnnn，则()()()()22223,0,11−−=+−nfnnnn，令()0fn=，解得()()230

,1,230,1=−=+nn当023−n时，()0fn，当231−n时，()0fn，所以当23n=−时，222mnnmmn+++取得最大值2313+，故正确．故选：C6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传

教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列

，构成数列na，则该数列的和为（）A.30014B.30016C.33297D.33299【答案】C【解析】【分析】得到6362nan=−，从而得到na为等差数列，首项为1，公差为63，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】由已知可得1na−既能被7整除，又能被9整除，故1na−

能被63整除，所以()1631nan−=−，即6362nan=−，所以()()163162636263nnaann+−=+−−−=，故na为等差数列，首项为1，公差为63，由12023na可得：163622023n−，因为Nn，所以133n，Nn，故该数列的和为33

323363332972+=.故选：C7.已知1F，2F为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点，且12π3FMF=，1e，2e分别为

曲线1C，2C的离心率，则12ee的最小值为（）A.32B.3C.1D.12【答案】A【解析】【分析】由题可得112212MFaaMFaa=+=−，在12MFF△中，由余弦定理得2221212122cos3FFMFMFMFMF=+−

，结合基本不等式得22212124323caaaa=+，即可解决.【详解】由题知，1F，2F为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点

，且123FMF=，1e，2e分别为曲线1C，2C的离心率，假设12MFMF，所以由椭圆，双曲线定义得12112222MFMFaMFMFa+=−=，解得112212MFaaMFaa=+=−，所以在12MFF△中，122FFc=，由余弦定理得222121212π2

cos3FFMFMFMFMF=+−，即()()()()22212121212π42cos3caaaaaaaa=++−−+−，化简得2221243=+caa，因为22212124323caaaa=+，所以21223342caa=，即1232ee，当且

仅当123aa=时，取等号，故选：A8.若2ln1.01,,1.021201abc===−，则（）A.abcB.bacC.bcaD.cba【答案】B【解析】【分析】由于ln1.01ln(10.01),1.02110.0121ac==

+=−=+−，故构造函数()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++，利用导数判断其单调性，可比较,ac的大小，根据()20.01ln10.01,20.01ab=+=+，构造函数2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+，判断其单调性，可比较,ab大小，由此可得答案.【详解】由于l

n1.01ln(10.01),1.02110.0121ac==+=−=+−，故设函数()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++，则1112(1)()112(1)12xxfxxxxx+−+=−=++++，0x，由于222(12)(1)0xxx+−+=−，所以22(12)(1)

xx++，即12(1)0xx+−+，即()0fx，故()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++为单调递减函数，故()(0)0fxf=，即ln(1)121,(0)xxx++−，令0.01x=，则ln(10.01)

120.011++−，即ac；又220.01ln1.01ln(10.01),20120.01ab==+==+，令2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+，则22214()0,(0)1(2)(1)(2)xgxxxxx

x=−=++++，即2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+为单调递增函数，故()(0)0gxg=，即2ln(1),(0)2xxxx++，令0.01x=，则20.012ln1.0120.01201=+，即ab，故bac

，故选：B【点睛】关键点点睛：此类比较数的大小的题目类型，一般是要构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，关键是要能对数的特征进行变化，根据数的特征选定自变量，从而构造函数.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，

有选错的得0分，部分选对的得2分.9.定义在R上的奇函数()fx满足()()3fxfx−=−，当0,3x时，()23fxxx=−，则下列结论正确的是（）A.()()6fxfx+=B.6,3x−−时，()236fxxx=−−C.()()()202120

232022fff+=D.()202312kfk==【答案】AC【解析】【分析】根据函数的满足()()3fxfx−=−，可确定函数的周期性，从而可判断A；结合周期性由0,3x时的解析式即可得6,3x−−时的解析式，从而可判断B；根据

函数周期性与对称性即可判断C，D.【详解】因为函数()fx的()()3fxfx−=−，所以()()3fxfx=−+，则()()33fxfx−=+，故函数()fx的周期为6，所以()()6fxfx+=，故A正确；又当0,3x时，()23fxxx=−，则当

6,3x−−时，60,3x+，()()()()226636918fxfxxxxx=+=+−+=++，故B不正确；由周期可得()()()()()()20211,20231,20220ffffff=−==，又函数()fx是R上的

奇函数()()fxfx=−−，所以()()()00,11fff==−−，即()()()110fff+−=，所以()()()202120232022fff+=，故C正确；当0,3x时，()23fxxx=−，所以()()()12,22,30fff=−=−

=，又因为()()fxfx=−−，所以()()()()()()4422,5512ffffff=−−=−==−−=−=，()()600ff==，则()()()()()()1234560ffffff+++++=，所以()()()20236113371337

022kkfkfkf===+=−=−，故D不正确.故选：AC.10.已知函数()2sincossin2fxxxx=++，则（）A.函数()yfx=的最小正周期为2πB.π4x=−为函数()yfx=的一条对称轴C.函数

()fx在ππ,42上单调递减D.函数()fx的最小值为1，最大值为3【答案】BC【解析】【分析】利用函数的周期性可判断A选项；利用函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用周期性和对称性可知，只需求出函数()fx在ππ,44−

上的最大值和最小值即可，结合正弦型函数的单调性可求得()fx的最大值和最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，xR，()()()()π2sinπcosπsin2πfxxxx+=+++++()()2sincossin22π2sincossin2xxxxxxfx

=−−++=++=，所以，函数()fx的最小正周期不是2π，A错；对于B选项，ππππ2sincossin22222fxxxx−−=−−+−−+−−()()2cossinsinπ22sincoss

in2xxxxxxfx=−−+−−=++=，所以，直线π4x=−为函数()yfx=的一条对称轴，B对；对于C选项，当ππ,42x时，ππ3π244x+，π2π2x，则()ππ22sinsin2

22sinsin244fxxxxx=++=++，因为函数π22sin4yx=+、sin2yx=在ππ,42上均为减函数，所以，函数()fx在ππ,42上单调递减，C对；对于D选项，由

AB选项可知，函数()fx为周期函数，且π是该函数的一个周期，并且函数()fx的图象关于直线π4x=−对称，要求函数()fx的最大值和最小值，只需求函数()fx在区间ππ,44−上的最大值和最小值，当ππ44x−时，ππ042x+，ππ222x−，则π0sin14

x+，所以，()π22sinsin24fxxx=++，因为函数π22sin4yx=+、sin2yx=在ππ,44−上均为增函数，故函数()fx在ππ,44−上为增函数，所以，()maxπππ22s

insin221422fxf==+=+，()minππ22sin0sin142fxf=−=+−=−，所以，函数()fx的最大值为221+，最小值为1−，D错.故选：BC.11.已知抛物线C：22(0)ypxp=

过点()1,2,M是C准线l上的一点，F为抛物线焦点，过M作C的切线,MAMB，与抛物线分别切于AB､，则（）A.C的准线方程是1x=−B.2||MFFAFB=C.2||AMAFAB=D.0MAMB【答案】ABC【

解析】【分析】根据抛物线过的点，确定p的值，求得抛物线方程以及准线，判断A;设切线方程为(1),0ykxmk=++,利用判别式可得1212,1kkmkk+=−=−，判断D;再证明,,ABF三点共线，以及证明MFAB⊥，即可判断BC

.【详解】由抛物线C：22(0)ypxp=过点()1,2，可得42,2pp==，即24yx=，设焦点为,(10)FF，,则C的准线方程是12px=−=−，A正确；设点(1,)Mm−，先考虑0m情况，则过

点M作C的切线,MAMB，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为(1),0ykxmk=++，联立24yx=，可得24440myykk−++=，则21616(1)0mkk=−+=，即210kmk+−=，240m=+，

设,MAMB的斜率分别为12,kk，则1212,1kkmkk+=−=−，即MAMB⊥，即0MAMB=，D错误；设1122(,),(,)AxyBxy，不妨设A在第一象限，B在第四象限，则11222,2yxyx==−，由于2

4yx=，对于曲线在第一象限内部分有12,yxyx==,则111kx=，对于曲线在第四象限内部分有12,yxyx=−=−,则221kx=−，由于121kk=−，故121211(1xxxx−=−=）1,，则()21212121616,

4yyxxyy===−，由于0m，故AB斜率一定存在，设直线AB的方程为yuxv=+，联立24yx=，得2440vyyuu−+=，故121244,4,vyyyyuvuu+===−=−，则直线AB的方程为(1)yuxuux=−=−，即直线AB过定点(1

,0)F，所以,,AFB三点共线，由于12121212122442221122ABkkkuyykkmmxxkk−=======++−−+，2MFmk=−，故1,ABMFkkMFAB=−⊥,在RtAMB△中，MF

BAFMAMB∽∽VVV,则2||MFFAFB=，2||AMAFAB=，当0m=时，即(1,0)M−,,AB关于x轴对称，12120,1kkkk+==−，0MAMB=成立；此时AB斜率不存在，不妨取121

,1kk==−，则:1,:1MAyxMByx=+=−−，联立24yx=，解得(1,2),(12)AB−，,则AB过定点(1,0)，且MFAB⊥,则2||MFFAFB=，2||AMAFAB=成立，综合上述，BC正确，故选：ABC【点睛】关键点

点睛：解决此类关于直线和抛物线的位置关系类题目，要注意设直线方程，并联立抛物线方程，得根与系数的关系，然后化简，这是解决这类问题的一般解决方法，解答此题的关键在于要注意到证明直线AB过定点(1,0)F，即,,AFB三点共线，然后证明MFAB⊥.12.如图

，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，若点M在线段1BC上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（）A.直线1AM可能与平面1ACD相交B.三棱锥AMCD−与三棱锥1DMCD−的体积之和为定值C.当1

CMMD⊥时，CM与平面1ACD所成角最大D.当AMC的周长最小时，三棱锥11MCBD−的外接球表面积为16【答案】BCD【解析】【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A；B.利用等体积转化，可判断B；C

.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C；D.首先确定点M的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.【详解】A.如图，11//ACAC，且11AC平面1ACD，AC平面1A

CD，所以11//AC平面1ACD，同理1//BC平面1ACD，且11AC平面11ABC，1BC平面11ABC，且1111ACBCC?，所以平面11//ABC平面1ACD，且1AM平面11ABC，所以1//AM平面1ACD，故A错误；B.如图

，过点M作MEBC⊥于点E，1MFCC⊥于点F，根据面面垂直的性质定理可知，ME⊥平面ACD，MF⊥平面1DCD，2MEMFBEECBC+=+==，11AMCDDMCDMACDMDCDVVVV−−−−+=+()1111333ACDDCDACDSMESMFSMEMF=+=+1

14222323==.故B正确；C.因为11DC⊥平面1BCC，MC平面1BCC，所以11DCMC⊥，且1MDMC⊥，且1111DCDMD=，11DC平面11DCM，1DM平面11DCM，所以MC⊥平面11DCM，且1MC平面11DCM，所以1CMMC⊥，即1CMBC⊥，点M是

1BC的中点，此时线段MC最短，又因为11//BCAD，且1BC平面1ACD，1AD平面1ACD，所以1//BC平面1ACD，即1BC上任何一个点到平面1ACD的距离相等，设为h，设CM与平面1ACD所成角为，0,2，sinhMC=,当1CMMD⊥时，线段M

C最短，所以此时sin最大，所以最大，故C正确；D.AMC的周长为AMMCAC++，AC为定值，即AMMC+最小时，AMC的周长最小，如图，将平面1BCC展成与平面11ABCD同一平面，当点,,AMC共线时，此时AMMC+最小，作CNAB⊥，垂

足为N，2222BMABBMCNAN==+，解得：222=−BM，如图，以点D原点，建立空间直角坐标系，()0,2,0C,()2,2,22M−，连结1AC，1AC⊥平面11CBD，且经过11CBD的中心，所以三棱锥11MCBD−外接球的球心在1AC上，设球心(),2,2Oaaa−−，则O

COM=,即()()()()()222222222222222aaaaaa+−−+−=−+−−+−−+，解得：0a=，224ROC==，所以外接球的表面积2416SR==，故D正确.为附：证明1A

C⊥平面11CBD，因为AB⊥平面1BCC，1BC平面1BCC，所以1ABBC⊥，又因为11BCBC⊥，且1ABBCB=I，AB平面1ABC，1BC平面1ABC，所以1BC⊥平面1ABC,1AC平面1ABC，所以11BCAC⊥，同理

111BDAC⊥，且1111BCBDB=，所以1AC⊥平面11CBD，且三棱锥111CCBD−是正三棱锥，所以1AC经过11CBD的中心.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四

个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知()3nx−展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．【答案】4【解析】【分

析】先求出n，再求出()3nx−展开式通项，知当0246k=，，，时，展开式中系数为有理数，即可求出展开式中系数为有理数的项的个数.【详解】依题意，知62642==n，6n=，则展开式的第1k+项为()()()662166313kkkkk

kkkTCxCx−−+=−=−()016k=，，，，的当0246k=，，，时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为4.故答案为：4.14.已知向量a，b满足1a=，()1,3b=，()23aab+=，则向量a与b

的夹角为______.【答案】3【解析】【分析】由()23aab+=和1a=，求得1ab=，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由()23aab+=，可得23aaab+=，因为1a=，所以1ab=，又由()1,3b=，所以2b=，设向量a与b的夹角为，则1cos2abθab

==，所以3=.故答案为：3.15.已知函数()eexxfx−=−所有满足()()10fmfn+−=的点(),mn中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）【答案】2212

xy+=(答案不唯一，与直线1xy+=相切即可)【解析】【分析】分析()fx的奇偶性和单调性，可知若()()10fmfn+−=成立，只需1mn=−即可，即点(),mn在直线1xy+=上，若有且只有一个点满足在圆C上，只需直线1xy+=与圆C相切即可，写出圆心坐标，根据点到直线

的距离公式求出半径，写出圆的方程即可.【详解】解：因为()()eexxxfxf−−==−−，xR，所以()fx为奇函数，因为()ee0xxfx−=+，所以()fx在R上单调递增，因为()()10fmfn+−=

，即()()1fmfn=−−，即()()1fmfn=−，因为()fx单调，所以有1mn=−，即1mn+=，所以(),mn在直线1xy+=上，因为直线1xy+=与圆C有且只有一个共同的点，只需直线1xy+=

与圆C相切即可，若圆C的圆心为()0,0，则12211r==+，此时圆的方程为2212xy+=故答案为：2212xy+=(答案不唯一，与直线1xy+=相切即可)16.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长

可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向

外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.【答案】①.143n−

②.1834559n−−【解析】【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.【详解】记第n个图形为nP，三角形边长为na，边数nb，周长为nL，面积为nS1P有1b条边，边

长1a；2P有214bb=条边，边长2113=aa；3P有2314bb=条边，边长23113aa=；L分析可知113nnaa−=，即113nnaa=；14nnbb−=，即114nnbb−=当第1个图中的三角形的周长为1

时，即11a=，13b=所以11143433nnnnnnLab−−===由图形可知nP是在1nP−每条边上生成一个小三角形，即21134nnnnSSba−−+=即21143nnnnSSab−−−=，212

1243nnnnSSab−−−−−=，L，2212143SSab=−利用累加法可得()22211112243nnnnnSSababab−−−=−+++数列na是以13为公比的等比数列，数列nb是以4为公比

的等比数列，故21nnab−是以49为公比的等比数列，当第1个图中的三角形的面积为1时，11S=，即21314a=，此时21433a=，224327a=，1P有13b=条边，则1122222211112449945113941nnnnnnabababab−−−−−

−−+++==−所以1131459nnSS−−−=，所以1834559nnS−=−故答案为：143n−，1

834559n−−【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由na与nS的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到

数，构造新数列法.四､解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的首项11a=，记na的前n项和为nS，4232140Saa−+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若数

列na公差1d，令212nnnnnacaa++=，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−或23nan=−+（2）11(21)2nnTn−+=【解析】【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解

；（2）根据题意可得21nan=−，12311(21)(21)2(21)2(21)2nnnnncnnnn−+==−−+−+，利用裂项相消法求和【小问1详解】由题意可得：423111214462()(2)14462(1)

(21)140Saaaddadaddd−+=+−+++=+−+++=，整理得24d=，则2d=可得()12121nann=+−=−或()12123nann=−−=−+，故21nan=−或23nan=−+.【小问2详解】∵1d，由（1）可得2,21nda

n==−，则12311(21)(21)2(21)2(21)2nnnnncnnnn−+==−−+−+，故1231121111111323252(21)2(21)1(2)2211nnnnnnTccccnn−=+++=−+−++−=−+

−+LL所以11(21)2nnTn−+=.18.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,,tantan3coscabcbAbBA+=（1）求角B；（2）茬D是边AC上的点，且33,AD

DCAABD====，求sin的值.【答案】（1）π6B=；（2）1313.【解析】【分析】（1）把给定等式切化弦，利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答.（2）根据给定条件，求出BD，在ABC和BDC中分别利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【小问1详解

】在ABC中，由tantan3coscbAbBA+=得：sinsincoscos3cosABcABbA+=，由正弦定理得：sin()sincoscos3sincosABCABBA+=，而sin()sin(π)sinABCC+=−=，即有sinsincos

cos3sincosCCABBA=，又()0,πC，即sin0C，则3sincosBB=，有3tan3B=，又(0,π)B，所以π6B=.【小问2详解】因为D是AC边上的点，且33,ADDCAABD====，于是2,

3,1,4BDCADBDDCAC=====，如图，在ABC中，由正弦定理得：sinsinBCACABC=，即4sin8sinπsin6BC==，在BDC中，由余弦定理得：2222cos2106cos2BCBDCDBDCD=+−=−，则有2264sin106(12sin)

=−−，整理得252sin4=，解得：21sin13=，而π(0,)2，所以13sin13=.19.如图，在三棱台111ABCABC-中，底面ABC为等边三角形，1AA⊥平面ABC，111222ACAAAC===，且D为AC的中点.（1）求证：平面1AB

C⊥平面1ABD；（2）求平面1ABD与平面11BBCC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【小问1详解】因为1AA⊥平面ABC，BD平面ABC，所以1AABD⊥，又ABC为等边三角形，D为AC的中点，所以BDAC⊥，又1AAACA=，1,AAAC平面

11AACC，所以BD⊥平面11AACC，又1AC平面11AACC，所以1BDAC⊥.在直角梯形11AACC中，11122ACAAAC==所以11ACAD⊥，又1BDADD=，1,BDAD平面1ABD，所

以1AC⊥平面1ABD，又1AC平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面1ABD.【小问2详解】由（1）知DB，DC，1DC两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DB，DC，1DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0A−，()3,0,0B，()0,1

,0C，()10,1,1A−，()10,0,1C，所以()10,1,1DA=−，()3,0,0DB=设平面1ABD的法向量为(),,mxyz=，由100mDAmDB==得030yzx−+==所以平面1ABD的一

个法向量为()0,1,1m=设平面11BBCC的法向量为()000,,nxyz=，因为()3,1,0BC=−，()10,1,1CC=−，由100nBCnCC==得0000300xyyz−+=−

=所以平面11BBCC的一个法向量为()1,3,3n=设平面1ABD与平面11BBCC夹角，则2342coscos,727mnmnmn====，由图象可得平面1ABD与平面11BBCC夹角为锐角，所以42cos7=.20.2022年河南､陕西､山西､四川､云南､宁

夏､青海､内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文､数学､外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高

中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.（1）若按照“3+1+2

”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试､满分450分，并给前640名颁发荣

誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生

乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.附：()0.6827PX−+，()220.9545PX−

+，()330.9973PX−+.【答案】（1）14（2）①甲同学能够获得荣誉证书，理由见解析；②答案见解析【解析】【分析】（1）根据排列组合计算个数，利用古典概型的概率公式即可求解，（2）①根据210=以及910.022754000=可得()20.02275PX+≥，进

而得σ=40，即可利用正态分布的概率计算前640名学生成绩的最低分，由此可判断甲同学是否获奖，②利用正态分布可得3240360420425+=+=，即可根据统计学中的3原则进行判断.【小问1详解】设事件A：选出六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，从物理､历

史里选一门，生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门的方案有1224CC12=种等可能情况，事件A即从剩余生物学､思想政治､化学三个科目中选择一个有13C3=种等可能情况，所以()131224C31CC124PA===.【小问2详

解】的设此次网络测试的成绩()2~,XN.①由题意可知210=，因为910.022754000=，且()12210.95450.0227522PX−−+−=≤≤，即()20.02275PX

+≥，2290+=，所以290210402−==.而6400.164000=，()()110.68270.158650.1622PXPX−−+−+==≤≤≥，所以前640名学生成绩的最低分低于21

040250+=+=，而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）若考生乙所说为真，则240=，()()12210.954520.0227522PXPX−−+−+

==≤≤≥，而910.022754000=，所以360240602−==，从而3240360420425+=+=.理由1：根据统计学中的3原则，即认为3X+为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所

以可认为乙同学所说为假.理由2：()()13310.997330.0013522PXPX−−+−+==≤≤≥，4000名学生中成绩大于420分约有40000.001355.4=人，这说明4000名考生中，也会

出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.21.已知圆E：()22224xy++=，动圆N过点()2,0F且与圆E相切，记动圆圆心N的轨迹为曲

线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点()2,0F的直线m交椭圆C于点M､N，且满足86tan3MENEMEN=（E为圆E的圆心），求直线m的方程.的【答案】（1）22162xy+=（2）320xy++=、320xy−+=或2x=【解析】【分析】（1）利用

动圆与圆E内切的关系，分别表示NE、NF，再结合椭圆的定义，即可确定轨迹方程；（2）将条件86tan3MENEMEN=转换成EMNS△通过设出直线m的方程，联立方程，分别表示选弦长、点到直线的距离来把面积表示出来，从而求解出直线方程，注意考虑直线斜率存在与

不存在两种情况.【小问1详解】因为点()2,0F在圆()22:224Exy++=内，所以，圆N内切于圆E，设圆N的半径为r，则26NErNFr=−=，26NENFEF+=，所以N点的轨迹是以E､F为焦点长轴长为26的椭圆，设椭圆

方程为：22221(0)xyabab+=＞＞，则6a=，2c=，从而2b=，故点N的轨迹C的方程为22162xy+=.【小问2详解】①当直线m的斜率存在时，设():2mykx=−，()11,Mxy､()22,Nxy代入22162xy+=整理得()222231121260kx

kxk+−+−=，则21221231kxxk+=+，212212631kxxk−=+.所以，()()2222121212226111431kMNkxxkxxxxk+=+−=++−=+.点E到直线m的距离241kdk=+.因为cos3cos86sinM

ENEMENMENMEN=，所以，84sin6633EMNEMENMENS==.而12MNSMNd=△E，638MNd=，即()2222618631314kkkk+=++，解得33k=，此时()

3:23myx=+；②当直线m的斜率不存在时，:2mx=，直线m交椭圆于点62,3M､62,3N−.也有86tan=3MENEMEN经检验，上述直线m均满足0EMEN.综上：直线m的方程为320xy++=、320xy−+=或2x=

.22.设函数()()()()e1ln11xfxaxaxax=−−−++.（e为自然常数）（1）当1a=时，求()()exFxfx=−的单调区间；（2）若()fx在区间1,1e上单调递增，求实数a的取值范

围.【答案】（1）单调递增区间为(e1,)++，单调递减区间为(1,e1)+（2）(e,e1+【解析】【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；（2）先根据定义域得到ea，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围.【小问1详解】当1a=时，()e()(1)

ln(1)2xFxfxxxx=−=−−−，定义域为(1,)+，()ln(1)1Fxx=−−，令()0Fx，解得：e1x+，令()0Fx，解得：1e1x+，故此时()Fx的单调递增区间为(e1,)++，单

调递减区间为(1,e1)+.【小问2详解】()fx在区间1,1e上有意义，故10ax−在1,1e上恒成立，可得ea，依题意可得：()eln(1)10xfxaax=−−+在1,1e上恒成立，设()()eln(1)1xgxfxaax==−−+，2(

)e1xagxax=−−，易知()gx在1,1e上单调递增，故2()(1)e01agxga=−−，故()()eln(1)1xgxfxaax==−−+在1,1e上单调递减，最小值为(1)g，故

只需(1)eln(1)10gaa=−−+，设()eln(1)1haaa=−−+，其中ea，由()01ahaa=−−可得：()eln(1)1haaa=−−+在(e,)+上为减函数，又(e1)0h+=，故1ae+.综上所

述：a的取值范围为(e,e1+.【点睛】已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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