【文档说明】浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，975.481 KB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期温州十校联合体期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸

.选择题部分一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合123235MN==，，，，，，则MN=（）A.{2，3}B.{1，2，3，5}C.{1，2，5}D.{1，5}

【答案】B【解析】【分析】依据并集的定义去求MN即可解决.【详解】1232351235MN==，，，，，，，故选：B2.“1x”是“2x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由1x推不出2x，反之，由2x可以推出1x，即可得答案.【详解】由1x推不出2x，反之，由2x可以推出1x所以“1x”是“2x”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.3.已知角α的

顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（35，45−），则()()sincosa−++的值是（）A.15B.15−C.75D.75−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简所求

的表达式，通过三角函数的定义求解即可．【详解】解：因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P−，所以3cos5=，4sin5=−，所以()()437sincossinco

s555aa−++=−=−−=−，故选：D.4.设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（）①//////}acabbc②////}abab③//}aabb⊥⊥④}aa⊥⊥⑤}//aa⊥

⊥A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】依据平行公理可知①判断正确；依据线面平行判定定理否定②；依据线面垂直性质定理可知③判断正确；依据面面平行判定定理否定④；依据面面平行判定定理可知⑤判断正确.

【详解】①//////}acabbc.判断正确；②////}abab或a.判断错误；③//}aabb⊥⊥.判断正确；④}//aa⊥或a或a与相交.判断错误；⑤}//aa⊥⊥.判断正确；综上，推导正确的3个

故选：C5.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A.ππ2sin1306ht=−+B.π

π2sin1303ht=−+C.ππ2sin1306ht=++D.ππ2sin1606ht=−+【答案】A【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P距离水面的高度h（

米）与t（秒）的一个函数解析式为()πsin(00)2hAtBA=++，，由31ABAB+=−+=−，可得21AB==，由2π60T==，可得π30=由t=0时h=0，可得2sin10+=，则1sin2=−，又π2，则π6=−则点P距离水面的高度h（米）与

t（秒）的一个函数解析式为ππ2sin1306ht=−+故选：A6.下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为ˆˆ27ybx=+，则据此模型预计30C时卖出奶茶的杯数为（）气温x/℃51015202

5杯数y2620161414A.9B.10C.11D.12【答案】A【解析】【分析】先求得ˆb的值，再据此模型计算出30C时卖出奶茶的杯数.【详解】1(510152025)155x=++++=，1(2620161414)185y=++++=由ˆ181527b=+，可得3ˆ5b=−

，则3ˆ302795y=−+=则据此模型预计30C时卖出奶茶的杯数为9故选：A7.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，3120ADBAD==，，则△ABC的面积为（）A.53B.73C.103D.203【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求si

nABC的值，进而可求得△ABC的面积.【详解】由2222cos120BDADABADAB=+−，可得222733ABAB=++，解之得5AB=或8AB=−（舍）则22257313cos25714ABD+−==，又()0,πABD，则2133sin131414ABD=−=

则π33113343sinsin31421427ABCABD=+=+=则△ABC的面积为157sin1032ABC=故选：C8.如图，在直角梯形ABCD中，//ABCD

，ADAB⊥，4ABAD==，2CD=，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若BPBMBC=+，且21+=，则PMPC的最小值是（）A.7−B.2−C.1−D.0【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出对应的点的坐标与向量的坐标，代入数量积公式计算.【详解】建立如

图所示的直角坐标系，设()(),04Pxyx，则()()()()()0,0,4,0,2,4,0,4,0,2ABCDM，所以()()()4,,4,2,2,4BPxyBMBC=−=−=−，因为BPBMBC=+，所以44224xy−=−−=+，将21

+=代入上式，可得2y=，所以()(),203Pxx，又()(),0,2,2PMxPCx=−=−，所以()()22203PMPCxxxxx=−−=−，当1x=时，PMPC的最小值为1−.故选：C【点睛】计算向量的数量积

时，如果不能直接利用定义求解，可通过建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列计

算正确的是（）A.21422=B.lg2lg51+=C.2ln3e6=D.234log3?log4?log83=【答案】ABD【解析】【分析】根据指对数的运算可得答案.【详解】21412222=

=，lg2lg5lg101+==，2ln3ln9ee9==，2342lg3lg4lg8lg8log3?log4?log8log83lg2lg3lg4lg2====，故选：ABD10.如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，下列判断正确的是（）A.AC∥FHB.BG与FH所成的

角为60C.二面角G—AB—C的大小为45D.B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点【答案】BCD【解析】【分析】将表面展开图还原为正方体，然后逐项分析即可得出答案.【详解】还原为正方体如图：易得AC与FH为异面直线，故A错误

；连接,BDDG，因为//HDBF，HDBF=，所以四边形BDHF为平行四边形，故//HFBD，故DBG或其补角为异面直线,BGFH的夹角，设正方体的棱长为a，则2BDDGBGa===，所以60DBG=，所以异面直线BG与FH的角为60，故B正确；因为平面GAB平面ABCAB=，

由于AB⊥平面BCGF，所以,ABBGABBC⊥⊥，故GBC为二面角GABC−−的平面角，由于90BCG=，且BCCG=，所以45GBC=，因此二面角GABC−−的大小为45，故C正确；因为2BEBGGEDEDBDGa======，所以,,,BDEG恰好是一个正四面体的四个顶点，故

D正确.故选：BCD.11.下列结论正确的是（）A.若随机变量(0,1)XN，则()()11PxPx−=B.已知随机变量X，Y满足28XY+=，若(10,0.6)XB，则()()1,1.2EYDY==C.某中学志

愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D.三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品

率依次为6%、5%、4%，将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953【答案】AD【解析】【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.【详解】(

0,1)XN，则正态曲线关于0x=对称，而1,1xx−是关于0x=对称的两个区间，于是()()11PxPx−=，A选项正确；由二项分布的期望方差公式，()100.66EX==，()100.60.42.4DX==，而28XY+=，于是1()4()12EYEX=−=，1()()

0.64DYDX==，B选项错误；由选项可得，所求的概率为：21346431013CCCC+=，C选项错误；根据选项可得，合格品的概率为：0.20.940.30.950.50.960.953++=，D选项正确.故选：AD12.已知00ab

，，且1ab+=，则（）A.ab的最大值为14B.12ab+的最小值为322+C.22ab+的最小值为12D.()()121ab++的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为00ab，，且1ab+=，A.2124abab+=

，当且仅当12ab==时，等号成立，故正确；B.()121222332322babaababababab+=++=+++=+，当且仅当2baab=，即21,22ab=−=−时，等号成立，故正确；C.()222122abab++=，

当且仅当ab=时，等号成立，故正确；D.()()()()()223112512122212228ababab++++=++=，当且仅当2221ab+=+，即13,44ab==时，等号成立，

故错误；故选：ABC非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若复数z满足()12ii3z+−=（i是虚数单位），则z=___________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可求得结果.详解】由

已知可得()()()()3i12i3i55i1i12i12i12i5z+−+−====−++−，因此，()22112z=+−=.故答案为：2.14.在72()xx+的展开式中1x−的系数为___________.【答案】28

0【解析】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项即可计算指定项的系数.【详解】二项式72()xx+的展开式通项为377721772C()()2C,N,7rrrrrrrTxxrrx−+−−+==，【由3712r−+=−解得4r=，3411572

C280Txx−−==，所以展开式中1x−的系数为280.故答案：28015.从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.【答案】

2880【解析】【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有3245CC种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排列，有1434AA种方法，由分步乘法计数原理得：32144534CCAA4103242880==

，所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.故答案为：288016.已知函数()222219afxxmmaxxx=++−+−−对任意mR和任意1,22x都有()2fx恒成立，则

实数a的取值范围是___________.【答案】13(,25][,2−+）【解析】【分析】将()fx化为关于m的二次式子，利用判别式可将不等式化为222419axaxxx−++−对任意1,22x恒成立，令1txx=+，可化为min5att+或m

ax9att+，即可求出.【详解】()22222222119292aafxxxmmmaxmaxxxxx=+++−++++−++2222222119922aaxaxxaxxxxmxm=+++++++−++

，因为对任意mR和任意1,22x都有()2fx恒成立，为所以222222248011992aaxaxxaxxxxx++++++++−−

对任意1,22x恒成立，整理可得222419axaxxx−++−对任意1,22x恒成立，即22192axaxxx++−−−或22192axaxxx++−−，对任意1,22x恒成立，即22171xxaxx

+++或221111xxaxx+++对任意1,22x恒成立，令1txx=+，则52,2t，则5att+或9att+对任意52,2t恒成立，所以min5att+或max9att+，因为525tt+，当且仅当5tt=，即

5t=时等号成立，所以min525tt+=，又9ytt=+在52,2t单调递减，所以max9913222tt+=+=，所以25a或132a.故答案为：13(,25][,2−+）.四、解答题（本题共6小

题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，已知向量()()(3,1cos,sin0,abxxx==−），，（1）若//ab，求x的值；（2）若a与b夹角为3，求x的值.【答案】（1）56x=（2）6x=【解析】【分析

】（1）根据//ab，由3sincosxx−=求解；（2）根据a与b夹角为3，得到3cossin1xx−=求解.【小问1详解】解：因为//ab，所以3sincosxx−=，∴3tan3x=−.又()0,x，∴56x=；【小问2详解】因为3cossin1cos,22||

|abxxabab−===，∴3cossin1xx−=，2cos16x+=∴，则1cos62x+=，又0πx，∴7666x+，∴636xx+==，.18.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国

内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如

下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概

率；【答案】（1）0.035a=；众数40、中位数42.1，平均数41.5（2）715【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；（2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.【小问1详解】由题意得

：()20.010.0150.03101a+++=，所以0.035a=；众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；设中位数为x，则()10.10.15350.0350.54242.17xx++−==，平均数为：200.1300.15400.35500.3600.141.5

++++=则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为42.1及平均数为41.5【小问2详解】利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人，依题意，所求的概率为2246210715CCPC+

==19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2223acbac+−=，2cos2aCbc=+.（1）求△ABC各内角的大小；（2）若D，E是边BC上的两点，3DAE=，2b=，设BAD=，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.【答案】（1

）2π3A=，π6B=，π6C=（2）33【解析】【分析】（1）由余弦定理求出π6B=，由正弦定理求出2π3A=，由三角形内角和求出π6C=；（2）先用正弦定理求得1πsin6AD=+，1cosAE=，利用面积公式表达出()3π2sin216f=++

，结合的范围，求出最小值.【小问1详解】∵2223acbac+−=∴2cos3acBac=，∴3cos2B=，∴π6B=∵2cos2aCbc=+∴由正弦定理得：2sincos2sinsinACBC=+其中()2sinsin2sinsin2sincos2cossinsinB

CACCACACC+=++=++∴2cossinsin0ACC+=∵()0,πC，∴sin0C∴1cos2A=−∴2π3A=∴π2πππ636C=−−=.【小问2详解】由（1）得，△ABC为等腰三角形，∴2bc==在△ABD中，π26BBADb===，，∴π2sin165π

πsinsin66AD==−+同理11πcossin2AE==+∴()133sinππ24sincos2sin2166fADAEDAE===+++，因为π0,3，所以当

π6=时，()min33f=20.如图，在四面体ABCD中，2ABACBDCDBC=====，3AD=，M是棱AD的中点.（1）求四面体ABCD的表面积和体积；（2）求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值

.【答案】（1）39232S=+表面积，32ABCDV−=（2）31326【解析】【分析】（1）根据题意得,ABCDBC△△都是边长为2的正三角形，,ABDDAC都是等腰三角形，进而求其面积；法一：利用线面角定义即得；法二：利用向量法线面角公式即得.【小问1详解】（1）连结BM，

由已知得BMADCMAD⊥⊥，，132CMBM==，1322322BCDS==1322322ABCS==△113393224ACDABDSS===39232S=+表面积∵,BMADCMAD⊥⊥∴AD⊥面BCM.在

△BCM中:1322BCCMBM===，∴113321242BCMS=−=∴1333322ABCDV−==【小问2详解】（2）令M到面BCD的距离为h，直线CM与底面BCD所成的角为.∵133333224ABCDMBCDVV−−===334MBCDBCDVhS−

==33134sin26132hCM===向量法：表面积求法同上.以BC中点O原点，BC，OD方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，3，0）设A（x，y，z）则()()()222222220143142333

2xxyzxyyxyzz=−++=+++==+−+==.即33022A（，，）333333(0,,)(1,,)4444MCM=∴A到平面BCD的距离为32，∴1333322ABCDV−==设平面BCD的一个法向量为(0,0,1)n=令直线CM与

底面BCD所成的角为θ33134sin26132CMnCMn===.21.某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参

加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：A类B类C类男生354女生134（1）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为

抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++a0.10.050.010.0050001.x02.7063.8416.6

357.89710.828【答案】（1）表格见解析，无把握（2）分布列见解析，98【解析】【分析】（1）依据要求填表，并计算出2值后，再判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；（2）依据分布列的要求去完成分布列，并依据公式求出随机变量X的均值.【小问1详解

】男生女生总计不参加课外阅读314参加课外阅读9716总计12820()()()()()()22220219152.706.12841632nadbcabcdacbd−−===++++说明我们没有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；【小

问2详解】随机变量X的可能取值为0,1,2,3,11113438CCC12(0)C56PX===，1221343438CCCC30(1)C56PX+===1212141338CCCC9(2)C56PX+===，334338CC5(3)C56PX+===随机变量X的分布列X0123P12563

056956556则()309591235656568EX=++=的22.已知函数()2fxxaxb=−+，()()()cos221cos1gxxaxaabR=+−+−，（1）判断()fx的奇偶性并证明；（2）若10,ax=，，求()gx最小值和最大值；（3）定义m

in,xxyxyyxy=，，，设()()()min{,}hxfxgx=.若()hx在,22−内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析.（2）()min98gx=−，()max2gx=（3）11,,0,2

3a−−【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将cosx看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于()00h=，则转化为()()0000gf=或()()0000gf

=，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】()fx是偶函数证：因为()fx的定义域为R,且()()()22fxxaxbxaxbfx−=−−−+=−+=∴f（x）是偶函数【小问2详解】当1a=，则()cos2cosgxxx=+22coscos1xx=

+−2192cos48x=+−又0,cos1,1xx−，的∴当1cos4x=−时，()min98gx=−当cos1x=时，()max2.gx=【小问3详解】因为()()()()()2cos221cos12cos1cosfxxaxbgxxaxaxxa=−+=+−+−=

−+，都是偶函数.所以()hx在,22x−上是偶函数，因为()hx恰有3个零点，所以()00h=，则有：()()0000gf=或()()0000gf=，①当()()0000gf=时，即1a=−且0b时，因为当()00xfx

，，令()()()2cos1cos10gxxx=−−=，因为,22x−，解得0x=或3x=，所以()gx恰有3个零点，即1a=−满足条件：.②当()()0000gf=时，即1a−且0

b=时，此时()2fxxax=−，当10a−时，()fx只有1个零点0x=，且()0fx，所以()hx恰有3个零点等价于()gx恰有2个零点，所以12a−=，解得12a=−，此时()gx有2个零点3x=符合

要求，当0a=时()2fxx=只有一个零点x=0，()gx有2个零点3x=符合要求，当0a时，()0fx=解得0x=或xa=，令()0gx=解得1cos2x=或cos0xa=−（舍去），所以()0gx=的根为3x=，要使()hx恰有3个零点，则3a=综上：11,,0,2

3a−−【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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