【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.docx，共(28)页，958.891 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}Axx−，{|2}Bxx=，则A∩B=A．(–1，+∞)B．(–∞，2)C．(–1，2)D．2．设z=i(

2+i)，则z=A．1+2iB．–1+2iC．1–2iD．–1–2i3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=A．2B．2C．52D．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B

．35C．25D．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x−，则当x<0时，f(x)=A．e1x−−B．e1x−+C．e1x−−−D．e1x−−+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有

两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点，则=A．2B．32C．1D．129．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆2213xyp

p+=的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．810．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．10xy−−−=B．2210xy−−−=C．2210xy+−+=D．10xy+−+=11．已知a∈（

0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．25512．设F为双曲线C：22221xyab−=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B

．3C．2D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy+−+−−，，，则z=3x–y的最大值是___________.1

4．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的

估计值为___________.15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一

．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面

上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22

、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC−的体

积．18．（12分）已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa==+.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，求数列{}nb的前n项和.19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，

得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[0.20,0)−[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求

这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：748.602.20．（12分）已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点

．（1）若2POF△为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.21.（12分）已知函数()(1)ln1fxxxx=−−−.证明：（1）()f

x存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4si

nC=上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P.（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().fxxaxxxa=−+−−（1）当1a=时，求

不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x−时，()0fx，求a的取值范围.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）1．C2．D3．A4．B5．A6．D7．B8．A9．D10．C11．B

12．A13．914．0.9815．3π416．21−17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故11BCBE⊥.又1BEEC⊥，所以BE⊥平面11EBC.（2）由（1）知∠BE

B1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以1145AEBAEB==，故AE=AB=3，126AAAE==.作1EFBB⊥，垂足为F，则EF⊥平面11BBCC，且3EFAB==.所以，四棱锥11EBB

CC−的体积1363183V==.18．解：（1）设na的公比为q，由题设得22416qq=+，即2280qq−−=.解得2q=−（舍去）或q=4.因此na的通项公式为121242nnna−−==.（2）由（1）得2(21)l

og221nbnn=−=−，因此数列nb的前n项和为1321nn+++−=.19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企

业频率为20.02100=.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y=−++++=

，()52211100iiisnyy==−222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100=−+−+++=0.0296，0.02960.02740.17s==，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20.解：（1

）连结1PF，由2POF△为等边三角形可知在12FPF△中，1290FPF=，2PFc=，13PFc=，于是122(31)aPFPFc=+=+，故C的离心率是31cea==−.（2）由题意可知，满足条件的点(,)Pxy存在当且仅当1||2162yc

=，1yyxcxc=−+−，22221xyab+=，即||16cy=，①222xyc+=，②22221xyab+=，③由②③及222abc=+得422byc=，又由①知22216yc=，故4b=.由②③得()22222axcbc=−，所以22cb，从而2222232,ab

cb=+=故42a.当4b=，42a时，存在满足条件的点P.所以4b=，a的取值范围为[42,)+.21.解：（1）()fx的定义域为（0，+）.11()ln1lnxfxxxxx−=+−=−.因为lnyx=单调递增，1yx=单调递减，所以()fx单调递增，又(1

)10f=−，1ln41(2)ln2022f−=−=，故存在唯一0(1,2)x，使得()00fx=.又当0xx时，()0fx，()fx单调递减；当0xx时，()0fx，()fx单调递增.因此，()fx存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2fxf=−，

又()22ee30f=−，所以()0fx=在()0,x+内存在唯一根x=.由01x得011x.又1111()1ln10ff=−−−==，故1是()0fx=在()00,x的唯一根.综上，()0fx=有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22

．解：（1）因为()00,M在C上，当03=时，04sin233==.由已知得||||cos23OPOA==.设(,)Q为l上除P的任意一点.在RtOPQ△中cos||23OP−==，经检验，点(2

,)3P在曲线cos23−=上.所以，l的极坐标方程为cos23−=.（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA==即4cos=

..因为P在线段OM上，且APOM⊥，故的取值范围是,42.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42=.23．解：（1）当a=1时，()=|1|+|2|(1)fxxxxx−−−.当1x时，2()2(1)0fxx=−−；当1x时，()0fx.

所以，不等式()0fx的解集为(,1)−.（2）因为()=0fa，所以1a.当1a，(,1)x−时，()=()+(2)()=2()(1)<0fxaxxxxaaxx−−−−−.所以，a的取值范围是[1,)+.绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新

课标Ⅱ）答案解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合={|1}Axx−，{|2}Bxx=，则A∩B=A.(–1，+∞)B.(–∞，2)C.(–1，2)D.【答案】C【解析】【分析】本题借助于数轴，根据交集

的定义可得．【详解】由题知，(1,2)AB=−，故选C．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．2.设z=i(2+i)，则z=A.1+2iB.–1+2iC.1–2iD.–1–2i【答案】D【解析】【分

析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念，写出z．【详解】2i(2i)2ii12iz=+=+=−+，所以12zi=−−，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求

．部分考生易出现理解性错误．3.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=A.2B.2C.52D.50【答案】A【解析】【分析】本题先计算ab−，再根据模的概念求出||−ab．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)−=−=−ab，所以22|

|(1)12−=−+=ab，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4.生物实验室有5

只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3

只兔子为,,abc，剩余的2只为,AB，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}abcabAabBacAacBaAB，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}bAbBABAB共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,

},{,,},{,,},abAabBacAacB{,c,},{,c,}bAbB共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力

的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩

比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低

依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政

结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=1xe−，则当x<0时，f(x)=A.e1x−−B.e1x−+C.e1x−−−D.e1x−−+【答案】D【

解析】【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得()fx−，结合奇偶性可得()fx.【详解】()fx是奇函数，020011()fxxx=+．当0x时，0x−，()e1()xfxfx−−=−=−，得()e1xfx−=−+．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解

析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及

充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是//的充分条件，由面面平行性质定理知，若//，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是//的必要条件

，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//abab，则//”此类的错误．8.若x1=4，x2=34是函数f(x)=sinx(>0)

两个相邻的极值点，则=A.2B.32C.1D.12【答案】A【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，()sinfxx=的周期232()44T==−=，得2=．故选A．【点睛】本题考查

三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．9.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆2231xypp+=的一个焦点，则p=A.2B.3C.4D.8【答案】D【解析】【

分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排除的方法，如2p=时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【详解】因为抛物线22(0)ypxp=的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp+=的一个焦点，所以2

3()2ppp−=，解得8p=，故选D．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．10.曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A.10xy−−−=B.2210xy−−

−=C.2210xy+−+=D.10xy+−+=【答案】C【解析】【分析】先判定点(,1)−是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x=时，2sincos1y=+=−，即点(,1)−在曲线2sincosyxx=+上．2cossin,

yxx=−2cossin2,xy==−=−则2sincosyxx=+在点(,1)−处的切线方程为(1)2()yx−−=−−，即2210xy+−+=．故选C．【点睛】本题考查利用导数工

具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．11.已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α

+1，则sinα=A.15B.55C.33D.255【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin2cos21=+，24sincos2cos.0,,cos0

2=．sin0,2sincos=，又22sincos1+=，2215sin1,sin5==，又sin0，5sin5=，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的

考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．12.设F为双曲线C：22221xyab−=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y

2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx⊥轴，又||PQOF

c==，||,2cPAPA=为以OF为直径的圆的半径，A为圆心||2cOA=．,22ccP，又P点在圆222xya+=上，22244cca+=，即22222,22ccaea===．2e=，故选A．【点睛】本

题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．二、填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分．13.若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy，，，+−+−−则z=3x–y的最大值是___________.【答案】9.【解析】【分析】作出可行域，平移30xy−=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画

出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线30xyz−−=中的z表示纵截距的相反数，当直线3zxy=−过点3,0C（）时，z取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大

值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．14.我国高铁发展迅速，技术先进．

经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统

计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2++=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为

39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．15

.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】34.【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sinsinsincos0BAAB+

=．(0,),(0,)AB，sin0,A得sincos0BB+=，即tan1B=−，3.4B=故选D．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，

利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半

正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱

长为_________．【答案】(1).共26个面.(2).棱长为21−.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，

设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx==，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE为等腰直角三角形，22,2(21)122BGGECHxGHxxx====+=+=，12121x==−+，即该半正多面体棱长为1xx−．【点睛】本题

立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题

为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC−的体积．【答案】（1）见详解

；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，11BC⊥平面11AABB，得到11BCBE⊥，再由1BEEC⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为2a，根据题中条件求出3a=；再取1BB中点F，连结E

F，证明EF⊥平面11BBCC，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体1111ABCDABCD−中，11BC⊥平面11AABB；BE平面11AABB，所以11BCBE⊥，又1BEEC⊥，1111

BCECC=，且1EC平面11EBC，11BC平面11EBC，所以BE⊥平面11EBC；（2）设长方体侧棱长为2a，则1AEAEa==，由（1）可得1EBBE⊥；所以22211EBBEBB+=，即2212BEBB=，又3AB=，所以222122AEABBB+=，即222184aa+=，解

得3a=；取1BB中点F，连结EF，因为1AEAE=，则EFAB∥；所以EF⊥平面11BBCC，所以四棱锥11EBBCC−的体积为1111111136318333EBBCCBBCCVSEFBCBBEF−===

=矩形.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.18.已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa==+.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，求数列{}nb的前n项和

.【答案】（1）212nna−=；（2）2nSn=.【解析】【分析】(1)本题首先可以根据数列na是等比数列将3a转化为21aq，2a转化为1aq，再然后将其带入32216aa=+中，并根据数列na是各项均为正数以及12a=即可通过运算得出结果；(2)本

题可以通过数列na的通项公式以及对数的相关性质计算出数列nb的通项公式，再通过数列nb的通项公式得知数列nb是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果。【详解】(1)因为数列na是各项均为正数的等比数列，32216a

a=+，12a=，所以令数列na的公比为q，2231=2aaqq=，212aaqq==，所以22416qq=+，解得2q=−(舍去)或4，所以数列na是首项为2、公比为4的等比数列，121242nnna−−==。(2)因为2logn

nba=，所以21nbn=−，+121nbn=+，12nnbb+-=，所以数列nb是首项为1、公差为2的等差数列，21212nnSnn+-=?。本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列

求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[0.20,0)−[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60

,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：748.602.【答案】(1)增长率

超过0400的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2110050=；（2）平均数0.3；标准差0.17.【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业

的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。【详解】(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过0400的企业有14721+=个，产值负增长的企业有2个，所以增长率超过0400的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为

2110050=。(2)由题意可知，平均值()20.1240.1530.3140.570.71000.3y?+????==，标准差的平方：()()()()()222222110020.10.3240.10.3530.30.3140.50.370.70.3s

轾=?-+?+?+?+?犏臌[]11000.320.960.561.120.0296=+++=，所以标准差0.02960.0004740.028.6020.17s==椿椿。【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查

学生的计算能力，是简单题。20.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POFV为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，

且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.【答案】(1)31e=−；（2）4b=，a的取值范围为[42,)+.【解析】【分析】（1）先连结1PF，由2POFV为等边三角形，得到1290FPF=，2PFc=，13PFc=；再由椭圆定义，即可求出结果；（

2）先由题意得到，满足条件的点(,)Pxy存在，当且仅当12162yc=，1yyxcxc=−+−，22221xyab+=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结1PF，由2POFV为等边三角形可知：在12FPF△中，1290F

PF=，2PFc=，13PFc=，于是1223aPFPFcc=+=+，故椭圆C的离心率为23113cea===−+；（2）由题意可知，满足条件的点(,)Pxy存在，当且仅当12162yc=，1yy

xcxc=−+−，22221xyab+=，即16cy=①222xyc+=②22221xyab+=③由②③以及222abc=+得422byc=，又由①知22216yc=，故4b=；由②③得22222()axcbc=−，所以22cb，从而2222232ab

cb=+=，故42a；当4b=，42a时，存在满足条件的点P.故4b=，a的取值范围为[42,)+.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.21.已知函

数()(1)ln1fxxxx=−−−.证明：（1）()fx存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（1）先对函数()fx求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一0x，使得0()0fx=，进而可得判断

函数()fx的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到0()(1)20fxf=−，22()30fee=−，得到()0fx=在0(,)x+内存在唯一实根，记作x=，再求出1()0f=

，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，()fx的定义域为(0,)+，由()(1)ln1fxxxx=−−−，得11()ln1lnxfxxxxx−=+−=−，显然1()lnfxxx=−单调递增；又(1)10f=−，1ln41(2)ln2022f−=−=，故存在唯一

0x，使得0()0fx=；又当0xx时，0()0fx，函数()fx单调递增；当00xx时，0()0fx，函数()fx单调递减；因此，()fx存在唯一的极值点；（2）由（1）知，0()(1)2fxf=−，又22()30fee=−，所以()0fx=在0(,)x+内存在唯一实

根，记作x=.由01x得011x，又1111()()(1)ln10ff=−−−==，故1是方程()0fx=在0(0,)x内的唯一实根；综上，()=0fx有且仅有两个实根，且两

个实根互为倒数.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC=上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P.（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹

的极坐标方程.【答案】（1）023=，l的极坐标方程为sin()26+=；（2）4cos()42=【解析】【分析】（1）先由题意，将0=3代入4sin=即可求出0；根据题意求出直线l的直角坐标方程，再化为极坐标

方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点000(,)(0)M在曲线:4sinC=上，所以004sin4sin233===；即(23,)3M，所以tan33OMk==，因为直线l过点(4,0)A且

与OM垂直，所以直线l的直角坐标方程为3(4)3yx=−−，即340xy−=+；因此，其极坐标方程为cos3sin4+=，即l的极坐标方程为sin()26+=；（2）设(,)Pxy，则OPykx=，4APykx=−，由题意，OPAP⊥，所以1OPAPkk=−，故2214yxx=−−，

整理得2240xyx+−=，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以02,24xy，所以，P点轨迹的极坐标方程为24cos0−=，即4cos()42=.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化

，熟记公式即可，属于常考题型.23.[选修4-5：不等式选讲]已知()|||2|().fxxaxxxa=−+−−（1）当1a=时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x−时，()0fx，求a的取值范围.【答案】（1）(,1)−；（2）[1,

)+【解析】【分析】（1）根据1a=，将原不等式化为|1||2|(1)0xxxx−+−−，分别讨论1x，12x，2x三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a≥和1a两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a=时，原不等式可化为|1||2|(1)0xx

xx−+−−；当1x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，即2(10)x−，显然成立，此时解集为(,1)−；当12x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，解得1x，此时解集为空集；当2

x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，即2(10)x−，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)−；（2）当1a≥时，因为(,1)x−，所以由()0fx可得()(2)()0axxxxa−+−−，即()(1)0xax−−，显然恒

成立；所以1a≥满足题意；当1a时，2(),1()2()(1),xaaxfxxaxxa−=−−，因为1ax时，()0fx显然不能成立，所以1a不满足题意；综上，a的取值范围是[1

,)+.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.