【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.docx，共(38)页，4.873 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合242{60{}MxxNxxx=−=−−，，则MN=A．{43xx−B．42{xx−−

C．{22xx−D．{23xx2．设复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()xy+=B．221(1)xy+=−C．22(1)1yx+−=D．22(+1)1yx+=3．已知0.20.32log0.220.2abc===，，，则A．a

bcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之

比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=2sincos++xxxx在[,]−的

图像大致为A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳

爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足||2||=ab，且()−ab⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，

图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa==，，则A．25nan=−B．310nan=−C．228nSnn=−D．2122nSnn=−1

0．已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB=，1||||ABBF=，则C的方程为A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143x

y+=D．22154xy+=11．关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]−有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号

是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．68B．64C．62D．6二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23()exyxx=+在点(0)0，处的切线方程为____________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若214613aaa==，，则S5=____________．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________

___．16．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB=，则C的离心率为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCAB

C−=−．（1）求A；（2）若22abc+=，求sinC．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1

-N的正弦值．19．（12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．20．（12分）已知函数()sinln(1)fxxx=−+，()fx为()fx的导数．

证明：（1）()fx在区间(1,)2−存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一

轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分

，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi=表示“甲药的累计得分为i

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11iiiipapbpcp−+=++(1,2,,7)i=，其中(1)aPX==−，(0)bPX==，(1)cPX==．假设0.5=，0.8=．(i)证明：1{}iipp+−(0,1,2,,7)i=为等比数列；(ii)求4p，并根

据4p的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=

+=+，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4

—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc++++；（2）333()()()24abbcca+++++．2019年全国统一高考数学试卷

（理科）（新课标Ⅰ）参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D二、填空题13．y=3x14．121315．0.1816．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC+−=，故由正弦

定理得222bcabc+−=．由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==．因为0180A，所以60A=．（2）由（1）知120BC=−，由题设及正弦定理得()2sinsin1202sinACC+−=，即631cossin2sin222CCC++=，可得()

2cos602C+=−．由于0120C，所以()2sin602C+=，故()sinsin6060CC=+−()()sin60cos60cos60sin60CC=+−+624+=．18．解：（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为

BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC

1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A，A1(2,0,4)，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)AA=−，1(1,3,2)

AM=−−，1(1,0,2)AN=−−，(0,3,0)MN=−．设(,,)xyz=m为平面A1MA的法向量，则1100AMAA==mm，所以32040xyzz−+−=−=，．可取(3,1,0)=m．设(,,)pqr=n为平面A1MN的法

向量，则100MNAN==，．nn所以3020qpr−=−−=，．可取(2,0,1)=−n．于是2315cos,||525===‖mnmnmn，所以二面角1AMAN−−的正弦值为105．19．解：设直线()()11223:,,,,

2lyxtAxyBxy=+．（1）由题设得3,04F，故123||||2AFBFxx+=++，由题设可得1252xx+=．由2323yxtyx=+=，可得22912(1)40xtxt+−+=，

则1212(1)9txx−+=−．从而12(1)592t−−=，得78t=−．所以l的方程为3728yx=−．（2）由3APPB=可得123yy=−．由2323yxtyx=+=，可得2220yyt−+=．所以122yy+=．从而2232yy−+=，故211,3yy=−=．代入C

的方程得1213,3xx==．故413||3AB=．20．解：（1）设()()gxf'x=，则1()cos1gxxx=−+，21sin())(1x'xgx=−++.当1,2x−时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x在

1,2−有唯一零点，设为.则当(1,)x−时，()0g'x；当,2x时，()0g'x.所以()gx在(1,)−单调递增，在,2单调递减，故()gx在1,2−存在唯一极大值点，即()f'x在1,2

−存在唯一极大值点.（2）()fx的定义域为(1,)−+.（i）当(1,0]x−时，由（1）知，()f'x在(1,0)−单调递增，而(0)0f'=，所以当(1,0)x−时，()0f'x，故()fx在(1,0)−单

调递减，又(0)=0f，从而0x=是()fx在(1,0]−的唯一零点.（ii）当0,2x时，由（1）知，()f'x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f'，02f'，所以存在,2，使得()0f'=，且当(0,)

x时，()0f'x；当,2x时，()0f'x.故()fx在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1ln1022f=−+，所以当0,2x

时，()0fx.从而，()fx在0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0f'x，所以()fx在,2单调递减.而02f，()0f，所以()fx在,2有唯一零点.（

iv）当(,)x+时，ln(1)1x+，所以()fx<0，从而()fx在(,)+没有零点.综上，()fx有且仅有2个零点.21．解：X的所有可能取值为1,0,1−.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)PXPXPX

=−=−==+−−==−，，，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得0.4,0.5,0.1abc===.因此11=0.4+0.5+0.1iiiipppp−+，故()()110.10.4iiiipppp+−−=−，即()114iiiipppp+−−=−.又因为1010ppp−=，

所以1(0,1,2,,7)iippi+−=为公比为4，首项为1p的等比数列．（ii）由（i）可得()()()8887761008776101341ppppppppppppppp−=−+−++−+=−+−++−=.由于8=1p，故18341p=−，所以()()()()44433221101

411.3257pppppppppp−=−+−+−+=−=4p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p=，

此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22．解：（1）因为221111tt−−+，且()22222222141211yttxtt−+=+=++，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx+=−.l的直角坐标方程为23110xy++=.（

2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy==（为参数，ππ−）.C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377−+++=.当2π3=−时，π4co

s113−+取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.23．解：（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac+++，又1abc=，故有222111abbccaabcabbccaabcabc++++

++==++.所以222111abcabc++++.（2）因为,,abc为正数且1abc=，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac++++++++=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbca

c=24.所以333()()()24abbcca+++++.绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）答案解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合242{60MxxNxxx=

−=−−，，则MN=A.{43xx−B.{42xx−−C.{22xx−D.{23xx【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，42,23MxxNxx=−

=−，则22MNxx=−．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.22+11()xy+=B.22(1)1xy−+=C.22(1

)1xy+−=D.22(+1)1yx+=【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi=+−==+−22(1)1,zixy

−=+−=则22(1)1xy+−=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log0.2,2,0.2abc===，则A.abcB.acb

C.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc【详解】22log0.2log10,a==0.20221,b==0.3000.20.21,=则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗

透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉

至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm

，肚脐至腿根的长为ycm，则2626511052xxy+−==+，得42.07,5.15xcmycm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合

情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f(x)=2sincosxxxx++在[—π，π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()

sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx−+−−−−===−−+−+，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f++==2()01f=−+．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象

和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则

该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题

，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型

问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】

B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb−⊥得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb−⊥，所以2()abbabb−=−=0，所以2abb=

，所以cos=22||12||2abbabb==，所以a与b的夹角为3，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A.A=

12A+B.A=12A+C.A=112A+D.A=112A+【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【

详解】执行第1次，1,122Ak==是，因为第一次应该计算1122+=12A+，1kk=+=2，循环，执行第2次，22k=，是，因为第二次应该计算112122++=12A+，1kk=+=3，循环，执

行第3次，22k=，否，输出，故循环体为12AA=+，故选A．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA=+．9.记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa==，，则A.25nan=−B.310nan=−C.228nSnn=−D.2122nSnn

=−【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a=，44(72)1002S−+==−，排除B，对C，245540,25850105SaSS==−=−−=，排除C．对D，

2455410,4240052SaSS==−=−−=，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dSaaad=+==+=，解得132ad=−=，∴25nan=−，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前

n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB=││││，1A

BBF=││││，则C的方程为A.2212xy+=B.22132xy+=C.22143xy+=D.22154xy+=【答案】B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFn

BFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnAFFnnnBFFn+−=+−=，又2121,AFFBFF

互补，2121coscos0AFFBFF+=，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn+=，解得32n=．2222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22

132xy+=，故选B．【详解】如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn+−==．在12AFF△中

，由余弦定理得2214422243nnnn+−=，解得32n=．2222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合

思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]−有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②

④C.①④D.①③【答案】C【解析】【分析】画出函数()sinsinfxxx=+的图象，由图象可得①④正确，故选C．【详解】()()()()sinsinsinsin,fxxxxxfxfx−=−+−=+=为偶函数，故①正确．当2x时，()2sinfxx=，它在区间,2

单调递减，故②错误．当0x时，()2sinfxx=，它有两个零点：0；当0x−时，()()sinsin2sinfxxxx=−−=−，它有一个零点：−，故()fx在,−有3个零点：0−，故③错误．当()2,2xkkk+N时，()2

sinfxx=；当()2,22xkkk++N时，()sinsin0fxxx=−=，又()fx为偶函数，()fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】化简函数()sinsinfxxx=+，研究它的性质从而得出正确答案．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶

点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．设2PA

PBPCx===，,EF分别为,PAAB中点，//EFPB，且12EFPBx==，ABC为边长为2的等边三角形，3CF=又90CEF=213,2CExAEPAx=−==AEC中余弦定理()2243cos22

xxEACx+−−=，作PDAC⊥于D，PAPC=，DQ为AC中点，1cos2ADEACPAx==，2243142xxxx+−+=，221221222xxx+===，2PAPBPC===，又===2ABBCAC，,,PAPBP

C两两垂直，22226R=++=，62R=，344666338VR===，故选D.【详解】,PAPBPCABC==为边长为2的等边三角形，PABC−为正三棱锥，PBAC⊥，又E，F分别为PA、AB中点，//EFPB，EFAC⊥，又EFCE⊥

，,CEACCEF=⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，2PABPAPBPC====，PABC−为正方体一部分，22226R=++=，即364466,62338RVR====，故选D．【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法

解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30xy−=.【解析】【分析】本题根据导数的几何

意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexxexxe=+++=++所以，/0|3xky===所以，曲线23()exyxx=+

在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy−=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14.记Sn为等比

数列{an}的前n项和．若214613aaa==，，则S5=____________．【答案】1213.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S．题目的难度不大，注重了基

础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q，由已知21461,3aaa==，所以32511(),33qq=又0q，所以3,q=所以55151(13)(1)12131133aqSq−−===−−．【点睛】准确

计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.

5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.216.【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的

考查．【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,=前五场中有一场主场输时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.530.108,=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是00.1080.1080.

216.q+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．16.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的

左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB=，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】【分析】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取

几何法，利用数形结合思想解题．【详解】如图，由1,FAAB=得1.FAAB=又12,OFOF=得OA是三角形12FFB的中位线，即22//,2.BFOABFOA=由120FBFB=，得121,,FBF

BOAFA⊥⊥则12,OBOFOF==有221122,OBFBFOOBFOFB===1AOBAOF=．又OA与OB都是渐近线，得21,BOFAOF=则0260BOF=．又渐近线OB的斜率为0tan603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa==+=+=．【

点睛】此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到021260,BOFAOFBOA===即得到渐近线的倾斜角为060,从而突破问题障碍．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−．

（1）求A；（2）若22abc+=，求sinC．【答案】（1）3A=；（2）62sin4C+=.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc+−=，从而可整理出cosA，根据()0,A可求得结果；（2）利用正弦定理可得2sins

in2sinABC+=，利用()sinsinBAC=+、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）()2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC−=−+=−即：222sinsinsi

nsinsinBCABC+−=由正弦定理可得：222bcabc+−=2221cos22bcaAbc+−==()0,πA3A\=（2）22abc+=，由正弦定理得：2sinsin2sinABC+=又()sinsinsincoscossinBACA

CAC=+=+，3A=3312cossin2sin222CCC++=整理可得：3sin63cosCC−=22sincos1CC+=()()223sin631sinCC−=−解得：62sin4C+=或

624−因为6sin2sin2sin2sin02BCAC=−=−所以6sin4C，故62sin4C+=.（2）法二：22abc+=，由正弦定理得：2sinsin2sinABC+=又()sinsinsincoscossinB

ACACAC=+=+，3A=3312cossin2sin222CCC++=整理可得：3sin63cosCC−=，即3sin3cos23sin66CCC−=−=2sin62C−=512C=或11123A=且AC+512C=562sinsinsi

nsincoscossin126464644C+==+=+=【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式

或角之间的关系.18.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）10

5.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和11//ADBC可证得//MEND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得//MNDE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得

DF⊥平面1AMA，得到平面1AMA的法向量DFuuur；再通过向量法求得平面1MAN的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME，1BCM，E分别为1BB，BC中点ME为1BBC的中位线1

//MEBC且112MEBC=又N为1AD中点，且11//ADBC1//NDBC且112NDBC=//MEND四边形MNDE为平行四边形//MNDE，又MN平面1CDE，DEÌ平面1CDE//MN平面1CDE（2）设ACB

DO=，11111ACBDO=由直四棱柱性质可知：1OO⊥平面ABCD四边形ABCD为菱形ACBD∴⊥则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：()3,0,0A，()0,1,2M，()13,0,4A，D（

0，-1,0）31,,222N−取AB中点F，连接DF，则031,,22F四边形ABCD为菱形且60BAD=BAD为等边三角形DFAB⊥又1AA⊥平面ABCD，DF平面ABCD1DFAA⊥DF⊥∴平面11ABBA，即DF⊥平面1AMADF为平面1AM

A的一个法向量，且33,,022DF=设平面1MAN的法向量(),,nxyz=，又()13,1,2MA=−，33,,022MN=−132033022nMAxyznMNxy=−+==−=，令3x=，则1y=，1z=−()3,1,1n=−3

15cos,515DFnDFnDFn===10sin,5DFn=二面角1AMAN−−的正弦值为：105【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通

过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB

=，求|AB|．【答案】（1）12870xy−−=；（2）4133.【解析】【分析】（1）设直线l：3y=xm2+，()11,Axy，()22,Bxy；根据抛物线焦半径公式可得121xx=+；联立直线方程与抛

物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23xyt=+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3APPB=可得123yy=−，结合韦达定理可求得12yy；根据弦长公式可求

得结果.【详解】（1）设直线l方程为：3y=xm2+，()11,Axy，()22,Bxy由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx+=++=1252xx+=联立2323yxmyx=+=得：()229121240xmxm

+−+=则()2212121440mm=−−12m121212592mxx−+=−=，解得：78m=−直线l的方程为：3728yx=−，即：12870xy−−=（2）设(),0Pt，则可设直线l方程为：23xyt=+联立2233xytyx=

+=得：2230yyt−−=则4120t=+13t−122yy+=，123yyt=−3APPB=123yy=−21y=−，13y=123yy=−则()2121241341314412933AByyyy=++

−=+=【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.20.已知函数()sinln(1)fxxx=−+，()fx为

()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2−存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2−上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x，使得

()00gx=，进而得到导函数在1,2−上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x=为()fx在(1,0−上的唯一零点；当0,2xp骣÷ç西ç÷ç÷桫时，首先可判断出在()00,x上

无零点，再利用零点存在定理得到()fx在0,2x上的单调性，可知()0fx，不存在零点；当,2x时，利用零点存在定理和()fx单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x+，可证得()0fx；综合上述情况可证

得结论.【详解】（1）由题意知：()fx定义域为：()1,−+且()1cos1fxxx=−+令()1cos1gxxx=−+，1,2x−()()21sin1gxxx=−++，1,2x−()211x+在1,2−上单调递减，1111,7

nnaa+−=在1,2−上单调递减()gx在1,2−上单调递减又()0sin0110g=−+=，()()2244sin102222g=−+=−++00,2x，使得()00gx=当()01

,xx−时，()0gx；0,2xx时，()0gx即()gx在()01,x−上单调递增；在0,2x上单调递减则0xx=为()gx唯一的极大值点即：()fx在区间1,2−上存在唯一的极大值点0x.（2）由（

1）知：()1cos1fxxx=−+，()1,x−+①当(1,0x−时，由（1）可知()fx在(1,0−上单调递增()()00fxf=()fx在(1,0−上单调递减又()00f=0x=为()fx在(1,0−上的唯一零点②当0,2x

时，()fx在()00,x上单调递增，在0,2x上单调递减又()00f=()00fx()fx在()00,x上单调递增，此时()()00fxf=，不存在零点又22cos02222f=−=−++10,2xx

，使得()10fx=()fx在()01,xx上单调递增，在1,2x上单调递减又()()000fxf=，2sinln1lnln102222ef=−+==+()0fx在0,2x

上恒成立，此时不存在零点③当,2x时，sinx单调递减，()ln1x−+单调递减()fx在,2上单调递减又02f，()()()sinln1ln10f=−+=−+即()02ff，又(

)fx在,2上单调递减()fx在,2上存在唯一零点④当(),x+时，sin1,1x−，()()ln1ln1ln1xe++=()sinln10xx−+即(

)fx在(),+上不存在零点综上所述：()fx有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21.为了治疗某种疾

病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈

的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未

治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11iiiipapbpcp−+=++(1

,2,,7)i=，其中(1)aPX==−，(0)bPX==，(1)cPX==．假设0.5=，0.8=．(i)证明：1{}iipp+−(0,1,2,,7)i=为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方

案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）41257p=.【解析】【分析】（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出,,abc的取值，可得()110.40.50.11

,2,,7iiiippppi−+=++=，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p和0p的值可求得1p；再次利用累加法可求出4p.【详解】（1）

由题意可知X所有可能的取值为：1−，0，1()()11PX=−=−；()()()011PX==+−−；()()11PX==−则X的分布列如下：X1−01P()1−()()11+−

−()1−（2）0.5=，0.8=0.50.80.4a==，0.50.80.50.20.5b=+=，0.50.20.1c==（i）()111,2,,7iiiipapbpcpi−+=++=即()110.40.50.11,2,,7iiiippppi−+=++=整理可得

：()11541,2,,7iiipppi−+=+=()()1141,2,,7iiiippppi+−−=−=（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-

4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3

sin110++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）22:14yCx+=；:23110lxy++=；（2）7【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2

）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211txt−=+得：211xtx−=+，又()2222161tyt=+()()222116141144111xxyxxxxx−+==

+−=−−++整理可得C的直角坐标方程为：2214yx+=又cosx=，siny=l的直角坐标方程为：23110xy++=（2）设C上点的坐标为：()cos,2sin则C上的点到直线l的距离4sin112cos23sin11677d

++++==当sin16+=−时，d取最小值则min7d=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程

来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc++++；（2）333()()()24abbcca+++

++．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc=将所证不等式可变为证明：222abcbcacab++++，利用基本不等式可证得()2222222abcabbcac++++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()

3333abbccaabbcca++++++++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()()333224abbccaabc+++++，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）1abc=111111abcbcacababcabc++=++=

++()()()()2222222222222abcabbccaabbcac++=+++++++当且仅当abc==时取等号()22211122abcabc++++，即：222111abcabc++++≥（2）()()()()()()3333ab

bccaabbcca++++++++，当且仅当abc==时取等号又2abab+，2bcbc+，2acac+（当且仅当abc==时等号同时成立）()()()()3332322224abbccaabbcacabc+++++=

又1abc=()()()33324abbcca+++++【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.