【文档说明】山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 word版含解析.docx，共(28)页，1.530 MB，由小赞的店铺上传

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山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题2023.5注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至

第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（共60分）一

、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，复数z满足23i1z−−=，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三

象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义可得，复数z在复平面内对应的点Z在以（2，3）为圆心，1为半径的圆上，根据图像即可得答案.【详解】设复数=zabi+，则23=2(3)ziabi−−−+−，所以2223=(2)(3)1ziab−−−+−=，即22(2)(3)1ab

−+−=，则复数z在复平面内对应的点Z在以（2,3）为圆心，1为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点在第一象限.故选A.【点睛】本题考查复数的几何意义，需熟练掌握复数的加减及求模运算法则，属基础题.2.已知集合230Axxx=−，集合()3log11Bxx=−，则AB=（）

．A.03xxB.13xxC04xxD.14xx【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为23003Axxxxx=−=，()3log1101314Bxxxxx

x=−=−=，因此，13ABxx=.故选：B.3.若椭圆22:12xyCm+=的离心率为63，则椭圆C的长轴长为（）A.22B.263或26C.26D.22或26【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的离心率求出22ba的值，

对椭圆C的焦点位置进行分类讨论，求出m的值，即可求得椭圆C的长轴长.【详解】因为22222222262133cabbeaaa−===−==，所以，2213ba=.①若椭圆C的焦点在x轴上，则222

13bam==，可得6m=，则6am==，此时，椭圆C的长轴长为26；②若椭圆C的焦点在y轴上，则22123bma==，可得23m=，则2a=，此时，椭圆C的长轴长为22.综上所述，椭圆C的长轴长为22或26..故选：D.4.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：班级人数平均

分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）．A.6.5B.13C.30.8D.31.8【答案】C【解析】【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数，再根据方差公式计算两个班所有学生的数学成绩的方差．【详解】因为甲班平均分数为70x=甲，乙班平均分数

为80x=乙，所以两个班所有学生的数学平均分数为40706080764060x+=+=，所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：22240605()8()40604060sxxxx=+++++甲乙－－22)154840605(7076)8(80764064

300060.5=+−++−==++.故选：C5.一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（）．A.25B.45C.89D.815【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用古典

概率求出至少有两个球颜色相同的概率，再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为A，两球颜色不同的事件为B，因此212244348CCC2643427()C

7035PA++===，1224348CC243424()C7035PAB===，所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为()8(|)()9PABPBAPA==.故选：C6.已知eemm+=，5enn+=，则lgnm与lgmn的大小关系是（）A.l

glgnmmnB.lglgnmmnC.lglgnmmn=D.不确定【答案】B【解析】【分析】根据题意构造函数()extxx=+求解出0enm，根据选项构造函数()lglnln10xxfxxx==，判断其单调性从而得出选项.【详解】5eennnn+=

+，又eemm+=，则eemnmn++，设()extxx=+，显然()tx为增函数，因为()()tmtn，所以mn又()01et=，()eeeeet=+，则0enm令()lglnln10xxfxxx==，设()l

nxgxx=，则()21lnxgxx−=，当()0,ex时()gx单调递增，则()()lnln10ln10gxxfxx==在()0,ex上单调递增，故()()lglgmnfmfnmn，解得lglgnmmn.故选：B【点睛

】思路点睛：①选择题中判断不等式关系：思路一：遇到解析式不相近，可考虑通过作差法进行大小比较；思路二：遇到解析式相近，可考虑构造函数，利用函数单调性与内外函数关系进行大小比较.②选择题中构造函数思路：可根据选项提示，将含同一类字母的的式子写在一般

，观察不等号两边式子共性进行构造函数；若原式复杂，在不等式问题中可适当放缩后构造新函数.7.已知()sin()fxx=+(0)满足()14f=，503f=且()fx在5,46上单调，则的最大值

为（）A.127B.1817C.617D.3017【答案】B【解析】【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.【详解】()sin()fxx=+(0)满足()14f=，503f=，53442Tn

T−=+，即()1736Tnn=+N，()61217nn+=N，()fx在5,46上单调，572641222T−==，即127，当1n=时最大，最大值为1817，故选：B.8.已知实数1212,xxyy､､满足22

22112212122,2,0xyxyxxyy+=+=+=，记11222222wxyxy=+−++−，则w的最大值是（）A.22B.42C.62D.82【答案】C【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得OMON⊥，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出.【详解】

设1122(,),(,)MxyNxy，因为22112,xy+=22222,xy+=12120xxyy+=因为MN､在以原点()0,0O为圆心，2为半径的圆上，且OMON⊥.设点MN､到直线220xy+−=的距离之和为u，则1122222222xyxyu

+−+−=+，转化为求2u的最大值.设点P为点M与点N的中点，设P点到直线220xy+−=的距离为d，则2ud=，又112OPMN==.故P点轨迹方程为圆221xy+=.圆221xy+=上点到直线220xy+−=距离的最大值max2213

2d=+=.所以w的最大值是62.故选：C.【点睛】二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A.若回归方程为62.5yx=−，

则变量y与x负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(),xyC.若决定系数2R的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D.若散点图中所有点都在直线0.924.21yx=−上，则相关系数0.92

r=【答案】AB【解析】【分析】A选项，根据2.50−得到变量y与x负相关；B选项，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心；C选项，2R的值越接近于1，拟合效果越好；D选项，若散点图中所有点都在直线0.

924.21yx=−，说明此时相关系数1r=.【详解】因为2.50−，所以变量y与x负相关，A正确；运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(),xy，B正确；若决定系数2R的值越接近于0，表示

回归模型的拟合效果越差，越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，C错误；若散点图中所有点都在直线0.924.21yx=−，结合0.920可得：相关系数为1，D错误；故选：AB10.已知na为等差数列，前n项和为nS，110a=，公差2d=−，则（）．A.

212nan=−+B.47SS=C.当5n=或6时，nS取得最大值为30D.数列122023a,a,,a与数列()310mm+共有671项互为相反数【答案】ABC【解析】【分析】根据给定的等差数列

，求出通项公式判断A；利用性质计算判断B；由单调性结合正负数项计算判断C；求出两个数列的互为相反数的项数判断D作答.【详解】数列na为等差数列，前n项和为nS，110a=，公差2d=−，则有1(1)

102(1)212naandnn=+−=−−=−+，A正确；因为60a=，所以74567630SSaaaa−=++==，B正确；因为20d=−，即数列na为递减等差数列，且当6n时，0na，因此数列na的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，所以当5n=或6时

，nS取得最大值561006302SS+===，C正确；令数列na的第n项na与数列310m+的第m项互为相反数，即3100nam++=，于是3112nm=+，而Nn，则m为偶数，令2,Nmkk=

，有310610mk+=+，因此数列na与数列310m+成互为相反数的项构成等差数列{}kc，且610kck=+，显然20234034kca−=，即6104034k+，又Nk，则max670k=，所以数列122023a,a,,a与数列()310mm+

共有670项互为相反数，D错误.故选：ABC11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，1SO=，3OC=，平面α和直线SO所成的角为θ，该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C，则（）．A.过该圆锥顶

点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2B.SAB的取值范围为ππ,63C.若ABBC=，E为线段AB上的动点，则SECE+的最小值为10215+D.若22sin23=，则曲线C必为双

曲线的一部分【答案】ACD【解析】【分析】A选项，设(2,0,3MNaa=，表达出截面面积，利用基本不等式求出最大值；B选项，可举出反例得到π3=SAB；C选项，将立体图形展开，得到三点共线时，取得最小值，

利用余弦定理求出最小值；D选项，由二倍角公式得到tan，根据tan3tanASO=得到ASO，D正确.【详解】对选项A：如图1，设截面为,SMNQ为MN中点，连接,OQSQ，设(2,0,3MNaa=，则222144222SMNaaSMNSQaa+−==−=△，当24

aa=−，即2a=时等号成立，A正确；对选项B：如图2，SAB△中，2,023SASBAB==，则当2AB=时，π3=SAB，B错误；对选项C：如图3，ABC为等腰直角三角形，6ABBC==，将SAB△放平得到1SAB，当1,,SEC三点共线时S

ECE+最小，F为AB中点，连接1SF，则22111162210,sin24SFSFABABSSB−⊥===，22111112cos46226cos102152SCBSBCBSBCSBCA

BS=+−=+−+=+，C正确；对选项D：由22tan22sin21tan3==+，可解得tan2=或者22，而tan3tanASO=，所以ASO，从而该圆锥侧面与

平面的交线为曲线，则必为双曲线的一部分，D正确.故选:ACD.【点睛】思路点睛：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，

可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.1

2.对于定义域为D的函数()yfx=，若存在区间[,]abD使得()fx同时满足:①()fx在,ab上是单调函数；②当()fx的定义域为,ab时，()fx的值域也为,ab，则称区间,ab为该函数的一个“和谐区间”，则（）A.函数()312fx

xx=+有3个“和谐区间”B.函数()214fxx=+，)0,x+存在“和谐区间”C.若定义在()3,12上的函数()2492txtfxx−−=−有“和谐区间”，实数t的取值范围为46tD.若函数(

)3fxmx=−+在定义域内有“和谐区间”，则实数m的取值范围为924m−−【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由()fx的单调性得到a，b为312xxx+=的两个实根，解出x可能取值，确定3个“和谐区间”，A正确；B选项，214xx+=只有1个解，故

不合题意；C选项，分离常数后得到()fx的单调性，问题转化为函数()92gxxx=+−与2yt=的图象交点问题，求出函数()gx的单调性和最值情况，从而得到答案；D选项，由函数单调性，确定()fab=，()fba=，转化为331ab++

+=，换元后得到2219224m=−−=−−，由的范围求出m的取值范围.【详解】A选项，因为31,2yxyx==均在R上单调递增，所以函数()312fxxx=+在R上单调递增，所以有331212aaabbbab+=+=，即a，b为312xxx

+=的两个实根，解得x可能取值为22−，0，22，即函数()312fxxx=+的有3个“和谐区间2,02−，22,22−，20,2，故A正确.B选项，由于)0,x+，221110422xxxx+=−

==，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误；C选项，()2492txtfxx−−=−在()3,12上有“和谐区间”，所以存在区间,ab，使函数()fx的值域为,ab，()2499222txtfxtxx

−−==−−−函数在()3,12上单调递增，∴a，b为关于x的方程922xtx=−−的两个实根，即方程922xtx=−−在()3,12上有两个不等的实根，即922txx=+−在()3,12上有两个不等的实根，令()92gxxx=+−与2yt=，问题转化为函

数()92gxxx=+−与2yt=的图象，在()3,12上存在两个不同的交点.()()9922,3,1222gxxxxxx=+=−++−−，令922xx−=−，解得5x=，由对勾函数性质可知：函数()gx在()3,5单调递减，在)5,12上单调递增，故()min()58gxg==，且

(3)12g=，()1212g，要想即922txx=+−在()3,12上有两个不等的实根，此时8212t，解得：46t，故46t，C正确；D选项，函数()3fxmx=−+在定义域)3,

−+单调递减，当()fx的定义域为,ab时，()fx的值域也为,ab，故()3famab=−+=①，()3fbmba=−+=②，两式相减可得.()()()()33333333ababababab+−+=−=+−+=+−++++，即331ab

+++=，③将③代入②，313mbaaa=++=+−+，令30a=+，得2219224m=−−=−−，又ab，故33ab++，∵331ab+++=，所以130,2a+，∴102，故实数m的取值范围为924m−−，

D正确.故选：ACD.【点睛】函数新定义问题，命题新颖，要熟练掌握函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，有时常常用导函数求解函数单调性及值域，很好的考察学生们知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一

定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()550151xaaxax+=+++，则135aaa++的值为______．【答案】16【解析

】【分析】设()()550151fxxaaxax=+=+++，利用赋值法可得出()()135112aaffa−+−+=的值.【详解】令()()550151fxxaaxax=+=+++，则()()50123450123451210faaaaaafaaaa

aa=+++++=−=−+−+−=，因此，()()13511162faaaf++−−==.故答案为：16.14.若函数()32123=+−fxxx在区间()4,−aa上存在最小值，则整数a的取值可以是______．【答案】1（答案不唯一，2、

3均可）【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性与极值，作出图形，求出使得()()()00fmfm=的m的值，根据函数()fx在区间()4,−aa上有最小值可得出关于实数a的不等式组，解之即可.【详解】因为()32

123=+−fxxx，则()()222fxxxxx=+=+.由()0fx可得20x−，由()0fx¢>可得<2x−或0x，所以，函数()fx的减区间为()2,0−，增区间为(),2−−、()0,+，所以，函数()fx的极大值为()8224233f−=−

+−=−，极小值为()02f=−，令()()22fmf==−，其中0m，则321223mm+−=−，解得3m=−，因为函数()fx在区间()4,−aa上存在最小值，则3400aa−−，解得14a，所以，整数a的取值集合为1,2,3

.故答案为：1（答案不唯一，2、3均可）.15.若平面向量a，b，c满足1a=，0bc=，1ab=，1ac=−，则bc+的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】在平面直角坐标系内，令(1,0)a=，再设出b，c的坐标，利用给定的数量积、结合坐标运算、均值不等式求解

作答.【详解】在平面直角坐标系内，令(1,0)a=，设1122(,),(,)bxycxy==，由1ab=，得11x=，由1ac=−，得21x=−，由0bc=，得12120xxyy+=，即121yy=，121212(,)(0,)bcxxyyyy+=++=+，则222121212

1212||()2222bcyyyyyyyyyy+=+=+++=，当且仅当121yy==或121yy==−时取等号，所以bc+的最小值为2.故答案为：216.已知三棱锥−PABC，平面PBC⊥平面ABC，Q为BC中点，2PBPCABBCAC=====，则过

点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为______．【答案】5ππ,3【解析】【分析】设三棱锥−PABC外接球的球心为O，连接,,PQQAOA，设过点Q的平面为，则当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，当点

Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接,PQQA，由2PBPCABBCAC=====，可知ABC和PBC是等边三角形，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，所以球心O在平面ABC和平面PBC内的射影是ABC和PBC的中心,EF，PBC是等边三角

形，Q为BC中点，所以PQBC⊥，又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABCBC=，所以PQ⊥平面ABC，而AQ平面ABC，因此PQAQ⊥，所以OFQE是矩形，ABC和PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三

角形的高2212232h=−=，在矩形OFQE中，1333OEFQh===，22333AEh==，连接OA，所以221415333OAOEEA=+=+=，设过点Q的平面为，当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226333333

OQOFFQhhh=+=+===，因此圆Q的半径为：22156199OAOQ−=−=，所以此时面积为2π1π=，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155ππ33=，所以截面的面积范围为5ππ,3

.故答案为：5ππ,3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列na的前n项和为nS，且11a=，2218nnSSn+−=．（1）求nS；（2）在数

列na的每相邻两项ka、1ka+之间依次插入1a、2a、L、ka，得到数列1:nba、1a、2a、1a、2a、3a、1a、2a、3a、4a、L，求nb的前20项和20T．【答案】（1）21nSn=−，nΝ．（2）2034T=【解析】【分析】（1）当2n时，利用累

加法可求得2nS的表达式，结合0nS可得出nS的表达式，再检验1n=的情形，综合可得出nS的通项公式；（2）由11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列na的通项公式，列举出数列nb的前20项，

即可求得20T的值.【小问1详解】解：对任意的nN，因为2218nnSSn+−=，当2n时，()()()222222121181811nnnSSSSSSn−=−++−+=−+++()()()2181231181212nnnn−

=++++−+=+=−，因为0na，所以0nS，故21nSn=−．当1n=时，111Sa==适合21nSn=−，所以21nSn=−，nΝ．【小问2详解】解：因为21nSn=−，nΝ，所以当2n时，()()1212112nnnaSSnn−=−=−−−−=

，所以，1,12,2nnan==，所以，数列nb的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2，所以nb的前20项是由6个1与14个2组成．所以2061142

34T=+=．18.如图，在四棱锥PABCD−中，已知PAPC=，ABBC=．（1）求证：PBAC⊥；（2）若平面PCD⊥平面ABCD，ABCD∥，且22ABCD==，90ABC=，二面角PBCD−−的大小为45，求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（

2）23【解析】【分析】(1)取AC的中点M，连接,MBMP，证明MPAC⊥，MBAC⊥，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PMB，从而得到PBAC⊥.(2)由平面PCD⊥平面ABCD得BC⊥平面PCD，从而得到BCPC⊥，故

PCD为二面角PBCD−−的平面角.建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量和BP的坐标，代入夹角公式得到夹角的余弦值，即为直线PB与平面PAD所成角的正弦值．【小问1详解】证明：如图，取AC的中点M，连接,MBMP.∵在PAC△中，PAPC=，MAM

C=，∴MPAC⊥，同理可在ABC中，ABBC=，MAMC=，∴MBAC⊥，且MPMBM=，MPMB、平面PMB，∴AC⊥平面PMB，又PB平面PMB，∴PBAC⊥.【小问2详解】因为平面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，又90AB

C=，ABCD∥，所以BCCD⊥，因为BC平面ABCD，所以BC⊥平面PCD，因为PC平面PCD，所以BCPC⊥，故PCD为二面角PBCD−−的平面角，45PCD=，以B为原点，BC所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，则()0,0,0B，()2,2,2P，()0,2,0A，()2,0,0C，()2,1,0D,则()()012210DP,,,AD,,,==−设平面PAD的一个法向量为(),,nxyz=，则020200nDPyzxynAD=+=−==，令1x

=，得()1,2,1n=−又()222BP,,=，所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值为2sincos3nBPn,BPnBP===．19.如图，平面四边形ABCD中，5AD=，3CD=，120ADC=．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足sinsins

insinabACcAB+−=−．（1）判断四边形ABCD是否有外接圆？若有，求其半径R；若无，说明理由；（2）求ABC内切圆半径r的取值范围．,【答案】（1）有，733R=（2）730,6r【解析】【分析】(1)先由余弦定理求AC，再由正弦定理结合条件得222bacac=+−

，所以1cos2B=，π3B=，所以,,,ABCD四点共圆，则四边形ABCD外接圆半径就等于ABC外接圆的半径．由正弦定理即可求出R；(2)由三角形面积公式得到()11sin22ABCSacBabcr==++，则()1

723rac=+−，由正弦定理得143sin3aA=，143sin3cC=，化简得π14sin6aAc=++，因为2π0,3A，所以(π14sin7146A,+，即可得到ac+的取值范围，从而得到半径r的取值范围．【小问1详解】在

ACD中，2222cos12049ACADDCADDC=+−=，所以7AC=，由正弦定理，sinsinsinsinabACaccABab+−−==−−，可得222bacac=+−，再由余弦定理，1cos2B=，又()0,πB，所以π3B=．因为12

0ADC=，所以180ABCADC+=，所以,,,ABCD四点共圆，则四边形ABCD的外接圆半径就等于ABC外接圆的半径．又71432sin332bRB===，所以733R=．【小问2详解】由（1）可知：2249acac+

−=，则()2493acac+=+，的()11sin22ABCSacBabcr==++，则()()24931172772323acacracacac+−===+−++++．在ABC中，由正弦定理，143sinsinsin3a

cbACB===，所以143sin3aA=，143sin3cC=，则()()143143sinsinsinsin12033acACAA+=+=+−14331sincossin322AAA=++14333sincos322AA=+31π14sincos

14sin226AAA=+=+，又2π0,3A，所以ππ5π,666A+，所以π1sin,162A+，(π14sin7146A,+，即(714ac,+，因为()1723rac

=+−，所以730,6r．20.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．（1）求该100名学生竞赛成绩的第80百

分位数；（2）从竞赛成绩在(40,50，(50,60的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(40,50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望()EX；（3）以样本的频率估计概率，从30,50随机抽取20名学生，用

()Pk表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在30,40内的概率，其中0,1,2,,20k=．当()Pk最大时，求k．【答案】（1）76.25；（2）分布列见解析，65；（3）6k=或7k=.【解析】【分析】（1）利用

给定的频率分布直方图，求出成绩落在[30,70],(70,80]的频率，确定第80百分位数所在区间，再列式计算作答.（2）利用分层抽样求出成绩在(40,50，(50,60内人数，再求出X的可能值及对应概率，列出分布列并求出

期望作答.（3）随机抽一名学生，求出成绩在30,40的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答.【小问1详解】由直方图可知成绩在30,40，(40,50，(50,60，(60,70的频率和

为00601201803407.....+++=，而成绩在(70,80]的频率为0.16，则抽取的100名学生成绩的第80百分位数在(70,80内，设第80百分位数为x，则()70001601x..−=，解得76.25x=，所以

第80百分位数为76.25．【小问2详解】由频率分布直方图可得：竞赛成绩在(40,50，(50,60两组的频率之比为01201823..=，则10人中竞赛成绩在(40,50的人数为410410=人；在(50,60的人数为610610=人；的则X所有可能的取值为0，1，2

，3，于是()36310C2010C1206PX====，()2164310CC6011C1202PX====，()1264310CC3632C12010PX====，()34310C414C12030PX====，所以X的分布列为：X0123P1612310130数学期望为()1131

601236210305EX=+++=．【小问3详解】用频率估计概率，竞赛成绩在30,40内的概率00610060123.p..==+，则()()20202020202020C212C1C333kk

kkkkkkPkpp−−−=−==，()()()()()119202020202020!C211!19!11201213120!C222121!20!3kkkkPkkkkPkkkkk+−−++−−====−+

++−．令()()11211121PkPkk+=−++，解得6k，当且仅当6k=时取等号，即(6)(7)PP=，当6,Nkk时，(1)()PkPk+，当6,N,20kkk时，(1)()PkPk+，所以当6k=或7k=，()Pk最大．21.在平面直角坐标系

xOy中，点P到点()1,0F的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：22143xy+=于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若1ABMN−为定值，求实数λ的值．【答案】（1）

222yxx=+；（2）3=．【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出点P的坐标，再列出方程化简作答.（2）设出直线l的方程，分别与椭圆E、曲线C的方程联立，利用弦长公式求出弦长，再代入计算判断作答.【小问1

详解】设(),Pxy，依题意，()2211xyx−+=+，两边平方并整理，得222yxx=+，所以曲线C的方程为222yxx=+．【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Mxy，()44,Nxy，依题意，设直线l的方程为()1ykx=−，由()221431xyykx+=

=−消去y并整理，得()22223484120kxkxk+−+−=，而点F为椭圆E右焦点，因此2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，则2222221212222241212()811(4143

)()34434kAkkkxxxxkkBkk−+=+++−=+−=++，的由（1）知，24,0220,0xxyxxx=+=，若直线l交曲线C于M、N两点，且0k，则直线l与()240yxx=≥相交，由()241yxyk

x==−消去y并整理，得()2222240kxkxk−++=，而点F为抛物线24yx=的焦点，则234224kxxk++=，于是()2342412kMNxxk+=++=，从而()()()()()2222224343313121121121kkkABMNkkk+−+

−=−=+++，要使1ABMN−为定值，则433−=，即3=，所以实数λ的值为3．22.已知函数()()sinln1fxaxx=−+．（1）若对(1,0x−时，()0fx，求正实数a的最大值；（2）证明：221sinln2nkk=；（

3）若函数()()1esinxgxfxax+=+−的最小值为m，试判断方程()1eln10xmx+−−+=实数根的个数，并说明理由．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）有唯一的实数解，理由见解析【解析

】【分析】（1）将不等式恒成立问题转化成求函数的最值，再利用导数与函数单调性间的关系，通过求出函数的单调区间，进而求出最值，从而求出结果；（2）利用（1）中结果，得到()sinln1xx+，通过令21

(1,N)xkkk=−，从而得到2221sinln1kkk−，再通过过累加即可得出结果；（3）利用函数的单调性求出m的范围，构造函数()()15eeln122xmHxxm+=−+，通过函数的单调性和零点的存在性原理即可求出结果.

【小问1详解】由题知()1cos1fxaxx=−+，令1()cos1hxaxx=−+，所以21()sin(1)hxaxx=−++，又因为(1,0x−时，sin0x，a为正实数，故()0hx在区间

(1,0−恒成立，所以函数()fx在区间(1,0−上单调递增，且()01fa=−．①当01a时，()()00fxf在区间(1,0−上恒成立，函数()fx在(1,0−上单调递减，此时()()00fxf=，符合题意．②当1a时，()0

10fa=−，111cos10faaaaaa−=−−−=，由零点存在定理，011,0xa−时，有()00fx=，即函数()fx在区间()01,x−上单调递减，在区间()0,0x上单调递增，所以当()0

,0xx时，有()()00fxf=，此时不符合，综上所述，正实数a的最大值为1．【小问2详解】由（1）知，当1a=，()1,0x−时，()sinln1xx+，令21(1,)xkkk=−N时，有2222111

sinln1lnkkkk−−−=，即()()2221sinlnln111kkkkkkk=−−+，所以2122sinln213，2133sinln324，L，()()21si

nln11nnnnn−+，累加得()()2221112233sinsinsinlnlnln23132411nnknn++++++−+，即22122332sinlnlnln2ln<ln2ln1=ln213241111nknnnnknnnn==

=++−+++，所以221sinln2nkk=【小问3详解】因为()()1eln1xgxx+=−+，所以()11e1xgxx+−=+，令()11e1xGxx+=−+，则()121e0(1)xGxx

+++=在区间()1,−+上恒成立，所以函数()gx在区间()1,−+上单调递增，又()0e10g=−，1e202g−=−，由零点存在定理，11,02x−时，有()

10gx=，即1111e1xx+=+，因此()11111lnln11xxx+==−++，而函数()gx在()11,x−上递减，在()1,x+上递增，所以()()()11111min111111eln1ln1111xmgxgxxxxxx+===−+=+=+++++，又因为

111,12x+，令111,12xt+=，则1mtt=+，所以222211(1)(1)10tttmttt−−+=−==在区间1(,1)2上恒成立，即1mtt=+在区间1(,1)2上单调递减，所以1

52222m+=，即52,2m．设()()15eeln122xmHxxm+=−+，则()1ee1mxHxx+=−+，令()1ee1mxtxx+=−+，则()12ee0(1)m

xtxx+=++在区间()1,−+上恒成立所以函数()Hx在区间()1,−+上单调递增，又()0ee0mH=−，()()e110mmHmm−−=，由零点存在定理，()201x,m−时，()20H

x=，即212ee1mxx+=+，因此()221ln1mxx=+++，又1111ln11mxx=+++，设()lnmxxx=+，则()110mxx=+在区间()0,+上恒成立，所以函数()mx在()0,+上递增，于是21111xx+=+且()21

ln11xx+=+，而函数()Hx在()21,x−上递减，在()2,x+上递增，∴()()()()()()2122211min21eeln1eln1e1101xmmmHxHxxxxxx+==−+=−+=+−+=+，即函数()Hx有

唯一零点2x，故方程()1eln10xx+−+=有唯一的实数解．【点睛】关键点睛：零点代换：当()yfx=存在零点，且满足等式时，对应在此点处的等量运算也成立，即若有1111e1xx+=+，则有()11111lnln11xxx+==−++.获

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