山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 word版含解析

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【文档说明】山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 word版含解析.docx,共(28)页,1.530 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题2023.5注意事项:1.答卷前,先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上,并在答题纸规定位置贴条形码.2.本试卷满分150分,分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第1页至第3页,第Ⅱ卷为第3

页至第4页.3.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.4.非选择题的作答:用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷(共60分)一、

单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位,复数z满足23i1z−−=,则z在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.

第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义可得,复数z在复平面内对应的点Z在以(2,3)为圆心,1为半径的圆上,根据图像即可得答案.【详解】设复数=zabi+,则23=2(3)ziabi−−−+−,所以2223=(2)(3)1ziab−−−+−=,即22(2)(3

)1ab−+−=,则复数z在复平面内对应的点Z在以(2,3)为圆心,1为半径的圆上,所以z在复平面内对应的点在第一象限.故选A.【点睛】本题考查复数的几何意义,需熟练掌握复数的加减及求模运算法则,属基础题.2.已知集合230Axxx=−,集合()3log11Bxx=−

,则AB=().A.03xxB.13xxC04xxD.14xx【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为23003Axxxxx=−=,()

3log1101314Bxxxxxx=−=−=,因此,13ABxx=.故选:B.3.若椭圆22:12xyCm+=的离心率为63,则椭圆C的长轴长为()A.22B.263或26C.26D.22或

26【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的离心率求出22ba的值,对椭圆C的焦点位置进行分类讨论,求出m的值,即可求得椭圆C的长轴长.【详解】因为22222222262133cabbeaaa−===−==,所以,2213ba=.①若椭圆C的焦点在x轴上,则22213bam==,可得

6m=,则6am==,此时,椭圆C的长轴长为26;②若椭圆C的焦点在y轴上,则22123bma==,可得23m=,则2a=,此时,椭圆C的长轴长为22.综上所述,椭圆C的长轴长为22或26..故选:D.4.在高

三某次模拟考试中,甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表:班级人数平均分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为().A.6.5B.13C.30.8D.31.8【答案】C【解析】【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数,再根据方差公式计算两个班所有学生的数学成绩的

方差.【详解】因为甲班平均分数为70x=甲,乙班平均分数为80x=乙,所以两个班所有学生的数学平均分数为40706080764060x+=+=,所以两个班所有学生的数学成绩的方差为:22240605()8()4060406

0sxxxx=+++++甲乙--22)154840605(7076)8(80764064300060.5=+−++−==++.故选:C5.一袋里装有带编号的红色,白色,黑色,蓝色四种不同颜色

的球各两个,从中随机选4个球,已知有两个是同一颜色的球,则另外两个球不是同一颜色的概率为().A.25B.45C.89D.815【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用古典概率求出至少有两个球颜色相同的

概率,再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为A,两球颜色不同的事件为B,因此212244348CCC2643427()C7035PA++===,1224348CC243424()C7035PAB===,所以有两个是同一

颜色的球,则另外两个球不是同一颜色的概率为()8(|)()9PABPBAPA==.故选:C6.已知eemm+=,5enn+=,则lgnm与lgmn的大小关系是()A.lglgnmmnB.lglgnmmnC.lglgnmmn=D.不确定【答案】

B【解析】【分析】根据题意构造函数()extxx=+求解出0enm,根据选项构造函数()lglnln10xxfxxx==,判断其单调性从而得出选项.【详解】5eennnn+=+,又eemm+=,则eemnmn++,设()extxx=+,显然()tx为增函

数,因为()()tmtn,所以mn又()01et=,()eeeeet=+,则0enm令()lglnln10xxfxxx==,设()lnxgxx=,则()21lnxgxx−=,当()0,ex时()gx单调递增,则()

()lnln10ln10gxxfxx==在()0,ex上单调递增,故()()lglgmnfmfnmn,解得lglgnmmn.故选:B【点睛】思路点睛:①选择题中判断不等式关系:思路一:遇到解

析式不相近,可考虑通过作差法进行大小比较;思路二:遇到解析式相近,可考虑构造函数,利用函数单调性与内外函数关系进行大小比较.②选择题中构造函数思路:可根据选项提示,将含同一类字母的的式子写在一般,观察不等号两边式子共性进行构造函数;若原式复杂,在不等式问

题中可适当放缩后构造新函数.7.已知()sin()fxx=+(0)满足()14f=,503f=且()fx在5,46上单调,则的最大值为()A.127B.1817C.617D.3017【答案】B【解析】【分析】通过

对称轴与对称点得出的式子,再通过单调得出的范围,即可得出答案.【详解】()sin()fxx=+(0)满足()14f=,503f=,53442TnT−=+,即()173

6Tnn=+N,()61217nn+=N,()fx在5,46上单调,572641222T−==,即127,当1n=时最大,最大值为1817,故选:B.8.已知实数1212,xxyy、、满足2222112212122,2,0xyxyxx

yy+=+=+=,记11222222wxyxy=+−++−,则w的最大值是()A.22B.42C.62D.82【答案】C【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得OMON⊥,然后结合点到直线的

距离公式和直线与圆的位置关系即可求出.【详解】设1122(,),(,)MxyNxy,因为22112,xy+=22222,xy+=12120xxyy+=因为MN、在以原点()0,0O为圆心,2为半径的圆上,且OMON⊥.设点MN、到直线220xy+−=的距离之和为u,则112222222

2xyxyu+−+−=+,转化为求2u的最大值.设点P为点M与点N的中点,设P点到直线220xy+−=的距离为d,则2ud=,又112OPMN==.故P点轨迹方程为圆221xy+=.圆221xy+=上点到直线220xy+−=距离的最

大值max22132d=+=.所以w的最大值是62.故选:C.【点睛】二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列有关回归分析的

结论中,正确的有()A.若回归方程为62.5yx=−,则变量y与x负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(),xyC.若决定系数2R的值越接近于0,表示回归模型的拟合效果越好D.若散点图中

所有点都在直线0.924.21yx=−上,则相关系数0.92r=【答案】AB【解析】【分析】A选项,根据2.50−得到变量y与x负相关;B选项,运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心;C选项,2R的值越接近于1,拟合效果越好;D选项,若散点

图中所有点都在直线0.924.21yx=−,说明此时相关系数1r=.【详解】因为2.50−,所以变量y与x负相关,A正确;运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(),xy,B正确;若决定系数2R的值越接近于0,表示回归模型的拟合效果越差,越接近于1,表示回归模

型的拟合效果越好,C错误;若散点图中所有点都在直线0.924.21yx=−,结合0.920可得:相关系数为1,D错误;故选:AB10.已知na为等差数列,前n项和为nS,110a=,公差2d=−,则().A.212nan=−+B.47SS=C.当5n

=或6时,nS取得最大值为30D.数列122023a,a,,a与数列()310mm+共有671项互为相反数【答案】ABC【解析】【分析】根据给定的等差数列,求出通项公式判断A;利用性质计算判断B;

由单调性结合正负数项计算判断C;求出两个数列的互为相反数的项数判断D作答.【详解】数列na为等差数列,前n项和为nS,110a=,公差2d=−,则有1(1)102(1)212naandnn=+−=−−=−+,A正确;因为60a=,所以74567630S

Saaaa−=++==,B正确;因为20d=−,即数列na为递减等差数列,且当6n时,0na,因此数列na的前5项均为正,第6项为0,从第7项起为负,所以当5n=或6时,nS取得最大值561006302SS+===,C正确;令

数列na的第n项na与数列310m+的第m项互为相反数,即3100nam++=,于是3112nm=+,而Nn,则m为偶数,令2,Nmkk=,有310610mk+=+,因此数列na与数列310m+成互为相反数的项

构成等差数列{}kc,且610kck=+,显然20234034kca−=,即6104034k+,又Nk,则max670k=,所以数列122023a,a,,a与数列()310mm+共有670项互为相反

数,D错误.故选:ABC11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径(S为顶点,O为圆心),点B为圆O上异于A,C的动点,1SO=,3OC=,平面α和直线SO所成的角为θ,该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C,则().A.过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2B.SAB的取值范围为ππ,63

C.若ABBC=,E为线段AB上的动点,则SECE+的最小值为10215+D.若22sin23=,则曲线C必为双曲线的一部分【答案】ACD【解析】【分析】A选项,设(2,0,3MNaa=,表达出截面面

积,利用基本不等式求出最大值;B选项,可举出反例得到π3=SAB;C选项,将立体图形展开,得到三点共线时,取得最小值,利用余弦定理求出最小值;D选项,由二倍角公式得到tan,根据tan3tanASO=得到ASO,D正确.【详解】对选项A:如图1

,设截面为,SMNQ为MN中点,连接,OQSQ,设(2,0,3MNaa=,则222144222SMNaaSMNSQaa+−==−=△,当24aa=−,即2a=时等号成立,A正确;对选项B:如图2,SAB△中,2,023SASBAB==,则当2AB=时,π3=SAB,B错误;对选项

C:如图3,ABC为等腰直角三角形,6ABBC==,将SAB△放平得到1SAB,当1,,SEC三点共线时SECE+最小,F为AB中点,连接1SF,则22111162210,sin24SFSFABABSSB−⊥===,2

2111112cos46226cos102152SCBSBCBSBCSBCABS=+−=+−+=+,C正确;对选项D:由22tan22sin21tan3==+,可解得tan2=或者22,而tan3tanAS

O=,所以ASO,从而该圆锥侧面与平面的交线为曲线,则必为双曲线的一部分,D正确.故选:ACD.【点睛】思路点睛:(1)直接连接法:有两点在几何体的同一个平面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面就是找

交线的过程;(2)作平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线;(3)作延长线找交点法:若直线相交但在立体几何中未体现,可通过作延长线的方法先找到交点

,然后借助交点找到截面形成的交线;(4)辅助平面法:若三个点两两都不在一个侧面或者底面中,则在作截面时需要作一个辅助平面.12.对于定义域为D的函数()yfx=,若存在区间[,]abD使得()fx同时满足:①()fx在,ab上是单调函数;②当

()fx的定义域为,ab时,()fx的值域也为,ab,则称区间,ab为该函数的一个“和谐区间”,则()A.函数()312fxxx=+有3个“和谐区间”B.函数()214fxx=+,)0,x+存在“和谐区间”C.若定义在()3,12上的函数()2492txtfxx−−=−有“和谐区

间”,实数t的取值范围为46tD.若函数()3fxmx=−+在定义域内有“和谐区间”,则实数m的取值范围为924m−−【答案】ACD【解析】【分析】A选项,由()fx的单调性得到a,b为312xxx+=的两个实根,解出x可能取值,确定3个“和谐区间”,A正确;B选项,2

14xx+=只有1个解,故不合题意;C选项,分离常数后得到()fx的单调性,问题转化为函数()92gxxx=+−与2yt=的图象交点问题,求出函数()gx的单调性和最值情况,从而得到答案;D选项,由函数单调性,确定()fab=,()fba=,转化为331ab+

++=,换元后得到2219224m=−−=−−,由的范围求出m的取值范围.【详解】A选项,因为31,2yxyx==均在R上单调递增,所以函数()312fxxx=+在R上单调递增,所以有3312

12aaabbbab+=+=,即a,b为312xxx+=的两个实根,解得x可能取值为22−,0,22,即函数()312fxxx=+的有3个“和谐区间2,02−,22,22−,20,2,故A正确.B选项,由于

)0,x+,221110422xxxx+=−==,只有一解,故不存在“和谐区间”,故B错误;C选项,()2492txtfxx−−=−在()3,12上有“和谐区间”,所以存在区间,ab,使函数()

fx的值域为,ab,()2499222txtfxtxx−−==−−−函数在()3,12上单调递增,∴a,b为关于x的方程922xtx=−−的两个实根,即方程922xtx=−−在()3,12上有两个不等的实根,即922txx=

+−在()3,12上有两个不等的实根,令()92gxxx=+−与2yt=,问题转化为函数()92gxxx=+−与2yt=的图象,在()3,12上存在两个不同的交点.()()9922,3,1222gxxxxxx=+=−++−−,令922x

x−=−,解得5x=,由对勾函数性质可知:函数()gx在()3,5单调递减,在)5,12上单调递增,故()min()58gxg==,且(3)12g=,()1212g,要想即922txx=+−在()3,12上有两个不等的实根,此时8212t,

解得:46t,故46t,C正确;D选项,函数()3fxmx=−+在定义域)3,−+单调递减,当()fx的定义域为,ab时,()fx的值域也为,ab,故()3famab=−+=①,()3fb

mba=−+=②,两式相减可得.()()()()33333333ababababab+−+=−=+−+=+−++++,即331ab+++=,③将③代入②,313mbaaa=++=+−+,令30a=+,得2219224m=−−=−−

,又ab,故33ab++,∵331ab+++=,所以130,2a+,∴102,故实数m的取值范围为924m−−,D正确.故选:ACD.【点睛】函数新定义问题,命题新颖,要熟练掌握函数的性质,包括单调性,奇偶性,值域等,有时常常用导

函数求解函数单调性及值域,很好的考察学生们知识迁移,综合运用能力,对于此类问题,一定要解读出题干中的信息,正确理解问题的本质,转化为熟悉的问题来进行解决.第Ⅱ卷(共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()550151xaaxax+=+++,则135aaa++的值

为______.【答案】16【解析】【分析】设()()550151fxxaaxax=+=+++,利用赋值法可得出()()135112aaffa−+−+=的值.【详解】令()()550151fxxa

axax=+=+++,则()()50123450123451210faaaaaafaaaaaa=+++++=−=−+−+−=,因此,()()13511162faaaf++−−==.故答案为:16.

14.若函数()32123=+−fxxx在区间()4,−aa上存在最小值,则整数a的取值可以是______.【答案】1(答案不唯一,2、3均可)【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性与极值,作出图形

,求出使得()()()00fmfm=的m的值,根据函数()fx在区间()4,−aa上有最小值可得出关于实数a的不等式组,解之即可.【详解】因为()32123=+−fxxx,则()()222fxxxxx=+=+.由()0fx可得20x−,由()0fx¢>可得<2x−或0x,

所以,函数()fx的减区间为()2,0−,增区间为(),2−−、()0,+,所以,函数()fx的极大值为()8224233f−=−+−=−,极小值为()02f=−,令()()22fmf==−,其中0m,则321223mm+−=−,解得3m=−,因为函数()fx在区间

()4,−aa上存在最小值,则3400aa−−,解得14a,所以,整数a的取值集合为1,2,3.故答案为:1(答案不唯一,2、3均可).15.若平面向量a,b,c满足1a=,0bc=,1ab=,1ac=−,则

bc+的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】在平面直角坐标系内,令(1,0)a=,再设出b,c的坐标,利用给定的数量积、结合坐标运算、均值不等式求解作答.【详解】在平面直角坐标系内,令(1,0)a=,设1122(,),(,)bxycxy=

=,由1ab=,得11x=,由1ac=−,得21x=−,由0bc=,得12120xxyy+=,即121yy=,121212(,)(0,)bcxxyyyy+=++=+,则2221212121212||()2222b

cyyyyyyyyyy+=+=+++=,当且仅当121yy==或121yy==−时取等号,所以bc+的最小值为2.故答案为:216.已知三棱锥−PABC,平面PBC⊥平面ABC,Q为BC中点,2PBPCABBCAC=====,则过点Q的平面截该三棱锥外接

球所得截面面积的取值范围为______.【答案】5ππ,3【解析】【分析】设三棱锥−PABC外接球的球心为O,连接,,PQQAOA,设过点Q的平面为,则当OQ⊥时,此时所得截面的面积最小,当点

Q在以O为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接,PQQA,由2PBPCABBCAC=====,可知ABC和PBC是等边三角形,设三棱锥−PABC外接球的球心为O,所以球心O在平面ABC和平面PBC内的射影是ABC和PBC的中心,E

F,PBC是等边三角形,Q为BC中点,所以PQBC⊥,又因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC平面ABCBC=,所以PQ⊥平面ABC,而AQ平面ABC,因此PQAQ⊥,所以OFQE是矩形,ABC和PBC是边长为2的等边三角形,所以

两个三角形的高2212232h=−=,在矩形OFQE中,1333OEFQh===,22333AEh==,连接OA,所以221415333OAOEEA=+=+=,设过点Q的平面为,当OQ⊥时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,222211226333333OQOF

FQhhh=+=+===,因此圆Q的半径为:22156199OAOQ−=−=,所以此时面积为2π1π=,当点Q在以O为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,面积为:2155ππ33=,所以截面的面积范围为5ππ,3.故答案为:5π

π,3四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列na的前n项和为nS,且11a=,2218nnSSn+−=.(1)求nS;(2)在数列na的每相邻两项ka、1ka+之间依次插入1a、2a、L、ka,得到数列1:nba、1a

、2a、1a、2a、3a、1a、2a、3a、4a、L,求nb的前20项和20T.【答案】(1)21nSn=−,nΝ.(2)2034T=【解析】【分析】(1)当2n时,利用累加法可求得2nS的表达式,结合0nS可得出nS的表达式,再检验1n=的情形,综合可得出nS的

通项公式;(2)由11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列na的通项公式,列举出数列nb的前20项,即可求得20T的值.【小问1详解】解:对任意的nN,因为2218nnSSn+−=,当2n时,()()()222222121181811nnnSSS

SSSn−=−++−+=−+++()()()2181231181212nnnn−=++++−+=+=−,因为0na,所以0nS,故21nSn=−.当1n=时,111Sa==适合21nSn=−,所以21nSn=−,

nΝ.【小问2详解】解:因为21nSn=−,nΝ,所以当2n时,()()1212112nnnaSSnn−=−=−−−−=,所以,1,12,2nnan==,所以,数列nb的前20项分别为

:1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2,所以nb的前20项是由6个1与14个2组成.所以206114234T=+=.18.如图,在四棱锥PABCD−中,已知PAPC=,ABBC=.(1)求证:P

BAC⊥;(2)若平面PCD⊥平面ABCD,ABCD∥,且22ABCD==,90ABC=,二面角PBCD−−的大小为45,求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)取AC的中

点M,连接,MBMP,证明MPAC⊥,MBAC⊥,由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PMB,从而得到PBAC⊥.(2)由平面PCD⊥平面ABCD得BC⊥平面PCD,从而得到BCPC⊥,故PCD为二面角PBCD−−的平面角.建立空间直角坐标系,求出平面PAD的一个法向量和B

P的坐标,代入夹角公式得到夹角的余弦值,即为直线PB与平面PAD所成角的正弦值.【小问1详解】证明:如图,取AC的中点M,连接,MBMP.∵在PAC△中,PAPC=,MAMC=,∴MPAC⊥,同理可在ABC中,ABBC=,MAMC=,∴MBAC⊥,且MPMBM=

,MPMB、平面PMB,∴AC⊥平面PMB,又PB平面PMB,∴PBAC⊥.【小问2详解】因为平面PCD⊥平面ABCD,交线为CD,又90ABC=,ABCD∥,所以BCCD⊥,因为BC平面ABCD,所

以BC⊥平面PCD,因为PC平面PCD,所以BCPC⊥,故PCD为二面角PBCD−−的平面角,45PCD=,以B为原点,BC所在直线为x轴,以BA所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0B,()2,2

,2P,()0,2,0A,()2,0,0C,()2,1,0D,则()()012210DP,,,AD,,,==−设平面PAD的一个法向量为(),,nxyz=,则020200nDPyzxynAD=+=−==,令1x=,得()1,2,1n=−又()222BP,,=,所以

直线BP与平面PAD所成角的正弦值为2sincos3nBPn,BPnBP===.19.如图,平面四边形ABCD中,5AD=,3CD=,120ADC=.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且满足sinsinsinsinabACcAB+−

=−.(1)判断四边形ABCD是否有外接圆?若有,求其半径R;若无,说明理由;(2)求ABC内切圆半径r的取值范围.,【答案】(1)有,733R=(2)730,6r【解析】【分析】(1)先由余弦定理求AC,再由正弦定理结合条件得222bacac=+−,所以1co

s2B=,π3B=,所以,,,ABCD四点共圆,则四边形ABCD外接圆半径就等于ABC外接圆的半径.由正弦定理即可求出R;(2)由三角形面积公式得到()11sin22ABCSacBabcr==++,则()1723rac=+−,由正弦定理得143sin3aA=,143sin3cC

=,化简得π14sin6aAc=++,因为2π0,3A,所以(π14sin7146A,+,即可得到ac+的取值范围,从而得到半径r的取值范围.【小问1详解】在ACD中,2222cos12049ACADDCA

DDC=+−=,所以7AC=,由正弦定理,sinsinsinsinabACaccABab+−−==−−,可得222bacac=+−,再由余弦定理,1cos2B=,又()0,πB,所以π3B=.因为120ADC=,所以180ABCADC+=,

所以,,,ABCD四点共圆,则四边形ABCD的外接圆半径就等于ABC外接圆的半径.又71432sin332bRB===,所以733R=.【小问2详解】由(1)可知:2249acac+−=,则()2493acac+=+,的()11sin22ABCSacBa

bcr==++,则()()24931172772323acacracacac+−===+−++++.在ABC中,由正弦定理,143sinsinsin3acbACB===,所以143sin3aA=,143sin3cC=,则()()14314

3sinsinsinsin12033acACAA+=+=+−14331sincossin322AAA=++14333sincos322AA=+31π14sincos14sin226AA

A=+=+,又2π0,3A,所以ππ5π,666A+,所以π1sin,162A+,(π14sin7146A,+,即(714ac,+,因为()1723rac=+−,所以730,6r

.20.某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分),并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.(1)求该100名

学生竞赛成绩的第80百分位数;(2)从竞赛成绩在(40,50,(50,60的两组的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记竞赛成绩在(40,50的学生人数为X,求X的分布列和数学期望()EX;(3)以样本的频率估计概率,从30,50随机抽

取20名学生,用()Pk表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在30,40内的概率,其中0,1,2,,20k=.当()Pk最大时,求k.【答案】(1)76.25;(2)分布列见解析,65;(3)6k=或7k=.【解析】【分析】(1)利用给定的频率分布

直方图,求出成绩落在[30,70],(70,80]的频率,确定第80百分位数所在区间,再列式计算作答.(2)利用分层抽样求出成绩在(40,50,(50,60内人数,再求出X的可能值及对应概率,列出分布列并求出期望作答.(3)随机抽一名学生,求出成绩在30,40的概率,再利用独立

重复试验的概率公式,列出不等式求解作答.【小问1详解】由直方图可知成绩在30,40,(40,50,(50,60,(60,70的频率和为00601201803407.....+++=,而成绩在(70,80]的频率为0.16,则抽取的100名学生成绩

的第80百分位数在(70,80内,设第80百分位数为x,则()70001601x..−=,解得76.25x=,所以第80百分位数为76.25.【小问2详解】由频率分布直方图可得:竞赛成绩在(40,50,(50,60两组的频率之比为01201823..=,则10人中竞赛成绩在(4

0,50的人数为410410=人;在(50,60的人数为610610=人;的则X所有可能的取值为0,1,2,3,于是()36310C2010C1206PX====,()2164310CC6011C1202PX====,()1264310CC36

32C12010PX====,()34310C414C12030PX====,所以X的分布列为:X0123P1612310130数学期望为()1131601236210305EX=+++=.【小问3详

解】用频率估计概率,竞赛成绩在30,40内的概率00610060123.p..==+,则()()20202020202020C212C1C333kkkkkkkkPkpp−−−=−==,()()()(

)()119202020202020!C211!19!11201213120!C222121!20!3kkkkPkkkkPkkkkk+−−++−−====−+++−.令()()11211121PkPkk+=−++,解得

6k,当且仅当6k=时取等号,即(6)(7)PP=,当6,Nkk时,(1)()PkPk+,当6,N,20kkk时,(1)()PkPk+,所以当6k=或7k=,()Pk最大.21.在平面直角坐标系xOy中,点P到点()1,0F的距离比到

y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E:22143xy+=于A,B两点,交曲线C于M,N两点,若1ABMN−为定值,求实数λ的值.【答案】(1)222yxx=+;(2)3=.【解

析】【分析】(1)根据给定条件,设出点P的坐标,再列出方程化简作答.(2)设出直线l的方程,分别与椭圆E、曲线C的方程联立,利用弦长公式求出弦长,再代入计算判断作答.【小问1详解】设(),Pxy,依题意,()2211xyx−+=+,两边平方并整理,得222yxx=+,所以曲线C的方程为2

22yxx=+.【小问2详解】设()11,Axy,()22,Bxy,()33,Mxy,()44,Nxy,依题意,设直线l的方程为()1ykx=−,由()221431xyykx+==−消去y并整理,得()22223484120k

xkxk+−+−=,而点F为椭圆E右焦点,因此2122834kxxk+=+,212241234kxxk−=+,则2222221212222241212()811(4143)()34434kAkkkxxxxkkBkk−+=+++−=+−=++,的由(1)知,24,0220,0xxyx

xx=+=,若直线l交曲线C于M、N两点,且0k,则直线l与()240yxx=≥相交,由()241yxykx==−消去y并整理,得()2222240kxkxk−++=,而点F为抛

物线24yx=的焦点,则234224kxxk++=,于是()2342412kMNxxk+=++=,从而()()()()()2222224343313121121121kkkABMNkkk+−+−=−=+++,要使1ABMN−为定值,则433

−=,即3=,所以实数λ的值为3.22.已知函数()()sinln1fxaxx=−+.(1)若对(1,0x−时,()0fx,求正实数a的最大值;(2)证明:221sinln2nkk=;(3)若函数()

()1esinxgxfxax+=+−的最小值为m,试判断方程()1eln10xmx+−−+=实数根的个数,并说明理由.【答案】(1)1(2)证明见解析(3)有唯一的实数解,理由见解析【解析】【分析】(1)将不等式

恒成立问题转化成求函数的最值,再利用导数与函数单调性间的关系,通过求出函数的单调区间,进而求出最值,从而求出结果;(2)利用(1)中结果,得到()sinln1xx+,通过令21(1,N)xkkk=−,从而得到2221sinln1kkk−,再通过过累加即可得出结果;(3)利用函数的单调性

求出m的范围,构造函数()()15eeln122xmHxxm+=−+,通过函数的单调性和零点的存在性原理即可求出结果.【小问1详解】由题知()1cos1fxaxx=−+,令1()cos1hxaxx=−+,所以21(

)sin(1)hxaxx=−++,又因为(1,0x−时,sin0x,a为正实数,故()0hx在区间(1,0−恒成立,所以函数()fx在区间(1,0−上单调递增,且()01fa=−.①当01a时,()()00fxf在区间(1,0−上恒成立,函数()fx在(

1,0−上单调递减,此时()()00fxf=,符合题意.②当1a时,()010fa=−,111cos10faaaaaa−=−−−=,由零点存在定理,011,0xa−时,有()00

fx=,即函数()fx在区间()01,x−上单调递减,在区间()0,0x上单调递增,所以当()0,0xx时,有()()00fxf=,此时不符合,综上所述,正实数a的最大值为1.【小问2详解】由(1)知,当1a=,()1,0x

−时,()sinln1xx+,令21(1,)xkkk=−N时,有2222111sinln1lnkkkk−−−=,即()()2221sinlnln111kkkkkkk=−−+,所以2122sinln213,2133sinln3

24,L,()()21sinln11nnnnn−+,累加得()()2221112233sinsinsinlnlnln23132411nnknn++++++−+,即22122332sinlnlnln2ln<ln2ln1=ln213241111nknnnnknnnn=

==++−+++,所以221sinln2nkk=【小问3详解】因为()()1eln1xgxx+=−+,所以()11e1xgxx+−=+,令()11e1xGxx+=−

+,则()121e0(1)xGxx+++=在区间()1,−+上恒成立,所以函数()gx在区间()1,−+上单调递增,又()0e10g=−,1e202g−=−,由零点存在定理,11,02x−时,有()10gx=

,即1111e1xx+=+,因此()11111lnln11xxx+==−++,而函数()gx在()11,x−上递减,在()1,x+上递增,所以()()()11111min111111eln1ln1111xmgxgxxxxxx+==

=−+=+=+++++,又因为111,12x+,令111,12xt+=,则1mtt=+,所以222211(1)(1)10tttmttt−−+=−==在区间1(,1)2上恒成立,即1mtt=+在区间1(,1)2上单调递减,所以152222m+=,即

52,2m.设()()15eeln122xmHxxm+=−+,则()1ee1mxHxx+=−+,令()1ee1mxtxx+=−+,则()12ee0(1)mxtxx+=++在区间()1,−+上恒成立所以函数()Hx在区间()1,−+上单调递增,又(

)0ee0mH=−,()()e110mmHmm−−=,由零点存在定理,()201x,m−时,()20Hx=,即212ee1mxx+=+,因此()221ln1mxx=+++,又1111ln11mxx=+++,设()lnmxxx=+,则()110mxx=+在区间()

0,+上恒成立,所以函数()mx在()0,+上递增,于是21111xx+=+且()21ln11xx+=+,而函数()Hx在()21,x−上递减,在()2,x+上递增,∴()()()()()()2122211min21eeln1eln1e1101xmm

mHxHxxxxxx+==−+=−+=+−+=+,即函数()Hx有唯一零点2x,故方程()1eln10xx+−+=有唯一的实数解.【点睛】关键点睛:零点代换:当()yfx=存在零点,且满足等式时,对应在此点处的等量运算也成立,即若有111

1e1xx+=+,则有()11111lnln11xxx+==−++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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