【文档说明】湖南省娄底市2020届高三上学期期末教学质量检测数学文科试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.797 MB，由小赞的店铺上传

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娄底市2019年下学期高三教学质量检测试卷数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合11,1,{2}MN

xx=−=，则下列结论正确的是A.NMB.MNC.NM=D.MNR=【答案】B【解析】【分析】求出B后可得正确的选项.【详解】因为12x，故120xx−即(12)0xx−，所以0x或12x，则

MN，故选：B.【点睛】本题考查集合的包含关系和分式不等式的解，属于基础题.2.若复数12bii++的实部与虚部相等，则实数b等于（）A.12−B.13C.1D.3【答案】D【解析】【分析】对复数化简计算得1221255bibbii++−=++，根据实

部与虚部相等，解方程得解.【详解】由题：()()()()12122221222555biibiibibbbiiii+−+−+++−===+++−，实部与虚部相等，所以22155bb+−=，解得：3b=故选：D【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法

则和对概念准确辨析.3.已知三条不重合的直线mnl、、,两个不重合的平面、,下列四个命题中正确的是()A.若l⊥,m⊥,且lm,则∥B.若,mnn,则mC.若,mn，m,n,则∥D.若,,mn⊥=

,，则n⊥【答案】A【解析】【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，∵m⊥β，∴α∥β，A正确；∵m∥n，n⊂α

，有可能m⊂α，∴B错误；∵m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m、n不一定相交，∴α、β不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选A．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件．4.已知某

班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()A.92，94B.92，86C.99，86D.95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86.故选B.5.已知,ab都是实数，p：直线0xy+=与圆()()222xayb−+−=相切；q：

2ab+=，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0xy+=与圆()()222xayb−+−=相切，则圆心(),ab到直线0xy+=的距离等于半径2，即22ab+=，化简得2ab+=，即2ab+=.充分

性：若直线0xy+=与圆()()222xayb−+−=相切，则2ab+=，充分性不成立；必要性：若2ab+=，则直线0xy+=与圆()()222xayb−+−=相切，必要性成立.故p是q的必要不充分条件.故选B.6.

已知等差数列na的前13项之和为134，则678tan()aaa++等于（）A.33B.3C.—1D.1【答案】C【解析】【分析】根据等差数列na的前13项之和()113713131324aaa+==,求得74a=,则()()6787tanta

n3aaaa++=,运算求得结果.【详解】由题意可得()11377131313244aaaa+===，,则()()67873tantan3tan14aaaa++===−,故选C.本题考查等差数

列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出74a=,是解题的关键.7.已知函数sin(0)yaxba=+的图象如图所示，则函数log()ayxb=+的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数sin(0)yaxba

=+的图象可得,ab的范围,进而可知函数log()ayxb=+的单调性及所过定点坐标,即可判断选项.【详解】由函数sin(0)yaxba=+的图象可得201,23ba,即213a,故函

数log()ayxb=+是定义域内的减函数,且过定点(1,0)b−,故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质应用,对数函数的图像与性质的应用,属于基础题.8.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四

个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）A.22B.32C.32−D.31−【答案】D【解析】【分析】四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是2a，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.【详解】设椭圆的

焦点是12,FF，圆与椭圆的四个交点是,,,ABCD,设122FFc=，1AFc=，23AFc=，()0c12232AFAFacca+=+=，23131cea===−+.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型9.已知函数()sincos()fx

axxxxa=+R为奇函数，则3f−=（）A.6−B.36−C.6D.36【答案】A【解析】【分析】通过()()022ff+−=求出0a=，得到()fx，即可以求出()3f−．【详解】()sincos()fxaxxxxa

=+R是奇函数sincos222sin()cos()22()222()222()(002)22aafaafffaa+=−=−+−=−−=−===()cosfxxx=()co

s()3336f−=−−=−，故选A【点睛】因为函数是奇函数，所以通过特殊值法，快速求出a的值，是一道简单题．10.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自

检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）A.mmn+B.nmn+C

.4mmn+D.4nmn+【答案】C【解析】【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221xy+=内，进一步得到211411+mmn=，则答案可求．【详解】总人数为+mn，写出的+mn组数可以看作是+m

n个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221xy+=内，则211411+mmn=，即4+mmn=，故选C．【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．11.P为双曲线22149xy−=右支上一点，12,FF分别为双曲

线的左、右焦点，且120PFPF=，直线2PF交y轴于点A，则1AFP的内切圆半径为（）A.2B.3C.32D.132【答案】A【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设1APF的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得112PFPAAFr+

−=，由双曲线的几何性质分析2124AFAFr−=−，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案.详解：根据题意，双曲线22149xy−=，其中2a=，设1APF的内切圆半径为r，12PFPF⊥，112PFPAAFr+−=2122PFaPAAFr++−=2124AFA

Fr−=−，由图形的对称性知21AFAF=，即240r−=2r=.故选：A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式.12.已知实数a，b满足225ln0aab−−=，cR，则22()()acbc−++的最小值为()A.12B.22C.322D.92【答

案】C【解析】试题分析：由题意，得，代换，代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足，因此求()()22acbc−++的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，设直线与曲线相切于点，则，解得，所以切点为,所以点到直线的距离，则()()22acbc−++的最小值为

，综上所述，选C.考点：1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变

形发现变成求()()22acbc−++的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，因此在曲线上找到一个和平行的直线与之间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转换是解决问题的关键.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共

4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量,ab满足3a=，2b=，3ab=−，则2ab+=.【答案】7【解析】试题分析：因为222|2|44316127ababab+=++=+−=，所以27ab+=考点：向量数量积，向量

的模14.已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是______.【答案】23【解析】【分析】根据俯视图和三条侧棱两两垂直的关系，求出三条侧棱长即可求得体积.【详解】根据俯视图可

得该正三棱锥底面正三角形边长为2，三条侧棱两两垂直，所以侧面均为等腰直角三角形，直角边长即侧棱长为2，转换顶点，以正三角形任意顶点作为锥体顶点，则锥体体积112222323V==故答案为：23【点睛】此题考查根据三视图识别几何

体特征并求体积，关键在于准确识图，根据几何体的特点求解体积.15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b=，4c=，且cos3cosaBbA=，则ABC的面积为______.【答案】2【解析】【分析】根据余弦定理进行边角互化，求出

10a=，根据余弦定理求出cosA，依据同角三角函数关系求出sinA，即可求出三角形面积.【详解】由余弦定理得222222322acbbcaabacbc+−+−=，即()221623216aa+−=+−，解得10a=，∴22221610

2cos22224bcaAbc+−+−===，∴22sin1cos2AA=−=，故112sin242222ABCSbcA===.故答案为：2【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，并求三角形的面积，关键在于熟练掌握定理公式，准确化简计算.16.已知()

3,0,0xxxfxx=，若对任意1,1xaa−−−，不等式()()22fxafx−恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】420,7−【解析】【分析】根据函数关系()()22fxfx=，原不

等式等价于()()22fxafx−，转化为通过单调性解题.【详解】由题设知，()3,0,0xxxfxx=，则()()22fxfx=，因此，原不等式等价于()()22fxafx−，根据指数函数性质()fx在()

),0,0,−+上均为是增函数，且()0,1xfx，()0,1xfx，()fx在R上是增函数，∴22xax−，即()22ax−−，又1,1xaa−−−，∴当1xa=−时，()22x−−取得最小值()()221a−−−，因此()()221aa−−−，解得22

42732a−−=−，又11aa−−−，∴0a，故420,7a−.故答案为：420,7−【点睛】此题考查函数单调性的综合应用，涉及对函数解析式的处理，将函数值的大小关系转化为自变量取值关系，解决不等式求参数取值范围的问题，综合性比较强.三、解答

题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩

如下表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩（分）8085719287学生乙的成绩（分）9076759282（1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？（2）若物理竞赛分为初赛和

复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案

进入复赛的可能性更大？【答案】（1）选乙；（2）方案2【解析】【分析】（1）计算出两人成绩的平均数和方差进行比较；（2）根据两种方案利用古典概型，计算出进入复赛的概率.【详解】（1）学生甲的平均成绩为18085719287835x++++==，

学生乙的平均成绩为29076759282835x++++==，学生甲的成绩方差为()()()()()22122221838083858371839283875s=−+−+−+−+−50.8=，学生乙的成绩方差为()()()()()22222221839083768

375839283825s=−+−+−+−+−48.8=，因为12xx=，2212ss，所以学生乙的成绩比较稳定，所以选学生乙参加物理竞赛比较合适.（2）记这5道备选题分别为A，B，C，d，e

，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A，B，C，d，e，共5种情况，学生乙恰好抽中会的备选题，有A，B，C，共3种情况，所以学生乙进入复赛的概率135P=.方案2：学生乙从5

道备选题中任意抽出3道，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，Ade，Bde，Cde，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率2710P=.因为

12PP，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大.【点睛】此题考查求平均数和方差，并进行比较，关键在于准确计算，第二问其本质是计算古典概型，准确求出基本事件总数，和进入复赛包含的基本事件个数才能准确求解.18.如图，在直棱柱111AB

CABC−中，90BAC=，2ABAC==，13AA=，D是BC的中点，点E在棱1BB上运动．（1）证明：1ADCE⊥；（2）当异面直线AC，1CE所成的角为60时，求三棱锥111CABE−的体积．【答案】（1）

见解析（2）23【解析】【分析】（1）由直棱柱的性质得出1BB⊥平面ABC，从而得出1ADBB⊥，再由等腰三角形三线合一的性质得出ADBC⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明AD⊥平面11BBCC，于是可得出1ADCE⊥；（2）由棱柱的性质得出11//ACAC，可得出11ECA即

为异面直线AC、1CE所成的角，由此计算出1CE、1BE的值，可得出11ABE的面积，再证明出11AC⊥平面11AABB，由此计算出三棱锥111CABE−的体积.【详解】（1）证明：直棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，AD平面ABC，1ADBB⊥，ABC中，ABAC=

，D为BC的中点，ADBC⊥，又BC、1BB平面11BBCC，1BCBBB=，AD⊥平面11BBCC，又1CE平面11BBCC，1ADCE⊥；（2）解：在直棱柱111ABCABC−中，11//ACAC，11ECA即为异面直线AC、1CE所成的角

，11190BACBAC==oQ，1111ACAB⊥，1AA⊥平面111ABC，11AC平面111ABC，111ACAA⊥，又1111ABAAA=QI，11AC⊥平面11AABB．1AE平面11AABB，111ACAE⊥．在11CRtAE中，1160ECA

=o，111111cos2ACECACE==，即111222CEAC==.又221111112BCACAB=+=Q，2211112BECEBC=−=．111111111122223323CABEABEVSAC−===

.【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，结合异面直线所成角的定义来考查，解题时要根据角的值来求出相应的边长，在计算三棱锥的体积时，要选择合适的高与底面，结合题中的垂直关系进行寻找，考查逻辑推理能力，属于中等题.19.已知首项为32的等比数列na的前

n项和为()*nSnN，且22S−，3S，44S成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）对于数列nA，若存在一个区间M，均有()1,2,3iAMi=，则称M为数列nA的“容值区间”.设1nnnbSS=+，试求数列

nb的“容值区间”长度的最小值.【答案】（1）13122nna−=−；（2）16【解析】【分析】（1）根据324224SSS=−+，求出公比，即可得解；（2）对项数分奇偶讨论112nnS=−−的取值范围，即可得到

区间长度的最小值.【详解】（1）由题意可知：324224SSS=−+，即()()1231212342aaaaaaaaa++=−+++++，∴4312aa=−，即公比12q=−又132a=，∴13122nna−=−.（2）

由（1）可知112nnS=−−.当n为偶数时112nnS=−，易知nS随n增大而增大，∴3,14nS，根据勾型函数性质，此时1252,12nnnbSS=+.当n为奇数时112nnS=+，易知nS随n增大而减小，∴31,

2nS，根据勾型函数性质，此时1132,6nnnbSS=+.又1325612，∴132,6nb.故数列nb的“容值区间”长度的最小值为16.【点睛】此题考查等比数列基本量的求法，求解数列里项的取值范围，结合函数单调性解决问题.20.已知函数2()

(2)ln47()fxxxaxxaa=++−+R.（1）若12a=，求函数()fx的所有零点；（2）若12a，证明函数()fx不存在的极值.【答案】(1)1x=(2)见证明【解析】【分析】（1）首先将12a=代入函数解析式，求出函数的定义域

，之后对函数求导，再对导函数求导，得到()0fx（当且仅当1x=时取等号），从而得到函数()fx在()0,+单调递增，至多有一个零点，因为()10f=，1x=是函数()fx唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函

数，结合题中所给的参数的取值范围，得到()fx在()0,+上单调递增，从而证得结果.【详解】（1）解：当12a=时，()()2172ln422fxxxxx=++−+，函数()fx的定义域为()0,+，且()2ln3fxxxx

=++−．设()2ln3gxxxx=++−，则()()()2222211221xxxxgxxxxx+−+−==−+=()0x．当01x时，()0gx；当1x时，()0gx，即函数()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以当

0x时，()()10gxg=（当且仅当1x=时取等号）．即当0x时，()0fx（当且仅当1x=时取等号）．所以函数()fx在()0,+单调递增，至多有一个零点.因为()10f=，1x=是函数()fx唯一的零点.所以

若12a=，则函数()fx的所有零点只有1x=．（2）证法1：因为()()22ln47fxxxaxxa=++−+，函数()fx的定义域为()0,+，且()2ln24xfxxaxx++=+−．当12a时，()2ln3

fxxxx++−，由（1）知2ln30xxx++−．即当0x时()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增．所以()fx不存在极值．证法2：因为()()22ln47fxxxaxxa=++−+，函数()fx的定义域为()0+，，且()2l

n24xfxxaxx++=+−．设()2ln24xmxxaxx+=++−，则()22212222axxmxaxxx+−=−+=()0x．设()()2220hxaxxx=+−，则()mx与()hx同号．当12a时，由()2220

hxaxx=+−=，解得1111604axa−−+=，2111604axa−++=．可知当20xx时，()0hx，即()0mx，当2xx时，()0hx，即()0mx，所以()fx在()20,x上单

调递减，在()2,x+上单调递增．由（1）知2ln30xxx++−．则()()()2222222ln321210fxxxaxaxx=++−+−−．所以()()20fxfx，即()fx在定义域上单调递增．所以()fx不存在极值．【点

睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.21.已知,AB是抛物线2:Wyx=上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为(0)kk.设抛物线W的焦点在直线AB的下方

.（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且ABAC⊥，过,BC两点分别作W的切线，记两切线的交点为D.判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由.【答案】（Ⅰ）304k；（2）四边形ABDC不可能为梯形，理由详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅰ）直线AB过点

A(1,1)，且斜率为k，所以直线方程可设为，若焦点1(0,)4在直线AB的下方，则满足不等式，代入求k的范围；（Ⅱ）设直线,ABAC的方程为，11(1)yxk−=−−，分别与抛物线2yx=联立，因为直线和抛物线的一个交点坐标(1,1)已知，故可利用韦达定理

求出切点,BC的横坐标，则可求在,BC点处的切线斜率，若四边形ABDC是否为梯形，则有得//ABCD或//ACBD，根据斜率相等列方程，所得方程无解，故四边形ABDC不是梯形.试题解析：（Ⅰ）解：抛物线2yx=的焦点为1(0,)4.由题意，得直线AB的方程为

，令0x=，得1yk=−，即直线AB与y轴相交于点(0,1)k−.因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以114k−，解得34k，因为0k，所以304k.（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC不可能为梯形.理由如下：假设四边形ABDC为梯形.由题意，设211(,)Bxx，222(

,)Cxx，33(,)Dxy，联立方程21(1),{,ykxyx−=−=，消去y，得210xkxk−+−=，由韦达定理，得11xk+=，所以11xk=−.同理，得211xk=−−.对函数2yx=求导，得2yx=，所以抛物线2

yx=在点B处的切线BD的斜率为1222xk=−，抛物线2yx=在点C处的切线CD的斜率为2222xk=−−.由四边形ABDC为梯形，得//ABCD或//ACBD.若//ABCD，则22kk=−−，即2220kk++=，因为方程2220kk++=无

解，所以AB与CD不平行.若//ACBD，则122kk−=−，即22210kk−+=，因为方程22210kk−+=无解，所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.考点：1、直线的方程；2、直线

和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，圆221:1Cxy+=经

过伸缩变换23xxyy==后得到曲线2C．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(2cos3sin)9+=．（1）求曲线2C的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2

）设点M是2C上一动点，求点M到直线l的距离的最大值．【答案】（1）22()()123xy+=，2390xy+−=；（2）27【解析】【分析】（Ⅰ）由221xy+=经过伸缩变换23xxyy==，可得曲线2C的方程，由极坐标方程()2co

s3sin9+=可得直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为23xcosysin==（为参数），所以可设点()2cos,3sinM，由点到直线的距离公式，点M到直线l的距离为()5sin97d

−−=由三角函数性质可求点M到直线l的距离的最大值.【详解】（Ⅰ）由221xy+=经过伸缩变换23xxyy==，可得曲线2C的方程为22123xy+=，即22143xy+=，由

极坐标方程()2cos3sin9+=可得直线l的直角坐标方程为2390xy+−=．（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为23xcosysin==（为参数），所以可设点()2cos,3sinM，由点到直线的距离公式，点M到直线l的距离为()5sin94cos3sin9

77d−−+−==（其中4sin5=，3cos5=），由三角函数性质知，当−=时，点M到直线l的距离有最大值27．【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．选修4-5：不等式选讲23.设不等式|

|1||1||2xx+−−的解集为A．（1）求集合A；（2）若a，b，cAÎ，求证：11abcabc−−．【答案】(1)A＝{x|－1<x<1}(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将原不等式零点分段

后求解不等式的解集即可；（2）利用分析法结合（1）中的范围证明不等式即可．【详解】解：（1）由已知，令2,1()112,112,1xfxxxxxx=+−−=−−−…„，由|()|2fx得{|11}Axx=

−．（2）证明：要证11abcabc−−，只需证|1|||abcabc−−，只需证2222221abcabc++，只需证222221(1)abcab−−只需证222(1)(1)0abc−−，由a，b，cAÎ，得11ab−，21c则222(1)(1)0abc−−恒成立

．综上可得：11abcabc−−【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分析法证明不等式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．