【文档说明】河北省武安市第三中学2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.729 MB，由小赞的店铺上传

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-1-高三期中考试数学试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1.若集合{2,1,0,1,2}A=−−，集合2{|log(1)}Bxyx==−，则AB=（）A.{2

}B.{1,2}C.{2,1,0}−−D.{2,1,0,1}−−【答案】C【解析】【分析】先利用函数的定义域求法化简集合B，再利用交集的运算求解.【详解】因为集合2log(1){1}Bxyxxx==−=，集合{2,

1,0,1,2}A=−−，所以{2,1,0}AB=−−.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设11izi-=+，则z=（）A.2B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】先化简zi=−，即得解.【详解】由题得21(1)21(1

)(1)2iiiziiii−−−====−++−，所以1z=故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水-2-平.3.已知命题p，xR，12xxee+…，则p为()A.xR，12xxee+…B

.xR，12xxee+C.xR，12xxee+„D.xR，12xxee+„【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p，xR

，12xxee+…，则p为xR，12xxee+．故选：B．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．4.已知两条直线()1:3450laxy++−=与()2:2580lxay++−=平行，则a的值是（）A.7−B.1或7C.133−D.1−

或7−【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行的条件，得出关于a的方程，求得a的值，即可得到答案.【详解】由题意，直线()1:3450laxy++−=与()2:2580lxay++−=相互平行，可得(3)(5)420aa++−=

，整理的2870aa++=，解得1a=−或7a=−.经验证，当1a=−或7a=−时，此时12ll//，所以a的值是1−或7−.故选：D.5.与双曲线221169xy−=有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为（）A.54B.53C.43D.2

59-3-【答案】B【解析】【分析】首先求渐近线方程，再根据焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，建立等量关系，求离心率.【详解】双曲线221169xy−=的渐近线方程34yx=?，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是ayxb

=，即34ab=，离心率22513cbeaa==+=.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,ac，然后利用公式cea=求解；2.公式法：222111cbeaabc==+

=−，3.构造法：根据条件，可构造出,ac的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.6.已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结

论正确的是（）A.截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过65000人B.从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数C.从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数.上升幅度一直在增加D.2月15日与2月9日相比较

，现有疑似人数减少超过50%【答案】ABD【解析】-4-【分析】根据统计图表所给定信息判断各选项．【详解】由图表易知A，B正确；从2020年1月22日到2月21日，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度最大的在2月9日到2月15日之间，C错；2月9日现有疑似人数超

过20000人，2月21日现有疑似人数不足10000人，人数减少超过50%，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查统计图表的认识，考查学生的数据处理能力，阅读理解能力，识图能力，属于基础题．7.已知函

数3131()(),()log,()(0)2xfxxgxxxhxxxx=−=−=−的零点分别为,,abc，则,,abc的大小顺序为（）A.abcB.cabC.bcaD.bac【答案】B【解

析】【分析】将函数3131()(),()log,()(0)2xfxxgxxxhxxxx=−=−=−的零点，转化为函数yx=的图象分别与函数3131(),log,(0)2xyyxyxx===的图象交

点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】函数3131()(),()log,()(0)2xfxxgxxxhxxxx=−=−=−的零点，即为函数yx=的图象分别与函数3131(),log,(0)2xyyxyxx===的图象交点的横坐标，如图所示：-5-由图象可得：cab

，故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8.已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面上一点，满足()0PAPBPCPD++=，

则||PD的最小值是（）A.523−B.213−C.522−D.212−【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，设(),Pxy，根据题中的式子列出方程，由P点的几何意义即可求得||PD的最小值.【详解

】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A，()10B,，()1,1C，()0,1D，’-6-设(),Pxy，则(),PAxy=−−，()1,PBxy=−−，()1,1PCxy=−−，()(),123,23PDxyPBPCPDxy=−−++=−−，由题意知：()(

)()()23230xxyy−−+−−=，即222112333xy−+−=，点P在以11,33M为圆心，半径为23r=的圆上，又PD表示圆上的点到P的距离，22min122523333PDDMr−=−=+−=.故选

A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是数形结合，利用P点的几何意义进行解答.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）．9.关于函数()

()4sin23fxxxR=+有下列命题，其中正确的是（）A.()yfx=是以2为最小正周期的周期函数B.()yfx=的表达式可改写为()4cos26fxx=−C.()yfx=的图象关于直线6x=对称D.()yfx=

的图象关于点,06−对称【答案】BD【解析】-7-【分析】根据周期公式求出周期T=，A不正确；根据诱导公式可知B正确；根据()236f=可知C不正确；根据()06f−=可知D正确.【

详解】对于A，根据周期公式可得22T==，故A不正确；对于B，()4sin23fxx=+4sin262x=−+4cos26x=−，故B正确；对于C，因为2()4sin24si

n236633f=+==，故C不正确；对于D，因为()4sin20663f−=−+=，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期、对称轴、对称中心，考查

了诱导公式，属于基础题.10.下列说法中正确的有（）A.不等式2abab+恒成立B.存在a，使得不等式12aa+成立C.若,(0,)ab+，则2baab+D.若正实数x，y满足21xy+=，则218xy+【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的条件

和结论对所有选择支分别判断．【详解】不等式2abab+恒成立的条件是0a，0b，故A不正确；当a为负数时，不等式12aa+成立.故B正确；由基本不等式可知C正确；对于212144(2)4428yxyxxyxyx

yxyxy+=++=+++=，-8-当且仅当4yxxy=，即1,2x=14y=时取等号，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意一正二定三相等．另

外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性．11.设na是等差数列，nS是其前n项和，且56678,SSSSS=，则下列结论正确的是（）A.0dB.70a=C.95SSD.67nSSS与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由1nnnSSa−−=()2n，判

断6780,0,0aaa=，再依次判断选项.【详解】因为5665600SSSSa−，677670SSSSa=−==，788780SSSSa−=，所以数列na是递减数列，故0d，AB正确；()9567897820SSaaaaaa−=+++=

+，所以95SS，故C不正确；由以上可知数列na是单调递减数列，因为6780,0,0aaa=可知，67nSSS与均为的最大值，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.12.已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥

CD，AB＝AD2=，BC＝1，CD3=，则（）A.三棱锥的外接球的体积为43B.三棱锥的外接球的体积为83C.三棱锥的体积的最大值为36D.三棱锥的体积的最大值为3-9-【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件求得球心的位置，即可求得外接球体积；根据【详解】如图，∵BC⊥CD，BC＝1，

CD3=，∴BD＝2，∵AB＝AD2=，∴AB⊥AD，∴BD的中点O为外接球球心，故半径为1，体积为43，当面ABD与面CBD相互垂直时，点A到面BCD的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为AO12

=BD＝1；其最大值为：13112BC×CD61=1336=．故选：AC．【点睛】本题考查棱锥外接球体积的计算，以及棱锥体积的计算，属综合中档题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知2,0(

)22,0xxxfxx=−则((2))ff−=________.【答案】14【解析】【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为2,0()22,0xxxfxx=−，所以2(2)(2)4f−=−=，-10-则4((2

))(4)2216214fff−==−=−=.故答案为：14.【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题型.14.已知圆C的圆心在直线230xy−−=上，且过点3(2,)A−，(2,5)B−−，则圆C的标准方程为_________【答案】22(1)(2)10xy+++=【解析】【分析

】由圆心在直线230xy−−=上有(23,)Cmm+，设半径为r结合所过点,AB即可求圆C的标准方程.【详解】圆C的圆心在直线230xy−−=上，令(23,)Cmm+，半径为r，∴圆C的方程为：222(23)()xmymr−−+−=，又3(2,)A−，(2,5)

B−−，有()()()()222222213{255mmrmmr+++=+++=，解得2210mr=−=，有(1,2)C−−，故答案为：22(1)(2)10xy+++=；【点睛】本题考查了求圆的标

准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题.15.数列na的首项12a=，且()132nnaan+=+N，令()3log1nnba=+，则1220182018bbb+++=______．【答案】20192【解析】【分析】构造数列1na+，并求得数列na的通项公式；再代

入对数中求得数列nb的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列nb的前n项和．【详解】因为132nnaa+=+所以113213(1)nnnaaa++=++=+-11-所以1131nnaa++=+且12a=所以数列1na+是以3为首项，公比为3的

等比数列所以13nna+=即31nna=−代入()3log1nnba=+得3log3nnbn==设数列nb的前n项和为nS则201812320172018S=++++()2018120182+=则1220182018bbb+++=()2018120

182019220182+=【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列na的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题．16.已知函数()2fxx2ax=+，()2gx4alnxb=+，设两曲线()yfx=，()ygx=有公共点P，且在P点处的切线相同，当()a0,

+时，实数b的最大值是______．【答案】2e【解析】【分析】由题意可得()()00fxgx=，()()00''fxgx=，联立后把b用含有a的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】设()00,Pxy，()'22fxxa=+，()24'agxx=．由题意知，()()00fxgx=，()(

)00''fxgx=，即2200024xaxalnxb+=+，①-12-200422axax+=，②解②得0xa=或02(xa=−舍)，代入①得：2234baalna=−，()0,a+，()'684214baalnaaalna=−−=−，当140,ae时，

'0b，当14,ae+时，'0b．实数b的最大值是1144342beeelnee=−=．故答案为2e．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知定义域为,02−的函数2()3sin22cosfxxxm=−+的最大值为2.（1）求函数()fx的单调递减区间；（2）求使()0fx成立的x的取值集合.【答

案】（1）,26−−；（2）03xx−.【解析】【分析】（1）化简()3sin2cos212sin216fxxxmxm=−−+=−−+，然后，求出m，然后，利用三角函数的性质求解即可（2）根据题意得，1sin262x−−，利用

三角函数得图像性质即可求解【详解】解：()3sin2cos212sin216fxxxmxm=−−+=−−+-13-,02xp轾?犏犏臌72,666x−−−当7266x−=−时2x=−()max2

fxm==()2sin216fxx=−+（1）令72662x−−−解得：26x−−所以单调递减区间为,26−−（2）2sin2106x−+1sin262x

−−又72666x−−−52666x−−−解得：03x−x\的取值集合为03xx−【点睛】本题考查三角函数单调性，以及利用三角函数的取值范围问题，属于基础题18.已知数列na的前n项和为n

S，且2，na，nS成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若nnbna=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）2nna=；（2）1(1)22nnTn+=−+.【解析】【分析】（1）由题意知22nnaS=+，两式作差可得12(2)

nnaan−=，从而得到数列na的通项公式；（2）由（1）可得2nnbn=，用错位相减法得到数列nb的前n项和nT.【详解】（1）由题意知2，,nnaS成等差数列，所以22nnaS=+①，-14-可得11222()nnaSn−−=+②①−②得12(2)nnaan

−=，又11122,2aaa=+=，所以数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2nna=（2）由（1）可得2nnbn=，用错位相减法得：23422232422nnTn=+++++①2312222(1)

22nnnTnn+=+++−+②①−②可得1(1)22nnTn+=−+.【点睛】本题考查数列递推关系，考查错位相减法求和，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题.19.在三棱锥VABC−中，平面VAC⊥平面ABC，ABC和VAC均是等腰直角三角形，ABBC=，2ACCV==，M

、N分别为VA、VB的中点．（1）求证：ABVC⊥；（2）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质证ABVC⊥即可；（2）面ABC内过点C作CH垂直于AC，构建以C为原点，,,CACHCV为x，y，z轴的空间直角坐标系

Cxyz−，应用平面法向量与直线方向向量的夹角与线面角的关系即可求直线VB与平面CMN所成角的正弦值.-15-【详解】（1）在等腰直角三角形VAC中，ACCV=，所以VCAC⊥．∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABCAC=，VC平面VAC，∴VC⊥平

面ABC．∵ABÌ平面ABC，∴ABVC⊥；（2）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC，由（1）知，VC⊥平面ABC，因为CH平面ABC，所以VCCH⊥．如图，以C为原点，,,CACHCV为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz−．则()0,0,0C，()0,0,

2V，()1,1,0B，()1,0,1M，11,,122N．()1,0,1CM=，11,,122CN=，()1,1,2VB=−．设平面CMN的法向量为(),,nxyz=，则00nCMnCN==，即011022xzx

yz+=++=．令1x=则1y=，1z=−，所以()1,1,1n=−．直线VB与平面CMN所成角大小为，22sincos,3nVBnVBnVB===．-16-所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为223．【点睛】本题考查了应用线

面垂直性质证线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.20.在①222coscossinsinsinCABBC−=−，②32sinbaB=，③ABC的面积sinSABACA=，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果

选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且角A为锐角，（1）求角A；（2）若2a=，求bc+的取值范围.【答案】（1）3；（2）222bc+.【解析】【分析】选

①，利用余弦定理求解即可；选②，利用正弦定理直接求解即可；选③，利用正弦定理直接求解即可利用正弦定理，得到22bcRsinBRsinC+=+，然后，由（1）可求出2R，最后利用三角恒等变换，化简得：π22sin6bcB+=+

，再根据角B的范围，即可求出bc+的取值范围【详解】（1）选①由222coscossinsinsinCABBC−=−，得()2221sin1sinsinsinsinCABBC−−−=−由正弦定理，得222bcabc+−=.所以2221cos2

2bcaAbc+−==因为π02A，所以π3A=.选②32sinbaB=，则3sin2sinsinBAB=，3sin2A=.-17-π02A，所以π3A=.选③sinSABACA=，则1sincossin2bcAbcAA=.sin0A，所以1cos2A=，又π02A

，所以π3A=.（2）2626262sin2sinsinsinsinsinsinsinsin333aabcRBRCBCBCBAA+=+=+=+=()26262631sinsincossin33322ABBBB++=++，化简得：π22sin6bcB+=+.

因为2π03B，所以ππ5π666B+，1πsin126B+，即222bc+.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F

，离心率为12，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AFF△面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点1F的直线l(l的斜率存在且不为0）与椭圆C相交于,AB两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试

判断1||PFAB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）1||PFAB为定值14.【解析】【分析】-18-（1）由12AFF△面积的最大值为3，得到3bc

=，又12cea==求解.（2）设直线:1(0)ABxmym=−，与椭圆方程联立，然后求得弦长||AB和直线AB的垂直平分线求得点P的坐标求解.【详解】（1）12AFF△面积的最大值为3，则：3bc=又12cea==，222abc=+，解得：

24a=，23b=，∴椭圆C的方程为：22143xy+=.（2）1||PFAB为定值14，设直线:1(0)ABxmym=−，设()11,Axy，()22,Bxy，线段AB的中点为()00,Nxy，由221431xyxmy+==−，消去x可得：()2

234690mymy+−−=，∵0恒成立，∴122634myym+=+，122934yym=−+，()22122121||134mABmyym+=+−=+，∴02434xm=−+，02334mym=+，∴2243,3434m

Nmm−++，直线2234:3434mPNymxmm−=−+++，令0y=，则2134pxm=−+，-19-()21221(1)134||412134PFmABmm−−−+==++，故1||PFAB为定值14.【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置

关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数()lnxfxaea=+，()()ln11gxx=++（其中a为常数，e是自然对数的底数）.若函数()lnyfxa=−在点()0,Aa处的切线

为1l，函数(1)1ygx=−−在点(),0Ba处的切线为2l.（1）若12//ll，求1l和2l的方程；（2）若()()fxgx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1:10lxy−+=，2:10lxy−−

=；（2）1a.【解析】【分析】（1）1'xyae=，21'yx=，利用12ll//，得1aa=，求出斜率得所求直线方程.（2）方法一：不等式恒成立等价转化为ln(1)ln10xaexa−++−在(1,

)−+上恒成立，构造()ln(1)ln1xhxaexa=−++−，(1,)x−+，分类讨论a求得最小值大于零得解；方法二：不等式恒成立等价转化为：ln()ln(1)(1)xxaeaexx++++恒成立构造()lnhttt=+，得()ht单调递增，得到1xaex+恒成立，即

1exxa+恒成立得解【详解】（1）根据题意可知：函数()lnxyfxaae=−=在点()0,Aa处的切线为1l，函数(1)1lnygxx=−−=在点(),0Ba处的切线为2l，而1'xyae=，21'yx=，-20-12//ll，

根据导函数在该点的函数值相等可得1aa=，又0a，1a\=.切线1l过点(0,1)，斜率为011ke==；切线2l过点(1,0)，斜率为2k=1，1:10lxy−+=，2:10lxy−−=，综上所述，所求的直线方程为：1:10l

xy−+=，2:10lxy−−=（2）方法一：()lnxfxaea=+，()()ln11gxx=++故不等式()()fxgx恒成立可等价转化为：ln(1)ln10xaexa−++−在(1,)−+上恒成立，记()ln(1)ln1xhxaexa

=−++−，(1,)x−+，当01a时，(0)ln10haa=+−，不合题意；当1a时，1(1)1()11xxaxehxaexx+−=−=++，记()(1)1xxaxe=+−，[1,)x−+，则()(2)0xxaxe=+，所以()x在[1,

)−+是增函数，又(1)1−=−，(0)10a=−所以0(1,0)x−使得0()0x=，即00(1)10xaxe+−=①，则当0(1,)xx−时，()0x，即()0hx，当0(,)xx+时，()0x，即()0hx，故()hx在0(1,)x-上单调递

减，在0(,)x+上单调递增，所以0min00()()ln(1)ln1xhxhxaexa==−++−②，由①式可得0011xaex=+，00lnln(1)axx=−+−代入②式得min0001()-(1

)-2ln(1)1hxxxx=+++，因为0(1,0)x−，即01(0,1)x+，-21-故001(1)01xx−++，02ln(1)0x+，即min()0hx，所以1a时()0hx恒成立，故a的取值范围为(1,)+.方法二：根据已知条件可得：()lnxfxaea=+，

()()ln11gxx=++.且()()fxgx恒成立；故可等价转化为：ln()ln(1)(1)xxaeaexx++++恒成立设()lnhttt=+，则1()10htt=+，()ht单调递增，因而1xaex+恒成立，

即1exxa+恒成立.令1()xxsxe+=，则()xxsxe=−，当(1,0)x−时，()0sx，()sx单调递增，当(0,)x+时，()0sx，()sx单调递减，所以()(0)1sxs=，从而1a即为所求.【点睛】本题考查导函数几何意义求切线及利用导函数最值解决

不等式恒成立，属于难题.