【文档说明】云南省大理白族自治州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.679 MB，由小赞的店铺上传

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2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规

定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择

题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32iiz=−，则z=（）A.25B.5C.13D.22.设全集U=R，集合13,0,1,2,3,4,5AxxB=−=，则()UBA=ð（）A.{

4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a=，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55−B.43,55C.43,55−−D.34,55−4.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正

确的是（）A.若//l，l//，则//B.若//l，l⊥，则⊥C若l⊥，⊥，则//lD.若//l，⊥，则l⊥5.已知5sincos=，则23sinsincos−=（）A.15−B.15C.113-D.1136.抛

掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）.A.当2n=时，()12PA=B.当2n=时，()34PB=C.当3n

=时，()34PA=D.当4n=时，()34PA=7.如图，在ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交射线,ABAC于不同的两点,MN.设,ABmAMACnAN==，则mn的最大值为（）A.12B.1C.2D.2

8.设函数()fx定义域为,(1)2yfx=−+R为奇函数，(2)yfx=−为偶函数，若(2024)5f=−，则(2)f−=（）A.1B.1−C.0D.3−二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin23fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的图象关于直线π6x=对称C.()fx

的一个零点为π6x=−D.()fx的最大值为110.已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A.若AB，则abB.若sinsinAB，则coscosABC.若A

BC是锐角三角形，则222abc+D.若sincossincosAABB=，则ABC是等腰三角形11.如图，一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个的全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，

下列说法正确的是（）A.当2mx=时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2mx=时，正四棱锥的体积为343m3C.当2mx=时，正四棱锥的外接球半径为53m6D.当2mx=时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m2第II卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3

小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1abm=−=，若向量2ab+与2ab−平行，则m=__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下

图分布形态中，,,abc分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,abc的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A和千寻塔塔底O在同一水平线上，他直

立时，测得塔顶M的仰角23MCE=（点E在线段MO上，CEMO⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO向塔前进100米到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角48MDE=，则可求得塔高MO为

__________米（参考数据sin23sin48sin25=0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN，且MN约8米，小华在线段AO间走动到点P时，他直立看塔尖MN的视角最大（即MQN最大），则此时他距离塔身的距离（即QE）为__________米.四

､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部60分至100分之间.将数据分成4组：)))60,70,70,80,

80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其

以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sinsinsinsinsin0ABC

BC−−−=；②()2sincoscos2sinsinsinsinABCBCABC−=+.（1）求角A；（2）若6,43abc=+=，求ABC的面积.17.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，4,,SASBEF==分别是,SCBD在的的中点，平面SAB

⊥平面ABD.（1）求证：EF//平面SAB；（2）求直线SA与BD所成角的余弦值.18已知函数()()ee2xxfxx−−=R，函数()()ee2xxgxx−+=R.（1）试判断函数()fx的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可）

，并根据性质求解关于x的不等式()()2310fxfx+−；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11fa=，求()ga的值；②()()2,[]3xfxmgx−−R恒成立，求实数m的取值范围.19.如图，设,OxOy是平面

内相交成(0π)的两条射线，21,ee分别为,OxOy同向的单位向量，若向量12OPxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量在斜坐标系xOy−中的坐标，记为(),OPxy=.（1）在斜坐标系π3xOy−中，()2,3OM=，求OM；（2）在斜坐标系xOy−中，()()2,1

,1,1OPOQ==−，且OP与OQ的夹角π3=.①求；②,AB分别在射线,OxOy上，3,,ABEF=为线段AB上两点，且16AEAB=，12AFAB=，求OEOF的最小值及此时OB的大小..2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，

共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）1.若复数()32iiz=−，则z=（）A.25B.5C.13D.2【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232ii2i3i23iz=−=−+=+，

所以222313z=+=.故选：C.2.设全集U=R，集合13,0,1,2,3,4,5AxxB=−=，则()UBA=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A【解析】【分析】先利用补

集的概念求出UAð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由13Axx=−可得{1UAxx=−ð或3}x，又0,1,2,3,4,5B=，所以()4,5UAB=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a=，则与向量a

同向单位向量的坐标为（）A.34,55−B.43,55C.43,55−−D.34,55−【答案】B【解析】【分析】由向量a的坐标除以向量a的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a

=，5a=，所以与向量a同向的单位向量为43,55aa=.故选：B4.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l，l//，则//B.若//l，l⊥，则⊥C.若l⊥，⊥，则//lD

.若//l，⊥，则l⊥【答案】B【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A：若//l，l//，则//或相交，故A错误；B：若//l，l⊥，由线面平行和垂直的性质可得⊥，故

B正确；C：若l⊥，⊥，则//l或l，故C错误；D：若//l，⊥，则,l相交或l//或l，故D错误；故选：B.5.已知5sincos=，则23sinsincos−=（）A.15−B.15

C.113-D.113【答案】C【解析】的【分析】首先求出tan，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sincos=，显然cos0，所以sin1tancos5==，所以2222223sinsincos

3tantan3sinsincossincostan1−−−==++2211355131151−==+−.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既

有正面朝上又有反面朝上”，事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n=时，()12PA=B.当2n=时，()34PB=C.当3n=时，()34PA=D.当4n=时，()34PA=【答案】D【解析】【分析】分2n=和

3,4nn==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n=时，A表示一正一反，故()1112222PA==，故A正确；B表示两个正面，此时()()11311224PBPB=−=−=，故B正确；当3n=时，A表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234PAPA=−=−=，故

C正确；当4n=时，A表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227PAPA=−=−=，故D错误.故选：D.7.如图，在ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交射线,ABAC于不同

的两点,MN.设,ABmAMACnAN==，则mn的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】根据三点,,OMN共线求得,mn的等量关系式，结合基本不等式求得mn的最大值.【详解】根据题意，1,2BOOCBOBC==，所以1111(),2222AOABBOABB

CABBAACABAC=+=+=++=+又,ABmAMACnAN==，所以,1122AOmAMnAN=+因为三点,,OMN共线，所以122mn+=，即2mn+=，由图可知，0,0mn，所以22=+mnmn，当且仅当1mn==时取等号

，所以1,mnmn的最大值为1.故选：B.8.设函数()fx的定义域为,(1)2yfx=−+R为奇函数，(2)yfx=−为偶函数，若(2024)5f=−，则(2)f−=（）A.1B.1−C.0D.3−【答案】A【解

析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()fx的周期即可求出(2)f−.【详解】由函数(1)2yfx=−+是R上的奇函数，得(1)2(1)2fxfx−−+=−−−，即(1)(1)4fxf

x−−+−=−，则(2)()4fxfx−−+=−，由(2)yfx=−为偶函数，得(2)(2)fxfx−−=−，于是(2)()4fxfx−+=−，显然有()(2)4fxfx++=−，因此(2)(2)fxfx+=−，即(4)(

)fxfx+=，函数()fx的周期为4，由(2024)5f=−，得(0)5f=−，又(2)(0)4ff−+=−，所以(2)4(0)1ff−=−−=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()fxafbxfx

+=−关于2abx+=轴对称，②()()()2fxafbxcfx++−=关于,2abc+中心对称，③()()()fxafxbfx+=+的一个周期为Tab=−，④()()()fxafxbfx+=−+的一个周期为2Tab=−.二､多项选择题（本题共3小题，每小题

6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin23fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的图象

关于直线π6x=对称C.()fx的一个零点为π6x=−D.()fx的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据()()sinfxAx=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T==，故A正确；2π2sin363f==，所以π6x=不是对称轴，故B错误

；π2sin006f−==，所以π6x=−是()fx的一个零点，故C正确；因为振幅2A=，所以()fx的最大值为2，故D错误.故选：AC.10.已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A.若AB，则abB.若sinsi

nAB，则coscosABC.若ABC是锐角三角形，则222abc+D.若sincossincosAABB=，则ABC是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A，由正弦定理及余弦函数的性质判断B，利用余弦定理判断C，利用二倍角公式判断

D.【详解】对于A：因为AB，根据大角对大边可得ab，故A正确；对于B：因为sinsinAB，由正弦定理可得ab，所以AB，由cosyx=在()0,π上单调递减，所以coscosAB，故B正确

；对于C：若ABC是锐角三角形，则222cos02abcCab+−=，所以222abc+，故C错误；对于D：若sincossincosAABB=，则sin2sin2AB=，又(),0,πAB，所以()2,20,2πAB，所以22AB=或2π2

AB=−，所以AB=或π2AB+=，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2mx=时，正

四棱锥的侧面积为28mB.当2mx=时，正四棱锥的体积为343m3C.当2mx=时，正四棱锥的外接球半径为53m6D.当2mx=时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥PABCD−，对

于A，四棱锥的侧面积为4PBCS，对于B，求出四棱锥的高PG，可求出其体积，对于C，设正四棱锥的外接球的球心为O，则O在PG上，由22OPOAOGAG==+可求出外接球的半径，对于D，利用等体积法可求出正

四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥PABCD−，对于A，当2x=时，则2ABBCCDAD====，设E为BC的中点，连接PE，则,2PEBCPE

⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m2PBCS==，所以A正确，对于B，设ACBDG=，连接,PGGE，则PG⊥平面ABCD，1GE=，所以22413PGPEGE=−=−=，所以四棱锥PABCD−体积为31143223m

333ABCDSPG==正方形，所以B正确，对于C，设正四棱锥的外接球的球心为O，则O在PG上，连接OA，设外接的半径为R，则,3,2OAOPROGRAG===−=，在RtOAG△中，222OAOGAG=+，所以

()()22232RR=−+，解得53m6R=，所以C正确，对于D，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBCABCDABCDSSrSPG+=正方形正方形，所以1(4

224)432r+=，解得3m3r=，所以D错误，故选：ABC第II卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1abm=−=，若向量2ab+与2ab−平行，则m=_________

_.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】分别求出向量2,2abab+−的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)abmabmabm=−=+=−

+−=−−，若向量2ab+与2ab−平行，所以0(12)3(2)4mm−−−+−=，解得12m=−.故答案为：12−.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,abc分别对应这组数据的中位数､平均数和众

数，则,,abc的大小关系为__________.的【答案】cab【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中

点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有cab.故答案为：cab.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活

动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A和千寻塔塔底O在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角23MCE=（点E在线段MO上，CEMO⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO向塔前进100米到达点B，在点B

直立时，测得塔顶M的仰角48MDE=，则可求得塔高MO为__________米（参考数据sin23sin48sin25=0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN，且MN约8米，小华在线段AO间走动到点P时，他直立看塔尖MN的视角最大（即

MQN最大），则此时他距离塔身的距离（即QE）为__________米.【答案】①.69.7②.4255【解析】【分析】根据题意在DMC中，由正弦定理可求CM的值，进而求解ME的值，即可根据MOMEOE=+即可计算MO；设QEx=，利用两角差的正切公式，基本不

等式可求tanMQN的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE=，48MDE=，所以25DMC=，在DMC中，100mCD=，由正弦定理得，()100sinsinsin25sin180CDCMCMDMCCDMMDE==−，所以()

100sin18048100sin48sin25sin25CM−==，100sin48sin23sin1000.6868msin25MECMMCE====，1.7mOE=所以681.769.7MOMEOE=+=+=.因为8MN=，所以

60NE=，设()mQEx=，68tanMEMQExx==，60tanNENQExx==，所以()tantantantan1tantanMQENQEMQNMQENQEMQENQE−=−==+6860888686068606860268

6012xxxxxxxx−==++，当且仅当6860xx=，即4255x=时，MQN最大，所以4255mQE=.故答案为：69.7；4255.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全

部在60分至100分之间.将数据分成4组：)))60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分

别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70

,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小

问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：abcd,,,，则:::2:3:9:6abcd=所以区间[60,70)中应抽24042396=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.011

0650.01510750.04510850.03109584.5+++=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，90,100的频率为0.03100.3=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间90,100中，不妨记为0x，故()01000.03

0.2x−=，解得093.3x，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sinsinsinsinsin0ABCBC−

−−=；②()2sincoscos2sinsinsinsinABCBCABC−=+.（1）求角A；（2）若6,43abc=+=，求ABC的面积.【答案】（1）2π3（2）33【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三

角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对43bc+=两边平方化简，结合余弦定理可求出bc，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sinsinsinsinsin0ABCBC−−−=，得：222bcbca++=，所以222b

cabc+−=−，由余弦定理2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，又0πA，所以2π3A=.选②，由2sincoscos2sinsinsinsin()ABCBCABC−=+，得2sin(coscossinsin)sin

ABCBCA−=，所以2sincos()sinABCA+=，因为sin0A，所以1cos()2BC+=，所以1cos2A=−，又0πA，所以2π3A=.【小问2详解】因为222()248bcbcbc

+=++=，所以22482bcbc+=−，因为2π3A=，所以由余弦定理得222222cosabcbcAbcbc=+−=++，所以2236bcbc−=+，所以48236bcbc−=−，故12bc=，所以113sin1233222AB

CSbcA===.17.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，4,,SASBEF==分别是,SCBD的中点，平面SAB⊥平面ABD.（1）求证：EF//平面SAB；（2）求直线SA与BD所成角的余弦值

.【答案】（1）证明见解析（2）28【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EFSA，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF与BD所成的角即为BFE或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.

【小问1详解】如图，因为点F是正方形ABCD的对角线BD的中点，所以,,AFC三点共线，连结AC，点F是对角线,ACBD的交点，所以F是AC的中点，因为E是SC的中点，所以//EFSA，又因为EF平面SAB，SA平面SAB，所以EF//平面SAB，【小问2详解

】连结BE，由于平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB平面ABCDAB=，BCAB⊥，且BC平面ABCD，所以BC⊥平面SAB，SB平面SAB，所以BCSB⊥，又因为4,2SBBC==，所以25SC=，则

152BESC==，又122EFSA==，122BFBD==，异面直线SA与BD所成的角为EF与BD所成的角即为BFE或其补角，在BEF△中，2222452cos28222BFEFBEBFEBFEF+−+−===，所以异面直线SA与BD所

成角的余弦值为28.18.已知函数()()ee2xxfxx−−=R，函数()()ee2xxgxx−+=R.（1）试判断函数()fx的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x的不等式()()2310fxfx+

−；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11fa=，求()ga值；②()()2,[]3xfxmgx−−R恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fx为奇函数，在R上为增函数；1,5+

.（2）①23；②22m.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()fx和()gx的结构，结合题干提示，计算()()22gxfx−的值，从而得到()fx和()gx的关系式，继而求出()ga的值；②利用①小问中()fx和()gx的关系式

，将题干不等式转化为关于()gx的不等式.结合()gx的定义和基本不等式得到m的取值范围.的【小问1详解】由题意可知，()fx的定义域为R，定义域关于原点对称，()()ee2xxfxfx−−−==−，所以()fx为奇函数；因为exy=在R上单调递增，ex

y−=在R上单调递减，()fx在R上为增函数；由()()2310fxfx+−，所以()()()231=13fxfxfx−−−，由于()fxR上单调递增，所以213xx−，解得15x，所以x的解

集是1,5+.【小问2详解】①()()222222e2ee2e144xxxxgxfx−−++−+−=−=.由()11fa=，则()2[]12ga=，而()0ga，所以()23ga=.②由①可知()()221fxgx=−，所

以()()213gxmgx−−−，即()()22gxmgx+，因为ee2()122xxgx−+==，当e1x=即0x=时等号成立，所以()1gx.故()2()gxmgx+.而()2()22gxgx+，当()2gx=时等号成立，所以22m.19.如图，设,O

xOy是平面内相交成(0π)的两条射线，21,ee分别为,OxOy同向的单位向量，若在向量12OPxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量在斜坐标系xOy−中的坐标，记为(),OPxy=.（1）在斜坐标系π3xOy−中，()2

,3OM=，求OM；（2）在斜坐标系xOy−中，()()2,1,1,1OPOQ==−，且OP与OQ的夹角π3=.①求；②,AB分别在射线,OxOy上，3,,ABEF=为线段AB上两点，且16AEAB=，12AFA

B=，求OEOF的最小值及此时OB的大小.【答案】（1）19（2）①2π3②最小值为15234−，6OB=【解析】【分析】（1）由向量数量积定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出1254OPee=+，1222OQee=−，121eeOPOQ=−，然后列

方程求解即可；②得出()2219234OEOFmn=+−，再结合正弦定理、余弦定理得出222mn+的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM=，则1223OMee=+，2212112222(23)412913619eeeeeOMe=+=++=+=，

所以19OM=；【小问2详解】①因为()122,12OPee==+，()121,1OQee=−=−，1254OPee=+，1222OQee=−，的()()121212121222121OPOQeeeeeeeeee=+−=−−+=−，则12121211cos2

5422eeOPOQOPOQeeee−===+−，化简并整理得()21212210eeee−−=，解得121cos2ee=−=或12cos1ee==（舍去，因为0π），则2π3=；②依题意

设1OAme=，2OBne=，因为F为AB中点，则1211112222OFOAOBmene=+=+，同理()1211516666OEOAAEOAABOAAOOBmene=+=+=++=+，则()()22222212121156531212OEOFmenemneemnmn=++=+

−，在OAB中，2π,33AOBAB==，依据余弦定理得229mnmn+−=−，所以()()2222119842721234OEOFmnmn=+−=+−在OAB中，2π,33AOBAB==，由正弦定理32πsinsin

sin3OAOBOBAOAB==，设OAB=，则23sinOBn==，π23sin3OAm==−，2222π2π1cos22122sinsin121cos2332mn−+=−+=−−+3312sin2

22=−，π03，所以，当π4=时，222mn+取最小值1863−，此时OEOF取最小值15234−，23sin6OBn===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OEOFmn=+−，再结

合正弦定理、余弦定理得出222mn+的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.