【文档说明】河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一下学期定位考试（期末考试）数学试卷 【精准解析】.docx，共(17)页，186.080 KB，由小赞的店铺上传

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1河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一下学期（新高二）数学定位考试试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合𝑀={𝑥|𝑥−4>0}，𝑁={𝑥|𝑥2−7𝑥+6>0}，则𝑀∩∁𝑅𝑁

=（）A.{𝑥|4<𝑥≤6}B.{𝑥|1≤𝑥<4}C.{𝑥|𝑥>6}D.{𝑥|1≤𝑥≤6}2.sin300∘=（）A.−12B.12C.−√32D.√323.已知𝑏∈[−3,3]，则坐标原点𝑂到直线

𝑥+𝑦=𝑏的距离小于√2的概率为（）A.23B.12C.13D.144.已知𝑎=log415，𝑏=(15)13，𝑐=30.6，则（）A.𝑏<𝑎<𝑐B.𝑐<𝑏<𝑎C.𝑎<𝑐<𝑏D.𝑎<𝑏<𝑐5.一个几何体的三视图如

图所示，其中俯视图是圆的一部分，则该几何体的体积为（）A.𝜋3B.𝜋2C.𝜋D.2𝜋6.某健康研究机构调查了100位居民的日平均睡眠时间（单位：时），统计数据制成频率分布直方图，如图所示，则估计这100位居民的日平均睡眠时间的中位数约为（）2A.6.7B.

6.8C.6.9D.77.已知𝛼∈(3𝜋4,𝜋)，且sin𝛼cos𝛼=−25，tan(𝛼+𝛽)=13，则tan𝛽=（）A.1B.7C.1或7D.2或68.执行如图所示的程序框图，则输出的𝑚=（）A.10B.12C.14D.16

9.如图所示，𝑃是▱𝐴𝐵𝐶𝐷内任意一点，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于点𝐸，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−4𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A.14𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗B.12𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗10.在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，𝐸是𝑃𝐶的中点，若在棱𝑃𝐷上存在一点𝐹，使得𝐵𝐸//平面𝐴𝐶𝐹，则𝑃𝐹𝐹𝐷=（）A.3B.2C.32D.111.已知函数𝑓(𝑥)=log3𝑎𝑥+6𝑥+3

在区间(−3,3]上单调递减，则实数𝑎的取值范围是（）3A.(−1,2)B.(−12,2)C.(−2,2)D.(1,52)12.如图所示，𝐵、𝐷为函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的图象与正

六边形的两个公共点（点𝐵在𝑥轴上），正六边形与𝑦轴的一个交点为𝑀，𝑓(𝑥)的图象与𝑦轴的交点为𝑁，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为𝜋3，则下列结论中正确的个数为（）①函数𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋；②函数𝑓(𝑥)的图象关于直

线𝑥=11𝜋12对称；③函数𝑓(𝑥)的单调增区间为[−5𝜋12+𝑘𝜋,𝜋12+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍；④|𝑀𝑁||𝑀𝐷|=2√3−3．A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线𝑙1：𝑦=(2�

�2−1)𝑥−2与直线𝑙2：𝑦=7𝑥+𝑎平行，则𝑎=________．14.某单位年龄（单位：岁）在[20,30)的员工有40人，年龄在[30,50)的员工有60人，年龄在[50,60)的员工有20人．现准备用分层抽样的方法从这些员工

中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为________．15.某汽车制造厂生产一款新的汽车，今年前5个月的产量如下：月份𝑥12345汽车产量𝑦（千辆）2𝑚578若根据表中提供的数据

，求出𝑦关于𝑥的线性回归方程为𝑦̂=1.6𝑥+0.2，那么表中𝑚的值为________．16.如图所示，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=2，𝐵𝐷=2√3，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，若𝐶𝑂=√6，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐶

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(2−𝜆)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗（𝜆为常数），则𝐷𝑂=________．三、解答题（本大题共70分）17.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏−1𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)是奇函数．（1）求𝑏的值

；4（2）令函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−1，若关于𝑥的方程𝑔(𝑥)=𝑡+2𝑡+3在𝑅上有解，求实数𝑡的取值范围．18.已知向量𝑎=(−1,3)，𝑏⃗=(2,−1)，𝑐=𝜆𝑎+𝑏⃗(𝜆≠0)，且|𝑐|=√5．（1）求实数𝜆的值；（2

）求𝑎与𝑐夹角的余弦值．19.为了回馈消费者，某商场准备在假期举行优惠活动，据统计，消费者在该商场的消费金额都不超过800元，活动策划人员准备了两种优惠方案．方案一：消费金额满300元减50元，满600元减120元，只取最高

优惠，不重复减免；方案二：消费金额满400元享受8折优惠．活动策划人员从电脑中存储的最近的消费记录中随机抽取了100位消费者的消费金额（单位：元），整理得到如下频数分布表：消费金额（元）(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400

,500)[500,600)[600,700)[700,800)频数8142220121086（1）分别估计两种方案下消费者参与优惠活动的概率；（2）在消费金额的频数分布表中取每组中间值作为代表，从全部消费者享受的优惠平均值角度分析哪

种方案的优惠力度更大．20.已知方程组{𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑥+3𝑦=1，其中𝑎，𝑏的值从集合{1,2,3,4,5,6}中随机取得．（1）求该方程组无解的概率；（2）求该方程组仅有一组解，且该解对应的点在第四象限的概率．21.已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥sin(�

�+𝜋6)+√32cos2𝑥．（1）求函数𝑓(𝑥)的最小值及此时𝑥的取值集合；（2）若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+𝜋12)−√32−𝑎在𝑥∈[0,3𝜋4]时有2个零点，求实数𝑎的取值范围．22.已知圆𝐶经过坐

标原点𝑂，圆心在𝑥轴正半轴上，且与直线3𝑥+4𝑦−8=0相切．（1）求圆𝐶的标准方程．（2）直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点．（i）求𝑘的取值范围；（ii）证明：直线𝑂𝐴与直线𝑂𝐵的斜率之和为定值．5

答案解析部分一、单选题1.设集合𝑀={𝑥|𝑥−4>0}，𝑁={𝑥|𝑥2−7𝑥+6>0}，则𝑀∩∁𝑅𝑁=（）A.{𝑥|4<𝑥≤6}B.{𝑥|1≤𝑥<4}C.{𝑥|𝑥>6}D.{𝑥|1

≤𝑥≤6}【答案】A【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】由题意知，𝑁={𝑥|𝑥2−7𝑥+6>0}={𝑥|𝑥<1或𝑥>6}，所以∁𝑅𝑁={𝑥|1≤𝑥≤6}，又𝑀={𝑥|𝑥−4>0

}={𝑥|𝑥>4}，所以∁𝑅𝑁∩𝑀={𝑥|4<𝑥≤6}.故答案为：A【分析】分别求出集合M和N，再根据补集的定义求出∁𝑅𝑁，再根据交集的定义，即可得出答案。2.sin300∘=（）A.−12B.

12C.−√32D.√32【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin300∘=sin(360∘−60∘)=−sin60∘=−√32.故答案为：C.【分析】把所求式子中的角300°变形为360°-60°，然后

利用诱导公式及正弦函数为奇函数进行化简，再利用特殊角的三角函数值即可得到所求式子的值.3.已知𝑏∈[−3,3]，则坐标原点𝑂到直线𝑥+𝑦=𝑏的距离小于√2的概率为（）A.23B.12C.13D.

14【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】由原点𝑂到直线𝑥+𝑦=𝑏的距离小于√2，则|𝑏|√12+12<√2，即|𝑏|<2解得−2<𝑏<2所以所求概率为𝑃=46=23故答案为：A6【分析】根据已知条件，运用点到直线的距离公式，可得|𝑏|√12

+12<√2，再结合b的取值范围，即可求解.4.已知𝑎=log415，𝑏=(15)13，𝑐=30.6，则（）A.𝑏<𝑎<𝑐B.𝑐<𝑏<𝑎C.𝑎<𝑐<𝑏D.𝑎<𝑏<𝑐【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：因为

log415<log41=0，0<(15)13<(15)0=1，30.6>1，所以𝑎<𝑏<𝑐.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质即可求解。5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图

是圆的一部分，则该几何体的体积为（）A.𝜋3B.𝜋2C.𝜋D.2𝜋【答案】C【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：几何体为圆柱被轴截面切掉的图形，其体积等于圆柱体积的一半，圆柱的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积𝑉=12�

�×12×2=𝜋.故答案为：C.【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用体积公式的应用求出结果.76.某健康研究机构调查了100位居民的日平均睡眠时间（单位：时），统计数据制成频率分布直方图，如图所示，则估计这100位居民的日平均睡眠时

间的中位数约为（）A.6.7B.6.8C.6.9D.7【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】【解答】设中位数为x，[3，4)组的频率为：0.04；[4，5)组的频率为：0.10；[5，6)组的频率为：0.16；[6，7)组的频率为：0.24；[7，8)组的频率为：0.22，0

.04+0.10+0.16+0.24=0.54>0.5所以中位数在[6，7)组，有0.04+0.10+0.16+(𝑥−6)×0.24=0.5，解得𝑥≈6.8.故答案为：B【分析】根据频率分布直方图运算可得中位数在[6,7)上，列出方程求解即可.7.已知𝛼∈(3𝜋

4,𝜋)，且sin𝛼cos𝛼=−25，tan(𝛼+𝛽)=13，则tan𝛽=（）A.1B.7C.1或7D.2或6【答案】A【考点】两角和与差的正切公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】由𝛼∈(3𝜋4,𝜋)，则−1<tan𝛼<0由sin𝛼co

s𝛼=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+1=−25即2tan2𝛼+5tan𝛼+2=0，解得tan𝛼=−12或tan𝛼=−28所以tan𝛼=−12tan𝛽=tan[(𝛼+𝛽)−𝛼]=tan(𝛼+𝛽)−tan𝛼1+tan(

𝛼+𝛽)tan𝛼=13−(−12)1+13×(−12)=1故答案为：A【分析】把已知的等式利用同角三角函数间的基本关系化简后，即可得到tana的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入即可求出值.8.执行如图所示的程序框图，则输出的𝑚=（）A.10B.12C.14D.

16【答案】B【考点】循环结构【解析】【解答】模拟程序的运行过程：第一次运行：𝑛=1,𝑚=2，𝑛<32为真，𝑚=4,𝑛=3第二次运行：𝑚=4,𝑛=3，𝑛<32为真，𝑚=6,𝑛=7第三次运行：𝑚=6,𝑛=7，𝑛<32为真，𝑚=8,𝑛=15第四次运行：𝑚

=8,𝑛=15，𝑛<32为真，𝑚=10,𝑛=31第五次运行：𝑚=10,𝑛=31，𝑛<32为真，𝑚=12,𝑛=63第六次运行：𝑚=12,𝑛=63，𝑛<32为假，退出循环，输出𝑚=12故答案为：B【分析】根据

循环结构的程序框图，模拟程序的运行过程，即可得出答案。9.如图所示，𝑃是▱𝐴𝐵𝐶𝐷内任意一点，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于点𝐸，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−4𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A.14𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗B.12�

�𝑃⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗9【答案】D【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】【解答】解：𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−4𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝑃𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)−𝑃𝐸̅̅̅̅=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝑃⃗⃗⃗⃗⃗.故答案为：D.【分析】结合图像，直接利用平面向量的加减法运算，即可得出答案。10.在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，𝐸是𝑃𝐶的中点，若在棱𝑃𝐷上存在一点𝐹，使得𝐵𝐸

//平面𝐴𝐶𝐹，则𝑃𝐹𝐹𝐷=（）A.3B.2C.32D.1【答案】B【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质【解析】【解答】取𝑃𝐹的中点𝑀，连接𝐸𝑀,𝑀𝐵,连接𝐴𝐶,𝐵𝐷相交于点𝑂，连接𝐹𝑂由𝑀为𝑃𝐹的中点，𝐸是𝑃𝐶的中点，所以𝑀�

�//𝐹𝐶，𝐹𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐹,𝑀𝐸⊄平面𝐴𝐶𝐹,所以𝑀𝐸//平面𝐴𝐶𝐹当𝐹也为𝑀𝐷的中点时，即𝐷𝐹=𝐹𝑀=𝑃𝑀,也即𝑃𝐹𝐹𝐷=2时，由𝑂为𝐵𝐷中点，则𝐹𝑂//𝑀𝐵由𝐹𝑂⊂平面𝐴𝐶𝐹,𝑀𝐵⊄平面

𝐴𝐶𝐹,所以𝑀𝐵//平面𝐴𝐶𝐹又𝑀𝐸∩𝑀𝐵=𝑀，所以平面𝐴𝐶𝐹//平面𝑀𝐵𝐸又𝐵𝐸⊂平面𝑀𝐵𝐸，所以𝐵𝐸//平面𝐴𝐶𝐹.即在棱𝑃𝐷上存在一点

𝐹，当𝑃𝐹𝐹𝐷=2时，𝐵𝐸//平面𝐴𝐶𝐹.故答案为：B【分析】取𝑃𝐹的中点𝑀，连接𝐸𝑀,𝑀𝐵,连接𝐴𝐶,𝐵𝐷相交于点𝑂，连接𝐹𝑂，由面面平行的判10定定理可得平面𝐴𝐶𝐹//平面𝑀𝐵𝐸，再由面面平行的性质定理即可得出当𝑃𝐹𝐹𝐷=2时

，𝐵𝐸//平面𝐴𝐶𝐹。11.已知函数𝑓(𝑥)=log3𝑎𝑥+6𝑥+3在区间(−3,3]上单调递减，则实数𝑎的取值范围是（）A.(−1,2)B.(−12,2)C.(−2,2)D.(1,52)【答案】

C【考点】复合函数的单调性【解析】【解答】令𝑢=𝑎𝑥+6𝑥+3，由题意可知，𝑢=𝑎𝑥+6𝑥+3>0对任意的𝑥∈(−3,3]恒成立，因为𝑥+3>0，则𝑎𝑥+6>0对任意的𝑥∈(−3,3]恒成立，则{−3𝑎+6≥03𝑎+6>0，得−2<𝑎≤2.因为函数𝑓(𝑥)=lo

g3𝑎𝑥+6𝑥+3在区间(−3,3]上单调递减，外层函数𝑦=log3𝑢为增函数，故内层函数𝑢=𝑎𝑥+6𝑥+3=𝑎(𝑥+3)+6−3𝑎𝑥+3=𝑎+6−3𝑎𝑥+3在区间(−3,3]上为减函数，所以，6−3𝑎>0，可得𝑎<

2.综上所述，−2<𝑎<2.故答案为：C.【分析】由题意利用复合函数的单调性,对数函数的性质，可得函数由此求得实数𝑎的取值范围。12.如图所示，𝐵、𝐷为函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+

𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的图象与正六边形的两个公共点（点𝐵在𝑥轴上），正六边形与𝑦轴的一个交点为𝑀，𝑓(𝑥)的图象与𝑦轴的交点为𝑁，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为𝜋3，则下列结论中正确的个数为（）①函数𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋；②函数𝑓(

𝑥)的图象关于直线𝑥=11𝜋12对称；③函数𝑓(𝑥)的单调增区间为[−5𝜋12+𝑘𝜋,𝜋12+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍；④|𝑀𝑁||𝑀𝐷|=2√3−3．A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，正弦函数的

周期性11【解析】【解答】由于正六边形的边长为𝜋3，易知点𝐵(𝜋3,0)，所以，函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=2(𝜋3+𝜋6)=𝜋，①错误；由题意可知，|𝑂𝑀|=𝜋3sin𝜋3=√3𝜋6，由①可知，𝜔=2𝜋𝑇=2，则𝑓(𝑥)=

√3𝜋6sin(2𝑥+𝜑)，𝑓(−𝜋6)=√3𝜋6sin(𝜑−𝜋3)=0且函数𝑓(𝑥)在𝑥=−𝜋6附近单调递增，所以，𝜑−𝜋3=2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，可得𝜑=𝜋3+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)

，∵|𝜑|<𝜋2，所以，𝜑=𝜋3，故𝑓(𝑥)=√3𝜋6sin(2𝑥+𝜋3)，∵𝑓(11𝜋12)=√3𝜋6sin13𝜋6≠±√3𝜋6，②错误；由2𝑘𝜋−𝜋2≤2𝑥+𝜋3≤

2𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑍)，解得𝑘𝜋−5𝜋12≤𝑥≤𝑘𝜋+𝜋12(𝑘∈𝑍)，因此，函数𝑓(𝑥)的单调增区间为[−5𝜋12+𝑘𝜋,𝜋12+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍，③正确；∵𝑓(0)=√3𝜋6sin𝜋3=𝜋4，设点

𝐷(𝑥0,√3𝜋6)，因为点𝐷为函数𝑓(𝑥)在𝑦轴右侧第一个最高点，可知2𝑥0+𝜋3=𝜋2，可得𝑥0=𝜋12.易知点𝑀(0,√3𝜋6)、𝐷(𝜋12,√3𝜋6)、𝑁(

0,𝜋4)，所以，|𝑀𝑁||𝑀𝐷|=√3𝜋6−𝜋4𝜋12=2√3−3，④正确.故答案为：B.【分析】求出点B的坐标，可求出函数𝑓(𝑥)的最小周期，可判断①的正误；利用图中信息求出函数

𝑓(𝑥)的解析式，利用正弦函数的对称性，可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性，可判断③的正误；求出点M,N,D的坐标，即可判断④的正误。二、填空题13.已知直线𝑙1：𝑦=(2𝑎2−1)𝑥−2与直线𝑙2：𝑦=7𝑥+𝑎平行，则

𝑎=________．【答案】2【考点】两条直线平行的判定【解析】【解答】由题意知，由𝑙1//𝑙2，得{2𝑎2−1=7𝑎≠−2⇒𝑎=2.故答案为：2【分析】由两直线平行得出他们的斜率相等，结合两直线不重合,计算即可.1214.某单位年龄（单位：岁）在[20,30)的员工有40

人，年龄在[30,50)的员工有60人，年龄在[50,60)的员工有20人．现准备用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为________．【答案】15【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：总人

数为：40+60+20=120人，年龄小于50岁的员工人数为：40+60=100人，则用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为100120×18=15人.故答案为：15.【分析】

根据分层抽样原理知各年龄段内抽取的比例相等，由此求出样本中抽取的人数.15.某汽车制造厂生产一款新的汽车，今年前5个月的产量如下：月份𝑥12345汽车产量𝑦（千辆）2𝑚578若根据表中提供的数据，求出𝑦关于

𝑥的线性回归方程为𝑦̂=1.6𝑥+0.2，那么表中𝑚的值为________．【答案】3【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由题意得𝑥̅=15(1+2+3+4+5)=3，𝑦̅=15(2+𝑚+5+7+8)=22+𝑚

5，因为𝑦关于𝑥的线性回归方程为𝑦̂=1.6𝑥+0.2，所以22+𝑚5=1.6×3+0.2，解得𝑚=3，故答案为：3【分析】利用线性回归直线过样本中心点求解即可。16.如图所示，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中

，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=2，𝐵𝐷=2√3，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，若𝐶𝑂=√6，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(2−𝜆)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗（𝜆为常数），则𝐷𝑂=________．【答案】√2【考点】向量的线性运算

性质及几何意义【解析】【解答】设𝐶𝐴⃯=𝑘𝐶𝑂⃯，由𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(2−𝜆)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑘𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+2−𝜆𝑘𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗设𝐵𝑂⃗⃗

⃗⃗⃗=𝑥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑥(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)13所以𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝑥

)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑥𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,又𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑘𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+2−𝜆𝑘𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗所以{1−𝑥=2−𝜆𝑘𝑥=𝜆𝑘，两式相加得𝑘=2所以𝐶𝐴⃯=2𝐶𝑂⃯，即𝑂为𝐴𝐶的中点，

由𝐶𝑂=√6，则𝐴𝑂=√6由𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=2，𝐵𝐷=2√3，则𝐴𝐵2=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2则△𝐴𝐵𝐷为直角三角形，且∠𝐴𝐷𝐵=90°则𝐷𝑂=√𝐴𝑂2−𝐴𝐷2=√6−4=√2

故答案为：√2【分析】由已知边的条件，确定∠𝐴𝐷𝐵=90°，再由𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(2−𝜆)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，确定O为AC中点，所以𝐶𝑂=√6，𝐴𝑂=√6，由勾股定理即可求出OD.三、解答题17.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏−1𝑎𝑥(�

�>0且𝑎≠1)是奇函数．（1）求𝑏的值；（2）令函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−1，若关于𝑥的方程𝑔(𝑥)=𝑡+2𝑡+3在𝑅上有解，求实数𝑡的取值范围．【答案】（1）函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏−1𝑎𝑥(𝑎>0)的定义域为𝑅,又𝑓(𝑥)是奇函数所以𝑓

(0)=1+𝑏−1=𝑏=0当𝑏=0时，𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1𝑎𝑥，𝑓(−𝑥)=𝑎−𝑥−1𝑎−𝑥=−(𝑎𝑥−1𝑎𝑥)=−𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)是奇函数，所以𝑏=0（2）𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−1=𝑎𝑥−1𝑎𝑥−𝑎𝑥−1=−1�

�𝑥−1由𝑎𝑥>0，则1𝑎𝑥>0，所以−1𝑎𝑥<0，所以−1𝑎𝑥−1<−1即𝑔(𝑥)的值域为(−∞，−1)方程𝑔(𝑥)=𝑡+2𝑡+3在𝑅上有解，则𝑡+2𝑡+3<−1，解得−3<𝑡<−52所以满足条件的实数𝑡的取值范围：−3<𝑡<−52【考点】函数的值域，函

数奇偶性的性质【解析】【分析】（1）由函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅,且是奇函数，则𝑓(0)=0，从而可求出答案；（2）由题意𝑔(𝑥)=−1𝑎𝑥−1，先求出函数𝑔(𝑥)的值域，方程𝑔(𝑥)=𝑡+2𝑡+3在𝑅上有解，则𝑡+2𝑡+3<

−1，求解可得答案。1418.已知向量𝑎=(−1,3)，𝑏⃗=(2,−1)，𝑐=𝜆𝑎+𝑏⃗(𝜆≠0)，且|𝑐|=√5．（1）求实数𝜆的值；（2）求𝑎与𝑐夹角的余弦值．【答案】（1）由向量𝑎=(−1,3)，

𝑏⃗=(2,−1)，𝑐=𝜆𝑎+𝑏⃗(𝜆≠0)则𝑐=𝜆𝑎+𝑏⃗=𝜆(−1,3)+(2，−1)=(2−𝜆,3𝜆−1)，又|𝑐|=√5所以|𝑐|=√(2−𝜆)2+(3𝜆−1)2=√5，解得𝜆=1或𝜆=

0(舍)所以𝜆=1（2）当𝜆=1时，𝑐=(1,2)则cos〈𝑎,𝑐〉=𝑎⃗⋅𝑐|𝑎⃗||𝑐|=−1+6√10×√5=√22【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【分析】(1)先用𝜆表示出向量𝑐→的坐标，再根据𝑐→建

立关于𝜆方程，解出方程即可；(2}利用向量夹角的坐标公式即可得到答案。19.为了回馈消费者，某商场准备在假期举行优惠活动，据统计，消费者在该商场的消费金额都不超过800元，活动策划人员准备了两种优惠方案．方案一：消费金额满300元减50元，满600元减120

元，只取最高优惠，不重复减免；方案二：消费金额满400元享受8折优惠．活动策划人员从电脑中存储的最近的消费记录中随机抽取了100位消费者的消费金额（单位：元），整理得到如下频数分布表：消费金额（元）(0,

100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600)[600,700)[700,800)频数8142220121086（1）分别估计两种方案下消费者参与优惠活动的概率；（2）在消费金额的频数分布表中取每组中间值作

为代表，从全部消费者享受的优惠平均值角度分析哪种方案的优惠力度更大．【答案】（1）方案一：消费者的消费金额满300元即可参与优惠活动，其人数为20+12+10+8+6=56其概率：56100=0.56方案二：消费者的消费金额满400元即可参

与优惠活动，其人数为12+10+8+6=44其概率：44100=0.44（2）这100位消费者的消费金额下频数分布表消费金额（元）(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600)[600,700)[700,800)频

数8142220121086频率0.080.140.220．20.120.10.080.06方案一：消费者消费金额的平均值1550×0.08+150×0.14+250×0.22+300×0.2+400×0.12+500

×0.1+530×0.08+630×0.06=318.2方案二：消费者消费金额平均值50×0.08+150×0.14+250×0.22+350×0.2+0.8×(450×0.12+550×0.1+650×0.08+750×

0.06)=314.8显然方案二的优惠力度更大.【考点】众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】(1)利用表中数据,分别计算方案一、方案二消费者参与优惠活动的概率即可;(2)由表中数据,分别计算方案一、方案二购物的

平均费用，比较大小即可.20.已知方程组{𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑥+3𝑦=1，其中𝑎，𝑏的值从集合{1,2,3,4,5,6}中随机取得．（1）求该方程组无解的概率；（2）求该方程组仅有一组解，且该解对应的点在第四象限的概率．【答案】（1）从集合{1,2,3

,4,5,6}中随机取得𝑎，𝑏的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共36种，因为该方程组无解，所以𝑎=3𝑏，所以方

程组无解所包含的基本事件为(1,3),(2,6)共2个，所以方程组无解的概率为236=118；（2）因为方程组仅有一组解，所以𝑎≠3𝑏，{𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑥+3𝑦=1，解得{𝑥=6−𝑏3�

�−𝑏𝑦=𝑎−23𝑎−𝑏，又因该解对应的点在第四象限，所以{𝑥=6−𝑏3𝑎−𝑏>0𝑦=𝑎−23𝑎−𝑏<0，解得：{𝑎<23𝑎−𝑏>0𝑏−6<0，所以方程组仅有一组解，且该解对应的点在第四象限所包含的基本事件为(1,1),(1,2)共2个，所以方程组仅有

一组解，且该解对应的点在第四象限的概率为236=118.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【分析】(1)根据题意,点(a,b)的所有可能出现的结果共有6x6=36个，可记事件A为“方程组无解”，则直线ax+by=2与直线x+3y=1平行，即b=3a,易知满足该条件的点有2个，从

而即可得出该方程16组无解的概率;(2)由方程组{𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑥+3𝑦=1解得{𝑥=6−𝑏3𝑎−𝑏𝑦=𝑎−23𝑎−𝑏，又该解对应的点在第四象限可得{𝑥=6−𝑏3𝑎−𝑏>0𝑦=𝑎−23𝑎−�

�<0，再结合b≠3a,求出对于的点(a,b)的个数即可得到该方程组仅有一-组解，且该解对应的点在第四象限的概率.21.已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥sin(𝑥+𝜋6)+√32cos2𝑥．（1）求函数𝑓(𝑥)的最小值及此时𝑥的取值集合；（2）若函数

𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+𝜋12)−√32−𝑎在𝑥∈[0,3𝜋4]时有2个零点，求实数𝑎的取值范围．【答案】（1）𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+12sin2𝑥+√32cos2𝑥=12sin2𝑥+√32，所以当sin2𝑥=−1即𝑥=3𝜋4+𝑘𝜋(𝑘∈𝑁∗)

时，𝑓(𝑥)取得最小值，且𝑓(𝑥)min=√3−12，此时x的解集为{𝑥|𝑥=3𝜋4+𝑘𝜋}，𝑘∈𝑁∗.（2）由(1)得，𝑔(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜋6)−𝑎，令𝑔(𝑥)=0，得sin(2𝑥+𝜋6)=2𝑎要使𝑔(𝑥)在[0

，3𝜋4]有两个零点，必有函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋6)与函数𝑦=2𝑎图像在[0，3𝜋4]上有两个交点，因为𝑥∈[0，3𝜋4]，所以2𝑥+𝜋6∈[𝜋6，5𝜋3]，所以sin𝜋6=1

2，sin5𝜋3=−√32作出如下图像，得12≤2𝑎<1或−1<2𝑎≤−√32，解得14≤𝑎<12或−12<𝑎≤−√34，即a的取值范围为(−12，−√34]∪[14，12).17【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数的零点，正弦函数的零点与最值【解析】【分析】(1)利用和

差角公式、二倍角公式化简f(x),再利用正弦函数的性质求f(x)的最小值；(2)𝑔(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜋6)−𝑎有两个零点，等价于𝑦=sin(2𝑥+𝜋6)与函数𝑦=2𝑎图像在[0，

3𝜋4]上有两个交点，通过讨论正弦函数的单调性求解.22.已知圆𝐶经过坐标原点𝑂，圆心在𝑥轴正半轴上，且与直线3𝑥+4𝑦−8=0相切．（1）求圆𝐶的标准方程．（2）直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点．（i）求𝑘的取值范围

；（ii）证明：直线𝑂𝐴与直线𝑂𝐵的斜率之和为定值．【答案】（1）设圆C的圆心C坐标为(𝑎，0)，其中a>0，由题意知，𝑟=𝑎，又圆C与直线3x+4y-8=0相切，则圆心C到此直线的距离为：|

3𝑎−8|5=𝑟，所以|3𝑎−8|5=𝑎，解得a=1或a=-4(舍去)，所以圆心C为(1，0)，𝑟=1，故圆C的标准方程为：(𝑥−1)2+𝑦2=1；（2）由(1)，{𝑦=𝑘𝑥+2(𝑥−

1)2+𝑦2=1⇒(𝑘2+1)𝑥2+(4𝑘−2)𝑥+4=0，因为直线𝑙交圆C于点A，B，所以𝛥=(4𝑘−2)2−16(𝑘2+1)>0⇒𝑘<−34(i)k的取值范围是(−∞，−34)；

(ii)证明：设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=−4𝑘−2𝑘2+1，𝑥1𝑥2=4𝑘2+1，又𝑘𝑂𝐴+𝑘𝑂𝐵=𝑦1𝑥1+𝑦2𝑥2=𝑘𝑥1+2𝑥1+𝑘𝑥2+2𝑥2=2(𝑥1+𝑥2)𝑥

1𝑥2+2𝑘=−8𝑘−4𝑘2+14𝑘2+1=2𝑘−2𝑘+1=1，所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.【考点】直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系【解析】【分析】(1)设圆C的圆心C坐标为(

𝑎，0)，其中a>0,半径为r，圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上，则r=a,再结合点到直线的距离公式，即可求解；(2)(i)联立直线与圆的方程，可得(𝑘2+1)𝑥2+(4𝑘−2)𝑥+4

=0，结合△>0,即可求解𝑘的取值范围；（ii）由于𝑘𝑂𝐴+𝑘𝑂𝐵=𝑦1𝑥1+𝑦2𝑥2=𝑘𝑥1+2𝑥1+𝑘𝑥2+2𝑥2=2(𝑥1+𝑥2)𝑥1𝑥2+2𝑘，结合韦达定理,即可证明.