【文档说明】黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试考试数学（文科）试题【精准解析】.doc，共(16)页，580.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，则∁UA＝（）A．{1，2}B．{3，4，5，6，7}C．{1，3，4，7}

D．{1，4，7}2．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题3．下列命题为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2+3x

﹣4＝0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x＞1”的逆否命题4．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：∀x＞0，ex≥x+1，

则命题￢p为（）A．∀x＞0，ex＜x+1B．∃x≤0，ex≥x+1C．∃x＞0，ex＜x+1D．∃x≤0，ex＜x+16．设复数z＝（1﹣2i）（2+i），则|z|＝（）A．3B．C．D．57．某校甲、乙课外活动小组

（两小组人数相等）20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．B．C．D．8．下列数中，表示同一个函数的是（）A．y＝x2与B．y＝x2与y＝t2C．D．9．已知定义域为R的函数f（x）满足f

（x）＝f（8+x），当x∈[0，4]时，f（x）＝，则f（f（2020））＝（）A．8B．6C．0D．﹣610．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[b﹣3，b+1]上的奇函数，那么a+b的值为（）A．﹣B．1C．﹣D．11．函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，则下

列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值12．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜0B．a≤﹣2C．﹣4≤a

≤﹣2D．a＜0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，如图提

供随机数表的第2行到第4行．若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是．3221183429786454073252420644381223435677357890564284421553313457860

1362530073286234578890723689608043256780843678953557734899483752253557832457789234514．设函数f（x）＝x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．15．已知幂函数f（x）＝x

α过点（4，2），则f（9）＝．16．设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围．三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）17．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．18．质检部门抽查1000个某机械零件的半径（单位

：厘米），经统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间[4，5），[5，6），[6，7），[7，8），[8，9），[9，10]．（1）请根据频率分布直方图估计零件的半径在区间[7，9）的零件个数；（2）求这1000个零件半径尺寸数据的中位数．19．在△ABC中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB+sin2C＝sin2A+sin2B．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．20．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被

认为能减少空气污染和缓解能源短缺．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．新能源汽车也越来越受到消费者的青睐．某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽

车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽

取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.8

2821．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若OA⊥OB，求．22．已知函数．（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（e，f（e））处切线方程；（2）讨论

f（x）的单调区间；（3）试判断a＞1时f（x）＝0的实根个数说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，则∁UA＝（）A．{1，2}B．{3，4，5，6，7}C．{1，3，4，7}D．{1，

4，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5，6，7}；∴∁UA＝{1，2}．故选：A．2．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命

题解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．3．下列命题为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2+

3x﹣4＝0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x＞1”的逆否命题解：对于A：命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为：若x＞|y|，即x为正数，则|x＞y，为真命题；对于B：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为：若x≤1，则x2≤1，为

假命题；对于C：命题“若x＝1，则x2+3x﹣4＝0”的否命题为：若x≠1，则x2+3x﹣4≠0为假命题；对于D：命题“若x2≥1，则x＞1”的逆否命题为：若x≤1，则x2＜1为假命题；故选：A．4．已知a，

b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：因为a＞b，所以a＞b﹣1，即有a+2＞b+1，当a+2＞b+1，即a＞b﹣1，不一定推出a＞b，比如：a＝b＝1，满足a＞b﹣1，但是a＞b不成立，因此“a＞

b”是“a+2＞b+1”的充分而不必要条件．故选：A．5．已知命题p：∀x＞0，ex≥x+1，则命题￢p为（）A．∀x＞0，ex＜x+1B．∃x≤0，ex≥x+1C．∃x＞0，ex＜x+1D．∃x≤0，ex＜x+1解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得

，命题p：∀x＞0，ex≥x+1，则命题￢p为：∃x＞0，ex＜x+1．故选：C．6．设复数z＝（1﹣2i）（2+i），则|z|＝（）A．3B．C．D．5解：∵z＝（1﹣2i）（2+i）＝2+i﹣4i+2＝4﹣3i，∴|z|＝．故选：D．7．某校甲、乙课外活动小组（两小组人

数相等）20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．B．C．D．解：由茎叶图中的数据可得，＝（285+291+295+300+304+306+311+312+322+324+325+32

6+330+333+337+343+345+354+356+362）×＝305.8，＝（292+304+311+312+322+323+326+331+332+334+335+340+342+345+346+347+35

2+353+354+365）×＝333.3，所以＜，根据集中定律，由茎叶图可得，乙组的集中程度明显比甲组高，故s1＞s2．故选：C．8．下列数中，表示同一个函数的是（）A．y＝x2与B．y＝x2与y＝t2C．D．

解：A．y＝x2的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一个函数；B．y＝x2与y＝t2显然是同一个函数；C.的定义域为{x|x≠0}，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；D.的定义域为[1，+∞）

，的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），定义域不同，不是同一个函数．故选：B．9．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝f（8+x），当x∈[0，4]时，f（x）＝，则f（f（2020））＝（）A．8B．6C

．0D．﹣6解：∵定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝f（8+x），∴T＝8，∴f（2020）＝f（8×252+4）＝f（4），∵当x∈[0，4]时f（x）＝，∴f（4）＝0，∴f（f（2020））＝f（0）＝30﹣1＝0，

故选：C．10．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[b﹣3，b+1]上的奇函数，那么a+b的值为（）A．﹣B．1C．﹣D．解：根据题意，f（x）＝ax2+bx是定义在[b﹣3，b+1]上的奇函数，则有（b﹣3）+（b+1）＝2b﹣2＝0，解可得b＝1，故f（x）

＝ax2+x是定义在[﹣2，2]上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故有ax2﹣x＝﹣ax2﹣x，必有a＝0，故a+b＝1，故选：B．11．函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y＝f（x）的

递减区间C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值解：由函数y＝f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1及3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3及x＞5时，f′（x）＞0，f（

x）单调递增．所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5）；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x＝﹣1，5取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误；故选：C．12．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜0B．a≤﹣2C．﹣4≤a≤﹣2D

．a＜0解：函数是R上的增函数，则，求得﹣4≤a≤﹣2，故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编

号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，如图提供随机数表的第2行到第4行．若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是28．322118342978645407325242064438122343

5677357890564284421553313457860136253007328623457889072368960804325678084367895355773489948375225355783245778923

45解：从表中第3行第4列开始向右读取数据，依次为：21,33,13,45,28，···所以得到的第5个样本的编号是28．故答案为：28．14．设函数f（x）＝x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．解：由题

意，本题符合几何概型，区间[﹣5，5]长度为10，使f（x0）≤0即x2﹣x﹣2≤0的区间为[﹣1，2]，长度为3，由几何概型公式得到，使f（x0）≤0的概率为；故答案为：．15．已知幂函数f（x）＝xα过点（4，

2），则f（9）＝3．解：∵幂函数f（x）＝xα过点（4，2），∴4α＝2，∴α＝，∴f（x）＝，∴f（9）＝＝3，故答案为：3．16．设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围（，1）．

解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣＝x2﹣＝f（x），则f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣为增函数，则f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），得|x|＞|2x﹣1|，平方得x2＞4x2﹣4x+1，即3x2﹣4

x+1＜0，得（x﹣1）（3x﹣1）＜0，得＜x＜1，即x的取值范围是（，1），故答案为：（，1）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）17．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的

极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．解：（Ⅰ）∵直线l参数方程为（t为参数）．∴直线l消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，

∵圆C的方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（Ⅱ）将直线l参数方程，代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2+2﹣2＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t1＝﹣2＜0，t1t2＝﹣2＜0，∴|PA|+|PB|＝|t1﹣

t2|＝＝4．18．质检部门抽查1000个某机械零件的半径（单位：厘米），经统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间[4，5），[5，6），[6，7），[7，8），[8，9），[9，10]．（1）请根据频率分布直方图估计零件的半径在区间[7，9）的零件个数；（2）求这1

000个零件半径尺寸数据的中位数．解：（1）由图可得零件的半径在[7，9）的频率为1×（0.28+0.232）＝0.512，故零件的半径在区间[7，9）的零件个数为1000×0.512＝512个；（2）∵[4，7）的频率

为：（0.04+0.06+0.232）×1＝0.332，[7，8）的频率为0.28，设中位数为x，则0.332+（x﹣7）×1＝0.5，解得x＝7.168，所以中位数为：7.168．19．在△ABC中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB+sin2C＝sin2A+sin2B．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．解：（1）由正弦定理得ab+c2＝a2+b2，即a2+b2﹣c2＝ab，即cosC＝，

则C＝．（2）由（1）知，c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，∵c＝2，∴ab≤4当且仅当a＝b时取等号，则三角形面积S＝absinC≤4×＝，即三角形的面积的最大值是．20．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其

他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．新能源汽车也越来越受到消费者的青睐．某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车

购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的

车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.

0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（Ⅰ）K2＝＞10.828，有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关，（Ⅱ）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，男性4人，记为a，b，c，d，女性

2人，记为1，2，选取2名学生共有（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2），共15种，符合题意有9种，所以这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率．2

1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若OA⊥OB，求．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．（

Ⅱ）设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），由于OA⊥OB，所以，所以，则＝＝．22．已知函数．（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（e，f（e））处切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间；（3）试判断a

＞1时f（x）＝0的实根个数说明理由．解：（1）函数的导数为f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝，当a＝1时，y＝f（x）在（e，f（e））处切线斜率为，切点为（e，e2﹣2e+1），可得切线方程为y﹣（e2﹣2e+1）＝（x﹣e），即为y＝x﹣e2；

（2）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝，x＞0，①当a＝0时，f′（x）＝，可得f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；②当a＝1时，f′（x）＝≥0，可得f（x）的增区间为（0，+∞）；③当a＞1时，0＜＜1，可得f（x）的增区间为（0，

），（1，+∞），减区间为（，1）；④当0＜a＜1，＞1，可得f（x）的增区间为（0，1），（，+∞），减区间为（1，）；⑤当a＜0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；（3）a＞1时f（x）＝0的实根个数为1，a＞1时，

0＜＜1，可得f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1），可得f（x）的极小值为f（1）＝﹣1﹣＜0，极大值为f（）＝﹣1﹣﹣lna＜0，且x→+∞，f（x）→+∞，可得f（x）＝0的实根为1个

．