【文档说明】江苏省连云港市六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.551 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学模拟试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{1,2,3}A=，{2,3,4}B=，则集合AB中元素的个数为_____．【答案

】4【解析】【分析】本题首先可以通过题意得出集合A以及集合B所包含的元素，然后利用并集定义写出AB，即可得出结果．【详解】因为集合1,2,3A=，{2,3,4}B=，所以{1,2,3,4}AB=.所以集合

AB中元素的个数为4，故答案为4．【点睛】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设复数11izi+=−，则z=___________

______.【答案】1【解析】解法一：由题意可得：12112izi+===−.解法二：222(1)122,1.(1)(1)12iiiiziziii+++=====−+−3.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据

的方差为________【答案】53【解析】【分析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可.【详解】该组数据平均数46587666x+++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s=−+−+−+−+−+−(

)1540141063=+++++=.故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据当型循环的含义

，知直到10T时，退出循环.【详解】第一次循环：2,3Ti==；第二次循环：5,5Ti==；第三次循环：10,7Ti==；因1010T=，故退出循环，此时7i=.故答案为：7【点睛】本题考查根据当型循环语句计算输出值的问题，此类题要做到认真通读语句，建议数据较小时可以采用列

举出来的办法，是一道容易题.5.函数1lgyx=−的定义域为______________.【答案】(0,10【解析】【分析】解不等式组01lg0xx−可得函数的定义域.【详解】由题设有01lg0xx−，故010x，故函数的定义

域为(0,10.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号na（*,2nNn，n为偶数）中，0a；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.6.从长度分别为1234、、

、的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则mn等于____________.【答案】14【解析】【分析】分别求出,mn即可．【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即4n=，可组成三角形

的只有一种(2,3,4)，因此1m=，∴14mn=．故答案为14．【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得n，m．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于

最长的线段长度．7.若双曲线()22210xymm−=的一条渐近线方程为30xy+=，则m=_______.【答案】3【解析】【分析】双曲线()22210xymm−=的渐近线方程为1yxm=，由双曲线()22210xymm−=的一条渐近线方程为30xy+=，可得1

33m=，从而得到m的值.【详解】双曲线()22210xymm−=的渐近线方程为1yxm=.由由双曲线()22210xymm−=的一条渐近线方程为30xy+=，即33yx=−所以133m=，即3m=故答案为：

3【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求参数的值,属于基础题.8.已知nS是等差数列na的前n项和，若1234aaa++=，610S=，则3a=______.【答案】149【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，根据题意，求得1,ad的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.【详解】

由题意，设等差数列na的公差为d，可得123161334656102aaaadSad++=+==+=，解得110929ad==，所以311429aad=+=.故答案为：149.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等

差数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力.9.若关于x的不等式210mxmx−+的解集不是空集，则m的取值范围是________.【答案】0m或4m【解析】【分析】分别讨

论=0m和0m，利用不等式210mxmx−+的解集不是空集，解出m的取值范围.【详解】解：若=0m，则原不等式等价为10，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即0m.若0m，要使不等式210mxmx−+的解集不是空集，则①若0m，有240mm=−>，解得4

m.②若0m，则满足条件.综上所述，满足条件的m的取值范围是0m或4m.故答案为：0m或4m.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.10.已知等边三角形ABC的边长为8，D为BC边的中点，沿AD将ABC折成直二面角BADC−−，则三棱锥ADCB−的外接球的表面

积为_____【答案】80【解析】【分析】先证明AD⊥平面BCD，利用二面角的定义得知∠BDC＝90°，利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为BC，设R为三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，得22AD()()22BCR=+，再利用球体表面积公式可得出答案．【详解】如图所示，折叠前，由于△ABC时

等边三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，折叠后，则有AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD，∵二面角B﹣AD﹣C为直二面角，∵AD⊥BD，AD⊥CD，则二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC＝90°，且1BDCD84,ADAB

sin60432=====，Rt△BCD的外接圆直径为2242BCBDCD=+=，所以，三棱锥A﹣BCD的外接球半径为22AD()()2522BCR=+=，因此，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4πR2＝80π．

故答案为80π【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查二面角的定义，同时也考查直线与平面垂直的判定定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．11.若tan，tan是方程2670xx−+=的两个根，则+=__________.【答案】,.4kkZ−【解析】【分析】由韦达定理得ta

ntan6,tantan7+==，再求出tan()1+=−，即得解.【详解】由题得tantan6,tantan7+==.所以tantan6tan()11tantan17++===−−−，所以,.4kkZ

+=−故答案为：,.4kkZ−【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知,ab都是正实数，则2ababab+++的最小值是__________.【答案】222−【解析】试题

分析：考点：基本不等式.13.已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且2BABCAB=，若3PBPC=，则PAPBPC++的取值范围为__________．【答案】[5,7]【解析】【分析】由2BABCAB=整理可得：0BAAC=，即：BAAC⊥，以

圆心为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设(),Pxy，由3PBPC=整理得：224xy+=，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，由PAPBPC++等价转化成3POOA+，利用()233POOAPOOA+=+整理即可求解．【详解】由2BABCAB

=可得：()22BAACABBAACABAB−=+=,所以0BAAC=，所以BAAC⊥，即线段BC为单位圆的直径.以圆心为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图：则()1,0B−，()1,0C设(),Pxy，则()()1,,1,PBxyPCxy=−−−=−−由3PBPC=可

得：224xy+=，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，因为3PAPBPCPOOAPOOBPOOCPOOA++=+++++=+，所以()2223396PAPBPCPOOAPOOAPOPOOAOA++=+=+=++3712cos,POOA=+,又1cos,1POOA−，所以3712

3712PAPBPC−+++，即：57PAPBPC++.【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及计算能力，考查了向量模的运算，属于难题．14.已知函数()ln,11,12xxfxxx=−，若()()()1Fxffxm=

++有两个零点12,xx，则12xx的取值范围______.【答案】(),e−【解析】【分析】先运用分段函数的解析式，得出()()()1Fxffxm=++的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得12xx的取值范围.【详解】当1x时,()ln0fxx=,()11fx+,[()

1]ln(()1)ffxfx+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222xxfxfxffxfx=−++=+，，，,综上可知：()()()1ln(()1)0Fxffxmfxm=++=++=,则()1m

fxe−+=，()1mfxe−=−有两个根1x，2x,(不妨设)12xx,当1x时,2ln1mxe−=−，当1x时,1112mxe−−=−,令112mte−=−,则2lnxt=，2txe=，112xt−=，122xt=−，12(

22)txxet=−，12t,设()(22)tgtet=−，12t,所以()2tgtte=−,1,()02tgt+，，函数()gt单调递减,1()2gtge=,()gx的

值域为(,)e−,12xx取值范围为(,)e−,故答案为：(,)e−.【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出12xx的函数

解析式，属于难度题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数()22coscos23fxxx=−−（1）当0,2

x时，求()fx的值域；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()32fBC+=，2a=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）30,2；（2）3【解析】【分析】（1）()fx解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函

数公式变形，整理后化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域确定出求()fx的值域即可；（2）由()32fBC+=，及第一问确定出的解析式，求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等

式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．【详解】解：（1）因为()22coscos23fxxx=−−所以()cos2cos213fxxx=−−+cos2cos2cossin2sin133xxx=−−+13cos2sin21cos21223

xxx=−+=++即()cos213fxx=++，0,2x，42,333x+，1cos21,32x+−所以()fx的值域为30,2

；（2）由3()cos2()132fBCBC+=+++=，得1cos232A−=，又(0,)A，3A=，在ABC中，由余弦定理，得2222cos3abcbc=+−，把2a=，代入得：2

242bcbcbcbcbc=+−−=…，当且仅当bc=时取等号，ABC的面积133sin432344Sbcbc===„，则ABC面积的最大值为3．【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.

如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PDBC⊥，G为PA上一点．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若PC∥平面BDG，求证：G为PA的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【详解】试题分析：（1）证面

面垂直，关键证线面垂直，由于PDBC⊥，又底面ABCD为矩形BCCD⊥，因此BC⊥平面PCD，进而平面ABCD⊥平面PCD；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接AC，交BD于O，连接GO

，//PC平面BDG//PCGO，再根据中位线性质得G为PA的中点.试题解析：（1）底面ABCD为矩形，BCCD⊥，又PDBC⊥，,CDPDPCD平面，PDCDD=，BC⊥平面PCD，又BCABCD平

面，平面ABCD⊥平面PCD；（2）连接AC，交BD于O，连接GO，//PC平面BDG，平面PCA平面BDGGO=，//PCGO，PGCOGAOA=，底面ABCD为矩形，O是AC的中点，即COOA=，PGGA=，G为PA的

中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理17.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为mr的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q

为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．【答案】(1)当r为25时，点Q在路面中线上；（2）1245.−【解析】【分析】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系

，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA＝CP＝r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．【详解】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标

系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则222222(2)(10)(8)abrabr−+−=+−=，两式相减得：a+b﹣10＝0，又

2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，∴224(68)25r=+−=．∴当25r=时，点Q恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b﹣10＝0，当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝2aa−−（x﹣2），令y＝0可得x＝12﹣20a，即

Q（12﹣20a，0），∵H在线段OQ上，∴12﹣20a≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a﹣a＝12﹣（20a+a）≤12﹣220＝12﹣45，当且仅当20a＝a即a＝25时取等号．∴|

HQ|的最大值为（12﹣45）m．【点睛】本题考查了直线方程，圆的方程，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18.如图，椭圆1C：22221xyab+=（0ab）和圆2C：222xyb+=，已知圆2C将椭圆1C的长轴三等分，椭圆1C右焦点到

右准线的距离为24，椭圆1C的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆2C相交于点A、B．（1）求椭圆1C的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆1C相交于另一个交点为点P、M.①求证：直线MP经过一定点；②

试问：是否存在以(,0)m为圆心，325为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2219xy+=；（2）①详见解析；②存在，22(,)55−.【解析】试题分析：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三

等分，可得1223ba＝；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为24，可得2224abccc−=＝，及a2=b2+c2即可得出；（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1

，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点．②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为325的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径3

25．即（i）25325125tmt+＜，（ii）2453251tmt++＜．得出m的取值范围存在即可．试题解析：（Ⅰ）依题意，1223ba=，则3ab=，∴2222cabb=−=，又2224abccc−==，∴1b=，则3a=，∴椭圆方程为2219xy+=．（2）①由题意知直线,P

EME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：1ykx=−，由221,{1,9ykxxy=−+=得22218,91{91,91kxkkyk=+−=+或0,{1,xy==−∴2221891(,)9191kkPkk−++，用1k−去代k，得222

189(,)99kkMkk−−++，方法1：22222229191919181810919PMkkkkkkkkkkk−−−−++==+++，∴PM：22229118()9109kkkyxkkk−−−=+++，即214105kyxk−=+，∴直线PM经过定点4(0,)5T．方法2：作直线

l关于y轴的对称直线'l，此时得到的点'P、'M关于y轴对称，则PM与''PM相交于y轴，可知定点在y轴上，当1k=时，94(,)55P，94(,)55M−，此时直线PM经过y轴上的点4(0,)5T，∵22229141915,181091PTkkkkkkk−−−+==+22229

4195,18109MTkkkkkkk−−−+==−+∴PTMTkk=，∴P、M、T三点共线，即直线PM经过点T，综上所述，直线PM经过定点4(0,)5T．②由221,{1,ykxxy=−+=得2222,1{1,1kxkkyk=+−=+或0,{1,xy==−∴2222

1(,)11kkAkk−++，则直线AB：212kyxk−=，设2110ktk−=，则tR，直线PM：45ytx=+，直线AB：5ytx=，假设存在圆心为(,0)m，半径为325的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则2

2532,()5125{4352,()51tmitmtiit+++由（i）得22181825()2525tm−对tR恒成立，则21825m，由（ii）得，221882()025525mtmt−+−对tR恒成

立，当21825m=时，不合题意；当21825m时，228182()4()()052525mm=−−−，得2225m，即2255m−，∴存在圆心为(,0)m，半径为325的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为22(,)55−．解法二：圆2218:(

)25Gxmy−+=，由上知PM过定点4(0,)5，故22418()525m+；又直线AB过原点，故2218:025Gm+，从而得22(,)55m−．考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．19.已知函数()32113fxxaxbx=+++（a，bR）

.（1）若0b=，且()fx在()0,+内有且只有一个零点，求a的值；（2）若20ab+=，且()fx有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若1a=

，0b，试讨论是否存在0110,,122x，使得()012fxf=.【答案】（1）1334−（2）存在；a的值为1335−（3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）()3211

3fxxax=++，()22fxxax=+，讨论0a和0a两种情况，分别计算函数的单调性，再根据零点个数得到参数.（2）()322113fxxaxax=+−+，根据题意()()()()13fxxmdxmxmd=−−−−+，计算得到ma−=，335a=−，计算得到答案.（3）()

32113fxxxbx=+++，()()200001114147122122fxfxxxb−=−+++，故必须2004147120xxb+++=在110,,122上有解，解方程得到答案.【详解】（1）若0b=，则()32

113fxxax=++，()22fxxax=+，若0a，则在()0,+，则()0fx，则()fx在()0,+上单调递增，又()010f=，故()fx在()0,+上无零点，舍；若0a，令()220fxxax=+=，得()0fx=，10x=，22x

a=−，在()0,2a−上，()0fx，()fx在上单调递减，在()0,2a−上，()0fx，()fx在上单调递增，故()()33384241133fxfaaaa=−=−++=+极小值，若34103a+，则()20fa−，()fx在()0,+上无零点，舍；若34103a+，则()2

0fa−=，()fx在()0,+上恰有一零点，此时1334a=−；若34103a+，则()20fa−，()010f=，()()()23310faaaa−=−−++，则()fx在()0,2a−和()2,3aa−−上有各有一个零点，舍；故a的值为1334−.

（2）因为20ab+=，则()322113fxxaxax=+−+，若()fx有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()()()322232113333fxxmdxmxmdxmxmdxmmd=−−−−+=−+−−+，故ma−=，则()0fa−=，故3331

103aaa−+++=，3513a=−，335a=−.此时，335m=，26da=，故存在三个不同的零点.故符合题意的a的值为1335−.（3）若1a=，0b，()32113fxxxbx=+++

，()3232000011111111233222fxfxxbxb−=+++−+++()323220000001111114147123222122xxbxxxxb

=−+−+−=−+++∴若存在0110,,122x，使得()012fxf=，必须2004147120xxb+++=在110,,122

上有解.0b，()()21416712421480bb=−+=−方程的两根为：14221487214884bb−−−−=，00xQ，0x只能是721484b−+−，依题意72148014b−+−，即7214811b−，49214812

1b−即2571212b−−，又由72148142b−+−=，得54b=−，故欲使满足题意的0x存在，则54b−，∴当25557,,124412b−−−−时，存在唯一

的0110,,122x满足()012fxf=，当2575,,012124b−−−−时，不存在0110,,122x使()012

fxf=.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.设数列na（任意项都不为零）的前n项和为nS，首项为1，对于任意nN，满足12nnnaaS+=.（1）数列na的通项公式；（2）是否存

在(),,kmnNkmn使得,,kmnaaa成等比数列，且4216,,kmnaaa成等差数列？若存在，试求kmn++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列b，()1,21,,2,0nnna

nkkNbqnkkNq−=−==，若由nb的前r项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r的最大值.【答案】（1）()nannN=；（2）存在，7kmn++=；（3）8【解析】【分析】（1）代入1n=求得2a，利用1

nnnaSS−=−可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21na−和2na，进而得到na；（2）假设存在(),,kmnNkmn满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621knk=−

，由28n可求得k的范围，结合kN得到k，进而求出,mn；（3）将问题转化为当n为偶数时，()()ln1ln1ln11nnqnn−+−−，构造函数()lnxfxx=和()()()ln21xgxxx+=，可利用导数说明()fx与()gx的单调

性，进而确定q的取值，同时得到n的范围，从而求得结果.【详解】（1）数列na是非零数列，0na.当1n=时，12112aaaS==，22a=；当2n且nN时，11122nnnnnnnaaaaaSS+−−=−=−，112nnaa+−−=，21na−是首项为1，公差

为2的等差数列，2na是首项为2，公差为2的等差数列，()2112121naann−=+−=−，()22212naann=+−=，()nannN=.（2）设存在(),,kmnNkmn，

满足题意，,,kmnaaa成等比数列，2mkn=；4216,,kmnaaa成等差数列，42216mkn=+，消去m可得：222216knkn=+，221621knk=−，kmn，3n，216821kk−，解得：1302k+，kNQ，1k=，4n=，2m=，7kmn+

+=.（3）若nb是单调递增数列，则n为偶数时，111nnqn−−+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln1ln1ln11nnqnn−+−−，显然1q，设()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，当()0,xe时，()0fx；当

(),xe+时，()0fx，()fx在()0,e上单调递增，在(),e+上单调递减，()fx在xe=处取得极大值，当4n时，()ln11nn−−是递减数列，又ln1ln313，ln33是()ln11nn−−的最大值，ln3ln3q；设()()()ln21xgxxx+=

，则()()()222ln21ln2220xxxxxgxxx−+−−+++==，()ln11nn+−是递减数列，当6n=时，ln7ln353，当8n=时，ln9ln373，当26n时，存在133q，使得111nnqn−−+恒成立；当8n=时，11nqn−+不成立，至

多前8项是递增数列，即正整数r的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参

数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.高三数学模拟试题附加题21.已知矩阵4321M−=−，向量75=.（1）求矩阵M的特征

值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求3M.【答案】（1）特征值为11=，22=，分别对应的特征向量为11和32，（2）34933M=.【解析】【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可

解得相应的特征向量；（2）7132512==+，即可求3M．【详解】（1）矩阵M的特征多项式为()(1)(2)f=−−，令()0f=，可求得特征值为11=，22=，设11=对应的一个特征向量为xy=，则由1M=，得33

0xy−+=，可令1x=，则1y=−，所以矩阵M的一个特征值11=对应的一个特征向量为11，同理可得矩阵M的一个特征值22=对应的一个特征向量为32．（2）7132512==+

所以331349221233M=+=．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．22.已知曲线C的极坐标方程是4cos=.以极点为平面直角坐标系

的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是:2222xmtyt=+=（t是参数）.()1若直线l与曲线C相交于A、B两点，且14AB=，试求实数m值.()2设(),Mxy为曲线C上任意一点，求xy+的

取值范围.【答案】()11m=或3m=；()2222,222−+.【解析】【分析】()1把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m值；()2把曲线C的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出

xy+的取值范围.【详解】解：()1曲线C的极坐标方程是4cos=化为直角坐标方程为：2240xyx+−=，直线l的直角坐标方程为：yxm=−.圆心到直线l的距离（弦心距）22142222d=−=

,圆心()2,0到直线yxm=−的距离为：20222m−−=,21m−=1m=或3m=.()2曲线C的方程可化为()2224xy−+=，其参数方程为：22cos2sinxy=+=（为参数）(),Mxy为曲线C上任意一点，22sin24xy+=++x

y+的取值范围是222,222−+.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.23.已知：a≥2，x∈R．求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．【答案】详见解析【解析】试题分析：利用含绝对值不等式性质得|x－1＋a|＋

|x－a|最小值|2a－1|，再根据a取值范围求最小值3．最后根据不等式传递性得证.试题解析：证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|．又a≥2，故|2a－1|≥3．所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3．考点：含绝对值

不等式性质24.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且14,,,23PGAGGDBGGCGBGC==⊥==，E是BC的中点．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）若F点是棱

PC上一点，且DFGC⊥，求PFFC的值．【答案】（1）1010；（2）3.【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，可以以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹

角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)Fyz，由和共线得到点F坐标，求出其长度即可.试题解析：（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B，(0,2,0)

,(0,0,4)CP，故()()1,1,0,1,1,0,(0,2,4),EGEPC==−∵，∴GE与PC所成角的余弦值为1010．（2）解：设(0,,)Fyz，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022yzy−=−=，∴32y=，又，即3(0,,4)(0,2,4)2z−=−，∴1z

=，故3(0,,1)2F，，∴352352PFFC==考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.25.棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设

棋子位于第n站的概率为nP.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982nnnnPPPPn+−−=−−；（3）求99P、100P的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X的数学期望为92；（2）证明见解析；（3

）9910021132P=−，1009911132P=+.【解析】【分析】（1）根据题意得出随机变量X的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X在相应取值时的概率，可列出随机变量X的分布列，由此计算出随机变量X的数学期望；

（2）根据题意，棋子要到第()1n+站，由两种情况，由第n站跳1站得到，也可以由第()1n−站跳2站得到，由此得出111122nnnPPP+−=+，并在该等式两边同时减去nP，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得1112nnnPP++−=−，利

用累加法求出数列nP的通项公式，从而可求出99P和100P的值.【详解】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6.()311328PX===，()31313428PXC===，()32313528PXC==

=，()311628PX===.所以，随机变量X的分布列如下表所示：X3456P18383818所以，随机变量X的数学期望为13319345688882EX=+++=；（2）根据题意，棋子要到第()1n+站，由两种情况，由第n站跳1站得到

，其概率为12nP，也可以由第()1n−站跳2站得到，其概率为112nP−，所以，111122nnnPPP+−=+.等式两边同时减去nP得()()111111198222nnnnnnPPPPPPn+−−−=−+=−−；（3）由（2）可得01P=，112P=，21011

3224PPP=+=.由（2）可知，数列1nnPP+−是首项为2114PP−=，公比为12−的等比数列，111111422nnnnPP−++−=−=−，()()()23999912132999811112222PPPPP

PPP=+−+−++−=+−+−++−LL98100111421211123212−−=+=−−−，又9999989911=22PP

−−=−，则989921132P=+，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232PP==+.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较

强，属于难题.