【文档说明】浙江省天域全国名校协作体2022-2023学年高三下学期4月阶段性联考 数学答案和解析.pdf，共(16)页，1.132 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学学科参考答案第1页（共16页）2022学年第二学期天域全国名校协作体4月阶段性联考高三年级数学学科参考答案命题：雅礼中学莫跃武命题：青岛二中董天龙审题：石家庄二中宛昭勋审题：杭州学军中学吴力田选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共

40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2022202320241iiii++−＝（）A．1122i−−B．1122+i−C．1122i−D．1122+i【答案】C【详解】因为i2＝－1，

i3＝－i，i4＝1，所以234(1)1111222iiiiiiiii++−−+====−−−由周期性可知原式等于.故选：C2．已知集合224xMx−=，4Nxx=或2x−，则MN=（）．A．4xx或0xB．4xx或2x−C．4xx或2x−D．

2xx−【答案】B【详解】解法一：由题可得224Mxxxx=−=或0x，4Nxx=或2x−，所以MN=4xx或2x−.解法二：由题可得4N，所以4MN，故排除A，D；又2M−且2N−，所以2MN−，故排除C

．故选：B．3．某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为()A．7B．6

高三数学学科参考答案第2页（共16页）C．5D．4【答案】D【详解】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免60元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最多需要下的订单张数为4张．4

.大学生志愿服务西部计划（简称西部计划）是经国务院常务会议决定，由共青团中央、教育部、财政部、人力资源社会保障部共同组织实施的一项重大人才工程。现招募选派一定数量的西部计划全国项目志愿者到西部地区基层工作，某大学计划将6名志愿者平均分成3组，到3个不同地点服务，若每组去一个地

点，每个地点都有人服务，且甲､乙两名志愿者在同一个地点服务的分配方案有（）A．18种B．36种C．72种D．144种【答案】A法一：先分组再排序22342322CCA18A=法二：特殊元素优先安排，先安排甲､乙，再安排其他人员2212423222CC

CA18A=5.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在(0,)+上单调递减，若0.1(e)pf=，8(ln)7qf=，1()7rf=−，则,,pqr大小关系为（）A．rqpB．qrpC．prqD．rpq【答案】C【详解】()fx为偶函数，则()0.

181e,ln,77pfqfrf===.又当0x时，设()ln1hxxx=−+，()111xhxxx−=−=（0x），当()0,1x时，()0hx，()hx单调递增，当()1,x+时，()0hx

，()hx单调递减，所以当1x=时，()hx取得最大值，()10h=，则ln1−xx，1x=时，等号成立，所以881ln1777−=，∴0.118eln077，∴()0.118ln77feff

，故选：C6．O为平行四边形ABCD外一点，3,3,2,,63OAOBOCAOBBOC=====,2AOC=,则向量OD与向量OB的夹角为（）A.56B.23C.3D.6答案：B答案：由向量运算可知ODOCCDOCOAOB=+=

+−高三数学学科参考答案第3页（共16页）所以：312cos213OBODBODOBOD−===−所以夹角为237.已知圆1C：()()22111xy−+−=，圆2C：()()22214xy−+−=，A，B分别是圆1C，2C上的动点.若动点M在直线1l：10xy

+−=上，动点N在直线2l：10xy++=上，记线段MN的中点为P，则PAPB+的最小值为（）A．3B．522C．143−D．133−答案】D【详解】由题意，点动点M在直线1l：10xy+−=上，动点N在直线2l：10

xy++=上，线段MN的中点为P，可得点P在直线0xy+=上，又由1122123PAPBPCrPCrPCPC+−+−=+−，点()11,1C关于直线0xy+=对称的点()1,1C−−，则122213PCPCPCPCCC+=+=，所以PAPB+的最小

值为133−.故选D8．已知函数()1,01ln,0xfxxxx=−（e为自然对数的底数），则函数()()()311eFxffxfx=−−的零点个数为（）A．3B．5C．7D．9【答案】C【详解】设()fxt=，令()0Fx=可得

：()311eftt=+；11yx=−在0x=处切线的斜率值为11k=设21ykx=+与lnyx=相切于点()22,lnxx，()1lnxx=，切线斜率为21x，则切线方程为：()2221lnyxxxx−=−，即221l

n1yxxx=+−，2221ln11kxx=−=，解得：22xe=，221ek=；作出()fx与211eyx=+图象如下图所示，高三数学学科参考答案第4页（共16页）311eyx=+与()fx有四个

不同交点，即311eyt=+与()ft有四个不同交点，设三个交点为()12341234,,,tttttttt，由图象可知：123401tttt；()fx与1yt=无交点，与2yt=有三个不同交点，与3yt=，4yt=各有两个不同交点，()()

()211eFxffxfx=−−的零点个数为7个.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A．若随机变量(

)2,1~NX，()8.00=XP，则()6.020=XPB．残差和越小，模型的拟合效果越好C．根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到012.42=，依据0.05=的独立性检验()0.053.841=x，可判断X与Y有关且犯错误的概率不

超过0.05D．数据8,12,2,10,6,5,7,4的第70百分位数为8【答案】ACD高三数学学科参考答案第5页（共16页）()()()()()()()22.~1,1,00.80100.2,200.2020.6...4.0123.8410.05.C.4567810AXNx

PXPXPXPXPXPXBCXYD===−=====残差和越小，模型的拟合效果越好随机变量，所以对称轴为由知，所以，所以故A正确由可知判断与有关且犯错误的概率不超过正确对数据从小到大重新排序；因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好.故B错

，即：2，，，，，，误128870%5.6708.=，，共个数字，所以，这组数据的第百分位数为第6项，即故D正确10.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，经过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），若||8AF=，则以下结

论正确的是（）A．2p=B．BFAF3=C．2111=+BFAFD．3332=AOBS【答案】BC法一：如图，,02pF，直线的斜率为3，则设直线l的方程为32pyx=−，联立2232ypxpyx==−，得22122030xpxp−+=.

解得：3,26ABppxx==.由282ApAFxp=+==，得4p=.故A错误；由于223BpBFxp=+=，则3AFBF=，故B正确；同理11311882AFBF+=+=，故C正确；因为直线l的方程为()32yx=−，原点到直线

的距离为23331d==+，所以1816338233S=+=,故D错误.法二：由倾角式焦半径公式和面积公式可知，864224105510FB'A'OAB高三数学学科参考答案第6页（共16页）28,4.1cospAFpp

====−故A错误；281cos33pBFp===+，故B、C正确;2161632sin2sin3pS===，故D错误.【答案】BC11．如图：在三棱柱111ABCABC−中，底面为正三角形，且1145,1AABAACAB===,则下列说法正确

的是（）A.直线1AA与底面111ABC所成角的余弦值为63B.设BC中点为P，则线段1PA的长度的最小值为12C.平面11ABBA与平面11BCCB夹角的余弦值为22D.直线1AA与平面11CAB所成角的余弦值的最大值为32答案：ABC解析：对于A：由三余弦定理可知:6cos45coscos3

0cos3==对于选项B：当11PAAA⊥时，1PA最短为12。对于选项C：111,,,,2cos2BBKAAKKPPBCAABCKBBBCKKBCKBP⊥⊥⊥=过点作垂足为，连接（为中点），平面平面为所求二面角

的夹角，计算得：对于选项D：当1AA变大时，，角越来越小接近于0，所以错误.12.出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的.表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5

，6，7，8，9，如四位十进制数32101079110010710910+=++；当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数学家莱布尼兹第

一个提出了二进制记数法.如四位二进制的数()32102110112120212++=+，等高三数学学科参考答案第7页（共16页）于十进制的数13．现把m位n进制中的最大数记为(),Mmn，其中m，*,2nnN，(),Mm

n为十进制的数，则下列结论中正确的是（）A．()4,215M=B．()()4,22,4MM=C．()()2023,20222022,2023MMD．()()2023,20222022,2023MM【答案】ABD【详解】对于A：()4,2M即是：(

)3210211111212121215=+++=，A正确；对于B：()2,4M即是：()1041533343=+=，B正确；对于C、D：*,2nnN，()2,1Mnn++即是()()()()()()()()()()()()()()1110

11110221111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn+−++−++=++++++++++=++++++++++−+==+−−+*,2nnN

，()1,2Mnn++即是：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21210121011111112121212121222221212112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn+−−−−++++++

=+++++++++++++++=+++++++++++−+=+=+−−+构造函数：()lnxfxx=，求得：()21lnxfxx−=()0,ex，0fx，()fx单调递增；()e,x+，()0fx，()fx单调递减；*,2nnNe1

2nn++()()12fnfn++代入得：()()ln1ln212nnnn++++即是：()()2112nnnn++++，()()211121nnnn+++−+−()()2,11,2MnnMnn++++

，()()2023,20222022,2023MMD正确.故选：ABD非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.在(1−𝑥+𝑥2)(1+𝑥)8的展开式中，𝑥4的系数是_

_____.【答案】42【解析】原式可化为（1+x3）(1+x)7,再利用二项式定理求解.14．已知无穷数列na满足23411010aaaa===−=，，，，写出满足条件的na的一个通项公式：______.（不能写成分段数

列的形式）高三数学学科参考答案第8页（共16页）【答案】22nnan=−（答案不唯一）1cos2nna−=15.如图，已知A，B，C是双曲线22221(0,0)xyabab−=上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F.若以AB为直径的圆经过右焦点F且2CFFA=，则该双曲线的离

心率等于_____．【答案】173【解析】若E是左焦点，连接,,AEBEEC，设||BFm=，||AFn=，∴由双曲线的对称性且BFAC⊥知：AEBF是矩形，则||AEm=，||BEn=，又2CFFA=，即||2FCn=，则||2||22ECa

FCan=+=+，∴在RtEAC△中，222||||||AEACEC+=，即22294()mnan+=+，而2mna−=，∴23an=，83am=，∵在RtEAF中，2224mnc+=，即226849ac=，可得173e=.故答案为：17

3.16．如图，直三棱柱111ABCABC中，34BCA=，2AC=，2BC=，点P在棱1BB上，且1PAPC⊥，当1APC的面积取最小值时，三棱锥−PABC的外接球的表面积为______．【答案】(20310)+【详解】由余弦定理得：2232cos104ABACB

CACBC=+−=，设BP=x，1BPy=，则210PAx=+，22211114PCBCBPy=+=+，()222112ACACCCxy=+=++，由22211PAPCAC+=得：()2221042xyxy+++=++，解得：6xy

=，因为1PAPC⊥，故1222221211140210412042APCSyxyAPPCxxy==+++++=由基本不等式得：当且仅当102yx=，且6xy=时,即2310x=时取最小值。高三数学学科参考答案第9页（共16页）底面三角形外接圆半径225

5sinABrrC===，2222PBRr=+2231044545(20310)44xSR==+=+=+四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18、19、20、21、22题为12分，共70分.17

．（本题满分10分）设xR，函数()cos()0,02fxx=+−的最小正周期为，且()fx图象向左平移6后得到的函数为偶函数.(1).求()fx解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中

作出函数()fx在0,上的图象；(2).在锐角ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，若2coscosabcBC−=，求()fB的值域.【答案】（1）∵函数()fx的最小正周期2T==，∴2=．∵向左平移6后cos263fxx

+=++且02−，∴3=−．解析式为:()cos23fxx=−…………………………………………………………….2分()cos23fxx=−，列表如下：x065122311

1223x−3−023253π()fx1210－1012…………………………………………………………………………………………………4分()fx在0,上的图象如图所示：高三数学学科参考

答案第10页（共16页）………………………………………………………….6分（2）()22coscos2coscoscoscoscosabcabCcBaCbCcBBC−=−==+12coscos,23aCaCC===，62B又因为三角形

为锐角三角形所以：…………………………………………9分()1,12fB−由（1）图像可知：………………………………………………10分18．设数列na满足()1112322,1,2nnnaa

anaa+−=−==．(1)求数列na的通项公式；(2)在数列na的任意ka与1ka+项之间，都插入()*Nkk个相同的数()1kk−，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，求27T的值．【答案】(1)12nna−=；(2)2784T=【详解】

（1）数列{𝑎𝑛}的通项公式为12nna−=；………………………………………………….4分（2）数列nb中在1ka+之前共有()()2131222kkkkkkk++++++=+=项，当5k=时，2320272kk+=,当6k=时23272kk+=………………

…………………………….8分则()()252222221001222123456T=+++++−+−+−+6212184=−+=…………………………………………………………………….12分19．（本小题满

分12分）高三数学学科参考答案第11页（共16页）由四棱柱1111ABCDABCD−截去三棱锥111CBCD−后得到的几何体如图所示,四边形11AADD和ABCD是全等的边长为2的菱形，且13AADABC==，13

AC=.（1）求三棱锥1AACD−的体积；（2）求直线1CD和平面1BBC所成角的正弦值.19.解析：（1）取AD中点O,连接COOA,1，则ADOA⊥1，ADCO⊥，则OCAAD1平面⊥,………….1分则OCAACDASADV1131−=，3,3,311=

==CACOOA，321=OCA，………….2分4332333212111===COOASOCA，………….3分234332313111===−OCAACDASADV.………….4分（2）以O为原点，以ODOC，所在直线分别为

yx,轴，建立如图所示空间直角坐标系.OCAAD1平面⊥，ABCDAD平面，COABCDOCA交线为平面平面,1⊥，过点1A作OCHA⊥1，则ABCDHA平面⊥1，321=OCA的延长线上点在COH………….5分)23,2,23()0,2

,3(),0,0,3(),0,1,0(),0,1,0(),23023(11−−−−DBCDAA，，，)23,2,233()0,1,3(),0,2,0(),23,1,23(111−=−==−==CDDCBCBBAA，………….8分设平面1CBB的法向量为),,(z

yxn=，则==001BCnBBn，即==++−0202323yzyx，令3=x，则)1,0,3(=n，………….10分设直线1CD和平面BCB1所成角为，则26133sin11==nCDnCD

.………….12分高三数学学科参考答案第12页（共16页）.20．（本小题满分12分）为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建平台，组织学生参与各种社团活动。在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解每个同学的社

团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了解到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获胜14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩

出场25次，其中辩论队获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率；(2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有

比赛，规定至少3场获胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）设1A=“甲担任一辩”；2A=“甲担任二辩”；3A=“甲担任三辩”；4A=“甲担

任四辩”；B=“某场比赛中该辩论队获胜”；则()1200.2100PA==，()2300.3100PA==，()3250.25100PA==，()4250.25100PA==；()114|0.720PBA==，()221|0.730PBA==，(

)320|0.825PBA==()420|0.825PBA==……………………………………………………………………………3分由全概率公式可得：()()()()()()()()()11223344||||PBPPPAPBAAPBAAPBAAPPBA=+++0.20.70.30.70.250.

80.250.80.75=+++=.所以甲参加比赛时，该辩论队某场比赛获胜的概率是0.75.………………………………5分（2）设iC=“5场中有i场获胜”()3,4,5i=，D“甲所在辩论队顺利晋级”，()3233531270C441024PCD

==；()4144531405C441024PCD==；()55553243C41024PCD==，则()9181024PD=，………………………………………………8分()()()()3327053|91817PCD

PXPCDPD=====，同理可得()()()()44405154|91834PCDPXPCDPD=====，()()()()5524395|91834PCDPXPCDPD=====………………………………………

………11分则X的分布列为：X345P5171534934高三数学学科参考答案第13页（共16页）()515913534517343434EX=++=…………………………………………………………12分()321.()sintan

,02(1)1,0()0.22(2),1,()(1).fxaxbxxxabgxfxxaNbfxaxa=+===−=+已知函数，若时，求证：在，上有唯一极值点若不等式恒成立，求的取值集合解析：(1)由题意：()3sin2xgxx=−，所

以()()()23cos,sin3,cos302xgxxgxxxgxx=−=−−=−−………….1分所以()sin3gxxx=−−在0,2x上单调递减，又因为()00g=

，所以()0gx在0,2x恒成立，故()gx在0,2x上单调递减，因为()010g=，02g，所以存在唯一的00,2x，使得()00gx

=，故当()00,xx时，()0gx，当0,2xx时，()0gx。………….3分所以()gx在()00,xx上单调递增，在0,2xx上单调递减，故()gx在0,2x

上有唯一极大值点0x.………….4分(2)令()()sintan1Fxaxxax=+−+，则当0,2x，()0Fx恒成立。因为()()()()22211cos1cos1coscos1coscosFxaxaxaxxxx=+−+=−−−………….5分①当0a=时，()0Fx

恒成立，故()Fx在0,2x上单调递增，故()()00FxF=,满足题意.………….6分②当1a=或2a=时，()()22coscos12coscos12cos1cos10axxxxxx−−−−

=+−，故：()0Fx在0,2x上恒成立，故()()00FxF=，满足题意。………….8分高三数学学科参考答案第14页（共16页）③当3a时，考虑()()21,0,1htattt=−−，则()ht在10,2ta上单调递减

，在1,12ta上单调递增，令11cos2xa=，故()2coscos1mxaxx=−−在()10,xx上单调递减，在1,2xx上单调递增，而()()11020,104mamxa=−=−−，…

………10分所以存在唯一()210,xx，使得()20mx=，所以当()20,xx时，()0mx，所以当()20,xx时，()()()21cos10cosFxxmxx=−，所以()0Fx在()20,xx时恒成立，不满足题意。故

a的取值集合为0,1,2.…………12分22．（本小题满分12分）已知椭圆()313Γ222>=+ayax：的离心率为22，点),(nmM在上，从原点O向圆()()2:22=−+−nymxM作两条切线，分别交椭圆于点QP,，（1）求椭圆方程；（2）

若直线OQOP,的斜率记为()0,2121kkkk，求21kk的值；（3）若0,0nm，直线02:=+nymxl与在第一象限的交点为N，点R在线段ON上，且||6MR=，试问直线MR是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.（1）因为椭圆离心率

22e=所以222312aea−==，解得62=a所以椭圆方程为136:22=+yx·····································································2分因为直线1:OPykx=和直线2:OQykx=都与圆M

相切所以121||21kmnk−=+，222||21kmnk−=+，即12kk，是2||21kmnk−=+的两根，将2||21kmnk−=+两边平方，可得()2222220mkmnkn−−+−=所以212222nkk=m−−·······

··············································································3分又因为点),(nmM在上，所以点2226mn+=，即2262mn=−·················

···········································4分所以22122222126222nnkk=mn−−==−−−−·····················································

······5分高三数学学科参考答案第15页（共16页）（2）直线MR的方程为xsyt=+，联立2226xsytxy=++=整理可得()2222260systyt+++−=··························································

·····················································6分因为点),(nmM在直线MR上，所以msnt=+且0n，所以()()()22222222244262612222sts

tstst-t+sn=ss−+−+−−++=++整理得：()22222612nsstts++=−++①····························································································

···················8分联立20xsytmxny=++=，可得()2msnymt+=−所以2Rmtymsn−=+····································································

···········································9分又因为||6MR=所以2222||1||1||22mtmnsmtnMR+sn+smsnmsn++=+=++22222()221||1||22mn

stnmn+s+smsnmsn+++==++因为点),(nmM在上所以2226mn+=，代入上式继续化简得261||62+s=msn+所以()()22612|+s=|ms+2n|=|snts+2n|=|n

sts+++由①可知，222612612sts+=−++…………………………………………11分所以解得23t=所以13t=−（此时点),(nmM在第三象限，不合题意，舍去），23t=所以直线MR过定点()3,0………………

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