【文档说明】【精准解析】专题75参数方程-（文理通用）【高考】.docx，共(31)页，1.589 MB，由小赞的店铺上传

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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题75参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.基础知识融会贯通1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(

2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f(t)，y＝g(t)就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹

普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)抛物线y2＝

2px(p>0)x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)重点难点突破【题型一】参数方程与普通方程的互化【典型例题】已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表

示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）C1：（x+4）2+（y﹣3）2＝1，C2：y2＝1C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆C

2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t时，P（﹣4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（﹣2cosθ，2）C3为直线x﹣y﹣5＝0，M到C3的距离d|sin（θ）+9|，从而当sin（

θ）＝﹣1时，d取得最小值4．【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（1）求曲线C1和C2的

普通方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），直线l过定点P（0，1）且与曲线C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】（1）线C1的参数方程为（φ为参数），得到：x2+y2＝4．把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的

倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（φ为参数）转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程（t为参数），转换为标准的参数方程为：（t为参数）代入，得到：（t1和t2为A和B对应的参数），故：，故：．思维升华消去参数的方法一

般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确

定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．【题型二】参数方程的应用【典型例题】已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；（2）若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲

线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值，及点P坐标．【解答】解：（1）由l：，得；由曲线C1：，得x2+y2＝1；联立，解得或，则两交点为（1，0），（，）．∴|AB|，则劣弧AB的弧长为；（2）设P点坐标为（，），点

P到直线l的距离d．当sin（）＝﹣1时，d取得最小值为，此时P（，）．【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C和直线l的普通方程，（2）直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝1，求直线l的方程．【解答】解：（1

）由曲线C和直线l的参数方程可知，曲线C的普通方程为x2+y2＝1．直线l的普通方程：当cosα＝0时为x＝2；当cosα≠0时为y＝tanα（x﹣2）．（2）把x＝2+tcosα，y＝tsinα代入x2+y2＝1，得t2+4tcosα+3＝0，因为△＝16cos

2α﹣12＞0，所以cos2α．设A，B对应的参数为t1，t2，因为t1+t2＝﹣4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1﹣t2|＝1，所以（t1﹣t2）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝16cos

2α﹣12＝1，所以cos2α，所以tan2α，所以tanα＝±，即直线l的斜率为±．所以直线l的方程为yx或yx．思维升华(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(

t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．【题型三】极坐标方程和参数方程的综合应用【典型例题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方

程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线θ＝β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．【解答】解：（1）由（α是参数），得，∴，即，∴曲线C1的

极坐标方程为．由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入得：x2+y2＝4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ＝β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2＝4sinβ

，则|OA|+|OB|4sinβ（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ，cosφ，当β+φ时，|OA|+|OB|取最大值，此时φ，tanβ＝tan（φ）．【再练一题】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，

x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线与曲线C交于O，M两点，射线与直线l交于N点，若△OMN的面积为1，求α的值和弦长|OM|．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得直角坐标方程为：．转换为极坐标方程为：，即

．曲线C的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，…………………………化为一般式得化为极坐标方程为：．………………………（2）由于，得，．所以，所以，由于，所以，所以．…………………………思维升华在对

坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的

解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．基础知识训练1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为232252xtyt=−=+(t为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴

)中，圆C的极坐标方程为25sin=。（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为(3,5)，求PAPB+。【答案】（1）直线l的普通方程为35yx=−++；圆C的直角坐标方程为22(5)5xy

+−=；（2）32.【解析】(1)由直线l的参数方程232252xtyt=−=+(t为参数)得直线l的普通方程为35yx=−++由25sin=,得22250xyy+−=,即圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=。(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐

标方程，得2222(3)()522tt−+=，即23240tt−+=，由于2(32)440=−＞>0,故可设1t，2t是上述方程的两个实根，所以1212324tttt+==又直线l过点P(3,5)，故1212

32PAPBtttt+=+=+=。2．在直角坐标系xOy中，直线1:2lx=，曲线2cos:22sinxCy==+（为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(

3,)6.（1）求直线1l和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l=与1l,C的公共点分别为A,B，且83OAOB=，求MOB的面积．【答案】（1）直线1l：cos2=；曲线C的极坐标方程为4sin=；（2）332.

【解析】解：（1）∵cos{sinxy==，∴直线2x=的极坐标方程是cos2=，曲线C的普通方程为22(2)4xy+−=，即2240xyy+−=.所以曲线C的极坐标方程为4sin=.（2）将=分别代入co

s2=，4sin=得：2cosAOA==，4sinBOB==.∴8tan83OAOB==，∴tan3=.∵02，∴3=.∴23OB=，3OM=，6MOB=.所以1sin2MOBSOMOBMOB=113

3323222==.即AOB的面积为332．3．已知曲线C的参数方程为12cos12sinxy=−+=+（为参数），直线l的极坐标方程为3()4Rpqr=?，直线l与曲线C相交于M，N两点，以极点O为原

点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为P，求OP的值.【答案】（1）222cos24++=；（2）2OP=【解析】（1）∵曲线C的参数方程

为12cos12sinxy=−+=+（为参数），∴所求方程为222(1)(1)2xy++−=，∵cossinxy==，∴22cos2sin2+−=，∴曲线C的极坐标方程为222cos24++=

.（2）联立34=和22cos2sin20+−−=，得22220−−=，设()1,M，()2,N，则1222+=，由12||2OP+=，得2OP=.4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31212xt

yt=−=（t为参数），曲线C的极坐标方程为4cos=．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1,0P，直线l与曲线C相交于A，B，求11PAPB+的值．【答案】（Ⅰ）:310lxy+−=，()22:24Cxy−+=；（Ⅱ）

153.【解析】解：（Ⅰ）由31212xtyt=−=（t为参数），消去参数t，可得310xy+−=．∵cos=4，∴24cos=，即2240xyx+−=．∴曲线的直角坐标方程为()2224xy

−+=；（Ⅱ）把31212xtyt=−=31212xtyt=−=代入2240xyx+−=，得2330tt+−=．设A，B两点对应的参数分别为1t，2t则123tt+=−，123tt=−．不妨设1

0t，20t，∴()212121212121241111153ttttttPAPBtttttt+−++=+===．5．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为312132xtyt=−

=−+（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为23sin=−.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点()1,3P−，直线l与曲线C相交于两点A、B，求11PAPB+的值.【答案】(1)直线l的普通方程为320xy+

+=；曲线C的直角坐标方程是22230xyy++=.(2)112【解析】（1）消去参数t得直线l的普通方程为320xy++=；因为23sin=−，所以223sin=−，由,xcosysin==所以曲线C的直角坐标方程是22230xyy++=.（2）点()1,3P−

是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为12,tt，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2320tt−−=.方程判别式，可得123tt+=，122tt•=−.于是()21212121212411||||11||||||||2tt

ttttPAPBPAPBPAPBtttt+−−++====•.6．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos2sinxatyt==（t为参数，>0a），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的

极坐标方程为cos424+=−.（1）设P是曲线C上的一个动眯，当23a=时，求点P到直线l的距离的最小值；（2）若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围.【答案】（1）22；（2）()0,215【解析】

（1）由cos()424+=−，得到(cossin)8−=−cosx=，siny=直线l普通方程为：80xy−+=设(23cos,2sin)Ptt，则点P到直线l的距离：|4sin(

)8||23cos2sin8|322tttd−−−+==22|sin()2|3t=−−当sin()13t−=时，min22d=点P到直线l的距离的最小值为22（2）设曲线C上任意点(cos,2sin)Patt，由于曲线

C上所有的点都在直线l的右下方，cos2sin80att−+对任意0a恒成立24sin()8at+−，其中22cos4a=+，2sin4aa=+.从而248a+由于0a，解得：0215a即：()0,215a7．直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cos

sinxy=+=（为参数），曲线222:13xCy+=．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C、2C的极坐标方程；（2）射线OT：(0)6=与1C异于极点的交点

为A，与2C的交点为B，求AB的大小．【答案】(1)1C的极坐标方程为2cos=,2C的极坐标方程为2222cossin13+=;(2)32−.【解析】（1）由1cossinxy=+=得()2211xy−+=，即2220xyx+−=，所以1C的极坐标方程为220

cos−=，即2cos=；由2213xy+=得2C的极坐标方程为：2222cossin13+=（2）联立2cos6==得1||2cos36OA===，联立2222cossin136+==得2||2OB=

=，所以32AB=−.8．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为0xya+−=，曲线C的参数方程为2cos,sinxy==（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）若

直线l与曲线C交于A，B两点，且直线OA与OB的斜率之积为54，求a.【答案】（1）l:cossin0arqrq+-=，C：()2224sincos4+=；（2）12a=.【解析】（1）将cosx=

，siny=代入0xya+−=的方程中，所以直线l的极坐标方程为cossin0arqrq+-=.在曲线C的参数方程中，消去，可得2214xy+=，将cosx=，siny=代入2214xy+=的方程中，所以曲线C的极坐标方程为()222

4sincos4+=.（2）直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组()222cossin04sincos4a+−=+=，由方程组得()()22224sincos4cossina++

=，()2222224sincos4si2cosnsincosaa+=++，两边同除2cos，可化为22224tan48tan4tanaa+=++，即()22244tan8tan40aa−−+−=，设()()1122,,

,AB，则212245tantan444OOBAakka−===−，解得12a=.9．在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos32sinxy=+=+（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C的极坐标方

程；（2）若直线l：costsinxty==（t为参数）被圆C截得的弦长为23，求直线l的倾斜角.【答案】（1）4cos3=−；（2）6或2【解析】（1）圆C：12cos

32sinxy=+=+，消去参数得：()()22134xy−+−=，即：222230xyxy+−−=，∵222xy=+，cosx=，siny=.∴22cos23sin0−−=，4cos3=−

.（2）∵直线l：cossinxtyt==的极坐标方程为=，当=时4cos233=−=.即：3cos32−=，∴36−=或36−=−.∴2=或6π=，∴

直线l的倾斜角为6或2.10．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy中，曲线1cos:1sinxtCyt==+（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos333−=

.（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知点()2,0M，直线l的极坐标方程为6=，它与曲线1C的交点为O，P，与曲线2C的交点为Q，求MPQ的面积.【答案】（1）1:2sinC=（2）1【解析】解：（1）1cos:1si

nxtCyt==+，其普通方程为()2211xy+−=，化为极坐标方程为1:2sinC=（2）联立1C与l的极坐标方程：2sin6==，解得P点极坐标为1,6联立2C与l的极坐标方程：2co

s3336−==，解得Q点极坐标为3,6，所以2PQ=，又点M到直线l的距离2sin16d==，故MPQ的面积112SPQd==.11．在直角坐标系xOy中，(2,0

)A，(0,1)B，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：222412cosp−=.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形OAPB的面积最大时，求点P的直角坐标.【答案】（1）22

143xy+=（2）四边形APBO的面积时，P点为31,2.【解析】(1)2224412xyx+−=,整理得22143xy+=(2)由动点P是曲线C在第一象限的点，设点(2cos,3sin)02P设

四边形APBO的面积为S，则11π23sin12cos2sin226OAPOBPSSS=++=+=所以当3=时，S最大，此时P点31,212．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2

3cos13sinxy=+=+（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）过点(2,1)−的直线l与曲线C交于A，B两点，且2AB=，求直线l的方程.【答案】（Ⅰ）24cos2sin40−−

−=；（Ⅱ）10xy++=或30xy−+=.【解析】（Ⅰ）消去参数，可得曲线C的普通方程为22(2)(1)9xy−+−=，224240xyxy+−−−=.由cossinxyrqrqì=ïí=ïî所以曲线C的极坐标方程为2

4cos2sin40−−−=.（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，否则无交点.设直线l的方程为1(2)ykx−=+，即210kxyk−++=.而2AB=，则圆心到直线l的距离2291222ABdr=−=−=.又2|4|1kdk=+，所以2|4|22

1kk=+，解得1k=.所以直线l的方程为10xy++=或30xy−+=.13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sinxtyt=−+=+（t为参数，0,），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos=−.（Ⅰ）写出当34=时直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()1,1P−，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求11PAPB+的最大值.【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为0x

y+=，曲线C的直角坐标方程为2240xyx++=（Ⅱ）2【解析】解：（Ⅰ）当34=时，由212212xtyt=−−=+，消去参数t可得：0xy+=，即直线l的普通方程为0xy+=，由4cos=−得24cos=−，得

224xyx+=−，∴曲线C的直角坐标方程为2240xyx++=.（Ⅱ）显然，点()1,1P−在直线l上，联立221cos1sin40xtytxyx=−+=+++=得：()22cossin20t

t++−=，设A，B对应的参数为1t，2t，则()122cossintt+=−+，122tt=−，∴()212121212121241111ttttttPAPBtttttt+−−+=+==()24cossin84sin21222+++==，∴当sin21=

时，11PAPB+取得最大值2.14．在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为的直线l的参数方程为3cos(2sinxtyt=+=+为参数）．在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2213cos=+，直线

l与曲线C相交于不同的两点,AB．（1）若6=，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若OP为PA与PB的等比中项，其中()3,2P，求直线l的斜率．【答案】（1）330xy−+=,2244xy+=；（2）455.【解析】（1）因为6=，所以直线l的参数方程为33212

2xtyt=+=+（t为参数）.消t可得直线l的普通方程为330xy−+=.因为曲线C的极坐标方程2213cos=+可化为()2213cos4+=，所以曲线C的直角坐标方程为2244xy+=.（2）设直线l上两点,AB对应的参数分别为1t，2t，将3cos2sinxt

yt=+=+代入曲线C的直角坐标方程2244xy+=可得224(3cos)(2sin)4tt+++=，化简得()2224cossin(83cos4sin)120tt++++=，因为122212||||4cossinPAPBtt

==+，2||7OP=，所以221274cossin=+，解得216tan5=.因为()222(83cos4sin)484cossin0=+−+即2sin(23cossin)0−，可知tan0，解得45tan

5=，所以直线l的斜率为455.15．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是cos5sinxtyt==+（t是参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程是42sin2cos4=+

−.（Ⅰ）写出圆2C的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C与2C有且仅有三个公共点，求sincossincos−+的值.【答案】（Ⅰ）22240xyxy+−−=；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）2242si

ncos2cos4sin2cos22=+−=+，24sin2cos=+，∴2242xyyx+=+，∴圆2C的直角坐标方程是22240xyxy+−−=.（Ⅱ）因为曲线1C与2C有且仅有三个公共点，说明直线()tan5tan0yx=−+与圆2C

相切，2C圆心为（1，2），半径为5，则2|tan3|51tan−=+，解得tan2=-，所以sincostan13sincostan1−−==++.能力提升训练1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是3(13xtcostytsin==+为参数），曲线C的

参数方程是23φ2323xcosysin（==+为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线102OM=：＜＜与曲线C交于,OM两

点，射线22ON：=+与直线l交于N点，若OMN的面积为1，求的值和弦长OM．【答案】（1）132sin−=,43sin=；（2）,623.【解析】（1）直线l的参数方程是3(13xtcostytsin==+为参数），消去参数t得直角坐标方程为：

310xy−+=．转换为极坐标方程为：310cossin−+=，即132sin−=．曲线C的参数方程是232323xcosysin==+（为参数），转换为直角坐标方程为：22(

23)12xy+−=，化为一般式得22430xyy+−=化为极坐标方程为：43sin=．（2）由于02＜＜，得43OMsin=，113322ONcossinsincos==++−+．所以123123OMNsinSOMONcossin=

==+，所以33tan=，由于02＜＜，所以6=，所以23OM=．2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22cos,2sin,xy=+=（为参数）.以O为极点x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox.（1）求曲线C的

极坐标方程；（2）已知,AB是曲线C上任意两点，且4AOB=，求OAB面积的最大值.【答案】（1）4cos=；（2）222+.【解析】解：（1）消去参数，得到曲线C的标准方程为：()2224xy−+=，()()22cos2sin4−+=()222s

incos4cos44+−+=24cos0−=故曲线的极坐标方程为4cos=。（2）极坐标系Ox中，不妨设()1020,,,4AB+，其中1200,0,22−

.由（1）知：10204cos,4cos4==+OAB面积，12001sin42coscos244S==+20004cos4sincosS=−002cos22sin22=−+022cos224

=++当024=−时，即00,cos284=−+有最大值1，此时min222S=+.故OAB面积的最大值为222+.3．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为cossinxtyt==(t为参数),曲线C的参数方为3cos1sinxy=

+=+(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)设0,3,M,N为直线l与曲线C的两个交点,求||||OMON+的最大值.【答案】（1）()R=，223co

s2sin30−−+=（2）4【解析】解：（1）直线l的极坐标方程为=（R）；曲线C的普通方程为22(3)(1)1xy−+−=，因为cosx=，siny=，222xy+=，所以曲线C的极坐标方程

为223cos2sin30−−+=.（2）设12(,),(,)MN，且120,0，将=代入曲线C的极坐标方程，有22(3cos+sin)30−+=，因为(0,)3，243cossin)

12=43sin2+4cos248sin(2)406=+−−=+−（，根据极坐标的几何意义，,OMON分别表示点,MN的极径，因此122(3cossin)4sin()3OMON+=+=+=+，因为03，所以2333+，所以，当

32+=，即6=时，||||OMON+取最大值4.4．选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线1C的方程为()2211xy−+=，2C的方程为3xy+=，3C是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求1C与2C的极坐标方程；（2）若1C与3C

的一个公共点A（异于点O），2C与3C的一个公共点为B，求3OAOB−的取值范围.【答案】（1）1C的极坐标方程为2cos=，2C的极坐标力程为3cossin=+（2）3(1,1)OAOB−−【解析】解：（1）曲

线1C的方程为()2211xy−+=，1C的极坐标方程为2cos=，2C的方程为3xy+=，其极坐标力程为3cossin=+.（2）3C是一条过原点且斜率为正值的直线，3C的极坐标方程为=，0,,2R，联立1C与3C的极坐标方程2cos==

，得2cos=，即2cosOA=，联立1C与2C的极坐标方程3cossin=+=，得3cossin=+，即3cossinOB=+，所以32coscossinOAOB−=−−2cos4=+

，又0,2，所以()31,1OAOB−−.5．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cossinxryr=+=（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin36+=

，且曲线1C与2C恰有一个公共点.(Ⅰ)求曲线1C的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C上两点A，B满足4AOB=，求AOB面积的最大值.【答案】(Ⅰ)4cos=.(Ⅱ)222+.【解析】(Ⅰ)曲线2C的极坐标方程为31sin()sincos3622+=+

=，将sin,cosyx==代入上式可得2C直角坐标方程为31322yx+=，即360xy+−=，所以曲线2C为直线．又曲线1C是圆心为(2,0),半径为||r的圆，因为圆1C与直线1C恰有一个公共点，

所以|26|||22r−==，所以圆1C的普通方程为2240xyx+−=，把222,cosxyx+==代入上式可得1C的极坐标方程为24cos0−=，即4cos=.(Ⅱ)由题意可设()2121(,

),0,0,4(),BA+，1212||sin42coscos2444MONSOAOB===+uuruuur‖()21cos2sin24cossincos422+=−=−222cos24=++，所以当cos214

+=时，AOB的面积最大，且最大值为222+.6．在平面真角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为222xtyt==（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sincosa=+．（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的

直角坐标方程；（2）若曲线1C与曲线2C交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为1k和2k，求12kk+的值．【答案】（1）sincos2a+=，20axy+−=（2）1【解析】解：（1）．由222xtyt==，（t为参数

），消去参数t，得22yx=，即1C的普通方程为22yx=，由2sincosa=+，得()sincos2a+=，即sincos2a+=，将cossinxy==代入，得20axy+−=，即2C的直角坐标方程为20axy+−=．（2

）．由222xtyt==（t为参数），得()10yxxt=，则1t的几何意义是抛物线22yx=上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知0a，将222xtyt==，（t为参数）代入20axy+−=，得210att+−=．由0

a，且140a=+得14a−，且0a．设M，N对应的参数分别为1t、2t，则121tta+=−，121tta=−，所以12121212111ttkktttt++=+==．7．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是tan2yx

=，曲线1C的参数方程是1cossinxy=+=（为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程是2sin=。（1）求直线l及曲线1C的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线1C交于,OM两点，直线l与曲

线2C交于,ON两点，求MN的最大值。【答案】(1),2R=;2cos=.(2)12xx.【解析】（1）将cos,sinxy==代入tan2yx=得tantan

=，∴直线l的极坐标方程是,2R=，∵曲线1C的参数方程是1cossinxy=+=（为参数），∴曲线1C的普通方程是()2211xy−+=，即2220xyx+−=，∴曲线1C的极坐标方程是2cos=；（2）将,2R=

分别代入曲线1C和2C的极坐标方程，则2cos,2sinOMON=−=，∴2sin2cos22sin4MN=−=−，∵2，∴当34=，sin4−取最大值1，∴MN的最大值为12xx.8．在直角坐

标系xOy中，曲线1C的参数方程为22252xtyt=−−=+（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为222sin=−．（1）求曲线1C的普通方

程与曲线2C的直角坐标方程；（2）求曲线2C上的动点M到曲线1C的最短距离．【答案】(1)曲线1C:28xy+=，曲线2C：2212yx+=．(2)见解析【解析】（1）曲线1C为()1y5x22−=−+即+2=8xy，由xcosysin

==得曲线2C为2212yx+=．（2）设曲线2C上动点()cos,2sinM，则动点M到曲线1:28Cxy+=的距离为()cos22sin83sin8555d+−+−==．∴动点M到曲线1:28Cxy+=的最短距离为59

．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知,AB是曲线C上任意两点，且3AOB=，求OAB面积的最大

值.【答案】(1)=4cos；(2)33.【解析】（1）消去参数，得到曲线C的普通方程为：()2224xy−+=故曲线C的极坐标方程为：=4cos（2）在极坐标系中，不妨设()10A，，203+B

，，其中1200,022−，，由（1）知：104cos=，204cos3+=.OAB面积12001sin43coscos233S==+(

)200000023cos6sincos31cos23sin223cos233+=S=−=−++当0203+=时，即06=−，0cos23+有最大值1.此时max33S=故OAB面积的最大值为3310．在平

面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为2,1xtyt=−−=+（t为参数），曲线21:1Cyx=−.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为42sin4=−.（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在1C上，求BABP的取值范

围；（Ⅱ）若直线l与2C交于M，N两点，点Q的直角坐标为()2,1−，求QMQN−的值.【答案】（Ⅰ）[0,21]+；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）由题意可知：直线l的普通方程为10,(1,0),(0,1)xyAB++=−−.1C的方程可化为221(0)xyy+=，设点

P的坐标为(cos,sin),0，cossin12sin1[0,21]4BABP=−++=−++.（Ⅱ）曲线2C的直角坐标方程为：22(2)(2)8xy++−=.直线l的标准参数方程为222212xm

ym=−−=+（m为参数），代入2C得：2270mm−−=设,MN两点对应的参数分别为12,mm12122,70mmmm+==−,故12,mm异号122QMQNmm−=+=‖‖.获得更多资源请扫码加入享学

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