【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题23 有理数及其运算 章末检测卷（解析版）.docx，共(21)页，710.269 KB，由envi的店铺上传

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专题23有理数及其运算章末检测卷姓名：______________得分：________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（每题3分，共30

分）1．（2022·河南信阳·七年级期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，观察可推算出图①中所得的数值为1，则图②中所得的数值为（）A．7B．

-1C．1D．±1【答案】B【分析】结合题意，利用有理数加法运算中异号两数相加的法则进行计算即可．【详解】解：由图可知，②中表示的计算为：3+（-4）=-1，故选：B．2．（2022·河南洛阳·一模）2022年9月30日《长津湖》上映，影片表现了志愿军战士不惧强敌敢于战斗、敢于

胜利的英雄气概．截至2202.1.10票房已经突破了58亿元大关，数据58亿元用科学记数法表示为（）A．5.8×107B．0.58×108C．5.8×108D．5.8×109【答案】D【分析】科学记数法的表示形

式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：58亿元=5.8×109，故选：D．【点睛】本题考

查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2021·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为

了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体

，这个数字是（）A．10B．100C．1D．9【答案】C【分析】依据题意，为了表示“没有”引入了数0，与一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这两句话，可得答案【详解】解：依据题意：0表示“没有”而这个数字又既表示万物之始，又表示一个整

体，即这个数是题意中数的开始，又可以表示一个整体可得该数为1故答案为：C【点睛】本题实际考查自然数的定义，准确理解题意是解题的关键4．（2022·成都市棠湖中学外语实验学校七年级月考）给出下列等式：①()()()1236−−

−=；②()()3694−−=−；③()2931342−−=；④()4−()12162−=．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】①()()()123−−−按有理数

的乘法法则计算即可；②()()369−−按有理数的除法法则计算即可；③()29134−−先算乘法再算除法即可；④()1422−−先算除法再算乘法即可．【详解】①()()()1236−−−=−，故错误

；②()()3694−−=，故错误；③()2931342−−=，故正确；④()142162−−=，故正确．∴正确的个数为2．故选择：C．【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除法的运算顺序，它们是同级运算，从左向右进行计算是解题关键．5

．（2022·湖北·鄂州市第一中学七年级期末）下面有5个判断：①若a是有理数，则a−是负数；②互为相反数的两个数的绝对值相等；③如果有理数x的绝对值为x，那么x一定为正数；④一个有理数不是整数就是分数；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积一定为负数；其中判断

正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数乘法进行逐一判断即可．【详解】解：①若a是有理数，则a−可能是正数，负数或者是0，说法错误；②互为相反数的两

个数的绝对值相等，说法正确；③如果有理数x的绝对值为x，那么x可能是整数或者为0，说法错误；④一个有理数不是整数就是分数，说法正确；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积不一定为负数，例如当这几个有理数中有0时，最后的结果为0，说法错误；故选B【点睛】本题主要考查了有理数的分

类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法，熟知相关知识是解题的关键．6．（2022·山东临沂·七年级期末）已知0a，0b，ab，那么下列关系正确的是（）A．baab−−B．baab−−

C．abab−−D．abba−−【答案】A【分析】由0a，0b，ab，可得0a−＞，0b＜−，ab-＜，据此判定即可得到答案．【详解】解：∵0a，0b，ab，∴0a−＞，0b＜−，ab-＜，∴baab−−

．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较的法则是关键．7．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）下列说法正确的是（）A．||

xxB．若|1|2x−+取最小值，则0x=C．若11xy−，则||||xyD．若|1|0x+，则1x=−【答案】D【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．【详解】解：A．当0x=时，||=xx，故该项错

误；B．∵10x−，∴当1x=时|1|2x−+取最小值，故该项错误；C．∵11xy−，∴1x，1y，∴||||xy>，故该项错误；D．∵|1|0x+且|1|0x+，∴|1|0x+=，∴1x=−，故该项正确；故选：D．【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对

值的非负性是解题的关键．8．（2021·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．【详解】解：，==，=，=，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合

运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．9．（2021·湖南永州市·七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则2021!2020!的值等

于（）A．2021B．2020C．2021！D．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，2021!20212

0202019...1==20212020!20202019...1故选A．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数

为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（）①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线

段MN的长度不变A．1个B．2个C．3个D．4个20192020202221.5(1)3−−233223−32−20192020202221.5(1)3−−2019202021.513−20202

019221.51.533−个个2019221.51.51.533−个32−【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利

用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴点B

对应的数是-4，故①正确；由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点

B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=12AP

，NP=12BP，∴MN=MP+NP=12AP+12BP=12AB=12×12=6，当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=12AP，NP=12BP，∴MN=MP-NP=12AP-12BP=12AB=12×12=6，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度

不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·北京平谷区·九年级二模）母亲节来临之

际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：百合薰衣草玫瑰蔷薇向日葵康乃馨12元/支2元/支5元/支4元/支15元/支3元/支母亲节期间包装免费小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组

成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______．【答案】1，4，6（答案不唯一）【分析】根据题意，首先买最贵的花，数量由大到小，依此类推，凑成总钱数是50元，直到1枝为止，必须买三种花配成花束

，每种花至少买一支，计算出设计的方案买的花的总价刚好是50元即可．【详解】∵12×1+5×4+3×6=50，∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支，故答案为：1，4，6．（本题答案不唯一，符合要求即可）【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解决本题时要注意本题答

案不唯一，符合要求即可．12．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．【答案】22ac+【分析】根据数轴上

点的位置确定a+c，a-b，b+c的符号，再根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：∵c＞b＞0＞a，且|c|＞|a|，∴a+c＞0，a-b＜0，b+c＞0，∴|a+c|-|a-b|+|b+c|=a+c+a-b+b+c=2a+2c，故答案为：

2a+2c．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，关键是要根据数轴上各点的位置确定各式子的符号．13．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知|3|a−与2(1)b+互为相反数，则20222ab−+的值为__________．【答案】

5−【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．【详解】解：根据题意，得30a−=，10b+=，∴3a=，1b=−，∴2020222223(1)52ab−+=−+−=−．故答案为：5−．【点睛】本

题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．14．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下

表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥456789101112123算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正

确的中国共产党成立100周年，则2021年是_____年．（用天干地支纪年法表示）【答案】辛丑【分析】先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可．【详解】解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为

丑，那么2021年就是辛丑年，故答案为：辛丑．【点睛】本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．15．（2022·重庆市七年级月考）已知a是有理数，a表示不超过a的最大整数，如3.23=，1.52−=−，0.80=，22=等，那么13.14

352−=______.【答案】-6【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．【解析】解：∵a表示不超过a的最大整数，∴13.14352−=33(6)−=6

−；故答案为：6−.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，新定义的运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2021·重庆梁平·七年级期末）记121ninixxxx==+++，则191ixi=−的最小值为________

__．【答案】90【分析】根据题意可知191ixi=−=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式

子取得最小值．据此进行求解即可得.【详解】∵121ninixxxx==+++，∴191ixi=−=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式子取得最小值．∴当

x=1192+=10时，式子取得最小值，此时，191ixi=−=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|=|10-1|+|10-2|+|10-3|+…+|10-9|+|10-10|+|10-11|+…+|10-18|+|10-19|=9+8+7+…

+1+0+1+2+…+8+9=2×(1+2+3+…+9)=2×45=90，故答案为：90.【点睛】本题考查了新定义题，最值问题，绝对值的性质，利用已知得出x=10时，191ixi=−|能够取到最小值是解题关键．17．（2021·江苏省初一期中

）已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有个①在25的“分解”结果是15和17两个数．②在42的“分解”结果中最大的数是9．③若m3的“分解”结果中最小的数是23，则m＝5．④若3n的“分解”结果中

最小的数是79，则n＝5．【答案】3【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.【解析】①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错

误的；④若3n的“分解”中最小的数是-2=79,解得n=5，故这个是正确的.综上所述，共有3个正确的结论.【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.nm11nnmmm−=−+512−3

144113−−+=13n−18．（2021·宜兴外国语学校七年级月考）对于有理数a，b，n，d，若,anbnd−+−=则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，21313−+−=，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）若a和2关于1的“相对关系值”为4，则a的值_____________

；（2）若0a和1a关于1的“相对关系值”为1，则0a+1a的最大值为____________．【答案】2−或43【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；（2）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出0a和1a的范围，进而化简关系式即可．【详解】（1）

由题意得：1214a−+−=，即13a−=，解得：2a=−或4，故答案：2−或4；（2）由题意得：01111aa−+−=，结合绝对值得非负性，可得：0011a−，1011a−，002a，102a，则当01a，11a时，0a+

1a的值最大，此时化简01111aa−+−=得：013aa+=，故答案为：3．【点睛】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键．三、解答题（19-22题每题9分，其他

每题10分，共66分）．（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答(1)把下列各数填在相应的括号内：227，0，14−，0.101001000100001−（每两个1之间逐次增加1个0），，1.26−，(5)−+，|2|+−，0.18正有理数集合：｛…｝；

负数集合：｛…｝；整数集合：｛…｝．(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．52−，(2)−−，|3|−，0，4−【答案】(1)227，2+−，0.81；14−，0.101001000100001−，1.26−，()5−+；0，()5−+，2+−

…(2)()540232−−−−−【分析】（1）根据正有理数，负数，整数的定义即可判断；（2）先准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可．(1)正有理数集合：{227，2+−，0.81}负数集合：{14−，0.101001000100001−，1.26−，()5−+

}整数集合：{0，()5−+，2+−…}(2)在数轴上表示如图所示：()540232−−−−−【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，数轴，准确地在数轴上找到各数对应的点是解题的

关键．20．（2022·河北省·七年级期末）计算：(1)137()244812+−；(2)﹣23÷8﹣14×（﹣2）2；(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2；(4)[（﹣2）3+43]÷4+（﹣23）．【答案】(1)1；(2)

﹣2；(3)﹣2；(4)73−【分析】（1）运用乘法分配律，计算求值即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（4）先算乘方，再算中括号里的，再算除法，再算加法.(1)解：原式=1372424244812+−

＝6+9﹣14＝1；(2)解：原式=18844−−＝﹣1﹣1＝﹣2；(3)解：原式=﹣16+（﹣4）2﹣2×1＝﹣16+16﹣2＝﹣2；(4)解：原式=42(8)4()33−++−＝2024()33−+−＝52()33−+−＝73−.【点睛】本

题考查了有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左往右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．20．（2021·山西吕梁·七年级期中）学习了有理数的乘法之后，老师出了两

道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务：(1)任务一：例1，例2都用到的运算律是___________；(2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算：①999(26)−；②54399912499924333777−+

−．【答案】(1)分配律；(2)①-25974；②99900【分析】（1）根据乘法分配律即可解答；（2）根据乘法分配律运算即可．(1)解：任务一：观察例1，例2可知，例1，例2都用到的运算律是分配律；(2)解：任务二：解：①999×（－26）＝（1000－

1）×（－26）＝1000×（－26）－1×（－26）＝－26000＋26＝－25974；②54399912499924333777−+−＝54199912499924999777−+−

＝54199912424777−−＝999100＝99900【点睛】本题考查有理数乘法运算律，解题关键是掌握乘法分配律．21．（2021·四川·石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一

级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．1月2月

3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535（1）直接写出小明家1月份的用气量_________立方米及1－6月平均每月用气量为______立方米．（2）已知小明家

2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元【分析

】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家1月份的用气量和16−月份平均每月的用气量（2）根据小明家2月份的气费为36元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家6月份的用气量超过20立方米且不超过30立方米，超过20立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算；（3）根据

题意，可计算出小明家7月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家1月份的用气量为45043317−=立方米；16−月份平均每月的用气量为：()535433617−=立方米故答

案为：17；17（2）小明家2月份的气费为36元，2月份的气费量为：4684501820−=一级用气价格为：36182=（元/立方米）6月份的用气量为53551421−=立方米，气量超过20立方米且不超过30立方米的部分按第二级气量

基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取6月份小明家需交气费为：202121.543+=元（3）小明家6月份的用气量为：21立方米，7月份的用气量比6月份的多12立方米7月份的用气量为：211233+=立方米气量超过2

0立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取，用气量超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取费用7月份小明家需交气费为：2021021.5321.880.8++=元【点睛】本题考查了有理数的

混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．22．（2022·全国·七年级）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如

1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C

）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正

确的是（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解

；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【详解】解：（1）20

20÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意

取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最

后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综

上，①④正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．23．（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：32x+=．解：当30x+时，原方程可化为32x+=

，解得1x=−；当30x+时，原方程可化为32x+=−，解得5x=−．所以原方程的解是1x=−或5x=−．(1)利用上述方法解方程：324x−=．(2)当b满足什么条件时，关于x的方程21xb−=−，①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】(1)2

x=或23x=−(2)①当21xb−=−无解时，1b；②当21xb−=−只有一个解时，1b=；当21xb−=−有两个解时，1b【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．(1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2

=4，解得x=2；当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得23x=−．所以原方程的解是x=2或23x=−；(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；③当b-1＞0，即b＞1时，方

程有两个解．【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．24．（2022·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创

始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，

对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，

则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(

1)填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；(2)求证：logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；(3)拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【答案】(1)5，3，0；(2)见

解析；(3)2【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（M

•N）＝logaM+logaN和logaMN=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log5（125×6÷30），计算可得结论．(1)解：log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；故答案为：5，3，0；(2)证明：设lo

gaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴mnMaNa==am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝logaMN，又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，∴logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；(3)

解：log5125+log56﹣log530=log5（125×6÷30）=log525=2．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系

．25．（2022·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒

．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t

．【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为t−，103t−；（2）4t=；（3）t=1或18【分析】（1）根据题意进行求解即可；（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得()66AMtt=−−−=−，()103

6163ANtt=−−−=−，再由2ANAM=，得到163122tt−=−，由此即可得到答案；（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．【详解

】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为t−，103t−；（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为t−，103t−，∴()66AMtt=−−−=−，()1036163ANtt=−−−=−，∵2AN

AM=，∴163122tt−=−，∴4t=；（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为t−，103t−，()66AMtt=−−−=−∵点P为线段AM的中点，点Q为

线段BN的中点，∴点P和点Q表示的数分别为62t−−，1031020322tt−+−=，∴2036262222tttPQ−−−−=−=∵17PQAM+=，∴2626172tt−+−=，∴1t=；如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，同图1可知

点P和点Q表示的数分别为62t−−，2032t−，∴2036262222tttPQ−−−−=−=∵17PQAM+=，∴2626172tt−+−=，∴1t=，不符合题意；如图3所示，当M、N都在A点左侧时，同图1可得点P和点Q表示的数分别为62t−−，2032t−，∴6AM

t=−，2036262222tttPQ−−−−=−=，∵17PQAM+=，∴2626172tt−+−=，此时方程无解；如图4所示，当M、N都在A点左侧时，同理可得点P和点Q表示的数分别为62t−−，2032t−，∴6AMt=−，6203226222tttPQ−−−−=−=，∵17PQAM+=，∴

2266172tt−+−=，解得18t=，∴综上所述，当17PQAM+=，t=1或18．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．26．（2021·

重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示

感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒······一只到第64格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？

题中问题就是求1236312222+++++是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.设1236312222S=+++++,则()123632212222S=+++++2346364222222=+++++

+()()2363236322122212222SS−=++++−+++++即：6421S=−事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要()12363641222221++++=−粒米.那么6421−到底多大

呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数:18446744073709551615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:()1我国古代数学名著《算法

统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯?()2计算

:13927...3.n+++++()3某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是02，接下来的两项是

012,2，再接下来的三项是0122,2,2,，以此类推，求满足如下条件的所有正整数:10100NN，且这一数列前N项和为2的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.【答案】（1）3；（2）1312n+−；（3）1218,95NN

==【分析】()1设塔的顶层共有x盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.()2参照题目中的解题方法进行计算即可.()3由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值【解析】()1设塔的顶层共

有x盏灯，由题意得01234562222222381xxxxxxx++++++=.解得3x=，顶层共有3盏灯.()2设13927...3nS=+++++,133927...,33nnS+=+++++()()133927...3313927...3nnnSS+−=++++−++++

++,即：1231,nS+=−1312nS+−=.即13113927...3.2nn+−+++++=()3由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，根据等比

数列前n项和公式,求得每项和分别为：12321,21,21,,21n−−−−，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为1(1)232nnNn+=++++=，所有项数的和为123:21212121,nnS−+−+−++−(

)1232222,nn=++++−()221,21nn−=−−122nn+=−−，由题意可知：12n+为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有()1112

32++=，不满足N>10，②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有()1553182++=，满足:10100N，③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有()113134952++=，满足:10100N

，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有()1292954402++=，不满足100N，∴1218,95NN==【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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