【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十六讲 垂径定理《九年级数学讲义上海专用》（原卷版）.doc，共(12)页，949.339 KB，由管理员店铺上传

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1第十六讲垂径定理3.3垂径定理【学习目标】1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【基础知识】一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD是直径»»ACBC=»»ADBD=要点：2.推论定理1：平

分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还

有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：

“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【考点剖析】例1．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（）CD⊥ABAE=BE2A．13B．4C．3D．23例2．如图，

两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组例3．下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦例4．如

下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为A．95B．245C．185D．52例5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB

长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A．50mB．40mC．30mD．25m例6．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，3则CD的最大值为（）A．22B．2C．32D．52例7．如图，在平

面直角坐标系中，Pe的圆心是(3,)(3)aa，半径为3，函数yx=的图象被Pe截得的弦AB的长为42，则a的值是（）A．23B．22+C．22−D．32+例8．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=

8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12B．15C．16D．18例9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是A．当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形B．当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，

ΔPBC是直角三角形4例10．如图，AB是Oe的弦，OCAB⊥交Oe于点C，点D是Oe上一点，30ADC=，则BOC的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．60°例11．如图，在半径为3的Oe中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D.使BDAB=

，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于（）A．2B．1C．23D．43例12．如图，在半圆O中，直径4AB=，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（）A．

21−B．42−C．21+D．222−【过关检测】5一、单选题1．如图所示，如果AB为⊙O的直径，弦CDAB⊥，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）A．CEDE=B．»»BCBD=C．BACBAD=D．ACAD2．如图，AB是Oe的直径，弦CDAB⊥于点E，10

cm,12cmOCCD==，则AE的长为（）A．2cmB．8cmC．16cmD．18cm3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48cmAB=，则水的最大深度为（）A．8cmB．10cmC．14cm

D．16cm4．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（）A．AC的长为25B．CE的长为3C．CD的长为12D．AD的长为105．如图，在Oe中，弦//ABCD

，OPCD⊥，OMMN=，18AB=，12CD=，则Oe的半径为（）6A．4B．42C．46D．436．如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB⊥于点F，OEAC⊥于点E，若3OE=，5OB=，则CD的长度是（）A．9.6B．45C．53D．197．如图，已知Oe的

半径为5，弦8,ABP=为AB上的动点（不与端点,AB重合），若线段OP的长为正整数，则满足条件的点P的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．5个8．如图，,,ABACBC都是Oe的弦，,OMABON

AC⊥⊥，垂足分别为M，N，若2MN=，则BC的值为（）A．3.5B．2C．3D．49．如图，在半径为5的Oe中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交Oe于点E，连接ECEB、．若2CD=，则EC的长为（

）7A．215B．8C．210D．21310．如图，矩形ABCD中，60AB=，45AD=，P，Q分别是AB，AD边上的动点，52PQ=，以PQ为直径的Oe与BD交于点M，N．则MN的最大值为（）．A．48B．45C．42D．4011．如图，在⊙O中，∠AOB

+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（）A．3B．23C．33D．612．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF//AB分别交

三个半圆于点D，E，F．若35CEDF=，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（）A．16B．20C．25D．308二、填空题13．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则A

B的长为_____．14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，»BC的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是_____．15．过Oe内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的

长为=_________16．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．17．如图,AB是⊙O的

直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为___.18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为_______.919．把球放在

长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为____cm．20．如图，AB是⊙o的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为_

_________.21．Oe的半径为13cm，AB、CD是Oe的两条弦，//ABCD．24cmAB=，10cmCD=，则AB和CD之间的距离为______22．如图，AB、CD是半径为5的Oe的两条弦，8AB=，6CD=，MN是直径

，ABMN⊥于点E，CDMN⊥于点FPC，P为EF上的任意一点，则PAPC+的最小值为____.三、解答题23．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．24．已知：如图，在Oe中，CD是直径，

AB是弦，CDAB⊥，垂足为E.求证：AEEB=，»»ACBC=，»»ADBD=.1025．如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO.弦AB与CD相等吗？为什么？26．如图所示，AB是直径

，弦CD⊥AB，垂足为P，AC＝CD＝23，求OP的长．27．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少厘米？王源的解题步骤如下：[解]连接AO，过点O作

OCAB⊥于点C．OCAB⊥Q于点C，且AB为弦，12ACAB=．当6cmAB=时，在RtOAC△中，22105cm,3cm,4cm2OAACOCOAAC====−=．当8cmAB=时，在RtOACV中，22105cm,4cm,3c

m2OAACOCOAAC====−=．431(cm)−=．即油上升了1cm．请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．28．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要

经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?1129．如图，AC是Oe的直径，弦BDAO⊥于E，连接BC，过点O作OFBC⊥于F，若8BDcm=，2AEcm=，（1）求Oe的半径；（2）求O到弦BC的距离．30．已知：△AC内接于⊙O，D是弧BC上

一点，OD⊥BC，垂足为H.（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P．求证：∠ACD=∠APB．31．如图,,,,ABCD在Oe上,//ABCD经过圆心O的线段EFA

B⊥于点F，与CD交于点E.(1)如图1,当Oe半径为5,46CD=,若EFBF=,求弦AB的长;(2)如图2,当Oe半径为30,26CD=,若OBOC⊥,求弦AC的长.12