【文档说明】专题1.27 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx，共(30)页，680.285 KB，由管理员店铺上传

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专题1.27《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明

确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。一、单选题1．下列关于有理数

的分类正确的是（）A．有理数可以分为正有理数和负有理数B．有理数可分为正有理数、负有理数和0C．有理数可分为正整数、0和负整数D．有理数可分为自然数、0和分数2．已知0abc，则式子：abcabc++=（）A．3B．3−或1C．1−或3D．13．若m满足方程20192019

mm−=+，则2020m−等于（）A．2020m−B．2020m−−C．2020m+D．2020m−+4．对于任意实数x，通常用[]x表示不超过x的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（）①33−=−②2.92−=−③[0.9]0=④[][]0xx+−=A．①②B．②③

C．①③D．③④5．已知a，b，c为有理数，且0abc++=，0abc，则abcabc++的值为（）A．1B．1−或3−C．1或3−D．1−或36．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0abc−−−；②abbcac−+−=−；

③()()()0abbcca+++；④1abc−，其中正确的结论有（）个A．4个B．3个C．2个D．1个7．已知：23abbccamcab+++=++，且0abc，0abc++=，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则xy+=（）A．1−B

．1C．2D．38．如果a，b，c是非零有理数，那么abcabcabcabc+++的所有可能的值为（）．A．4−，2−，0，2，4B．4−，2−，2，4C．0D．4−，0，49．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的

是（）A．abc＜0B．b＋c＜0C．a＋c＞0D．ac＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413，－7，1.5，0，－5.3,－32，6，－80%.(1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性

质分．11．若0abc++=，则||||||aababcaababc++的值是___________．12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____．13．如图，A点的初始位置位于数轴上的

原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，……，依此类推，移动6次后该点对应的数

是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“”法则：abcabcabc=++−+−，例如：()()()12-312-312-3=++−+−．在57274,,0,,,99393−−这6个数中，任意取三个数作为,,

abc的值，则abc的最大值为__________．15．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离ABab=-．所以式子2x−的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距

离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3−的两点之间的距离是________．②数轴上表示x和2−的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x的点到表示1的点的距离与

它到表示3−的点的距离之和可表示为：13xx−++．则13xx−++的最小值是________．④若318xx−++=，则x=________16．若a，b，c为有理数，且abc≠0，则babcacabcabc++−＝_____．17．数学

真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，a-b，ab，ab的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28ba+=_____________18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A的位置，

则点A表示的数是_______；若起点A开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A表示的数是______．19．若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝_____．

三、解答题20．有理数的两种分类方法：有理数有理数21．177.6,2,,4.1,5,23−−−（1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2,1.5,,

0.6,,0,37−−整数集合：{．．．}，分数集合：{．．．}，非负整数集合：{．．．}，有理数集合：{．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+=，8=；②负数：0.7−=，12−=；③

零：0=；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是数，即0a（3）请认真阅读下列材料，求2x+的最小值解：0xQ，当0x=，即0x=时，2x+的最小值是2解答下列问题①求2020x+的最小值；②255a−−有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值25．同

学们都知道，|4(2)|−−表示4与2−的差的绝对值，实际上也可理解为4与2−两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x−也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(

2)|−−=_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使|4||2|6xx−++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|3||6|xx−+−是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．26．阅读下题和解

题过程：化简：()2122xx−+−−，使结果不含绝对值．解：当20x−时，即2x时：原式21243xxx=−+−+=−+；当20x−时，即2x时：原式()212437xxx=−−+−+=−+．这种解题的方法叫“分类讨

论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x−=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a＜0时，|a|=﹣a．用这种方法解决下列问题：(1)当a=

5时，求aa的值．(2)当a=﹣2时，求aa的值．(3)若有理数a不等于零，求aa的值．(4)若有理数a、b均不等于零，试求aa+bb的值．28．[分类讨论思想]甲、乙两名同学正在对8a＞6a进行讨论，甲说：“8a＞6a正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．2

9．阅读下题和解题过程：化简212(2)xx−+−−，使结果不含绝对值．解：当20−≥x时，即2x时，原式2124xx=−+−+3x=−+；当20x−，即2x时，原式(2)124xx=−−+−+37x=−+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：

2(21)3xx+−=+；(2)试探究：当m分别为何值时，方程21xm−=−①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是,AB的美好点．例如；如图1，点A表示的数为1−，点B表示的数为2．表

示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[,]AB的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是[,]AB的美好点，但点D是[,]BA的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数

为7−，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是3−，6.5，11，其中是[,]MN美好点的是________；写出[,]NM美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点

N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222，(3)(3)(3)(3)−−−−等，类比有理数

的乘方，我们把222记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)−−−−记作4(3)−，读作“3−的4次商”．一般地，我们把n个(0)aa相除记作na，读作“a的n次商”．初步探究（1）

直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，(1)1n−=−；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果

是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：2411112222222222===（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的

形式4(3)−=_______；517=_______．（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344−−+−=

________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A，C，D错误，B正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a＜b

＜c，分类讨论：①a＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a＜b＜c．∵abc＞0，∴分两种情况：①a＜b＜0＜c，则abcabc++=－1+（－1）+1=－1；

②a＞0，b＞0，c＞0，则abcabc++=1+1+1=3．故选C．【点拨】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.【详解】当2019m时，2019

2019mm−=−，不符合题意；当0m时，20192019mm−=+，符合题意；当02019m时，20192019mm−=−，不符合题意；所以0m20202020mm−=−+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4

．C【分析】根据符号[x]表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0，当x为小数时，如x=1.2，则

[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符

号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc∴a，b，c中应有奇数个负数∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负∵0abc++=

∴a，b，c的符号为1负2正令0a，0b，0c∴aa=−，bb=，cc=∴abcabc++1111=−++=故选：A．【点拨】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．6．B【分析】根据三点与1的位置关系即可

判断①；对于②，根据a、b、c的位置关系化简方程左端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；对于④，首先判断1−bc的符号，然后和a比较即可．【详解】①∵a<1，b<1，c<1∴a-1<0，b

-1<0，c-1<0∴(1)(1)(1)0abc−−−，故①正确；②∵a<b，b<c，a<c∴a-b<0，b-c<0，a-c<0∴abbcbacbca−+−=−+−=−，acca−=−∴abbcac−+−=−，故②正确；③∵a+b<0，b+c>0，a

+c<0∴()()()0abbcca+++，故③正确；④∵a<-1∴|a|>1∵0<b<c<1∴0<bc<1∴1-bc<1∴|a|>1-bc，故④错误；故选B【点拨】本题考查了数轴，有理数，绝对值的化简，题目较难，英重点关注数轴上点和已知数的位置关系，然后进行推导求解．7．A【分析】根据题意分

析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．【详解】解：∵0abc，0abc++=，∴a、b、c为两个负数，一个正数，∵abc+=−，bca+=−，

cab+=−，∴23cabmcab−−−=++，分三种情况讨论，当0a，0b，0c时，1234m=−−=−，当0a，0c，0b时，1230m=−−+=，当0b，0c，0a时，1232m=−+−=−，∴3x=，4y=−，则341xy+=−=−．故选

：A．【点拨】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．8．D【分析】分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数

，化简原式即可去求解．【详解】①a、b、c均是正数，原式=1111+++=4；②a、b、c均是负数，原式=1111−−−−=4−；③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式=1111−−+=0；④a、b、c中有两个正数，一个

负数，原式=1111+−−=0；故选D．【点拨】本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．9．B【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．【详解】解：∵bc，∴数轴的原点应该

在表示b的点和表示c的点的中点的右边，∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，0ab，但是abc的符号不能确定，故A错误；若b和c都是负数，则0bc+，若b是负数，c是正数，且bc，则0bc+，故B正确；若

a和c都是负数，则0ac+，若a是正数，c是负数，且ac，则0ac+，故C错误；若b是负数，c是正数，则acab，故D错误．故选：B．【点拨】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的

正负．10．(1)整数：2，－7，0，6；分数：413，1.5，－5.3，－32，－80%(2)正有理数：2，413，1.5，6；零：0；负有理数：－7，－5.3，－32，－80%【解析】试题分析：由有理数的两种分类.试题解析：解：(1)整数：2，－7，0，6；分数：413，1.5，－5

.3，－32，－80%(2)正有理数：2，413，1.5，6；零：0；负有理数：－7，－5.3，－32，－80%点拨：有理数的两种分类：（1）有理数0正整数整数负整数正分数分数负分数注：我们把有限小数，无限

循环小数，百分数都看作分数，但不是所有的小数都是分数，例如π就是无限不循环小数，π不能化为分数，π是无理数.（2）有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数正分数11．1或-1或-3【分析】根据题意

确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0，∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．当a、b、c为两正一负时，①设a、b为正，c为负，原式=1+1-1=1；②设a、c为正，b

为负，原式=1-1-1=-1；③设b、c为正，a为负，原式=-1-1-1=-3；当a、b、c为一正两负时，④设a为正，b、c为负原式=1-1+1=1；⑤设b为正，a、c为负原式=-1-1+1=-1；⑥设

c为正，a、b为负原式=-1+1+1=1；综上可知，||||||aababcaababc++的值是1或-1或-3．故答案为：1或-1或-3．【点拨】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题

的关键．12．659或559−【分析】对x-5＞0、-3＜x＜5、x＜-3分类讨论解答即可．【详解】①x-5＞0，即x>5|x+3|+45|x-5|=12x+3+0．8x-4=12x=13×59x=659②当-3＜x＜5时，则|x+3|+45|x-5|=12x

+3+4-0.8x=12x=25(舍)③x＜-3，则|x+3|+45|x-5|=12-x-3+4-0.8x=12x=559−【点拨】本题考查了绝对值方程，根据绝对值正确的分类讨论是解答本题的关键．13．8−14【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别

求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．【详解】解：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1

；移动2次后该点对应的数为1-3=2−，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为-2+6=4，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为4-9=5−，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为-5+12=7，到原点的距离为

7；移动6次后该点对应的数为7158−=−，到原点的距离为8；∴移动奇数次后该点到原点的距离为：312n−；移动偶数次后该点到原点的距离为：322n−．∴当n为奇数时，31202n−，解得：413n，∴15n=；当n为偶数时，3220

2n−，解得：14n，∴14n=；∴至少移动14次后该点到原点的距离不小于20．故答案为：8−，14；【点拨】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究

是解决这道题的关键．14．83【分析】根据新定义确定出所求即可．【详解】解：当a+b+c≥0时，2abcabcabcb=++−+−=，此时最大值为2×43=83；当a+b+c＜0时，22abcacacac

=−−−−=−−，此时最大值为5782993−−−=，∴abc的最大值为83，故答案为：83．【点拨】此题考查了有理数的混合运算与有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．342x+43−或5【分析】①根据题目中公式求解即可；②根据题目中公式求解即

可；③根据题目中公式求解即可；④分为三种情况讨论，第一种3x−，第二种31x−，第三种1x，分别求解即可；⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4，而目前值为8，因此将3和-1同时向左或向右移

动842−个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况套路即可．【详解】①|2-5|=3，所以2和5之间的距离为3；②|-3-1|=4，所以-3和1之间的距离为4；③()22xx−−=+，所以x和-2之间的距离为|x+2|；④当第一种情况3x−时，原式=()()1322xxx

−−−+=−−，无最小值当第二种情况31x−时，原式=()()13134xxxx−−++=−+++=，所以最小值为4当第三种情况1x时，原式=()()1322xxx−++=+，无最小值所以原式的最小值为4；⑤方法一：根据④得到|x−3|+|x+1|当14x−时，最小值为4因为|x

−3|+|x+1|=8，所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距离和为8，此时x=-1-2=-3，或x=3+2=5因此x=−3或5方法二：当1x−时，得()()318xx−−−+=，解得x=-3当13x−时，得()()318xx−−++=，

此时无解当3x时，得()()318xx−++=，解得x=5故原方程的解为-3或5故答案为①3；②4；③|x+2|；④4；⑤−3或5．【点拨】本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝对值的几何意义表示两点间的距离．16．2或2−【分析

】分,,abc中没有负数、,,abc中只有1个负数、,,abc中有2个负数，,,abc都是负数四种情况，再分别化简绝对值，然后计算有理数的加减运算即可得．【详解】由题意，分以下四种情况：（1）当,,abc中没有负数时

，则11112babcacabcabc++−=++−=；（2）当,,abc中只有1个负数时，不妨设a为负数，则11112babcacabcabc++−=−+++=；（3）当,,abc中有2个负数时，不妨设,ab都是负数，则11112babcacabcabc++−=−−+−=−；（4）当,,abc都

是负数时，则11112babcacabcabc++−=−−−+=−；综上，babcacabcabc++−的值为2或2−，故答案为：2或2−．【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减运算，正确分四种情况讨论是解题关键．17．4【分析】先根据分数的分母不能为0可得0b≠，从而可得abab+

−，由此根据题意可得aababb+==和aababb−==两种情况，再根据aabb=可求出b的值，然后代入求出相应的a的值，最后将a、b的值代入即可得．【详解】由题意得：0b≠，abab+−，,,,aababab

b+−有三个结果恰好相同，aababb+==或aababb−==，因此，分以下两种情况：（1）当aababb+==时，由aabb=可得2aba=，解得1b=，①当1b=时，则1aa+=，无解，即不存在这样的有理数a，②当1b=−时，则1aa−=−，解得12a=，此

时()12218842ba−++==；（2）当aababb−==时，由aabb=可得2aba=，解得1b=，①当1b=时，则1aa−=，无解，即不存在这样的有理数a，②当1b=−时，则1aa+=−，解得12a=−，此时()12218842ba−+

+=−=−；综上，()284ba+=，故答案为：4．【点拨】本题考查了有理数的乘方运算的应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．18．2或2−41−或41−−【分析】先求出圆的周长，再通过滚动周数确定A点移动的距离，最后分类讨论，将A点原来

位置的数加上或减去滚动的距离即可得到答案．【详解】解：因为半径为1的圆的周长为2，所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了2个单位，滚动2周就相当于平移了4个单位；当圆向左滚动一周时，则A'表示的数为2−，当圆向右滚动一周时，则A

'表示的数为2；当A点开始时与1−重合时，若向右滚动两周，则A'表示的数为41−，若向左滚动两周，则A'表示的数为41−−；故答案为：2①或2−；41−②或41−−．【点拨】本题考查了用数轴上的点表示无理数的知识，要求学生能动态的理解数轴上点的位置变化，能明白圆滚动一

周或两周时同一个点的运动变化，并能通过加减运算得到运动后点的位置所表示的数．19．45或23【分析】先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可．【详解】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝

﹣（y+z），∴x+y≥0，y+z≤0．∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14．∵y+z≤0，∴z＝﹣20当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，x+y﹣z＝11+14+20＝45；当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．故答案

为：45或23．【点拨】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键．20．（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（2）正整数，0，负整数，正分数，负分数【解析】【分析】根据“有理数”的两种分类方法进行分析解答即可

.【详解】有理数的两种分类方法：有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负分数有理数0正整数整数负整数正分数分数负分数故答案为：（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（

2）正整数，0，负整数，正分数，负分数【点拨】熟记“有理数的两种分类方法”是解答本题的关键.21．（1）714.1257.632−−−（2）见解析【分析】（1）根据有理数的大小关系进行排列即可得解；（2）根据有理数的相关分类，将这组数进行分类即可.【详解】（1）714.

1257.632−−−；（2）按照有理数的定义进行分类，分为整数和分数如下：整数集合2,5...−，分数集合177.6,,4.1,...23−.【点拨】本题主要考查了有理数的大小比较及分类，熟练掌握有理数的相关概念是解决本题的关键.22．整数集合：{420−，，．．．

}；分数集合：{2221.50.637−，，，．．．}；非负整数集合：{40，．．．}；有理数集合：{222421.50.6037−−，，，，，，．．．}【分析】根据有理数的分类，直接填写答案．【详解】给出的数中，整数集合：{420−，，．．．}；分数集合：

{2221.50.637−，，，．．．}；非负整数集合：{40，．．．}；有理数集合：{222421.50.6037−−，，，，，，．．．}．【点拨】本题考查了有理数的分类及各相关定义．掌握有理数的分类是解决本题的关键．23．整数：0，2018，－2；分数：－

34，－3.14，17；正整数：2018；负整数：－2；正分数：17；负分数：－34，－3.14.【解析】【分析】整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,等这样的数,整数包括:负整数,0,正整数;分数表示一个数是另一个数的几分之几,或

一个事件与所有事件的比例.把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数,分数分为:正分数和负分数;根据整数和分数的定义以及分类进行解答.【详解】整数:0,2018,－2;分数:－,－3.14,;正整数:2018;负整数:－2;正分数:;负分数:－,－3.14.【点

拨】本题主要考查整数和分数的定义和分类,解决本题的关键是要熟练掌握整数和分数的定义和分类.24．（1）①35，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a=5【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案；（2）分析（1）中的结论，即可

得到（2）中的答案；（3）①要使2020x+有最小值，则需使x最小，结合（2）中结论有0x，可得出0,x=时，2020x+最小，即可得出答案；②由50a−，得出当50a−=时，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案．【详解】解：（1）①正数：35+=35，8

=8；②负数：0.7−=0.7，12−=12；③零：0=0；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即0a；（3）①0xQ当0,x=即0x=时∴2020x+有最小值是2020②255a−−有

最大值．50a−当50a−=，即50,a−=5a=时255a−−有最大值25，此时a=5．【点拨】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0

的绝对值是0．25．（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x-4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）先得出|x-3|+|x-6|

的意义，从而得到x在3和6之间时（包含3和6）有最小值．【详解】解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x-4=0或x+2=0时，则x=4或x=-2，当x＜-2时，∴-（x-4）-（x+2）=6，∴-x+4-x-2=6，∴x=-2（范围内不成立）；当-2＜x＜4时，∴-

（x-4）+（x+2）=6，∴-x+4+x+2=6，∴6=6，∴x=-1，0，1，2，3；当x＞4时，∴（x-4）+（x+2）=6，∴x-4+x+2=6，∴x=4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x有：-

2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x-3|+|x-6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x在3和6之间时（包含3和6），|x-3|+|x-6|有最小值3．【点拨】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方

法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．26．2x=或1x=−【详解】试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可．试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣

1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1．点拨：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．27．（1）1；（2

）-1；（3）1或-1；（4）2或-2或0【解析】【分析】（1）直接将a=5代入求出答案；（2）直接将a=-2代入求出答案；（3）分别利用a>0或a<0分析得出答案；（4）分别利用当a，b是同正数或当a，b是同负数或当a，b是异号分析得出答案

．【详解】解：()1当5a=时，1aa=；()2当2a=−时，1aa=−；()3若有理数a不等于零，当0a时，1aa=，当0a时，1aa=−；()4若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，2baab+=，当a，b是同负数，2baab+=−，当a，b是异号，0baab+=．【点拨】考查绝对值

的化简，掌握绝对值的化简方法是解题的关键，注意分类讨论思想在解题中的应用.28．见解析【解析】【分析】分成(1)a＞0，(2)a＜0，(3)a=0三种情况进行讨论.【详解】解：两人的观点都不正确，因为a的符号没有确定．(1)当a＞0时，得8a＞

6a；(2)当a＜0时，得8a＜6a；(3)当a=0时，得8a=6a.【点拨】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.29．（1）1x=或3−；（2）①当1m>时方程无解21xm−=

−无解；②当1m=时方程21xm−=−只有一个解；③当1m时方程21xm−=−有两个解.【解析】【分析】（1）分当x+2≥0时和当x+2＜0时，两种情况分类讨论即可；（2）分当1m−0，10m−=和10m−三种情况分类讨论即可.【详解】（1）解：当20x+

时，即2x−时：原方程可化为：()2213xx+−=+解这个方程得：1x=当20x+，即2x−时：原方程可化为：()2213xx−−−=+解这个方程得：3x=−原方程的解为1x=或3−（2）由绝对值的意义可知20x−①当10m−时方程21xm−=−无解，即：当1m时方程无

解21xm−=−无解②当10m−=时方程21xm−=−只有一个解，即：当1m=时方程21xm−=−只有一个解③当10m−时方程21xm−=−有两个解，即：当1m时方程21xm−=−有两个解【点拨】本题考查了解一元一次方程和解

含绝对值符号的一元一次方程，解此题的关键是正确去掉绝对值符号．30．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合

条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】解：（1）根据美好

点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的

距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP=

2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；第三种情

况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．【点拨】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．31．（1）12；（2）②③；（3）213−，37；（4）21na−；（5）314−【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定

义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）3122222==；（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；对

于任何正整数n，当n为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n−=−−−=−，当n为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n−=−−−=，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误；负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

，因此④正确；故答案为：②③；（3）4(3)−=(3)(3)(3)(3)−−−−=111(3)333−−−−=213−，5111111777777=

=177777=37；（4）由题意可得：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于21na−；（5）2453111152344−−+−

=()()()23112344−−+−=()12714−−=314−【点拨】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．