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3.3.2抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为()2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横

坐标x0为()A.1B.2C.3D.43.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条4.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是.5.过抛物线y2=2px(p>

0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=.6.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

=3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求|AB|.B级关键能力提升练7.(2021山东枣庄检测)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-4,则点A的坐标是()A.(2

,±2√2)B.(1,±2)C.(1,2)D.(2,2√2)8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小

值是()A.17√28B.3C.3√38D.3√1329.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4√3,则抛物线方程为()A.y2=6

xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=152x10.已知点A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离

心率为()A.√2+12B.√2+1C.√5+12D.√5-111.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.2B.153C.163D.312.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,

准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l做垂线,得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是()A.∠CFD=90°B.△CMD为等腰直角三角形C.直线AB的

斜率为±√3D.△AOB的面积为413.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48√3,则p的值为.14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1

,0),且与C交于A,B两点,则p=,1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=.15.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在

点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.16.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.(2)是否存在定点P,使得当

A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.C级学科素养创新练17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P

,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.3.3.2抛物线的简单几何性质1.D(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为𝑥21𝑎2+𝑦2

1𝑏2=1与y2=-𝑎𝑏x.因为a>b>0,所以1𝑏>1𝑎>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对

称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.2.C∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,∴𝑦02=4x0,则点P与点(5,0)的距离d=√(𝑥0-5)2+𝑦02=√𝑥02-10𝑥0+25+4𝑥0=√(𝑥0-3)2+16.

∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.3.B(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,由方程组{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑦2=2𝑥,消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,

①若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点(12,1);②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方

程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.4.4√3根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为(𝑦022,𝑦0),边长为a,则有t

anπ6=2𝑦0𝑦02,解得y0=2√3,故边长a=4√3.5.2∵F(𝑝2,0),∴直线AB的方程为y=x-𝑝2,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+𝑝24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=𝑝24

.|AB|=√2√(𝑥𝐴+𝑥𝐵)2-4𝑥𝐴𝑥𝐵=4p=8,解得p=2.6.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由{

𝑦=32𝑥+𝑡,𝑦2=3𝑥可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(𝑡-1)9.从而-12(𝑡-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗可得y1=-3y2.由{𝑦=3

2𝑥+𝑡,𝑦2=3𝑥可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4√133.7.B由题意知F(1,0),设A(𝑦024,𝑦0),则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑦024

,𝑦0),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1-𝑦024,-𝑦0),由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2).8.D设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M

(m,0),则m>0.设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=6,∴x1x2+y1y2=6,从而(y1y2)2+y1y2-6=0.∵点A,B位

于x轴的两侧,∴y1y2=-3,故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,又F(14,0),y2=-3𝑦1,∴S△ABO+S△AFO=12×3×(y1-y2)+12×14y1=138y1+92𝑦1≥2√9×1316=

3√132,当且仅当138y1=92𝑦1,即y1=6√1313时,等号成立.∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3√132.9.B设M(x1,y1),则由|MF|=4|OF|得x1+𝑝2=4×𝑝2,即x1=32p,则𝑦12=3p2,则|y1|=√3p,则S△OM

F=12×𝑝2×√3p=4√3,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.10.B由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=|

𝑃𝐴||𝑃𝑄|=1sin𝜃.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sinθ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由{𝑥2=4𝑦,𝑦=𝑘𝑥-1,得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).设双

曲线的方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a>0,b>0).在双曲线𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,2a=|PA|-|PB|=2√2-2,即a=√2-1,∴离心率e=𝑐𝑎=1√2-1=√2+1.故选B.11

.A由{𝑦2=4𝑥,3𝑥+4𝑦+12=0,得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1为P到准线x=-1的距离,故d1+1为P到焦点F(1,0)的距离,从而d1+1+d2

的最小值为F到直线3x+4y+12=0的距离,即|1×3+0×4+12|√32+42=3,故d1+d2的最小值为2.12.AC由y2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB的方程为x

=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由{𝑦2=4𝑥,𝑥=𝑚𝑦+1,得y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.从而x1+x2=4m2+2,①x1·x2=1.②又|

AF|=3|BF|,∴x1+𝑝2=3x2+𝑝2,即x1=3x2+2.③将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3𝑥22+2x2-1=0,解得x2=13或x2=-1(舍去).∴m2=13,∴m=±√33,即直线AB的斜率为±√3,故C正确;C(-1,y1),D(-1,y2),∴𝐹𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;M(2m2+1,2m),∴𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=169,结合图形知△CMD不是直角

三角形,故B错误;S△AOB=12|OF||y1-y2|=12√16𝑚2+16=4√33,故D错误.故选AC.13.2设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴𝑥12+𝑦12=𝑥22+𝑦22.又𝑦12=2px1,𝑦22=2px2,∴𝑥22

−𝑥12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=√33x,由{𝑦=√33𝑥

,𝑦2=2𝑝𝑥,解得B(6p,2√3p),∴|OB|=√(6𝑝)2+(2√3𝑝)2=4√3p.∵△OAB的面积为48√3,∴√34(4√3p)2=48√3,解得p2=4,∴p=2.14.21由题意知𝑝2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.当直线AB斜率不存在时,

x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,从而1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=1.当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),显然k≠0,联立{𝑦=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A

(x1,y1),B(x2,y2),则{𝑥1+𝑥2=2𝑘2+4𝑘2,𝑥1𝑥2=1,从而1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=1𝑥1+1+1𝑥2+1=𝑥1+𝑥2+2𝑥1+𝑥2+𝑥1𝑥2+1=�

�1+𝑥2+2𝑥1+𝑥2+2=1.15.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8m)2-4(16m

-16)=64m-122+34>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lC

D:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4.(*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),

-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.16.解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半

径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得

☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|M

P|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.17.y2=3x由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F(𝑝2,0).当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=k(𝑥-�

�2),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立{𝑦=𝑘(𝑥-𝑝2),𝑦2=2𝑝𝑥,得k2(𝑥2-𝑝𝑥+𝑝24)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2𝑝𝑘2,x1x

2=𝑝24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p(1+1𝑘2)>2p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,