【文档说明】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期1月期末模拟统一练习数学试题 含答案.docx，共(12)页，585.370 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3d89d7d7d13b8f4947b8b3aab647913f.html

以下为本文档部分文字说明：

人大附中2020—2021学年度高三1月期末模拟统一练习数学2021年1月9日本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合13Axx=−

R，24xBx=N，则集合AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．若()12zii−=，则z的虚部为（）A．1B．-1C．iD．i−3．在612xx−的二项展开式中，2x的系数为（）A．1516B．1516−C．316D．316−4．已

知平面向量()3,1a=−，4b=，且()2aba−⊥，则ab−=（）A．2B．3C．4D．55．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且2AB=，3PABC==，则二面角ABCP−−的大

小为（）A．30B．45C．60D．906．已知()()231sinsin0222xfxx=+−，则下列说法错误的是（）A．若()fx在()0,π内单调，则203B．若()fx在()0

,π内无零点，则106C．若()yfx=的最小正周期为π，则2=D．若2=时，直线2π3x=−是函数()fx图象的一条对称轴7．数列na的前n项和记为nS，则“数列nS为等差数列”是“数列na为常数列”的（）A．充分不必要

条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．设抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，点P在C上，174PF=，若以线段PF为直径的圆过点()1,0，则C的方程为（）A．27x=或2

8xy=B．22xy=或28xy=C．2xy=或216xy=D．22xy=或216xy=9．在ABC中，23a=，7cos3sinbAaB=，则ABC面积的最大值是（）A．37B．67C．97D．18710．已知函数()sincoscoss

infxxx=+，其中x表示不超过实数x的最大整数，关于()fx有下述四个结论：①()fx的一个周期是2π；②()fx是偶函数；③()fx的最大值大于2；④()fx在()0,π单调递减．其中所有正确

结论的编号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案全部填写在答题卡上．11．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进

行调查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为__________．12．在各项均为正数的等比数列na中，已知2416aa=，632a=，记1nnnbaa+=+，则数列n

b的前六项和6S为__________．13．已知F是双曲线22:18yCx−=的右焦点，P是双曲C上的点，()0,62A，①若点P在双曲线右支上，则APPF+的最小值为__________；②若点P在双曲线左支上，则APPF+的最小值为__________．14．已知函数()3

1,01ln2,0kxxxfxxkxx+−−=+−，若()fx恰有4个零点，则实数k的取值范围为__________．15．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见

选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为__________．“我身边的榜样”评选选票候选人符号注：1．同意话“○”，不同

意画“×”．2．每张选票“○”的个数不超过．．．．．．．．．．．．．2．时才为有效票．．．．．．．甲乙丙三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本题13分）已知ABC中，cos0bAc−．（Ⅰ）ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．（Ⅱ

）若ABC同时满足下列四个条件中的三个：①2sin2A=；②3sin2C=；③2a=；④2c=．请证明使得ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．17．（本题13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，90ABDBCD==，2E

C=，2ABBD==．（Ⅰ）证明：//EM平面BCD；（Ⅱ）证明：EF⊥平面BCD；（Ⅲ）若直线EC与平面ABC所成的角等于30，求二面角ACEB−−的余弦值．18．（本题14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为()70,100

mm，其质量指标等级如下表：质量指标值m)70,75)75,80)80,85)85,9090,100质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制

如下频率分布直方图：（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（Ⅱ）若从质量指标值85m的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3

件产品，求)90,95m的件数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表()14t：质量指标值m)70,75)75,80)80,85)85,9090,100利润y（元）4t9t

4t2t53te−试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln20.7，ln51.6）．19．（本题15分）已知函数()()211ln,022f

xxaxaRa=−−．（Ⅰ）当2a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若对任意的)1,x+，都有()0fx成立，求a的取值范围．20．（本题15分）已知椭圆()2222:10xyCaba

b+=的离心率为32，且经过点31,2．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）已知O为坐标原点，A，B为椭圆C上两点，若0OAAB=，且32ABOA=，求OAB的面积．21．（本题15分）已知项数为(

)*,2mmmN的数列na为递增数列，且满足*naN，若()121mnnaaaabm+++−=−Z，则称nb为na的“关联数列”．（Ⅰ）数列1,4,7,10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列

”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若nb为na的“关联数列”，nb是否一定具有单调性？请说明理由．（Ⅲ）已知数列na存在“关联数列”nb，且11a=，2021ma=，求m的最大值．人大附中2020—2021学年度高三1月期末模拟统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4

分，共40分）1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．A8．C9．A10．B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．3612．18913．9714．31,0e−15．95%三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分

）解：（Ⅰ）因为cos0bAc−，由正弦定理可得sincossin0BAC−，在ABC中，πCAB=−−，()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，所以不等式整理为sincoscossinsincosABAB

BA+，即sincos0AB，因为()0,πA，sin0A，所以cos0B，所以B为钝角．（Ⅱ）（i）若满足①③④，则正弦定理可得sinsinacAC=，即22sin22C=，所以1sin2C=，又ac，所以AC，在三角形中，2sin2A=，所

以π4A=或3π4A=，而由（Ⅰ）可得π4A=，所以可得π6C=，ππ7πππ4612BAC=−−=−−=，所以22622cos42222314bacacB−=+−=+−−=+．（ii）若满足①②，由（Ⅰ）B为钝角，A，C为锐角，及2sin2A=，3sin2C=可得π4

A=，π3C=，所以5π12B=不符合B为钝角，故①②不同时成立．（iii）若满足②③④，由B为钝角，3sin2C=，所以π3C=，而ac，所以AC，这时π3B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立．综上所述：只

有满足①③④时31b=+．17．（共13分）解：（Ⅰ）因为在RtBCD中，E，M分别是线段AD，AC的中点，所以//EMCD．又因为EM面BCD，CD面BCD，所以//EM面BCD．（Ⅱ）在RtBCD中，F是斜边BD的中点，所以112FC

BD==．因为E，F是AD，BD的中点，所以//EFAB，112EFAB==，且2EC=，所以222EFFCEC+=，所以EFFC⊥．又因为ABBD⊥，//EFAB，所以EFBD⊥，又BDFCF=，所以EF⊥平面BCD，（Ⅲ）因为122CEADAEDE====，所以CDAC⊥．又因为CDCB⊥

，ACBCC=，所以CD⊥平面ABC，所以ME⊥平面ABC．因此ECM是直线EC与平面ABC所成的角．故22cos306ACMCEC===，所以2CDBC==．由（Ⅱ），AB⊥平面BCD，如图，在平面BCD内，过B作x轴BD⊥，则BA，BD，x轴两两垂直

，建立空间直角坐标系Bxyz−．则()1,1,0C，()0,0,2A，()0,1,1E．所以()1,0,1CE=−，()0,1,1BE=，()0,1,1AE=−，设平面ACE的法向量()111,,mxyz=，则00AEmCEm==，即111100yzxz−=

−+=，取11x=，得()1,1,1m=．设平面BCE的法向量()222,,nxyz=，则00BEnCEn==，即222200yzxz+=−+=，取21x=，得()1,1,1n=−．所以11cos,333mnmnmn===，由图形得二面角ACEB−−

为锐角，因此二面角ACEB−−的余弦值为13．18．（共14分）解：（Ⅰ）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为()0.040.0250.3+=，则()()210.310.090.91PA=−=

−=．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，)85,90m的频率为0.0850.4=；)90,95m的频率为0.0450.2=；)95,100m的频率为0.0250.1=．故利用分层抽样

抽取的7件产品中，)85,90m的有4件，)90,95m的有2件，95,100m的有1件．从这7件产品中任取3件产品，质量指标值)90,95m的件数X可为0,1,2，()3537207CPXC===，()122537417CCPXC=

==，()212537127CCPXC===，所以X的分布列为X012P274717所以()24160127777EX=++=．（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示()14t：质量指标值m)70,7

5)75,80)80,85)85,9090,100利润y4t9t4t2t53te−P0.050.10.150.40.3故每件产品的利润()0.20.90.60.80.52.50.514ttyttttetet=+++−=−．则2.50.5tye=−，令2.50.50tye=

−=得ln5t=，故当()1,ln5t时，0y，函数2.50.5tye=−单调递增；当()ln5,4t时，0y，函数2.50.5tyte=−单调递减．所以当ln5t=时，y取得最大值，为ln52.5ln50.51.5e−=．所以生

产该产品能够盈利，当ln51.6t=时，每件产品的利润取得最大值1.5元．19．（共15分）解：（Ⅰ）2a=时，()2112ln22fxxx=−−，()10f=，()2fxxx=−，()11f=−．∴()yf

x=在点()()1,1f处的切线方程为1yx=−+．（Ⅱ）()()20axafxxxxx−=−=．①当0a时，()20xafxx−=恒成立，函数()fx的递增区间为()0,+．②当0a时，令()0fx=，解得xa=或xa

=−．x()0,aa(),a+()fx-0+()fx减极小值增所以函数()fx的递增区间为(),a+，递减区间为()0,a．（Ⅲ）①当0a时，()fx在)1,+上是增函数，所以只需()10f，而()111ln1022fa=−−=，所以0a满足题意；②当01a时，

01a，()fx在)1,+上是增函数，所以只需()10f．而()111ln1022fa=−−=，所以01a满足题意；③当1a时，1a，()fx在1,a上是减函数，),a+上是增函数，

所以只需()0fa即可，而()()10faf=，从而1a不满足题意；综合①②③实数a的取值范围为()(,00,1−．20．（共15分）解：（Ⅰ）∵C过31,2，∴221314ab+=，又32cea==，

联立()2220,0abcabc=+，解得2a=，∴C的方程为：2214xy+=．（Ⅱ）依题意，直线AB存在斜率，设直线方程为ykxm=+；联立ykxm=+与2244xy+=，得()2244xkxm++=

，∴()222418440kxkmxm+++−=，∴()()()()2222284414416410kmkmkm=−+−=+−，∴2241km+，设()11,Axy，()22,Bxy，则122841kmxxk−+=

+，21224441mxxk−=+，()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−222222222844414114414141kmmkkmkkkk−−++−=+−=+++．∵0OAAB=，∴OAAB⊥，则0k，直线OA为：1yxk=−．联立

ykxm=+，得()ykkym=−+，∴121myk=+，1121kmxkyk−=−=+，代入221144xy+=，22224411kmmkk−+=++，∴()2222414kmk+=+．∴()2

222224141414kkmkk++−=+−+()()()222222241441944kkkkkk++−+==++．∴()()()()()()2222222222216141144141414kkmkkABkkk++−+==+++．又∵()()()222222211222411114km

mOAkyykkkk+=−+=+==+++．∴()22222369441ABkOAk==+，得()2221641kk=+，∴()22410k−=，∴214k=．此时()222224125412174kmkk+==+=+．∴0成立．由()2221

4141204117444kOAk++===++，∴OAB的面积2113315222417SOAABOAOAOA====．21．（共15分）解：（Ⅰ）因为()1147101741b+++−==−，()2147104641b+++−==−，()31471

07541b+++−==−，()41471010441b+++−==−，均为整数．所以数列1,4,7,10存在“关联数列”，为7,6,5,4．（Ⅱ）因为数列na存在“关联数列”nb，所以()1011

nnaanm+−−，且nb，1nb+Z．∴()()11111111mnmnnnaaaaaaaabbmm+++++−+++−−=−−−11nnaam+−=−Z，∴10nnbb+−，即1nnbb+，12mbbb．∴nb单调递

减．（Ⅲ）①由（Ⅱ）知，()111,2,,1nnaamnn+−−=−．于是()()()112211mmmmmaaaaaaa−−−−=−+−++−()()()()21111mmmm−+−++−=−．所以()()2*12020144mmm−−N．另一方面，由数列na存

在关联数列nb，知()()11111111mmmmaaaaaaaabbmm+++−+++−−=−−−1202011maamm−==−−Z．所以120m−，21m．②令()20191,2,,20nann=−=，212021a=，每一项除以20均余1，所以()()121221

1211mnnnaaaaaaaabm+++−+++−=−−Z，符合条件．综上，m的最大值为21．